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二元一次不等式表示的平面区域
1教材分析
二元一次不等式组与简单的线性规划问题，是必修五第3章的内容，作为不等式中一个相对独立的章节，有着它本身的意义。
不等关系，作为时间万物的数学刻画，是普遍存在的，第三小节中开始研究的线性规划问题，看似独立，实则是对二元一次不等式的一种思考。
在初中就学过二元一次方程，它对应的图形是直线，那么不等式是什么？这节课，就是来解决这个问题。
2.教学重难点
①二元一次不等式对应的平面区域的判断
②点与平面位置关系的判断
③数形结合思想的渗透。
3.教学过程
1本课从如何确定一个点？两个点的位置入手，着手研究确定点，确定直线的一般性方法，然后抛出问题：如何确定直线以外的点？
2“探索性教学法”，课前打印人手一份带着坐标系的纸张，请大家自行画出一条直线，明确表达式，然后自行确定三个点，加以探究？
思考问题：点在直线上，满足abc=0,点在直线外，就满足abc≠0，那么是不是点在直线上方，就满足abc>0点在直线下方，就满足abcb ;
点在直线下方，满足0，abc<0的对应关系。
逐步推到出研究点线位置的两种常用方法：斜截式法和特殊点法。
4.教学反思
本节内容不难，围绕着点和二元一次不等式的关系展开，为下一节简单的线性规划做好铺垫，因此本人用探究式学习法展开教学，以问题链的形式
安排教学，希望结论的得到能水到渠成，达成到位。
§3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域（1）【三维目标】：一、知识与技能1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力；4.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域． 二、过程与方法1.本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。
始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。
教学中也特别提醒学生注意0>++C By Ax (或0<)表示区域时不包括边界，而0(Ax By C ++≥≤或0)则包括边界2.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力； 三、情感、态度与价值观1. 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
2. 培养学生数形结合、化归、集合的数学思想 【教学重点与难点】：重点：用二元一次不等式表示平面区域；难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式0>++C By Ax (或0<)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域 【学法与教学用具】：1. 学法：启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。
以学生探究为主，老师点拨为辅。
学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。
同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。
2. 教学用具：直角板、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.情境：下表给出了,,x y z 三种食物的维生素含量及成本：某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B ，设X 、Y 这两种食物各取x kg 、y kg ，那么,x y 应满足怎样的关系？解答：∵X 、Y 这两种食物分别为x kg 、y kg ，∴食物Z 为100x y --kg ，则有300500300(100)35000700100300(100)40000x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩，即25250y x y ≥⎧⎨-≥⎩， 又∵,0x y ≥，∴252500,0100y x y x y x y ≥⎧⎪-≥⎪⎨>>⎪⎪+<⎩（介绍二元一次不等式的概念），如果进一步要求,x y 如何取值时总成本W 最小呢？如何解决该问题．问题转化为在以上不等式组约束下，求543(100)2300W x y x y x y =++--=++（介绍目标函数概念）的最大值问题．要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义． 2.问题：坐标满足二元一次方程20x y +-=的点组成的图形是一条直线l ．怎样才能快速准确地画出直线l 呢？（学生答：描两点连成线．例如：该直线经过点(2,0)A 和(0,2)B ，画出经过,A B 两点的直线即为所求）．教师问：怎样判断点(1,3)在不在直线l 上呢？结论：点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上．坐标满足不等式20x y +->的点是否在直线l 上呢？这些点在哪儿呢？与直线l 的位置有什么关系呢？二、研探新知通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜 想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方．如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+，∵点P 在直线上方，∴点P 在点A 上方，∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->；同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<．又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．学生练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）结论：①一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,把边界画成实线.②一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域．说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．xy O下半平面y k x b<+上半平面y kx b >+y kx b =+ 20x y +-=2 2x yO(,)P x y •三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（教材例1）画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+；（2）20x y -+>． 解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例2 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32xy =-+ 的平面区域；（2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．例3（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ． （2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=． （2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322ay x >+，∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a <，∴0a <．又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域．例4（教材例2） 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．例5 原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是． 提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例6 用平面区域表示.不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩的解集。
3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域江苏省太湖高级中学214125执教：翟洪亮（江苏省高中数学特级教师）教学目标：1了解二元一次不等式的几何意义．2会画出二元一次不等式表示的平面区域．3会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．教学重点：确定二元一次不等式所表示的平面区域以及由给出的平面区域写出对应的二元一次不等式．教学难点：能用转化法和选点法确定二元一次不等式所表示的区域．教学方法：启发式教学法．教材分析：本节课是安排在一元二次不等式之后，二元一次不等式组与简单的线性规划问题的第一节课，从实例问题情景出发，结合图形让学生感受二元一次不等式的几何意义，然后提升到“选点法”判断二元一次不等式表示的平面区域，并上升到“口诀”的层面上，整个过程旨在加强学生数形结合思想学生分析：江苏省太湖高级中学是江苏省四星级重点高中，学生的数学基础较好，思维、运算能力比较强，有助于本课教学的开展．教学过程：创设问题情境，激发学习热情教师：首艘国产航母于4月26日正式下水后,受到了海内外媒体的巨大关注，这是自美国、俄罗斯、英国、法国、意大利和西班牙之后，第七个能自制航母的国家，这是令我们中国人感到骄傲的一件大事，这是国力强大的象征，这是新中国崛起的标志！我们今天的学生承担着民族复兴的重任，要为早日实现中国梦在而努力学习．现在请大家思考下面问题:在建造国产航母“001”时需要许多巨大的钢架，为了按期完工，每天至少需要40根高质量的钢柱，国内只有甲乙两个厂有能力生产这样的钢柱，甲钢厂和乙钢厂每间车间的日生产量分别是5根和8根，但是两个厂每天总共能投入生产的车间至多6间，那么两个钢厂各提供多少车间才能满足每天的需求呢？如果设甲乙两个钢厂各提供,x y 个车间才能满足每天的需求，,x y 应该满足什么条件？哪位同学来回答一下？学生： ,x y 应该满足*65840,x y x y x y N ⎧+≤⎪+≥⎨⎪∈⎩．教师：为了解决这个问题我们首先来研究数对(,)x y 的范围问题，今天我们一起学习：二元一次不等式表示的平面区域．设计意图 通过生活实例，培养学生数学地看待问题习惯同时，激发学生的学习热情，要树立为国家富强，民族振兴而努力读书联想直线方程，类比区域表示教师：不等是以等为界限的，首先我们来研究二元一次等式表示的平面区域，而二元一次等式的几何意义是表示一条直线．一条直线l 把它所在平面分成几部分？学生：直线l 把它所在平面分成三部分：直线、直线的上方、直线的下方．教师：分得很细，在直线方程的五种形式中比较常用的两种形式是：斜截式和一般式．首先我们来研究斜截式y kx b =+，如直线:104l y x =-，哪位同学能结合直线l 与方程104y x =-之间的关系谈谈你对必修2中直线的方程与方程的直线的理解？学生：直线l 上任一点的坐标都是方程104y x =-的解；反过来，以方程104y x =-的解为坐标的点都在直线l 上，所以我们称直线l 是方程104y x =-的直线，方程104y x =-是直线l 的方程．教师：我们已经能用方程104y x =-表示直线l ，那么对于直线:104l y x =-上方的平面区域如何表示呢？ 学生：用不等式104y x >-．教师：能给出理由吗？学生： 1在:104l y x =-的上方任取一点(,)P x y ，过点P 作平行y 轴的直线交直线:104l y x =-于点0(,)Q x y ，则0y y >．因为0104y x =-，所以104y x >-所以直线上方任取一的点的坐标(,)x y 都适合不等式104y x >-；2反之，适合不等式104y x >-的任意一对有序实数,x y 构成的点(,)P x y ，令0104y x =-，则0(,)Q x y 是在直线:104l y x =-上，线段PQ 平行y 轴，且点(,)P x y 是在点0(,)Q x y 的上方，所以点(,)P x y 是在直线:104l y x =-上方的平面区域内．所以直线:104l y x =-上方的平面区域为不等式104y x >-表示的平面区域，不等式104y x >-是直线:104l y x =-上方的平面区域的不等式．教师：与直线与方程的关系类似，直线的方程与方程的直线，同样也有平面区域的不等式与不等式的平面区域．如何表示直线:104l y x =-下方的平面区域？学生：用不等式104y x <-表示直线l 下方的平面区域，即直线l 下方的平面区域对应不等式104y x <-． 教师：能给出理由吗？学生： 1在:104l y x =-的下方任取一点(,)P x y ，过点P 作平行y 轴的直线交直线:104l y x =-于点0(,)Q x y ，则0y y <．因为0104y x =-，所以104y x <-所以直线下方任取一的点的坐标(,)x y 都适合不等式104y x <-；2反之，适合不等式104y x <-的任意一对有序实数,x y 构成的点(,)P x y ，令0104y x =-，则0(,)Q x y 是在直线:104l y x =-上，线段PQ 平行y 轴，且点(,)P x y 是在点0(,)Q x y 的下方，所以点(,)P x y 是在直线:104l y x =-下方的平面区域内．所以直线:104l y x =-下方的平面区域为不等式104y x <-表示的平面区域．设计意图 不等是以等为界限的，通过类比，由二元一次等式的几何意义是表示一条直线，极其自然地类比到由二元一次不等式的几何意义——表示平面区域．运用定义作图，激发学生灵感教师：哪位同学能画出不等式23y x <+表示的平面区域？学生：因为是小于号，故先将直线:23l y x =+画为虚线，再用斜线标出下方区域．教师：你是怎么想到的？学生：由上可知，不等式所表示的平面区域内的点的坐标都适合不等式，所以只要取一点即可判定直线哪一侧是不等式23y x <+表示的平面区域，不妨取原点(0,0)O ，因为原点O 的坐标适合不等式23y x <+，而原点O 在直线:23l y x =+的下方，所以直线:23l y x =+下方的平面区域即为不等式23y x <+表示的平面区域．教师：这个方法好，选点定侧！任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；否则，直线的另一侧即为不等式所表示的平面区域，这种方法称为“选点法”．若原点不在直线上，我们常常通过原点坐标来判断，实现以点代面（半平面）的效果！现在谁能画出不等式23y x ≥+表示的平面区域？学生：首先将直线:23l y x =+画为实线．利用选点法，不妨取原点(0,0)O ，因为原点O 的坐标不适合不等式23y x ≥+，所以不等式23y x ≥+表示的区域在直线:23l y x =+上方的平面区域,含边界直线．设计意图 由二元一次不等式与平面区域的相互关系，提升到“选点法”，通过选点定侧，实现以点代面（半平面）的效果．探究一般情形，发现分布规律教师：通过上述探究，我们知道不等式104y x >-表示直线104y x =-上方的平面区域；不等式104y x <-表示直线104y x =-下方的平面区域．不等式23y x ≥+表示直线23y x =+上方的平面区域,含边界直线；不等式23y x <+表示直线23y x =+下方的平面区域．那么对于直线y kx b =+上方的平面区域对应的不等式是什么呢？直线y kx b =+下方的平面区域对应的不等式又是什么呢？学生：直线y kx b =+上方的平面区域对应的不等式是y kx b >+；直线y kx b =+下方的平面区域对应的不等式是y kx b <+．教师：不等式与斜率正负有关吗？能否总结出规律呢？学生：与斜率正负无关，可简记为口诀“大上小下”．教师：口诀必须顺口，不如改为“上大下小”，这样也好记！我们已经解决用不等式表示y kx b =+上方或下方的平面区域问题．设计意图 由“选点法”乘势而上，从用一点上升到无点“口诀”的高度上．转化问题形式，完善分布规律教师：那么对于直线方程的一般式0Ax By C ++=(0)B ≠上方或下方的平面区域所对应的不等式又是怎样的呢？请大家探讨一下，各学习小组成员之间可以互相研究，然后推荐组内发言人．学生：直线方程之间可以相互转化，故有：当0B >时，不等式0Ax By C ++>可化为A C y x B B ->-，而不等式A C y x B B->-表示直线A C y x B B-=-上方的区域，所以当0B >时，不等式0Ax By C ++>，表示直线0Ax By C ++=上方的区域；同样可得，当0B >时，不等式0Ax By C ++<，表示直线0Ax By C ++=下方的区域．当0B =时，若0A >，易知不等式0Ax C +>，表示直线0Ax C +=右方的区域；不等式0Ax C +<，表示直线0Ax C +=左方的区域．当0B =时，若0A <，易知不等式0Ax C +>，表示直线0Ax C +=左方的区域；不等式0Ax C +<，表示直线0Ax C +=右方的区域．当0B <时，不等式0Ax By C ++>可化为A C y x B B -<-，而不等式A C y x B B -<-表示直线A C y x B B -=-下方的区域，所以当0B <时，不等式0Ax By C ++>，表示直线0Ax By C ++=下方的区域；同样当0B <时，不等式0Ax By C ++<，表示直线0Ax By C ++=上方的区域．教师：化生为熟，通过转化使问题得到解决．若0B =，不等式表示区域很直观；若0B ≠，因为把y 的系数化为1，所以要除以B ，必须考虑B 值的正负．若0B >，不等式0Ax By C ++>就表示直线0Ax By C ++=的上方的区域；不等式0Ax By C ++<就表示直线0Ax By C ++=的下方的区域，口诀“上大下小”仍然成立．若 0B <，恰好相反的口诀变为“上小下大”！设计意图 因为直线的形式之间可以相互转化，通过转化，提高学生分析问题和解决问题的能力，在运用推广“口诀”的同时，实现对“口诀”的完善．加强口诀运用，提高解题效率教师：现在你能快速将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来？哪位同学来回答一下？学生：13x >-；26x ≤；36522x y +≤；4y x >． 教师：由平面区域能给出相应的不等式，反过来，也要求我们能根据所给的不等式，指出它在相应直线的哪一侧？现在请大家思考下列问题，哪位同学来回答一下？1．不等式230x y +->表示直线230x y +-=的 平面区域．2．不等式230x y +-<表示直线230x y +-=的 平面区域．3．不等式230x y -->表示直线230x y --=的 平面区域．4．不等式230x y --<表示直线230x y --=的 平面区域．学生：利用口诀，显然有：1上方；2下方；3 下方；4 上方教师：当然，我们也可以采用“选点法”来定侧！如在1中取点(0,0)，也能得到是表示直线230x y +-=的上方平面区域．请大家思考：若点(3,)t -在直线360x y -+=的上方，求t 的取值范围哪位同学能到黑板上给出解答？学生：因为点(3,)t -在直线360x y -+=的上方，所以3360t --+<，解得1t >教师：若点(1,2)A -和点(1,3)B 在直线0x y a +-=的两侧，求a 的取值范围哪位同学能到黑板上给出解答？学生：因为点(1,2)A -和点(1,3)B 在直线0x y a +-=的两侧，所以(12)(13)0a a -+-+-<，解得1a <或4a >教师：若变为：已知(1,2)A -和(1,3)B ，若直线0x y a +-=与线段AB 有公共点，求a 的取值范围 哪位同学能给出解答？学生：直线0x y a +-=与线段AB 有公共点，可分为两种情况：1点(1,2)A -和点(1,3)B 在直线0x y a +-=的两侧；2 直线0x y a +-=经过点(1,2)A -或(1,3)B 所以(12)(13)0a a -+-+-≤，解得1a ≤或4a ≥设计意图 通过练习，使用相关知识解决简单问题，达到强化所学新知的目的，提高教学效率．课堂小结：教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？判断二元一次不等式表示的平面区域学生：1首选口诀：上大下小；特别 B<0时，上小下大；2常用“选点法” ，通过选点定侧，实现以点代面（半平面）。
3．3.1 二元一次不等式表示的平面区域学习目标 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式表示的平面区域．知识点一 二元一次不等式思考 对于只含有一个未知数的不等式x <6，它的一个解就是能满足不等式的x 的一个值，比如x ＝0.那么对于含有两个未知数的不等式x －y <6，你能类似地举出一个解吗？梳理 (1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为________不等式； (2)满足二元一次不等式的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )称为二元一次不等式(组)的一个________；(3)所有这样的有序数对(x ，y )构成的________称为二元一次不等式的解集．知识点二 二元一次不等式表示的平面区域思考 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －4<0的解集为数轴上的一个区间(如图)．那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x －y <6的解集表示什么图形呢？梳理 (1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成________以表示区域不包括边界． 不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同．(3)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0(或<0)表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．(4) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集．类型一二元一次不等式解的几何意义例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．反思与感悟对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C＞0，则Ax2＋By2＋C＜0，即同侧同号，异侧异号．跟踪训练1 经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．类型二二元一次不等式表示的平面区域命题角度1 给不等式画平面区域例2 画出不等式x＋4y<4表示的平面区域．反思与感悟画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．跟踪训练2 试画出不等式x－2y＋6>0表示的平面区域．命题角度2 给平面区域用不等式表示例3 如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________．反思与感悟用不等式表示平面区域的步骤是先求直线方程，再把方程改为不等式，在求直线方程时注意选好关键点；改为不等式时要注意不等号的方向及边界的虚实．跟踪训练3 图中阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是________．1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是________．(填序号)①(0,0); ②(1,1)；③(0,2); ④(2,0)．2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式是________．3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．4．画出下面二元一次不等式表示的平面区域．(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax ＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．答案精析问题导学 知识点一思考 含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x ，y 的取值，例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，也可写成(0,0)． 梳理(1)二元一次 (2)解 (3)集合 知识点二思考 二元一次不等式x －y <6的解是一个有序数对(x ，y )，它在平面直角坐标系中对应一个点．显然不等式x －y <6的解不止一个，且这些解不在直线x －y ＝6上．经探索，以二元一次不等式x －y <6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x －y <6.因此，在直角坐标系中，不等式x －y <6表示直线x －y ＝6左上方的平面区域． 梳理 (1)虚线 题型探究 例1 (－7,24)解析 点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x －2y ＋a ＞0的解，另一个点是3x －2y ＋a ＜0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧3×3－2×1＋a ＞0，－－2×6＋a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3×3－2×1＋a ＜0，－－2×6＋a ＞0，即(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]＜0， (a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.跟踪训练1 解 由题意知直线l 的斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题意知A ，B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有(k ＋1)(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1. 例2 解 先作出边界x ＋4y ＝4， 因为这条线上的点都不满足x ＋4y <4， 所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x ＋4y －4， 因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x ＋4y －4<0表示的平面区域内，所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．所以x＋4y<4表示的平面区域如图中阴影部分所示．跟踪训练2 解在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，x－2y＋6>0表示的平面区域如图阴影部分所示．例3 3x－y＋3>0解析过点(－1,0)，(0,3)的直线方程为3x－y＋3＝0，代入(0,0)，得3×0－0＋3＝3>0.∴如图所示的平面区域用不等式可表示为3x－y＋3>0.跟踪训练3 x－y－1≥0解析直线方程为y＝x－1，代入(0,0)，0>0－1，∴阴影表示的区域应满足y≤x－1，即x－y－1≥0.当堂训练1．④ 2.3x－2y＋6>0 3.(－1,6)4．解(1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．。
