函数的极值习题课

第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。

极大值与极小值学案练习题
§1.3.2 极大值与极小值(1)
一、知识点
1.通过几何直观得到极大(小)值与导数的关系，了解极值和极值点是函数的局部性态，仅考虑该点与附近的点之间的比较，而不是在所给的整个区间或定义域范围。

2.一般地，求函数的极值的方法是：
⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
⑶如果在附近的左侧及右侧不变号，那么一定不是极值。

二、典型例题
例1.求下列函数的极值：
⑴ ⑵
例2.求函数在区间内的极值。

三、巩固练习
1.求下列函数的极值
⑴ ；
2.如果函数有极小值，极大值，那么一定小于吗？试作图说明根据下列条件大致作出函数的图象：
⑴ ，，当时；当时，；
⑵ ，当时， .
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.已知函数的导数则当 = 时，函数取得极大值；
2.函数的极大值是，极小值是；
3.函数，当 = 时取得极大值为；当 = 时，取得
极小值为；函数在区间上是单调递减的，在区间上
是单调递增的，当 = 时，取极小值，则极小值为；
5.求下列函数的极值：
⑴ ⑵
⑶ ⑷求函数的极值。

7.已知函数的图象如图所示，试作出的草图.
订正栏：。

5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值基础达标一、选择题1.(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A.－3是f(x)的一个极小值点B.－2和－1都是f(x)的极大值点C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)解析当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.答案ACD2.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为()A.－eB.1－eC.－1D.0解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.答案C3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.[1，4)D.(1，4)解析f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.答案A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函数的极小值点D.x＝2是函数的极小值点解析由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A 错，B正确；C错，D正确.故选：BD.答案BD5.若函数f(x)＝e x－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)解析由题意知f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0，1).故选B.答案B二、填空题6.(多空题)函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又当x ＝1时有极值－2， ∵f ′(1)＝3a ＋b ＝0，① a ＋b ＝－2，②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴故答案为1，－3.答案 1 －37.函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8.函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ， 所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点. 答案 0 三、解答题9.求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值. 解 函数的定义域为R .f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.解(1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－（x－1）（x－2）3x.当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.能力提升11.函数f(x)＝e x(x－a e x)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则实数a的取值范围是________.解析∵函数f(x)＝e x(x－a e x)，∴f′(x)＝(x＋1－2a e x)e x.∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根.令x ＋1－2a e x ＝0，可知a ≠0， ∴x ＋12a ＝e x .设y 1＝x ＋12a (a ≠0)，y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a >1，解得0<a <12，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数.故x ＝1是f (x )的极小值，所以f (x )在x ＝1处取得极小值12.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x ＝－（x －1）（2x 2＋x ＋1）x .显然由2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78及x >0可知，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )≤F (1)<0，即F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立.因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方.创新猜想13.(多选题)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是( ) A.xf (x )在(1，＋∞)单调递增 B.xf (x )在(1，＋∞)单调递减 C.xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12 D.xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12解析 由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x >0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，即[xf (x )]′＝ln xx ，设g (x )＝xf (x )，由g ′(x )＝ln xx >0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0，1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12，故选AD. 答案 AD14.(多选题)设x 3＋ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( ) A.a ＝－3，b ＝2B.a ＝－3，b ＝－3C.a＝－3，b>2D.a＝1，b＝2解析记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD.答案BCD。

N O 2利用导数研究函数的极值与最值习题课利用导数研究函数的极值与最值班级 姓名 学号 【精讲点拨】例1.（1）若函数)11(1)(+--+=x x a x x f 在1=x 处取得极值,则实数a 的值为 .（2）函数2()3ln f x x x x =-+在x = 处取得极大值．（3）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a=（ ）(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2变式1：已知函数xx a x f ln )(+=，曲线)(x f 在点（e ，)(e f ）处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若)(x f 在（m ，1+m ）上存在极值，求实数m 的取值范畴；NO.2例2、已知函数()1x a f x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值;(2)求函数()f x 的极值;变式2：已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.例3：已知函数()ln f x ax b x =+-（其中a b ∈R ，）表示的曲线在点(2(2))f ，处的切线方程为22ln 20x y --=．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）若()2f x kx -≥关于(0)x ∈+∞，恒成立，求实数k 的取值范畴；【巩固练习】1．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范畴是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞2.设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点3、函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________4、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是5、已知函数()()0ln 1>+-=a x axx x f .（1）若函数 ()x f 在[)+∞,1上为增函数，求正实数a 的取值范畴。

2.6.2函数的极值（讲义+典型例题+小练）函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。

②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。

③求极值的步骤： 第一步：求导数'()f x ；第二步：求方程'()0f x =的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化， 若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。

例：1．函数()1f x x x=+的极大值点为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．不存在【答案】B 【解析】 【分析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解. 【详解】 令221(1)(1)()10x x f x x x -+'=-==，得1x =±， 因为1x <-时，()0f x '>，10x -<<时，()0f x '<，所以1x =-时()f x 有极大值； 当01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，所以1x =时()f x 有极小值.故选：B2．函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值点为1x ，4xB ．()f x 的极大值点为2xC ．()f x '有唯一的极小值D ．函数()f x 在(),a b 上的极值点的个数为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象直接判断即可. 【详解】由图像可知，()f x 的极小值点为5x ，极大值点为3x ，故A ，B 选项错误；1x ，4x 为()f x '的极小值点，故C 错误；由极值点的概念知函数()f x 在(),a b 上的极值点是3x ，5x ，个数为2，D 正确； 故选：D.3．已知函数()21x x x f x e ++=，则()f x 的极小值为___________.【答案】1 【解析】 【分析】根据导数判断函数的单调性，进而求得极小值. 【详解】由()21x x x f x e ++=，得()()()()()222111x x x x x e x x e x x f x e e +-++--'==， 令()0f x '=，解得0x =或1x =，故函数()f x 在(),0∞-，()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增， 故函数()f x 在0x =时取极小值()01f =， 故答案为：1.4．已知函数322()(23)f x x ax a x a =+-++，a R ∈. (1)若2a =-时，求：函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x =在1x =-处的切线与直线20x y -=平行，求：实数a 的值. 【答案】(1)极大值11227，极小值4 (2)12a =-【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，令()0f x '=，即可得到x 、()'f x 与()f x 的关系表，从而求出函数的极值；（2）求出函数的导函数，再根据()12f '-=得到方程，解得即可； (1)解：因为2a =-， 则32()24f x x x x =-++，所以()()2()341311f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得121,13x x ==.x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1()1,+∞()'f x+-+()f x单调递增极大值 单调递减 极小值 单调递增当13x =时，()f x 取极大值，32111111224333327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即函数的极大值为11227，当1x =时，()f x 取极小值，()14f =，即函数的极小值为4； (2)解：因为()()32223f x x ax a x a =+-++，所以()()23223f x x ax a '=+-+，因为直线20x y -=的斜率2k =，即()()()22312123a a =⨯-+⨯--+， 解得12a =-.举一反三1．已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．函数()f x 的极大值为1e，无极小值B ．函数()f x 的极小值为1e，无极大值C ．函数()f x 的极大值为0，无极小值D ．函数()f x 的极小值为0，无极大值【答案】A 【解析】 【分析】利用导数来求得()f x 的极值. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'21ln xf x x -=， ()f x 在()()()'0,e ,0,f x f x >递增；在()()()'e,,0,f x f x +∞<递减， 所以()f x 的极大值为()1e ef =，没有极小值.故选：A2．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]m 有且仅有2个极值点，则 m 的取值范围是（ ） A ．47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．47,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．710,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．710,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的性质，结合余弦型函数的性质、极值的定义进行求解即可. 【详解】由()()'sin cos 0()6662f x x f x x x k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫=+⇒=+=⇒+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3x k k Z ππ⇒=+∈，因为()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]m 有且仅有2个极值点，所以令0,1,2k =，解得47,,333πππ，因此有4733m ππ≤<， 故选：A3．已知函数()2e xx af x -=，1x =是函数()f x 的一个极值点，则=a ______． 【答案】无解 【解析】 【分析】根据极值点处的导函数值为零，然后再检验极值点是否存在即可求解. 【详解】因为()2e x x a f x -=，则()2e 2x x x x af +-+'=，由于1x =是函数()f x 的一个极值点，所以()221101e xaf a -+'==⇒=-+，当1a =-时，()221(1)0e 2e x x x x x f x ----=+'=≤，因此函数()f x 在R 上单调递减，函数()f x 无极值，故不存在满足条件的a 值. 故答案为：无解4．设函数()322f x x x x =+--.(1)求()f x 在2x =-处的切线方程； (2)求()f x 的极小值点和极大值点. 【答案】(1)7100x y -+=；(2)极大值点1x =-，极小值点13x =.【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；（2）利用导数研究f (x )的单调性，判断函数的极值点即可． (1)函数32()2f x x x x =+--，函数的导数为2()321f x x x '=+-．(2)12417f '-=--=，(2)84224f -=-++-=-，()f x 在2x =-处的切线方程：47(2)y x +=+，即7100x y -+=．(2)令()0f x '=，23210x x +-=，解得113x =，21x =-．当113x -<<时，可得()0f x '<，即()f x 的单调递减区间1(1,)3-，1x <-或13x >，可得()0f x '>，∴函数单调递增区间(,1)-∞-，1(3，)∞+．()f x ∴的极大值点1x =-，极小值点13x =． 5．设a ∈R ，函数()()()322112132x a a x x x a f =-+++.(1)若函数()()()0f x g x x x'=≠为奇函数，求实数a 的值；(2)若函数()f x 在2x =处取得极小值，求实数a 的值. 【答案】(1)12-(2)1 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，根据奇函数的概念得到210a --=，即可求出结果；（2）利用导数求出函数的单调区间，进而求出极小值点，可得12a +=，即可求出结果. (1)由已知，得()()2221f x x a x a a '=-+++，()()221f x a ag x x a x x '+==+--，0x ≠，∵()()()0f x g x x x'=≠为奇函数，∵0x ∀≠，()()0g x g x -+=，即210a --=，∵12a =-；(2)()()()()22211f x x a x a a x a x a '=-+++=--+⎡⎤⎣⎦，当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表： x(),a -∞a(),1a a +1a +()1,a ∞++()f x '+-+()f x极大值极小值∵12a +=，∵1a =.巩固提升一、单选题1．已知函数()sin f x x ax =+在3x π=处取得极值，则=a （ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处导函数为零可求解. 【详解】因为()sin f x x ax =+，则()cos f x x a '=+，由题意可知1()cos 0332f a a ππ'=+=⇒=-.经检验满足题意故选：B2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间(1,1)-上，函数()f x 是增函数B ．在区间(3,2)-上，函数()f x 是减函数C ．2-为函数()f x 的极小值点D ．2为函数()f x 的极大值点【答案】D【分析】根据导函数与原函数的关系可求解. 【详解】对于A ，在区间(1,0)-，()0f x '<，故A 不正确； 对于B ，在区间(3,2)--，()0f x '>，故B 不正确；对于C 、D ，由图可知()f x 在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且(2)0f '=，所以2-为函数()f x 的极大值点，故C 不正确，D 正确. 故选：D3．已知函数()3221f x x x x =-+-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值为2-B ．()f x 的极大值为2327-C ．()f x 在区间1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在区间(),0-∞上单调递减【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值. 【详解】因为()3221f x x x x =-+-，所以()2341f x x x '=-+，令()0f x '>，得1x >或13x <；令()0f x '<，得113x <<；所以()f x 在区间()1,+∞，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在13x =处有极大值，极大值为123327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；在1x =处有极小值，极小值为()11f =-. 故选：B.4．函数32()f x x ax bx =-+在1x =处有极值为4，则-a b 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．6 D ．6-【答案】B【分析】根据函数在1x =处有极值为4，由()01f '=，(1)4f =求解. 【详解】因为函数32()f x x ax bx =-+， 所以2()32f x x ax b '=-+，所以(1)320f a b '=-+=，(1)14f a b =-+=， 解得a =6,b =9，-a b =-3，故选：B5．已知三次函数()3221()(41)152723f x x m x m m x =--+--+在定义域R 上无极值点，则m的取值范围是（ ） A ．(,2)(4,)-∞+∞ B ．(,2][4,)-∞+∞ C ．[]2,4 D ．()2,4【答案】C 【解析】 【分析】求得()'f x ，结合0∆≤来求得m 的取值范围.【详解】22()2(41)1527f x x m x m m '=--+--，()f x 在定义域R 上无极值点，()'0f x ∴≥在R 上恒成立，即22(41)--+x m x 215270--≥m m 在R 上恒成立，()(()()()222Δ44141527)4684240m m m m m m m ∴=----=-+=--≤， 解得24m ≤≤. 故选：C6．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π4x =对称，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上恰有3个极大值点，则ω的值等于（ ）A ．1B ．3C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得ω的值. 【详解】 依题意π0,2ωϕ><， ()f x 的图象关于π4x =对称，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上恰有3个极大值点，所以12πππ42ππ42π3πk k T T ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎪-+=⎨⎪<⎪⎪≥⎩，其中12,Z k k ∈，所以()12πππ22π2ππ32k k ωω⎧=-+⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，()122146k k ωω⎧=-+⎨<≤⎩ ， 所以5ω=. 故选：C 二、多选题7．已知函数f （x ）=（x -a ）（x -3）2，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】ABC 【解析】 【分析】求得导数函数()(3)(332),f x x x a '=---只需3233a+>即可满足题意. 【详解】2()()(3),f x x a x =--∴22()(3)()(3)(3)(332),f x x x a x x x a '=---=--+-令 ()0f x '=，则3x =或323ax +=， 当3233a +>时，即3a >时，()f x 在(),3-∞单调递增，323,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，32,3a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，此时，当x =3时，f （x ）有极大值， 则a 的取值可以是4,5,6. 故选：ABC.8．已知函数()e xxf x =，下列说法正确的有（ ） A ．312ef ⎛⎫⎪⎭= ⎝B ．()f x 只有一个零点C ．()f x 有两个零点D ．()f x 有一个极大值点【答案】BD 【解析】 【分析】根据解析式得出32f ⎛⎫⎪⎝⎭；由()0f x =判断BC ；由导数判断D.【详解】332233322e 2e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误；()0,0e xx f x x ===，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确，C 错误；1()e x xf x -'=，()01f x x '>⇒<，()01f x x '<⇒>，即函数()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x 有一个极大值点，故D 正确；故选：BD 三、填空题9．已知函数2()exx x af x +-=在1x =处取得极值，则()f x 的极小值___________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出导函数，由极值点确定参数a 的值，再根据导数与单调性的关系得极值． 【详解】21()e xx x a f x -+++'=， ()f x 在1x =处取得极值，则1(1)0ea f +'==，1a =-， 21()e xx x f x ++=，2(1)()e e x xx x x x f x -+--'==， 0x <或1x >时，()0f x '<，01x <<时，()0f x '>，()f x 在(,0)-∞和(1,)+∞上递减，在(0,1)上递增，因此0x =时，()f x 取得极小值0001(0)1e f ++==， 故答案为：110．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】3,3⎡-⎣【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m 的取值范围. 【详解】f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋1.由题意得Δ＝4m 2－12≤0，解得33m ≤，即实数m 的取值范围是3,3⎡-⎣.故答案为：3,3⎡-⎣四、解答题11．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调增区间和极值． 【答案】(1)12a =-，2b =-(2)函数的单调递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数的极大值是249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，函数的极小值是12-.【解析】 【分析】（1）利用导数与极值点的关系，求得,a b 后，再检验；（2）首先求c ，再利用导数和函数单调性，极值的关系，即可求解. (1)()232f x x ax b '=++，由条件可知()10f '=和203f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，即32044033a b a b ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：12a =-，2b =-，所以()32122f x x x x c =--+， 检验：()()()232132f x x x x x '=--=-+x2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 23-2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1()1,+∞f x+-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增经检验1x =与23x =-时，都取得极值，满足条件，所以12a =-，2b =-；(2)()1311222f c -=--++=，解得：1c =，所以()321212f x x x x =--+()()()232132f x x x x x '=--=-+x2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 23-2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1()1,+∞f x+0 -+()f x单调递增极大值4927单调递减极小值12-单调递增有表可知，函数的单调递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数的极大值是249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，函数的极小值是12-.12．已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值.(1)求a ，b 的值； (2)求函数()f x 的单调区间. 【答案】(1)12a =-，2b =-(2)单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞；单调减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据极值点以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b . （2）结合导数求得()f x 的单调区间. (1)()'232f x x ax b =++，依题意221133,222133a a b b ⎧-+=-⎪⎪⇒=-=-⎨⎪-⨯=⎪⎩.验证满足题意 (2)由（1）得()()()'232132f x x x x x =--=-+，所以()f x 在区间()()()'2,,1,,0,3f x f x ⎛⎫-∞-+∞> ⎪⎝⎭递增，在区间()()'2,1,0,3f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭递减.即()f x 的单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞；单调减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

数学课程函数极值问题练习题及答案函数极值问题是数学课程中的一个重要概念，它与函数的最大值和最小值有关。

在这里，我们将提供一些函数极值问题的练习题及其解答，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一概念。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4在定义域[-1, 3]上的极值。

解答：首先，我们需要求函数的导数f'(x)。

对于给定的函数，我们有：f'(x) = 3x^2 - 6x然后，我们需要找到导数的零点，即f'(x) = 0的解。

解方程3x^2 - 6x = 0可以得到两个解x = 0和x = 2。

这些解将定义函数的极值的可能位置。

接下来，我们需要求解函数在这些位置的函数值。

我们计算f(0)和f(2)得到：f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = -2因此，函数f(x)在定义域[-1, 3]上的极小值为-2，极大值为4。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 2x的极值。

解答：首先，我们需要求函数的导数g'(x)。

对于给定的函数，我们有：g'(x) = e^x - 2然后，我们需要找到导数的零点，即g'(x) = 0的解。

解方程e^x - 2 = 0可以得到一个解x = ln(2)。

这个解将定义函数的极值的可能位置。

接下来，我们需要求解函数在这个位置的函数值。

我们计算g(ln(2))得到：g(ln(2)) = e^(ln(2)) - 2(ln(2)) = 2 - 2ln(2) ≈ -0.6137因此，函数g(x)的极小值为-0.6137。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 4x^3的极值。

解答：首先，我们需要求函数的导数h'(x)。

对于给定的函数，我们有：h'(x) = 4x^3 - 12x^2然后，我们需要找到导数的零点，即h'(x) = 0的解。

第3章 §1 第2课时 函数的极值A 级 基础巩固一、选择题1．关于函数的极值,下列说法正确的是( D ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数[解析] 对于f(x)＝x 3,f′(0)＝0,但x ＝0不是f(x)的极值点,故A 不正确．极小值也可能大于极大值,故B 错,C 显然不对．2．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7( A )A ．在x ＝－1处取得极大值17,在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17,在x ＝3处取得极大值－47C ．在x ＝－1处取得极小值－17,在x ＝3处取得极大值47D ．以上都不对[解析] y′＝6x 2－12x －18,令y′＝0,解得x 1＝－1,x 2＝3.当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况见下表：∴当x 3．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] y′＝x 3－x 2＝x 2(x －1),由y′＝0得x 1＝0,x 2＝1. 当x 变化时,y′、y 的变化情况如下表故选4．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列,且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b,c),则ad 等于( A ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－2[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列,∴ad ＝bc, 又(b,c)为函数y ＝3x －x 3的极大值点, ∴c ＝3b －b 3,且0＝3－3b 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2.5．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确．．．．．的序号是( B )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④[解析] 对于③,f(x)在原点附近为增函数,∴f′(x)>0,而图像中当x>0时,f′(x)<0,∴③一定不正确；对于④,同理,导函数开始应在x 轴上方,④一定不正确,故选B.6．(2019·福州高二检测)函数f(x)＝x ＋1x 的极值情况是( D )A ．当x ＝1时,极小值为2,但无极大值B ．当x ＝－1时,极大值为－2,但无极小值C ．当x ＝－1时,极小值为－2,当x ＝1时,极大值为2D ．当x ＝－1时,极大值为－2；当x ＝1时,极小值为2 [解析] 函数定义域为{x|x≠0}, ∵f′(x)＝1－1x 2,令f′(x)＝0,解x ＝±1,∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,＋∞)上单调递增,在(－1,0)和(0,1)上单调递减,当x ＝－1时,极大值为－2,当x ＝1时,极小值为2.选D.二、填空题7．函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.[解析] y ＝f(x)＝xe x ⇒f ′(x)＝(1＋x)e x,令f ′(x)＝0⇒x ＝－1,此时f(－1)＝－1e ,函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.8．已知f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1,x 1,x 2是f(x)的两个极值点,且0<x 1<1<x 2<3,则实数a 的取值范围为(3,113).[解析] f ′(x)＝x 2－ax ＋2, ∴x 1,x 2是f ′(x)＝0的两个根, 由0<x 1<1<x 2<3,结合二次函数的性质得： ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝2>0，f ′(1)＝1－a ＋2<0，f ′(3)＝9－3a ＋2>0.解得3<a<113.三、解答题9．(2018·天津文,20)设函数f(x)＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3),其中t 1,t 2,t 3∈R,且t 1,t 2,t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0,d ＝1,求曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)若d ＝3,求f(x)的极值．[解析] (1)由已知,可得f(x)＝x(x －1)(x ＋1)＝x 3－x,故f ′(x)＝3x 2－1.因此f(0)＝0,f ′(0)＝－1.又因为曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y －f(0)＝f ′(0)(x－0),故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2. 故f ′(x)＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x)＝0,解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表：函数f(x)的极小值为f(t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3. 10．(2018·北京文,19)设函数f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x. (1)若曲线y ＝f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a ； (2)若f(x)在x ＝1处取得极小值,求a 的取值范围． [解析] (1)解：因为f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x,所以f ′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x, f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0,即(2a －1)e 2＝0,解得a ＝12.(2)解：由(1)得f ′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x＝(ax －1)(x －1)e x.若a>1,则当x ∈1a ,1时,f ′(x)<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x)>0. 所以f(x)在x ＝1处取得极小值． 若a≤1,则当x ∈(0,1)时,ax －1≤x－1<0, 所以f ′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点． 综上可知,a 的取值范围是(1,＋∞)．B 级 素养提升一、选择题1．(2019·日照高二检测)已知函数f(x)＝e x(sinx －cosx),x ∈(0,2017π),则函数f(x)的极大值之和为( B )A.e 2π(1－e 2016π)e 2π－1B.e π(1－e 2016π)1－e 2πC.e π(1－e 1008π)1－e2πD.e π(1－e 1008π)1－eπ[解析] f ′(x)＝2e xsinx,令 f ′(x)＝0得sinx ＝0,∴x ＝kπ,k ∈Z,当2kπ<x<2kπ＋π时,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当(2k －1)π<x<2kπ时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,∴当x ＝(2k ＋1)π时,f(x)取到极大值,∵x ∈(0,2017π), ∴0<(2k ＋1)π<2017π,∴0≤k<1008,k ∈Z.∴f(x)的极大值之和为S ＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2015π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2015π＝e π[1－(e 2π)1008]1－e2π＝e π(1－e 2016π)1－e2π,故选B. 2．对于三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0),给出定义：设f ′(x)是函数y ＝f(x)的导数,f″(x)是f ′(x)的导数,若方程f″(x)＝0有实数解x 0,则称点(x 0,f(x 0))为函数y ＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝13x 3－12x 2＋3x －512,则g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝( B )A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018[解析] 函数的导数g′(x)＝x 2－x ＋3, g″(x)＝2x －1,由g″(x 0)＝0得2x 0－1＝0,解得x 0＝12,而g(12)＝1,故函数g(x)关于点(12,1)对称,∴g(x)＋g(1－x)＝2,故设g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝m,则g(20162017)＋g(20152017)＋…＋g(12017)＝m,两式相加得2×2016＝2m,则m ＝2016.故选B. 二、填空题3．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值,在x ＝3处有极小值,则a ＝－3,b ＝－9.[解析] y′＝3x 2＋2ax ＋b,方程y′＝0有根－1及3,由韦达定理应有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3,b ＝－9符合题意．4．已知偶函数y ＝f(x),对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x)cos x ＋f(x)sinx>0(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有②③④.①2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ②2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4③f(0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3[解析] 令g(x)＝f (x )cosx,由已知得g′(x)＝f ′(x )cosx ＋f (x )sinx cos 2x >0,∴g(x)＝f (x )cosx 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递增,故得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,g(0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4, 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,f(0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,∴2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4,①错误,②正确；③正确；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,④正确． 三、解答题5．(2018·全国卷Ⅲ理,21)已知函数f(x)＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x)－2x. (1)若a ＝0,证明：当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时,f(x)＞0； (2)若x ＝0是f(x)的极大值点,求a.[解析] (1)证明：当a ＝0时,f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x, f ′(x)＝ln(1＋x)－x 1＋x.设函数g(x)＝f ′(x)＝ln(1＋x)－x 1＋x ,则g′(x)＝x(1＋x )2.当－1＜x ＜0时,g′(x)＜0；当x ＞0时,g′(x)＞0,故当x ＞－1时,g(x)≥g(0)＝0,且仅当x ＝0时,g(x)＝0,从而f ′(x)≥0,且仅当x ＝0时,f ′(x)＝0.所以f(x)在(－1,＋∞)单调递增．又f(0)＝0,故当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时, f(x)＞0.(2)解：(ⅰ)若a≥0,由(1)知,当x ＞0时,f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x ＞0＝f(0), 这与x ＝0是f(x)的极大值点矛盾． (ⅱ)若a ＜0,设函数h(x)＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x)－2x2＋x ＋ax2.由于当|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,2＋x ＋ax 2＞0, 故h(x)与f(x)符号相同．又h(0)＝f(0)＝0,故x ＝0是f(x)的极大值点, 当且仅当x ＝0是h(x)的极大值点． h′(x)＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2.若6a ＋1＞0,则当0＜x ＜－6a ＋14a ,且|x|＜f′min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＞0,故x ＝0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1＜0,则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0,故当x ∈(x 1,0),且|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＜0, 所以x ＝0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1＝0,则h′(x)＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2,则当x ∈(－1,0)时,h′(x)＞0；当x ∈(0,1)时,h′(x)＜0. 所以x ＝0是h(x)的极大值点,从而x ＝0是f(x)的极大值点． 综上,a ＝－16.6．已知函数f(x)＝12x 2＋alnx.(1)若a ＝－1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1,求证：在区间[1,＋∞)上,函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x 3的图像的下方．[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0,＋∞), 当a ＝－1时,f ′(x)＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ,令f ′(x)＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去),当x ∈(0,1)时,f ′(x)<0,因此函数f(x)在(0,1)上单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x)>0,因此函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增, 则x ＝1是f(x)的极小值点,所以f(x)在x ＝1处取得极小值为f(1)＝12.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x 2＋lnx －23x 3,则F ′(x)＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ,当x>1时,F ′(x)<0,故f(x)在区间[1,＋∞)上单调递减, 又F(1)＝－16<0,∴在区间[1,＋∞)上,F(x)<0恒成立, 即f(x)<g(x)恒成立．因此,当a ＝1时,在区间[1,＋∞)上,函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．C 级 能力拔高设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x, f′(x)≥m 恒成立,求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求a 的取值范围． [解析] (1)f′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2),由题意可知当x ∈(－∞,＋∞)时,f′(x)≥m 恒成立,即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立,所以Δ＝81－12(6－m)≤0,解得m≤－34,即m 的最大值为－34.(2)因为当x<1时,f′(x)>0；当1<x<2时,f′(x)<0； 当x>2时,f′(x)>0,所以当x ＝1时,f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时,f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时,f(x)＝0仅有一个实根, 解得a<2或a>52.。

一、单选题1. 若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（）A．B．C．D．2. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．3. 设函数（其中为自然对数的底数），则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．4. 已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（）A．B．C．D．5. 若过点可以作曲线的两条切线，则（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．二、多选题7. 已知定义在R上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的x可以是（）A．B．C．D．8. 以下数量关系比较的命题中，正确的是（）A．B．C．D．三、填空题9. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．10. 给出下列命题：①②③④其中正确命题的序号为__________．11. 已知，则不等式的解集为______.12. 已知a，b是实数，且，其中e是自然对数的底数，则与的大小关系是__．四、解答题13. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若时，关于的方程有唯一解，求的值；（3）当时，证明: 对一切，都有成立．14. 已知函数（），其中是自然对数的底数．（1）判断的单调性；（2）令，记为函数的零点，求证：；（3）令，，若对于，恒成立，求的取值范围．15. 已知函数．（1）若g（2）=2，讨论函数h（x）的单调性；（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x1，x2．①求b的取值范围；②求证：．16. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个不同零点，，①求实数a的取值范围；②求证：．。

y顼（x）的图象大致是（A. ( —, +8)B. (0, —)C. (0, +3) a aD. (0, a)A4. y = x2 - e~x（x > 0）的单调递增区间为B5.A6.1 0如果函数y = -x2+\nx-ax在定义域上为增函数，则a的取值范围是求函数y =上亍一m工的单调区间。

【学习目标】1、明确利用导函数研究原函数性质（如单调性、极值、最值）的方法；2、总结恒成立问题的求解思路：（1）转化为最值问题（2）分离参数。

［学法指导】运用导数研究函数的性质，题型丰富多样，在处理问题中应抓住以下几点：（1）抓住基本思路：即导函数的正负决定原函数的增减；要求函数在某段闭区间上的最值，先求极值和端点函数值再比较。

（2）对于复杂问题，要善于转化，将所给问题转化为研究某个函数的某个性质，再借助导函数模拟原函数的图像，数形结合分析、处理问题（3）以三次函数为载体，熟悉借助导数研究函数性质的方法。

考点一、导函数与单调性A1.已知函数y = VV）的图象如图［其中广⑴是函数f（x）的导函数1，下面四个图象中)函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( )2 gC7.已知函数f(x) = -x-(x2-3ax一一)(♦ c R),若函数f(x)在(1, 2)内是增函数，求3 2a的取值范围。

小结:(1)求函数/(X)的单调区间即解不等式,对于定义域不是R的函数在求单调区间时要先注意；(2)己知可导函数了0)在区间(",/?)单调递增，则Pxgb),都有r(i)Oo考点二、函数的极值和最值7A1.设函数/(x) = - + ln%,则( )xA. x=L为f(x)的极大值点B. x=L为f(x)的极小值点2 2C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点A2.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在［.2, 2］上有最小值.37,求a的值，并求f(x)在［.2, 2］上的最大值。