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（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。
解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k ∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。
解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。
(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)x-∞∈,(∞所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。
第一章 复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)（1）1-； （2）ππ2(cosisin )33-； （3）1cos isin αα-+；（4）1ie +； （5）i sin R e θ； （6）i +答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为4π2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π3；原题即为代数形式；三角形式为4π4π2(cosisin )33+；指数形式为4πi 32e ．（2）略为 5πi 35π5π2[cos sin ], 233i e +（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα（4）略为 i;(cos1isin1)ee e +（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+（6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+=+=+1.2 计算下列复数 1）()103i 1+-；2）()31i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k πi632e 0,1,2k +=；1.3计算下列复数（1 （2答案 （1（2）(/62/3)i n eππ+1.4 已知x 的实部和虚部．【解】令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到2212()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以即实部为 ,x ±虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值．1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以1.6 如果复数b a i +是实系数方程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根．证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()kkz z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．1.7 证明：2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.【解】 因为222244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n nnnn n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+1.10 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有1.11 对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成立。
P42T7 (3) Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 0uu xy∂∂==∂∂因为f(z)解析，C-R 条件成立。
故uu xy∂∂==∂∂即u=C2从而f(z)为常数. 5. |f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C ，对C 进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数. 若C ≠0，则f(z) ≠0,但2()()f z f z C⋅=，即u2+v2=C2 则两边对x,y 分别求偏导数，有220,220u v u v u v u v xxyy∂∂∂∂⋅+⋅=⋅+⋅=∂∂∂∂ 利用C-R 条件，由于f(z)在D 内解析，有u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂所以00u v u v x x u v v u x x ∂∂⎧⋅+⋅=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪⋅-⋅=⎪∂∂⎩所以0,uv xx∂∂==∂∂即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.P72T22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+(1)22u x y xy=-+ (2)22,(1)0y u f x y==+解 (1)因为 2ux y xyυ∂∂=+=∂∂2uy x yxυ∂∂=-+=-∂∂所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C yxxyxy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22xyf z x y xy xy C =-++-+++令y=0,上式变为 22()i()2xf x x C =-+从而 22()i i 2zf z z C=-⋅+(2)2222()uxyx x y ∂=-∂+ 22222()ux yyx y ∂-=∂+用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y xu u xy ydx dy C dx x dy C y xxx y xx yC xx yx yυ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰2222()i(1)y x f z C x yx y=+-+++由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭P42T13. 计算下列各值 (1) e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)(2)22π22i 33333ππ1ee ee cos i sin e 3322iπ--⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-+-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(3)()()2222222222i i222222R e eR e e eR e ecos i sin ecos x yx yxy x yx yx x yxx yy y x y x y y x y -+-++++=⋅⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⋅-+-⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭(4)()()i 2i 2i i22i 2ee ee e ex y x y xyx-+-+---=⋅=⋅=．15. 计算下列各值． (1)()()3ln 23i i arg 23i ln i πarctan 2⎛⎫-+-+=- ⎪⎝⎭(2)((ππln 3ln i arg 3ln i ln i66⎛⎫==-= ⎪⎝⎭(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i (4)()()πln ie ln e i arg ie 1i2=+=+17. 计算下列各值． (1)()()()()()1iπ1i i 2πi 1iln 1i 1i ln 1i 4ππi 2π44π2π4π2π41i e e eππe i ln 2π44e eππecos lni sin ln 44ππecos lni sin ln 44k k k k k -⎛⎫-⋅+ ⎪-+-⋅+⎝⎭⎛-+ ⎝+++====+-++=⋅⎡⎤⎛⎛=⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎡⎤⎛⎛=⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦(2)(()())()()(()()(5ln 33ln 3i π2πi 3π233ecos 21i sin 21cos 21πi sin 21k k k k k k --+⋅++-=====++=⋅++(3)()()iiln 1i ln 1i ln 1i 02πi i 2πi 2π1e eeeek k k ----⋅+⋅+-⋅=====()()()1i1iln 1i ln ππ1i ln 1i 2πi 1i 2πi i 44ππππi 2π2πi i 2π2π4444π2π4π2π4eee eeeeππe cos i sin 44()224e k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+-++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+- ⎪⎝⎭--======⋅⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭习题一p12t7 ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e50255i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2ei i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos i sin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：∵32π2πcos i sin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i932π2πcos i sin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosi sin0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cos i sini 6622=+=z ． 2551cosπi sin πi6622=+=-z3991cosπi sinπi 6622=+=--z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πi sin πcosi sin0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosi sin3322=+=+z2cos πi sin π1=+=-z3551cosπi sinπ3322=+=--z⑶的平方根．πi4e 22⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e 6cos i sin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos i sin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πi sin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z 习题二p42t66. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1)22()i f z xy x y=+解：22(,),(,)u x y xy v x y x y==在全平面上可微.22,2,2,y u v v y xy xy xxyxy∂∂∂∂====∂∂∂∂所以要使得u v xy∂∂=∂∂， uv yx∂∂=-∂∂,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (2) 22()i f z x y=+.解：22(,),(,)u x y x v x y y==在全平面上可微.2,0,0,2u u v v x yxyxy ∂∂∂∂====∂∂∂∂只有当z=0时,即(0,0)处有uv xy ∂∂=∂∂,u v yy∂∂=-∂∂.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (3) 33()23i f z x y=+;解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y==在全平面上可微.226,0,9,u u v v x y xyxy∂∂∂∂====∂∂∂∂=时，才满足C-R 方程.从而f(z)0±=处可导，在全平面不解析. (4)2()f z z z=⋅.解：设i z x y =+，则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y=+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y xxyxy∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂所以只有当z=0时才满足C-R 方程. 从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.T88. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值. 解：因为f(z)解析，从而满足C-R 条件.222,3u u nxy m y nx x y∂∂==+∂∂223,2v v x ly lxyx y∂∂=+=∂∂u v n lx y∂∂=⇒=∂∂3,3u v n l myx∂∂=-⇒=-=-∂∂所以3,3,1n l m =-=-=. 习题三 p7011. 计算积分21zCedzz +⎰ ,其中C 为 (1)1z i -= (2)1z i += (3)2z =解 (1)221()()zzziz iCCeeedz dz i ez z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰(2) 221()()zzziz iCCeeedz dz i ez z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)122222sin 1111zzziiCC C eeedz dz dz e ei z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰T12 T13 T14 自己求。
习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin22ii i eπππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。
