《函数的基本性质习题课》示范教学设计【高中数学人教版】.docx

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大〔小〕值第一课时 函数的单调性三维目标定向〖知识与技能〗〔1〕结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；〔2〕能利用函数图象理解和研究函数的单调性；〔3〕能利用定义判定一些简单函数的单调性。

〖过程与方法〗借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。

〖情感、态度与价值观〗渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。

教学重难点〖重点〗函数单调性的概念。

〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。

教学过程设计一、问题情境设疑引例：画出一次函数x x f =)(和二次函数2)(x x f =的图象。

〔几何画板〕问题：以上两个图象有什么特征？——“上升〞、“下降〞上升：随着x 的增大，相应的f (x )也增大；下降：随着x 的增大，相应的f (x )减小。

二、核心内容整合1、函数的单调性的概念：问题：如何用数学语言描述“随着x 的增大，相应的f (x )也增大〞？——学生探究。

增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 , x 2，当x 1 < x 2时，都有f (x 1) < f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。

学生类比得出减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 , x 2，当x 1 < x 2时，都有f (x 1) > f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数。

〖知识提炼〗同增异减注意：〔1〕函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 〔2〕必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当12x x <时，总有12()()f x f x <或12()()f x f x >，分别是增函数和减函数。

《函数的基本性质（第二课时）》教学设计1．能从特殊到一般抽象出最大（小）值的定义，理解函数最大（小）值的定义，提升学生的数学抽象素养．2．能根据函数图象直观判断得出函数的最大（小）值，提升学生的直观想象素养．3．理解函数的最大（小）值与函数单调性的联系，对已经学习过的简单函数，能根据函数最大（小）值的定义求出其最大（小）值，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．教学重点：能用函数图象和最大（小）值的定义得出函数的最大（小）值．教学难点：根据函数最大（小）值的定义求出其最大（小）值．PPT课件．一、问题导入问题1：观察图1中的三个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？师生活动：学生观察容易发现这三个图象都有最高点，老师顺势引出课题．图1◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆教学过程预设的答案：图象的共同特征是它们都有最高点．设计意图：直接引出课题，形成对函数最大值的直观感受．引语：我们总是对函数图象中最高点格外关注，本节课我们就来一起学习与之相关的函数性质--单调性与最大（小）值．（板书：单调性与最大（小）值）设计意图：以具体的函数为例，借助图象直观感受函数的最大值的特征．同时将图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备．2．定量刻画函数的最大（小）值问题3：你能用符号语言刻画函数f(x)＝－x2＋1的最大值吗？师生活动：学生根据问题2的铺垫，可以总结出最大值的部分特征：∀x∈R，都有f(x)≤1．老师针对学生遗漏的部分再做启发和引导，最后强调1必须是值域中的元素．预设的答案：（1）∀x∈R，都有f(x)≤1；（2）1是值域中的元素，即存在自变量0，使得f(0)＝1．追问1：你能用符号语言刻画函数f(x)的最大值吗？师生活动：学生类比f(x)＝－x2＋1的例子进行尝试，老师完善．预设的答案：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x∈I，都有f(x)≤M；（2）∃x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．追问2：你能仿照最大值的定义，给出函数f(x)的最小值的定义吗？图3师生活动：学生在类比的过程中若有困难，老师可以举具体的例子加以引导直至学生完整地阐述．预设的答案：设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）∀x ∈I ，都有f (x )≥m ；（2）∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝m ．那么，我们称m 是函数y ＝f (x )的最小值．设计意图：问题3以学生熟悉的二次函数为素材，挖掘最大值的本质；追问1实现了从特殊到一般的跨越，抽象出最大值的概念；追问2是让学生学会用类比的方法获得最小值的概念．3．最大（小）值的应用例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距底面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距底面的高度是多少（精确到1m ）？师生活动：在处理应用题时，首先是从题目中抓取关键信息，即引导学生思考什么是“爆裂的最佳时刻”，学生带着问题阅读题目，确定爆裂的最佳时刻就是烟花轨迹最高点对应的时间，然后将实际问题转化为二次函数的最大值问题．接着，学生根据二次函数的相关知识就可以顺利解答．预设的答案：解：画出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象（图3）．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9) ≈29． 于是，烟花冲出去1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m ．追问：你能说说计算烟花爆裂的最佳时刻的意义吗？（烟花设计者就可以根据这个数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果．）设计意图：根据函数图象确定函数的最大值，提升学生的直观想象素养；体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以进行有效的规划和设计，感受学习函数的意义．例2已知函数f(x)＝2x－1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．师生活动：学生极有可能直接将2，6代入解析式求值，并误以为求解了本题．老师通过问题的方式启发学生明确函数的最大值和最小值是整体性的性质，需要单调性作衬托才能凸显．追问1：有同学计算f（2）＝2，f（6）＝0.4，f（2）＞f（6），则最大值是2，最小值是0.4，你能说说这个做法有什么问题吗？（f（2）＞f（6），这个式子只说明x＝2时的函数值比x＝6时的函数值大，并不能说明它与区间(2，6)上的其它函数值的大小关系，没有验证最大值定义中的第一条．）追问2：为了解决上述解法中的问题，你认为应该借助函数的什么性质研究最大(小)值？（要说明f（2）与f(x)（∀x1，x2∈(2，6)）的大小关系，我们只要将两者作差判断符号即可．更一般地，对于∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，都可以判断f(x1)－f(x2)的符号，本质上就是先确当函数的单调性，弄清楚这个函数在区间[2，6]上的增减情况才能把握在哪里取到最大（小）值．）追问3：如何确定该函数的单调性？（图象法探路，先描点画图，然后用软件绘制函数f(x)＝2x－1(x∈[2，6])的图象（图4），可知函数f(x)＝2x－1在[2，6]上单调递减；再用单调性定义证明．）预设的答案：解：∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)](x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1)](x1－1)(x2－1)．由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2，6]上单调递增．因此，函数f(x)＝2x－1在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4．图4设计意图：通过例2掌握根据函数最大（小）值的定义求解其最大（小）值的思路，培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．三、归纳小结，布置作业问题4：本节课我们主要学习了函数的最大（小）值，什么是函数的最大（小）值？你能说说求解函数的最大（小）值需要注意什么吗？师生活动：师生一起总结．预设的答案：概念略；因为是函数的整体性质，所以必须先确定函数在整个定义域上的单调性，才能求解最大（小）值．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生明确最值与单调性的联系．作业布置：教科书习题3.2第4，7，10题．四、目标检测设计1．整个上午（8：00~12：00）天气越来越难，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多．暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉．画出这一天8：00~20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间．设计意图：训练学生讲文字语言转化为图象语言的能力，考查单调性的定义．2．设函数f(x)的定义域为[－6，11]．如果f(x)在区间[－6，－2]上单调递减，在区间[－2，11]上单调递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)是函数f(x)的一个________．设计意图：考查最小值的定义．3．已知函数f (x )＝1x ，求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值． 设计意图：考察用单调性定义求解函数的最大（小）值． 参考答案：1．单调递增区间为[8，12]，[13，18]；单调递减区间为[12，13]，[18，20]．2．最小值．3．最大值是12，最小值是16，证明略．第1题答案。

2.1函数的基本性质一、教学目标1．结合具体函数，了解函数单调性的含义；2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、教学重点1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应用，一般是判断单调性、求参数或求值；2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．三、教学难点掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题.四、教学过程（一）考情解读设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现，一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向.（二）知识梳理设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础.1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性（三）典例分析题型一：函数的单调性设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像法等；例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不等式等题型.【例1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x 【例2】已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 题型二：函数的奇偶性设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目，通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例2为奇偶性与分段函数结合的题目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识.【例1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【例2】（2019·全国Ⅰ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+题型三：函数的周期性设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础.【例1】（2018·江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 题型四：函数性质的综合应用设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例1为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考，紧紧扣住定义解题.例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题.()2017(,)(1)11(2)1A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]f x f f x x ⋅-∞+∞ =- -- --【例1】（全国Ⅰ卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）≤≤ ()(,)(1)(1).(1)2(1)(2)(3)(502018A.50 B.0 C.2 D.0)5f x f x f f f f f f x -∞+∞ -=+=++++= ⋅-若，则…（【例2】（全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足）（四）巩固练习设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心.1.（2020·全国Ⅰ卷）设函数()331f x x x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减2．(2014·全国Ⅰ卷)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减，f (2)0=．若f x >(-1)0，则x 的取值范围是__________．()()()()()3R ,R,4,22,2022=A.2022 B.2 C.2022 D.2f x x f x f x f f ∈ +=-= --.已知函数是上的奇函数对任意都有若则（）（五）总结提升设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题型及其对应方法.五、作业设计设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像，说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性与奇偶性的概念及其应用.。

《函数的概念及其表示习题课》教学设计◆教学目标1．复习函数的概念以及构成函数的要素，能求简单函数的定义域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；能用分段函数正确表示一些相关的函数问题，构建函数性质的概念及其表示的知识结构．2．能应用函数与方程、化归与转化、数形结合、分类与整合的思想进行抽象概括、运算求解，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：理解函数的概念，结合实际问题选择恰当的方法表示函数，掌握分段函数的表示及其图象．教学难点：在具体的问题中，如何抓住条件，解决问题．◆课前准备用软件制作动画；PPT课件．◆教学过程一、复习导入问题1：请同学们浏览第3.1节（课本P60～P71）的内容，你能梳理一下本小节的学习过程吗？师生活动：学生先独立阅读思考，老师根据学生的回答补充．预设的答案：答案如图1．图1设计意图：引导学生梳理学习内容，构建函数的概念及其表示的知识结构． 引语：函数是贯穿高中数学课程的主线，这节课我们一起来夯实与之相关的基本概念．（板书：函数的概念及其表示习题课）二、新知探究1．函数的概念及其构成要素 例1 （习题3.1 P 72第1题） 求下列函数的定义域： （1）f (x )＝3xx －4； （2）f (x )＝x 2； （3）f (x )＝6x 2－3x ＋2；（4）f (x )＝4－xx －1． 师生活动：老师先引导学生回忆求定义域的一般步骤，然后学生独立完成，老师点评． 追问：求解函数定义域的一般步骤是什么？（第一步：根据解析式有意义转化成不等式；第二步：解不等式或不等式组求得原来函数的定义域．）预设的答案：（1）要使该函数有意义，则需x －4≠0．解得：x ≠4．所以函数f (x )的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)． （2）要使该函数有意义，则需x 2≥0．解得：x ∈R ．所以函数f (x )的定义域为R ．（3）要使该函数有意义，则需x 2－3x ＋2≠0．解得：x ≠1且x ≠2．所以函数f (x )的定义域为 {x |x ≠1且x ≠2}．（4）要使该函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0x －1≠0．解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4x ≠1．所以函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，4]．设计意图：例1借助求解函数的定义域，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用函数与方程的思想进行运算求解的能力．例2 （习题3.1 P 72第2题）下列哪一组中的函数f (x )与g (x )是同一个函数？ （1）f (x )＝x －1，g (x )＝x 2x －1；（2）f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4； （3）f (x )＝x 2，g (x )＝3x 6．追问：判断两个函数是否相等的一般的步骤是什么？（第一步，求两个函数的定义域．第二步，判断定义域是否相同．若否，则不是相等函数，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，化简两个函数的解析式，若解析式也相同，则为相等函数；若解析式不相同，则不是相等函数．）师生活动：老师先引导学生回忆判断函数是否相等的一般步骤，然后学生独立完成，老设计意图：例2借助判断函数是否相等，加深学生对函数概念的理解，训练学生运用化归与转化的思想进行运算求解的能力．例3 （习题3.1P 74第16题）给定数集A ＝R ，B ＝(－∞，0]，方程u 2＋2v ＝0，①（1）任给u ∈A ，对应关系f 使方程①的解v 与u 对应，判断v ＝f (u )是否为函数并说明理由；（2）任给v ∈B ，对应关系g 使方程①的解v 与u 对应，判断u ＝g (v )是否为函数并说明理由．追问1：判断某个给定的对应关系是否函数的依据是什么？（函数的概念，具体内容是：对于数集A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．）师生活动：老师引导学生寻找判断的依据，学生应用函数的概念独立判断，老师点评． 预设答案：（1）根据u 2＋2v ＝0，可得v ＝－u 22，任给u ∈A ，根据对应关系v ＝－u 22，在数集B 中都能找到唯一的元素v ＝－u 22与之对应，所以是函数．（2）根据u 2＋2v ＝0，可得u ＝±－2v ，任给v ∈B 且v ≠0，根据对应关系u ＝±－2v ，在数集A 中都能找到两个元素u ＝±－2v 与之对应，所以不是函数．追问2：结合v ＝f (u )和u ＝g (v )的图象验证你的判断，其中v ＝f (u )和u ＝g (v )的图象分别如图2和图3．点（u 0，v 0），即对于任意的u 0∈R ，按照对应关系①有唯一的v 0与之对应，所以v ＝f (u )是函数．根据图5，在横轴负半轴上任取一点v ＝v 0，过该点作横轴的垂线，与曲线有两个交∙点（v0，u0）、（v0，－u0），即对于任意的v0∈(－∞，0)，按照对应关系①有两个值与之对应，所以u＝g(v)不是函数．）（u＝－－2v 追问3：根据方程u2＋2v＝0，写出一个对应关系h使它成为u关于v的函数．或u＝－2v．）设计意图：通过例3对函数概念进行辨析，帮助学生深入理解函数的概念，感受函数对应关系的多样性．2．求函数的解析式例4（1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；（3）已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．师生活动：第（1）小题大部分学生能比较顺利地完成，其它两个小题需要老师合理的引导、讲解、示范以及学生的模仿练习完成．预设答案：（1）由f(x)是二次函数，设f(x)＝a x2＋bx＋c（a≠0），由f(0)＝1，得c＝1，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(a x2＋bx＋1)＝2a x＋a＋b＝2x这个式子对于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，解析式为f(x)＝x2－x＋1．（2）方法一：令x＋1＝t，则x=t－1．将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．方法二：x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，则解析式为f(x)＝x2－5x＋6．（3）因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2……②，所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2……③，2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，则解析式为f (x )＝－3x －23．教师点拨：第（1）题中的方法叫待定系数法，适用于当函数类型给定，且函数某些性质已知时求函数解析式的题型．第（2）题中的方法一叫换元法，适用于已知函数f (g (x ))的表达式，求f (x )的解析式的题型．具体步骤为：令g (x )＝t ，并反解出x ，然后x 把代入f (g (x ))中，求出f (t )，从而求出f (x )；第（2）题中的方法二叫凑配法，适用于已知函数f (g (x ))的解析式，且f (g (x ))的表达式可变形为关于g (x )的形式，从而将式子两端的g (x )看成一个整体代换为函数的自变量，从而求出f (x )；在这两种方法中，都要注意函数的定义域，方法一中函数的定义域为新元t 的取值范围；方法二中函数的定义域为g (x )的值域．第（3）题中的方法叫方程组法，适用于当函数f (x )满足形如a f (x )＋b f (－x )＝g (x )（a ≠b 且ab ≠0）或a f (x )＋b f (1x )＝g (x )（a ≠b 且ab ≠0）等关系时，我们可以用－x 或1x 代替关系式中的x ，将得到的新式子与原关系式联立方程组，经消元后将f (x )从方程组中解出来．设计意图：解析式是高中阶段函数的主要表示方法，同时也是我们研究函数的主要依据．但函数解析式较为抽象，求解析式对于高一学生是一个难点，例4涉及了四种常见的求函数解析式的方法，帮助学生初步理解抽象问题的处理方法，提升学生的数学抽象和数学运算素养．3．分段函数例5 （习题3.1P 73第13题）函数f (x )＝[x ]的函数值，表示不超过x 的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．当x ∈(－2.5，3]时，写出函数f (x )的解析式，并画出函数f (x )的图象．预设答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，－2.5＜x ＜－2，－2，－2≤x ＜－1，－1，－1≤x ＜0，0，0≤x ＜1，1，1≤x ＜2，2，2≤x ＜3，3，x ＝3．函数f (x )的图象如图6．追问1：设函数g (x )＝x －[x ]，x ∈(－2.5，3]，写出函数g (x )的解析式，并画出函数g (x )的图象．（g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，－2.5＜x ＜－2，x ＋2，－2≤x ＜－1，x ＋1，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，x －1，1≤x ＜2，x －2，2≤x ＜3，0，x ＝3．函数g (x )的图象如图7．）追问2：求函数f (x )与g (x )的值域．（函数f (x )的值域为{－3，－2，－1，0，1，2，3}，函数g (x )的值域为[0，1)．）追问3：求方程g (x )＝0.5的解集.（当－2.5＜x ＜－2时，令g (x )＝0.5，则x ＋3＝0.5，解得x ＝－2.5，－2.5∉(－2.5，－2)，此时方程无解；当－2＜x ＜－1时，令g (x )＝0.5，则x ＋2＝0.5，解得x ＝－1.5，－1.5∈[－2，－1)，此时方程的解为x ＝－1.5；同理可以求得其他区间内的解．综上，方程g (x )＝0.5的解集为{－1.5，－0.5，0.5，1.5，2.5}．）设计意图：例4加深学生对分段函数的了解，训练学生运用分类与整合、数形结合的思想进行运算求解的能力，提升学生的直观想象和数学抽象素养．三、归纳小结，布置作业问题2：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题： （1）你能谈谈对函数的对应关系的认识吗？图7（2）你能谈谈函数图象在解决问题中的作用吗？ 师生活动：师生一起总结．预设的答案：（1）对应关系f 是函数的核心要素，只要满足：对于数集A 中的任意一个数x ，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么f ：A →B 就为从集合A 到集合B 的一个函数；它的表现形式多种多样：文字语言、解析式、表格、图象、方程等，可以根据需要灵活选择．（2）函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．设计意图：引导学生提炼本节课的主要内容和方法． 作业布置：教科书复习参考题3第1，2，7，8，13题． 四、目标检测设计1．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A ．y ＝|x |，u ＝v 2 B ．y ＝x 2 ，s ＝(t )2C ．y ＝x 2－1x －1 ，m ＝n ＋1D ．y ＝x ＋1·x －1，y ＝x 2－1设计意图：考查对函数概念的理解． 2．函数y ＝x ＋1＋12－x定义域是___________． 设计意图：考查函数定义域的求解．3．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，若f (x )＝10，则x ＝___________．设计意图：考查对分段函数的了解，以及运用函数与方程的思想进行运算求解的能力． 4．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆的单词的基础上增加50个新单词的记忆量．（1）该同学记忆的单词总量y 是关于记忆天数x 的函数吗？如果是，你能用哪些方法表示这个函数；如果不是，请你说明理由．设计意图：考查对函数概念的理解，以及运用函数与方程的思想进行抽象概括的能力． 参考答案： 1．A ．2．[－1，2)∪(2，＋∞)．3．－3．4．解：用x表示记忆天数，用y表示记忆的单词总量，那么y＝50x＋250，x∈A，其中A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．该同学记忆的单词总量y是关于记忆天数x的函数．原因如下：对于数集A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中的任一个天数x，根据对应关系y＝50x＋250，在数集B＝{300，350，400，450，500，550，600，650，700，750}中，都有唯一的单词总量y与之对应．用解析法可将该函数表示为y＝50x＋250，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．用列表法可将该函数表示为用图象法可将该函数表示为图8．。

函数的单调性与最大〔小〕值〔1〕设计理念新课标指出：“感知数学，体验数学〞是人类生活的一部分，是人类生活劳动和学习不可缺少的工具。

课程内容应与学生生活实际紧密联系，从而让学生感悟到生活中处处有数学，进而有利于数学学习的生活化、情境化。

因此我在教学“交通与数学〞这一节内容的过程中，从实际生活中的实例出发，让学生感受到交通与数学的密切联系，体会到教学在实际生活中的应用，并学会运用所学的知识解决实际生活中的简单的问题。

这样就充分表达学生的主体地位，充分提供让学生独立思考的机会。

本节内容是在学生已经学习和掌握了一位数乘三位数的乘法计算和搭配方法等数学知识的基础上进行教学的。

其目的在于引导学生将学过的知识与生活实际联系起来，综合运用，提高解决问题的能力。

因此，在教学中我尝试以“交通〞为主线，设计密切联系学生实际生活的学习情境；在整个设计中，我始终引导学生在生活情境中提出问题，解决问题，这些都是和学生息息相关的生活问题，因此学生始终能保持较高的学习兴趣，乐于将自己的想法与他人交流，积极性很高。

教学内容：本节课是《普通高中课程标准实验教科书.数学1》〔人教版A〕第一章第三节第一课时〔〕《单调性与最大〔小〕值》。

教学目标：1、理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性；2、启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力；3、通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

4、通过数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育。

学情与教材分析：本节课是第一课时。

根据实际情况，将1.3.1划分为三节课〔函数的单调性，函数单调性的应用，函数的最大〔小〕值〕，这是第一节课“函数的单调性〞。

函数的单调性是函数的最重要的基本性质之一，它不仅是求函数最大值与最小值的基础，同时在研究函数及实际生活中的函数问题都有着广泛的应用，所以要重点研究函数的单调性。

《函数的基本性质（第一课时）》教学设计◆教学目标1．能在用自然语言、图象语言描述函数单调性的基础上，用符号语言刻画函数的单调性，提升直观想象素养和数学抽象素养．2．对简单函数，能根据解析式求出函数的单调区间；能根据单调性的定义证明简单函数的单调性；提升数学逻辑推理素养．能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题，提升数学运算素养．3．体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发现函数的性质，并在这个过程中能进行直观与抽象的转化．◆教学重难点◆教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：“函数值随自变量的增大而增大（减小）”转化为符号化的不等式语言．◆课前准备用软件制作动画；PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第76页节引言的内容，回答下列问题：（1）为什么要研究函数的性质？（2）什么叫函数的性质？（3）函数的性质主要有哪些？（4）如何发现函数的性质？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容．预设的答案：（1）通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；（2）变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；（3）比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；（4）先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以发现函数的一些性质．设计意图：明确研究对象，初步构建研究框架．二、问题导入问题2：观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图2（或图3）的区别吗？图1 图2 图3 师生活动：学生读图并比较，指出图1的图象是一直上升，而图2，3有升有降．老师指出：在叙述函数图象特征时要按照一定的标准，即应沿x轴正方向，从左向右观察图象的变化趋势．预设的答案：图1的特点是：从左至右始终保持上升；图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．设计意图：直接引出课题，形成对单调性的直观感受．引语：当下很重要，趋势更重要．这节课我们就来一起学习反映函数变化趋势的性质—函数的单调性．（板书：函数的单调性）三、新知探究1．定性刻画函数的单调性问题3：你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？师生活动：学生根据初中学习经验和对图象的观察分析，能描述“y随着x的增大而增大（减小）”．老师在“如何观察”上加强启发和引导．比如：“从左到右”其实就是自变量x不断增大，“上升（下降）”就是函数值y不断增大（减小）．预设的答案：用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）．教师点拨：函数值随着自变量的增大而增大（减小）的性质叫做函数的单调性．设计意图：将图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备．2．定量刻画函数的单调性问题4：如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？师生活动：这是一个高度抽象的问题，维的“脚手架”，从具体问题入手，一步步解决抽象问题．追问1：你能说说函数f(x)＝x2的单调性吗？（画出它的图象，如图4，由图可知：当x＜0时，y随着x的增大而减小，就说f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减的；当x＞0时，y x2 = 2.4x1 = 1.6f(x1) = 2.6f(x2) = 5.7坐标坐标显示控刻等单修改坐标随着x的增大而增大，就说f(x)＝x2在区间[0，＋∞)上是单调递增的．）追问2：如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2的函数值随自变量的增大而增大”？（借助软件，在y轴右侧任意改变A，B的位置，只要点A的横坐标大于点B的横坐标，就会有点A的纵坐标大于点B的纵坐标．将图象上的规律用函数的解析式表示出来，就可以得到函数f(x)＝x2在区间[0，＋∞)上满足：若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＜f(x2)．）追问3：虽然上述改变A，B的位置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论f(x1)＜f(x2)的正确性，你能尝试着给出它的证明吗？（∀x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根据不等式的性质7就可以得到f(x1)＜f(x2)．）追问4：你能类似地描述f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是减函数并证明吗？（若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＞f(x2)．证明：∀x1，x2∈(－∞，0]且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根据不等式的性质4和性质7就可以得到f(x1)＞f(x2)．）追问5：函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？（f(x)＝|x|在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－x2在区间(－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞)上是单调递减．）预设的答案：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（如图5）．如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减（如图6）．图5 图6 教师点拨：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．当函数f(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我们称它为增（减）函数．设计意图：在实例感知的基础上，借助函数图象，抽象出单调性的概念．从特殊到一般，从具体到抽象，从图象到符号，提升学生的直观想象和数学抽象核心素养．3．辨析概念问题5：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？师生活动：学生先独立思考举例，之后展示交流，老师指导总结．预设的答案：（1）不能，比如函数f(x)＝x2，当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时，符合∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，但f(x)在区间D上不是单调递增的．（2）f(x)＝x在整个定义域上单调递增；f(x)＝(x－1)2在区间(－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．设计意图：问题（1）加深单调性的概念中关键词“∀x1，x2∈D”的理解．问题（2）帮助学生理解单调性是函数的一种“局部性质”，完善对单调性概念的理解．4．单调性的简单应用例1根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．师生活动：学生结合初中的学习经验，可以利用函数图象得到该函数的单调性．老师引导学生寻找求解的依据——定义，根据定义将问题转化为考察当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)还是f(x1)＞f(x2)．进一步只需考察f(x1)－f(x2)与0的大小关系．预设的答案：解：函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R．∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(kx＋b)－(kx＋b)＝k(x1－x2)．由x1＜x2，得x1－x2＜0．所以①当k＞0时，k(x1－x2)＜0．于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．这时，f(x)＝kx＋b(k≠0)是增函数．②当k＜0时，k(x1－x2)＞0．于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．这时，f(x)＝kx＋b(k≠0)是减函数．设计意图：明确单调性的判定可以由函数图象获得，但是证明必须借助定义完成．掌握应用定义证明单调性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养．例2 物理学中得玻意耳定律p ＝k V（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试对此用函数的单调性证明．师生活动：学生先将物理问题转化为数学问题，即证明函数p ＝k V（k 为正常数）在区间(0，＋∞)上单调递减．预设的答案：证明：任取V 1，V 2∈(0，＋∞)，且V 1＜V 2，则p 1－p 2＝k V 1－k V 2＝k (V 2－V 1)V 1V 2， 由V 1，V 2∈(0，＋∞)，得V 1V 2＞0，由V 1＜V 2，得V 2－V 1＞0，又k ＞0，所以p 1－p 2＞0，即p 1＞p 2，所以函数p ＝k V（k 为正常数）在区间(0，＋∞)上单调递减． 也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大．追问：你能总结用定义证明函数f (x )在区间D 上的单调性的步骤吗？（第一步：在区间D 上任取两个自变量的值x 1，x 2∈D ，并规定x 1＜x 2，简记为“设元”；第二步：计算f (x 1)－f (x 2)，将f (x 1)－f (x 2)分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；第三步：确定f (x 1)－f (x 2)的符号．若f (x 1)－f (x 2)＜0，则函数在区间D 上单调递增；若f (x 1)－f (x 2)＞0，则函数在区间D 上单调递减．简记为“断号、定论”．）设计意图：体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以把握事物的变化规律．通过证明进一步熟悉使用定义证明单调性的程序，并通过追问让学生总结出证明单调性的基本步骤，提升学生的数学抽象素养．例3 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上的单调递增． 师生活动：学生根据例1、例2的经验独立完成，然后展示交流，老师针对书写规范、变形技巧做重点的纠正和讲解．预设的答案：证明：∀x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，有y 1－y 2＝(x 1＋1x 1 )－(x 2＋1x 2 )＝(x 1－x 2)＋(1x 1 －1x 2) ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2 )＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1＞1，x 2＞1，所以x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0．由x 1＜x 2，得x 1－x 2＜0，于是(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)＜0，即y 1＜y 2． 所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上的单调递增． 追问：你能用单调性定义探究y ＝x ＋1x 在整个定义域内的单调性吗？（y ＝x ＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，在y 1－y 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)中，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，所以当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1＜0，则y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2，所以y ＝x ＋1x 在区间(0，1)上单调递减．同理可得，函数y ＝x ＋1x在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减．）设计意图：通过例3掌握用定义证明单调性的步骤，培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性．通过追问体会除了可以用定义法证明单调性外还可以用定义去探索单调区间，感受定义的力量．四、归纳小结，布置作业问题6：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）什么是函数的单调性？用定义证明单调性的步骤是怎样的？（2）你能总结研究单调性的过程和方法吗？师生活动：学生叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念．交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．预设的答案：（1）略．（2）先画函数图象并观察图象上点的坐标变化趋势，得到单调性定性的叙述；再用数学符号准确表示，得到单调性的定量刻画；最后应用概念作判定与证明，在应用中掌握概念的本质．设计意图：通过梳理本节课的内容，不仅让学生明确本节课的内容，还能让学生对研究函数性质有初步的方法论认识．作业布置：教科书习题3.2第1，2，3，6，8，9题．五、目标检测设计1．请根据右图描绘某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．设计意图：考查单调性的定义．2．根据定义证明函数f (x )＝3x ＋2是增函数．设计意图：考查增函数的定义．3．证明函数f (x )＝－2x在区间(－∞，0)上单调递增． 设计意图：考查用定义证明单调性．4．画出反比例函数y ＝k x的图象． （1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论．设计意图：考查单调性的判定与证明．参考答案：1．在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低．2．任取x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，因为f (x 1)－f (x 2)＝3(x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝3x ＋2在R 上是增函数．3．任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 2 －2x 1 ＝2(x 1－x 2)x 1x 2， 因为x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝－2x在区间(－∞，0)上单调递增．4．图象略．（1）(－∞，0)∪(0，＋∞)．（2）当k ＞0时，y ＝k x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；当k ＜0时，y ＝k x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．证明如下：当k ＞0时，任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝k (x 2－x 1)x 1x 2， 因为x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )＝－2x在区间(－∞，0)上单调递减．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝k (x 2－x 1)x 1x 2， 因为x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )＝－2x在区间(0，＋∞)上单调递减．k同理可证：当k＜0时，y＝x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．。

《函数的基本性质（第三课时）》教学设计◆教学目标1．能类比单调性的探究思路，抽象出函数奇偶性的定义，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养；了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，能从函数图象直观判断函数是否具有奇偶性．2．能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；能利用函数的奇偶性帮助画函数图象和计算函数值，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．教学难点：“图象关于y轴（原点）对称”转化为定量的符号语言．◆课前准备用软件制作动画；PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：观察图1中的两个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？图1师生活动：学生观察容易发现这两个图象都有对称性，老师顺势引出课题．预设的答案：图象的共同特征是它们都有对称性．设计意图：直接引出课题，形成对函数奇偶性的直观感受．引语：单调性是刻画函数变化趋势的一个性质，那么奇偶性就是刻画函数对称性的一个性质．本节课我们一起来学习函数的奇偶性．（板书：奇偶性）二、新知探究1．确定研究思路问题2：类比函数单调性的探究思路，你能说说如何研究奇偶性吗？师生活动：学生回忆单调性的探究思路，老师在学生回答的基础上进行补充．预设的答案：先分析具体函数的图象特征（对称性），获得函数奇偶性的直观定性认识，然后利用动图或表格研究发现数量变化特征，再用符号语言定量刻画，抽象出奇偶性的定义，设计意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数性质的一般方法．2．定性刻画偶函数问题3：观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2－|x|的图象（图2），思考以下问题：图2（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）你能用符号语言描述该特征吗？师生活动：问题（1）学生容易回答，但是观察流于表面，并不能进行深入的分析，所以直接回答问题（2）对学生来说难度较大，老师进行追问（追问1、追问2和追问3），启发学生深入思考，直至完成问题（2）．追问1：宏观上看，这两个图象关于y轴对称；微观上看，除了y轴上的点，其余的点都是成对出现．任取函数f(x)＝x2的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗？（若点A在y轴上，则对称点就是它本身；若点A不在y轴上，过A作y轴的垂线与函数图象交于另一点A′，此时点A与点A′就是一组对称点．）追问2：你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？（横坐标相反，纵坐标相同（如图3）．借助动态作图软件，老师在函数f(x)＝x2的图象上任意改变点A的位置，学生们随时观察点A与点A′的坐标，可以很清楚地找到规律．）追问3：你能用函数语言描述该特征吗？（当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．）预设的答案：（1）这两个的图象都关于y轴对称．（2）∀x∈R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．教师点拨：∀x∈R，f(－x)＝f(x)，这时称函数f(x)＝x2为偶函数．追问4：你能仿照上述过程，说明函数g(x)＝2－|x|也是偶函数吗？（首先，图象关于y轴对称，任取图象上的一组关于y轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标相同（如图4）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，相应的函数值相等，即：∀x ∈R，g(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝g(x)，g(x)＝2－|x|是偶函数．）教师点拨：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数就叫做偶函数．追问5：“∀x ∈I ，都有－x ∈I ”说明定义域I 具有什么性质？（定义域关于原点对称．） 设计意图：以具体的函数为例，先借助图象直观感受偶函数的特征，定性刻画偶函数；再将图形语言转化为符号语言，实现定量偶函数的目标，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养．3．定量刻画奇函数问题4：观察函数f (x )＝x 和g (x )＝1x 的图象（图5），思考以下问题：（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）你能用符号语言描述该特征吗？师生活动：此处的活动与问题3的大致相同，学生类比完成．图5教师点拨：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数就叫做奇函数．设计意图：类比定量刻画偶函数的过程，不仅得到奇函数的定量刻画，而且能熟悉研究函数性质的路径与方法．4．奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性： （1）f (x )＝x 4； （2）f (x )＝x 5；（3）f (x )＝x ＋1x ； （4）f (x )＝1x2．师生活动：老师引导学生寻找判定的依据——定义，根据定义，求出函数的定义域I 后，需要判断两个条件：（1）∀x ∈I ，－x 是否属于I ；（2）f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立，只有（1）、（2）同时成立，才能判断函数的奇偶性．预设的答案：解：（1）函数f (x )＝x 4的定义域为R ．∀x ∈R ，都有－x ∈R ，且f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )， 函数f (x )＝x 4为偶函数． （2）函数f (x )＝x 5定义域为R ．∀x ∈R ，都有－x ∈R ，且f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )， 函数f (x )＝x 5为奇函数．追问1：你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗？（第一步，求函数的定义域I ．第二步，判断定义域是否关于原点对称．若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，∀x ∈I ，计算f (－x )．若f (－x )＝f (x )，则为偶函数；若f (－x )＝－f (x )，则为奇函数；若f (－x )与f (x )既不相等也不相反，则既不是奇函数也不是偶函数．）追问2：思考（1）判断函数f (x )＝x 3＋x 的奇偶性．（2）图8是函数f (x )＝x 3＋x 图象的一部分，你能根据f (x )的奇偶性画出它在y 轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道y ＝f (x )为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？（（1）∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－（x3＋x）＝－f(x)，函数f(x)＝x3＋x为奇函数．（2）因为是奇函数，所以图象关于原点中心对称，我们可以先将图象沿着y轴翻折，再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的图象（图9）．（3）一般我们只需要研究y轴一侧的性质，然后根据对称性推断得到它在整个定义域内的性质．）设计意图：例1和追问1帮助学生掌握应用定义判定奇偶性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养．追问2让学生利用函数的奇偶性画函数的图象，体会奇偶性对于研究函数性质时的简化作用，提升学生的直观想象素养．三、归纳小结，布置作业问题5：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）什么是奇（偶）函数？用定义判定奇偶性的步骤是怎样的？（2）请你比较奇函数的定义与偶函数的定义，说说这两者的异同．师生活动：师生一起总结．预设的答案：（1）概念和步骤略；（2）相同点：①定义域关于原点对称；②都是函数的整体性质．不同点：①偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图象关于原点对称；②当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相同，而奇函数的函数值相反．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确函数奇偶性的内涵和判定．作业布置：教科书习题3.2第5，11，12，13题．四、目标检测设计1．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整．设计意图：训练学生根据奇偶性补全函数图象的能力，考查奇偶性的定义．2．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝2x4＋3x2；（2）f(x)＝x3－2x．设计意图：考查奇偶性的定义．3．（1）从偶函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）从奇函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．设计意图：通过证明符号语言与图象语言的等价性，深化理解奇偶性的定义．参考答案：1．略．2．（1）偶函数．（2）奇函数．3．（1）充分性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)．因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点Q(－x，y)也在函数f(x)图象上，即y＝f(－x)，所以对任意的x，都有f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数．必要性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)．记点P关于y轴对称点为Q，则Q(－x，y)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即y＝f(－x)，所以点Q 在函数图象上，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．（2）类比（1）中的证明过程可证．。

31-ξ函数的基本性质1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）,能应用函数的基本性质解决一些问题。

（2)从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念，回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。

（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

一、 函数的单调性 1．单调函数的定义(1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

2、单调性的判定方法 （1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy =（2）图像法：从左往右,图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈,],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数.①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同. 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。

1.3.1 单调性与最大（小）值（1）教学目的：使学生掌握增函数、减函数、单调区间的概念，会根据图象说出函数的单调区间，并指出在单调区间内函数的增减性。

会证明函数的单调性。

教学重点：根据函数图象说出函数的单调区间，并指出增减性。

教学难点：函数单调性的证明。

教学过程：一、新课引入函数是描述事物运动变化规律的数学模型，观察P32图1.3－1的三个图，说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律。

（注意由左到右看，函数怎样变化？）f（x）＝x的图象是上升的，f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，f（x）＝x2的图象在y轴右侧是上升的，f（x）＝x在（－∞，＋∞）上，f（x）随着x的增大而增大f（x）＝x2在（－∞，0］上，f（x）随着x的增大而减小f（x）＝x2在（0，＋∞）上，f（x）随着x的增大而增大f（x）＝x2在（0，＋∞）上，当x1＜x2时，有f(x1)＜(x2),这时说函数f（x）＝x2在区间（0，＋∞）上是增函数。

f（x）＝x2在（－∞，0］上，当x1＜x2时，有f(x1)＞(x2)，f（x）在（－∞，0］上是减函数。

2、增函数、减函数的定义一般地，设函数f （x ）的定义域为I 。

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有 f(x 1)＜(x 2),那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数（increasing function ）.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有 f(x 1)＞(x 2),那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数（decreasing function ）.区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。

3、函数的单调区间例1、下图中是定义在区间［－5,5］上的函数y＝f （x ），根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ k5、作业：P45 1、2、3、41.3.1 单调性与最大（小）值（2）教学目的：使学生进一步掌握函数的单调性，理解函数的最大值和最小值的意义，会求函数的最大值和最小值。