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求函数的解析式（1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式．（2）换元法：已知(())()f h x g x =求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，带入()g x 进行换元，求出()f t 的解析式，再将t 替换为x 即可，注意新元t 的取值范围．（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．（4）解方程组法：已知关于()f x 与1()f x （或()f x -）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程，构成方程组求出()f x ．练习题：答案解析：6解析：设2()(0)f x ax bx c a=++≠，则22(1)()(1)(1)()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b+-=++++-++=++由题意可知(0)122f caa b==⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得111abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩2()1f x x x∴=-+．答案：21x x=-+7解析：13()5()21f x f xx+=+…………①用1x替换x得123()5()1f f xx x+=+……②35①-②⨯⨯得1016()62f x xx-=--即153()888xf xx=+-．答案：153()888xf xx=+-8解析：()2()31f x f x x--=-…………①用x-替换x得()2()31f x f x x--=--……②两式联立解得()1f x x=+．答案：A数学浪子整理制作，侵权必究。
高中函数解方程练习题在高中数学中，函数解方程是一个重要的知识点。
解函数方程需要通过一系列的步骤和方法来得到准确的解答。
本文将为大家提供一些高中函数解方程的练习题，希望能帮助大家提高解方程的能力。
1. 解方程：2x - 5 = 7首先，我们将方程整理成一般形式：2x - 5 = 72x = 7 + 52x = 12然后，将方程两边同时除以2：x = 12/2x = 6所以，方程的解为x = 6。
2. 解方程：3(4x - 2) = 18首先，我们将方程展开并整理：3(4x - 2) = 1812x - 6 = 1812x = 18 + 612x = 24然后，将方程两边同时除以12：x = 24/12x = 2所以，方程的解为x = 2。
3. 解方程：x^2 - 4 = 0首先，我们将方程整理成标准形式：x^2 - 4 = 0然后，通过因式分解来解方程：(x + 2)(x - 2) = 0根据乘积为零的性质，得到两个方程：x + 2 = 0 或 x - 2 = 0解得：x = -2 或 x = 2所以，方程的解为x = -2或x = 2。
4. 解方程：2x^2 + 3x - 5 = 0首先，我们可以使用求根公式来解这个二次方程：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a将方程的系数代入公式，得到：x = [-3 ± √(3^2 - 4 * 2 * -5)] / (2 * 2)化简后得到：x = (-3 ± √(9 + 40)) / 4x = (-3 ± √49) / 4x = (-3 ± 7) / 4解得：x = (7 - 3) / 4 或 x = (-7 - 3) / 4x = 1 或 x = -5/2所以，方程的解为x = 1或x = -5/2。
通过以上的练习题，我们可以巩固和提高高中函数解方程的能力。
通过对方程的整理、展开、因式分解和使用求根公式等方法，我们能够准确地求解各类函数方程。
求函数解析式的方法和例题在数学中，我们经常会遇到需要求解函数解析式的问题。
函数解析式是描述函数规律的数学式子，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
那么，如何求函数的解析式呢？接下来，我们将介绍一些常见的方法和例题，希望能帮助你更好地理解和掌握这一内容。
一、根据函数图像求解析式。
对于一些简单的函数，我们可以通过观察其图像来推导出函数的解析式。
例如，对于一次函数y=kx+b，我们可以根据函数图像上的两个点来确定k和b的值，进而得到函数的解析式。
同样地，对于二次函数、指数函数等，也可以通过观察函数图像来求解析式。
例题1，已知一次函数的图像经过点（1，3）和（2，5），求函数的解析式。
解：设函数为y=kx+b，代入已知的两个点得到方程组：3=k1+b。
5=k2+b。
解方程组得到k=2，b=1，因此函数的解析式为y=2x+1。
二、根据函数性质求解析式。
有些函数具有特定的性质，我们可以利用这些性质来求解析式。
例如，对于指数函数y=a^x，我们知道指数函数经过点（0,1），因此可以利用这一性质求解析式。
又如，对于对数函数y=loga(x)，我们知道对数函数的定义域为正实数，可以利用这一性质来确定函数的解析式。
例题2，已知指数函数经过点（1,2），求函数的解析式。
解，设函数为y=a^x，代入已知的点（1,2）得到方程a^1=2，解得a=2，因此函数的解析式为y=2^x。
三、根据函数的变化规律求解析式。
有些函数的变化规律是已知的，我们可以根据这一规律来求解析式。
例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，我们知道等差数列的通项公式是已知的，可以直接利用这一公式求解析式。
同样地，对于等比数列、等差数列等，也可以根据其变化规律来求解析式。
例题3，已知等差数列的首项为3，公差为4，求第n项的表达式。
解，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知的首项和公差得到an=3+(n-1)4，化简得到an=4n-1，因此第n项的表达式为4n-1。
学习好资料 欢迎下载函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（ 1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知 f ( x) 求 f [ g(x)] 或已知 f [ g( x)] 求 f (x) ：换元法、配凑法；（ 3）已知函数图像，求函数解析式；（ 4）外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（ 5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
一 【待定系数法 】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知 f ( x) 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 f ( x) 的表达式。
【例 1】已知函数 f(x)是一次函数，且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求 f(x)的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设 f(x)=ax+b(a ≠则0)f(x+1)=? ， f(x-1)=?解：设 f(x)=ax+b(a ≠，0)由条件得： 3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ，∴f(x)=2x+7【例 2】求一个一次函数 f(x) ，使得 f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设 f(x)=ax+b(a ≠则0)f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设 f(x)=ax+b （a ≠ 0)，依题意有 a[a(ax+b)+b]+b=8x+7∴ a 3 x +b( a 2 +a+1)=8x+7，∴ f(x)=2x+1【评注：】待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
待定系数法例题：设二次函数f (x)满足 f ( x2)f ( x 2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为2 2，求f ( x)的解析式。
第12章 一次函数复习①有两个变量x 和y 。
②x 是自变量，y 是因变量。
③在x 允许的取值范围内，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应。
1、如图所示的图象分别给出了x 与y 的对应关系，其中y 是x 的函数的是（ ）(1)已知矩形的周长为10cm ，则其面积y （cm 2）与一边长x （cm ）的函数关系式为_________ ，自变量x 的取值范围是________。
(2)小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关系是______________， x 的取值范围是__________ (3)汽车从甲地驶往相距320km 的乙地，它的平均速度是40km/h ，则汽车距离乙地的路程S 与行驶时间t 的函数表达式为：________， t 的取值范围是__________ (4)汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油9升，油箱剩余油量y （升） (1)11y x =- (2)1-=x y (3)1-=x xy (4)y ＝x -2＋31-x(5)y = (6)xy -=31 (7)y =(1)当x= —2时，函数x x y 442+=的函数值等于多少？ (2)已知函数12+=x xy ，当a x =时，y = 1，则a 的值为( ) ABD1.画出函数2-x =y 的图象。
1、如图这是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系，读图填空：① 这是一次 米的赛跑．② 先到终点的是_______③ 王平在赛跑中速度是__ __m/s2．（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处3．（2010江苏南京）如图，夜晚，小亮从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他的影长y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间的函数关系的图像大致为（图1）4．（2010 河北）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km /h ，水流速度为5 km/h ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t （h ），航行的路程为s （km ），则s 与t 的函数图象大致是形如y=kx(k≠0)(1)若函数y=(m ＋1)x ＋m 2－1是正比例函数，则k 的值为（ ）正比例函数y=kx （k≠0）的图象是一条经过( , )和（ , ）的一条直线， 我们称它为直线y=kx.1.直线y=7x 经过点( , )和（ , ）2.直线y=—4x 经过点( , )和（ , ）3.直线x y3-=经过点( , )和（ , ）当k>0时，直线y=kx 过 象限，从左向右 ，即随着x 的增大，y ； 当k<0时，直线y=kx 过象限，从左向右 ，即随着x 的增大，y (1)函数y=－3x 的图象是一条过原点及（1，__）的直线，这条直线经过第_ 象限，当x 增大时，y 随之_______ (2)已知是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值______形如y=kx ＋b(k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.1. 下列函数关系中表示一次函数的有（ ）①12+=x y ②xy 1=③x x y -+=21④t s 60=⑤x y 25100-=A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 函数y=(k 2-1)x+3是一次函数,则k 的取值范围是( )A.k ≠1B.k≠-1 C.k ≠±1 D.k 为任意实数．ABCD3.已知一次函数kx k y )1(-=+3，则k = 4.当m=_______时，函数是一次函数.在一次函数y=kx ＋b(k≠0)中，当b=0时，关系式变成y=kx ，一次函数y=kx ＋b(k≠0)的图象是经过（0， ）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx ＋b 的图象也称为直线y=kx ＋b. 1.直线62--=x y 经过点( , )和（ , ） 2. 直线12+=x y 经过点( , )和（ , ）一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向 平移；当b<0时，向 平移）.1.将函数y ＝－6x 的图象1l 向上平移5个单位得直线2l ，则直线2l 与坐标轴围成的三角形面积为 .2.把直线132+=x y 向上平移3个单位所得到的直线的解析式为 ．3. 将直线21y x =-+向下平移4个单位长度。
高中数学必修一高中数学必修一解析式的求法专题练习解析式的求法专题练习1、设函数(]()îíì+¥Î¥-Î=-,3,log 2,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为的值为 。
3、若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y Î==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(Î=叫做f 和g 的复合函数。
的复合函数。
4、已知12)(),1(2)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，，[]=)(x f g 。
5、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为轴上的截距为-4-4-4，被，被x 轴截得的线段长为4，求函数)(x f y =的解析式。
的解析式。
6、已知221)1(x x x x f +=-，求)(x f 。
7、221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。
8、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有)()14()(y f x y x y x f +++=+成立，且0)1(=f 。
(1)(1)求求)0(f 的值；(2)(2)求求)(x f 的解析式。
的解析式。
9、已知：)0(,31)(2¹=÷øöçèæ+x x x f x f ，求)(x f 。
1010．已知．已知f(5x+1)=4x+3, f(5x+1)=4x+3, 求求f(x)f(x)的解析式的解析式的解析式. .11．若)()()(y f x f y x f ×=+,且3)3(=f ，求值)2004()2007()3()6()2()5()1()4(f f f f f f f f ++++ .1010．．已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f1212．．对x ∈R, )(x f 满足1)1()(=+-x f x f ,且当x ∈[－1,0]1,0]时时, 14)(2+=x x f 求当求当x ∈[7,8][7,8]时时)(x f 的表达式表达式. .。
过关练12 求函数的解析式一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()2f 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22f x x ∴=+()22226f ∴=+=. 故选：D.2．（2022·全国·高一课时练习）已知()22143f x x +=+，则()f x =（ ）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．223x x ++【解析】因为()()()222143212214f x x x x +=+=+-++，所以()224f x x x =-+．故选：A3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数2(1)21f x x x +=++，那么(1)f x -=（ ） A ．2x B ．21x + C ．221x x -+D ．221x x --【解析】令11t x x t =+⇒=-，则22()(1)2(1)1f t t t t =-+-+=，22(1)(1)21f x x x x -=-=-+. 故选：C.4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 为一次函数，且()()3751f f ==-，，则()1f =（ ） A ．15B ．15-C ．9D ．9-【解析】设()f x kx b =+，则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得419k b =-⎧⎨=⎩，()419f x x ∴=-+，()141915f ∴=-+=．故选：A5．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【解析】当010x ≤≤时，设y kx =， 将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =， 则此时45y x =， 当10x >时，设a y x=， 将点(10,8)代入ay x=得：10880a =⨯=， 则此时80y x=， 综上，()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，当010x ≤≤时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x ，则当4y ≥时，520x ≤≤，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟）， 故选：C ．6．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）A 6B 6或6-C ．6-D ．3【解析】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=故选；B7．（2022·全国·高一专题练习）已知)2fx x =，则有（ ）A ．()()2(2)0f x x x =-≥B ．2()(2)(2)f x x x =-≥C ．()()2(2)0f x x x =+≥D ．()()2(2)2f x x x =+≥ 2x t =，2t ≥，则()22x t =-，()2(2)f t t ∴=-，2t ≥，所以函数()f x 的解析式为()2(2)f x x =-，()2x ≥．故选：B.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数)222f x x x =+，则()f x 的最小值是（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．02x t =，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()22222222f t t t t t =-+-+=-+，()2t ≥所以()()2222(1)12f x x x x x =-+=-+≥，当2x =时，()()22min f x f ==. 故选：B9．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【解析】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+- ⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()41f f x x =-⎡⎤⎣⎦，则()f x 的解析式可能是（ ） A ．()123f x x =-B ．()21f x x =--C ．()223f x x =+D ．()21f x x =-+【解析】设()f x kx b =+(0k ≠)，则2[()]()()f f x k f x b k kx b b k x kb b =⋅+=⋅++=++，∴241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k b =-⎧⎨=⎩， ∴()123f x x =-或()21f x x =-+.故选：AD.11．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（ ） A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x =D ．()39f = 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=， 可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确； 故选：AB.三、填空题12．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）若()1fx x x =，则()3f =_____．11x t =≥1x t =-所以()()2211f t t t t t =-+-=-，即()2f x x x =-，()1x ≥，()23336f =-=.故答案为：613．（2022·全国·高一专题练习）若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()f x =______．【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，由①②得()12855x f x x-=. 故答案为：12855x x-. 14．（2022·全国·高一单元测试）已知()123f f x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，()0x ≠，则()f x 的解析式为________．【解析】由题知，()132f x f x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，①；又()123f f x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，②； 由①2-⨯②得，1()2f x x x-=+， 则()12f x x x=--， 故答案为：12x x--15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+，则()f x =___________.【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①， 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②， ②2⨯-①得，()21f x x =-+． 故答案为：21x -+．16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足对任意非零实数x ，均有()()()21122f f x f x x =+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为______. 【解析】对任意非零实数x ，均有()()()21122f f x f x x =+-，∴()()()211122f f f =+-，解得：()21f =， ∴()()()2122142f f f =+-，解得：()518f =，∴()511511518228222f x x x x x =+-≥⨯=，当且仅当5182x x =时，即25x =成立. 512.四、解答题(共0分)17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =是一次函数，且()()23159f x f x x ++=-+，求()f x 的表达式．【解析】由题意，设一次函数的解析式为()f x kx b =+，因为()()23159f x f x x ++=-+，可得2(31)59kx b k x b x ++++=-+，整理得5259kx k b x ++=-+，即5529k k b =-⎧⎨+=⎩，解得1,5k b =-=，所以函数的表达式为()5f x x =-+. 18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数)221=+gx x x .求函数()g x 的解析式；【解析】设2t x =，则2t ≥2x t =-， 所以22()(2)2(2)121g t t t t t =-+-+=-+， 所以2()21g x x x =-+，2x ≥．19．（2022·全国·高一课时练习）在①2(23)46f x x x -=-，②2()2()33f x f x x x +-=-，③对任意实数x ，y ，均有()2()f x y f y +=22233x xy y x y ++-+-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数()f x 满足_________，求()f x 的解析式.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【解析】选①，令23t x =-，则32t x +=. 因为2(23)46f x x x -=-，所以233()4622t t f t ++⎛⎫=⨯-⨯⎪⎝⎭26939t t t =++--23t t =+ 即2(3)f x x x =+.选②，因为2()2()33f x f x x x +-=-，（1） 所以22()2()3()3()33f x f x x x x x -+=---=+.（2） （2）2⨯-（1）得23()39f x x x =+， 即2(3)f x x x =+.选③，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，即(0)0f =.令0y =，则22()2(0)33f x f x x x x =++=+，所以，2(3)f x x x =+20．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知函数()f x 满足()1f x x a ++，且()11f =． (1)求a 的值和函数()f x 的解析式；(2)判断()f x 在其定义域的单调性并加以证明．【解析】(1)由()1f x x a ++，得()1f x x a -+则()1111f a a -+=，得1a =， 所以()f x x =(2)函数()f x 的定义域为[)0,∞+，函数()f x 为定义域上的增函数，证明如下： 任取1x 、[)20,x ∈+∞且12x x <，所以210x x ->， 所以()()(21212121212121x x x x f x f x x x x x x x -=++因为210x x ->210x x >，所以()()210f x f x ->， 所以()f x 在其定义域为单调增函数21．（2022·全国·高一课时练习）在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-，且()03f =，③()2f x ≥恒成立，且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数()f x 的图像经过点（1，2），______. (1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】（1）选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点（1，2），所以()1122f a b c c =++=-+=，得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠，则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-. 由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =，所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立，所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，故()223x x x f =-+.（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-，所以()210x -≥， 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.22．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()24fx x x =+()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（4）已知()f x 的定义在R 上的函数，()01f =，且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）方法一 设2t x =，则2t ≥2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24f x x =-（2x ≥）.方法二 因为)()2224fx x =-，所以()()242f x x x =-≥．（2）因为()f x 是二次函数，所以设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+．（3）因为()()22f x f x x x +-=-，① 所以()()22f x f x x x -+=+，② 2⨯-②①，得()233f x x x =+，所以()23x f x x =+．（4）方法一 令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，所以()21f x x x =++．方法二 令0x =，则()()()001f y f y y -=--+，即()21f y y y -=-+，令x y =-，则()21f x x x =++．23．（2022·全国·高一）甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出y ＝f （x ）的函数解析式．【解析】当x ∈[0，30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得1110,302,b k b =⎧⎨+=⎩ ∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈（30，40）时，y ＝2； 当x ∈[40，60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得2222402,604,k b k b +=⎧⎨+=⎩ ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2. ∴f （x ）＝1,[0,30],152,(30,40),12,[40,60]10x x x x x ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪⎪-∈⎩24．（2022·广东汕尾·高一期末）某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex ，简称AQI ）y 与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足下图连续曲线，并测得当天AQI 的最大值为103．当[]0,14x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(]14,24x ∈时，曲线是函数()()log 13102a g x x =-+（0a >且1a ≠）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由． 【解析】（1）当(]14,24x ∈时，()()log 13102a f x x =-+，将()15,101代入得12a =， ∵14x =时，()log 13102102a x -+=，∴由()y f x =的图象是一条连续曲线可知，点()14,102在()y f x =的图象上，当[]0,14x ∈时，设()()212103f x x λ=-+，将()14,102代入得14λ=-，∴()()()212112103,0144log 13102,1424x x f x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩．（2）由题意可知，空气属于污染状态时()100f x ≥， ∴()20141121031004x x ≤≤⎧⎪⎨--+≥⎪⎩或()121424log 13102100x x <≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩， ∴122314x -≤或1417x <≤，∴122317x -≤，∴当天在122317x -≤这个时间段，该城市的空气处于污染状态．25．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知二次函数()f x 的图象过点()0,4，对任意x 满足()()3f x f x -=，且有最小值是74.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[1,3]-上，()y f x =的图象恒在函数2y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围.【解析】（1）由题知二次函数图象的对称轴为32x =，又最小值是74则可设()()237024f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭ 又图象过点(0)4，， 则2370424a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()22373424f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭. （2）由已知，()2f x x m >+对[1,3]x ∈-恒成立， ∴254m x x <-+在[1,3]x ∈-恒成立，∴()()2min 5[]341,x m x x -∈-<+. ∵()254g x x x =-+在[1,3]x ∈-上的最小值为94-. ∴94m <-.。
