四川省成都市青白江区九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形导学案(无答案)(新版)北师大版

课题：3. 8圆内接正多边形教学目标：1.了解圆内接正多边形的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径和边氏、边心距、中心角Z间的关系.3.会用尺规作I员I的内接止方形和止六边形.教学重点与难点：重点：理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.难点：能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.课前准备：教师准备多媒体课件.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容:各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体.回答下列问题：问题1：什么叫正多边形？问题2：正多边形是轴对称图形、屮心对称图形吗？其对称轴有几条，对称屮心是哪一点？问题3：以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有何发现？处理方式：学生自己找到正多边形的对称轴和对称中心，画出符合条件的圆.设计意图：通过作图的过程，学生很容易发现圆和正多边形的关系：（1）正多边形的顶点都在圆上；（2）圆经过正多边形的所有顶点.（自然引出课题）.二、探究学习，获取新知活动内容一：圆内接正多边形的概念定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆斤等分（72 >3）,依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.如图，五边形ABCDE是圆0的内接正五边形，圆心0 叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；ZAOB是这个正五边形的中心角；0M丄BC ,垂足为M ,B0M是这个正五边形的的边心距.处理方式：学生自学课木97页例题以上内容，对照多媒体上的图形，说出各部分的名称。

教师强调：正多边形的屮心指的是其外接圆的圆心，半径指的是其外接圆的半径，屮心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心介J.设计意图：让学生了解有关止多边形的概念，引导学生逐步深入的学习.活动内容二：求正多边形的中心角、边长和边心距例如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径0C = 4, 0G丄BC ,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.处理方式：引导学牛发现正六边形的中心角的一半、边长和边心距构成一个直角三角形，利用解直角三角形的知识解决问题. 教师多媒体展示解答过程：解：连接0D.•・•六边形ABCDEF为正六边形.360°・・・ ZCOD = - = 60°.6・・・\COD为等边三角形..・・ CD = OC = 4.在Rt\COG^, OC = 4, CG = 2.:.OG = 2h.・••正六边形ABCDEF中心角为60°,边长为4,边心距为2羽.设计意图：通过例题的学习，巩固冇关正多边形的概念，能运川解直角三角形的知识解决正多边形的有关计算问题.教师强调：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.活动内容三：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形.2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形.3、思考：作正多边形有哪些方法？处理方式：由例题引导学生发现止六边形的边长等于其半径,从而找到六等分鬪的方法. 设计意图：使学生理解并掌握可用等分圆心和的方法等分圆周，从而用肓尺和圆规可以作出一些特殊的正多边形.三、训练反馈，应用提升活动内容：1 •把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个止六边形DFKKGE,求这个正六边形的面积.2、分别求出半径为6加的圆内接正三角形的边长和边心距.（第1题）处理方式：学牛口述思考过程，并说明理山.两位同学黑板板书做题过程.设计意图：木组试题主要是巩固止多边形的冇关计算，让学生熟练转化为解直角三角形的知识解决问题.四、回顾反思，提炼升华通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一•想，再分享给人家.处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂小结是培养好学生反思、总结习惯的最好环节，只有学生养成良好的反思总结习惯，才能不断的取得进步，让学生在每堂课小体会小结的意义.五、达标检测，反馈提高活动内容：完成达标小卷.（多媒体出示）1・正三角形的边心距、半径和高的比是（）A. 1:2:3B. 1:C. 1: :3D. 1:2:2.求出半径为6czn的圆内接正四边形的边长.边心距和面积.处理方式：学生在8分钟内独立完成后，两生分別说明思考过程，同位互换批改，不明白的问题利用1分钟时间交流、改正.设计意图：让学生利用当堂达标检测自己的学习效果，题目既考杏基础，给学生学习的信心和成功的体验，乂具有一些挑战性，考查学生综合应用知识的能力.六、布置作业，课堂延伸基础作业：课本P99习题3. 10,第4题.拓展作业：课本P99问题解决板书设计:。

《圆内接正多边形》教学目标：知识目标：（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力.情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.教学重难点：教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题.教学设计 ：本节课设计了以下教学环节：情境引入、圆内接正多边形的概念、例题学习、尺规作图、练习与提高、课堂小结、布置作业.第一环节 情境引入活动内容：各小组展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体并解说从中获取的知识（自然引出课题）第二环节圆内接正多边形的概念活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.如图3－35，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心；OA 是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.活动目的：让学生了解有关正多边形的概念，引导学生逐步深入的学习.第三环节例题学习活动内容：例：如图3－36，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.解：连接OD∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴︒=︒=∠606360COD ∴COD ∆为等边三角形.∴4==OC CD在COG Rt ∆中，4=OC ，2=CG ∴32=OG∴正六边形ABCDEF 中心角为︒60，边长为4，边心距为32.活动目的：题目是有关正多边形的计算的具体应用，通过例题的学习，巩固有关正多边形的概念，能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.第四环节 尺规作图活动内容：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形.2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形.3、思考：作正多边形有哪些方法？第五环节练习与提高分别求出半径为6cm 的圆内接正三角形的边长和边心距.第六环节课堂小结师生互相交流总结正多边形和圆的关系、正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质、正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念、如何计算正多边形的半径、边心距及边长，社会调查时学到的课外知识及切身感受等.第七环节布置作业。

课题 3.8圆内接正多边形导学案时间：3、19 课型：新授【学习目标】1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算.【重点难点】重点：理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.难点：用等分圆周画圆内接正多边形的方法.【导学流程】一、知识铺垫：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.二、引导知新：认真研读教材97--98页内容，完成：1、都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的．2、一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.三、深入学习：例1、如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距.. 课海拾贝我的困惑：我们的困惑：总结公式：设圆O 的半径为R ，则：正n 边形的中心角α=n360︒正n 边形的边长n 180sin 2︒=R a n 正n 边形的边心距nR r n ︒=180cos四、迁移运用：1、正六边形的边心距为2，则该正六边形的边长是.2、中心角为30度的圆内接正n 边形的n 为.4、求半径为6cm 的圆内接正三角形的边长和边心距.5、如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE ，求这个正六边形的面积.6、在圆中利用尺规做一个圆内接正八边形. 课后 反思3、。

《圆内接正多边形》◆模式介绍“传递—接受”模式是指在教学过程中教师主要通过口授、板书、演示，学生则主要通过耳听、眼看、手记来完成知识与技能的传授和学习,从而达到教学目标要求的一种教学模式．该模式以传授系统知识、培养基本技能为目标．其着眼点在于充分挖掘人的记忆力、推理能力与间接经验在掌握知识方面的作用，使学生比较快速有效地掌握更多的信息量．该模式强调教师的指导作用，认为知识是教师到学生的一种单向传递的作用，非常注重教师的权威性．“传递—接受”教学通常包括以下五个教学环节：复习旧知-—激发动机—-讲授新知——巩固运用-—检查评价◆设计说明首先通过问题1回顾正三角形和正方形的边、角性质，达到引入正多边形的性质的目的；问题2回顾正多边形的定义和性质，为接下来学习“正多边形和圆”准备条件；问题3由学生的生活实际引出圆内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的半径、正多边形的中心角和正多边形的半径等概念；问题4以研究正六边形的中心角、边长和边心距的计算问题为例，举一反三，正n边形的有关计算均可以转化为解直角三角形问题来解决;问题5通过探究圆的内接正六边形和圆的内接正方形的不同作图方法，培养学生解决问题的策略．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第8节《圆内接正多边形》的教学内容，《圆内接正多边形》是在学生学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识之后继续学习的内容，是这些知识的综合运用和提高．教材首先给出了圆内接正多边形、正多边形的外接圆等相关概念，然后以正六边形为例，探求了如何求正多边形的中心角、边长及边心距等问题，进一步介绍了利用圆规和直尺画特殊的正多边形的方法．本节内容利用正多边形和圆的位置关系，通过正多边形和圆的相关计算，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它具有一些类似于圆的性质；研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础．◆教学目标【知识与能力目标】1、了解圆的内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念;2、会用尺规作圆的内接正方形和正六边形;3、运用正多边形和圆的知识解决有关计算问题．【过程与方法】通过正多边形和圆的关系教学，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般，从部分到整体的认识事物规律的能力，以及数形结合的方法解决问题的能力．【情感态度与价值观】通过等分圆周的方法画正多边形，让学生感受正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱数学,热爱生活．◆教学重难点【教学重点】了解正多边形的有关概念，研究两种圆内接正方形和正六边形的尺规作图方法．【教学难点】能进行正多边形和圆的有关计算．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教学过程【复习旧知】问题1 ⑴等边三角形的边、角各有什么性质？⑵正方形的边、角各有什么性质？⑶等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点?各边相等、各角相等．问题2 ⑴我们已知学过正多边形,符合什么条件的多边形叫正多边形?⑵你能举出几个正多边形的实例吗？正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形吗?各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．设计意图:问题1回顾正三角形和正方形的边、角性质，达到引入正多边形的性质的目的;问题2回顾正多边形的定义和性质，为接下来学习“正多边形和圆”准备条件．【激发动机】问题3 (1)正多边形在日常生活中无处不在．你能举出一些这样的例子吗？日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体,利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．（2）如果正多边形的顶点都在同一圆上，这个正多边形称之为圆的什么多边形？这个圆又称之为正多边形的什么圆?归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆．如图,五边形ABCDE是⊙O，的内接正五边防部队形，圆心O 叫做这个正五边形的中心;OA叫做这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC垂足为M,OM是这个正五边形的边心距．设计意图:由学生的生活实际引出圆内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的半径、正多边形的中心角和正多边形的半径等概念．【讲授新知】问题4 如图,在圆的内接正六边形ABCDEF 中，半径OC =4，OG ⊥BC ,垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．解：连接OD ．∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴360606COD ∠==︒ ．∴△COD 是等边三角形．∴ CD =OC =4．在Rt △COG 中，,114222CG BC ==⨯=， ∴22224223OG OC CG =-=-=∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°,边长为4,边心距为23． 设计意图：以研究正六边形的中心角、边长和边心距的计算问题为例，举一反三，正n 边形的有关计算均可以转化为解直角三角形问题来解决．问题5 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？分析:由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R．所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弧,就可以六等份量,进而作出圆内接正六边形．为了减少累积误差，通过常如下图那样，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧,与⊙O相交于点E,A和D，B，则A,B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE,EF，FA，便得到正六边形ABCDEF．追问1：除了上述方法作圆的内接正六边形外，你还有其他方法吗?等分圆周法：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．例如,画一个边长为1。

3.8圆内接正多边形预习案一、预习目标及范围：1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．预习范围：P99-100 二、预习要点1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做 ． 如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 。

这个圆叫做该正多边形的 .3.把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个 .4.如图，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的 ；OA 是这个正五边形的 ；AOB ∠是这个正五边形的 ；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.三、预习检测分别求出半径为R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 探究1：正多边形正多边形：___________，_____________的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.【想一想】菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？求证：正五边形的对角线相等怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？【定理】把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？那么，正n边形呢？探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形.活动2：探究归纳【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:外接圆的半径正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。

3.8 圆内接正多边形
【自主学习】
（一）复习巩固
1. 等边三角形的边、角各有什么性质？
2. 正方形的边、角各有什么性质？
（二）新知导学
1.各边 ，各角 的多边形是正多边形.
2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做 ，外接圆的半径叫做 ，内切圆的半径做 ．
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 ．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做 ．正n 边形的每个中心角都等于 ．
3. 正多边形都是 对称图形，正n 边形有 条对称轴；正 数边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的 ，正 数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
【合作探究】
1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六边形.
【自我检测】
1．正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的______．
2．正方形ABCD 的内切圆⊙O 的半径OE 叫做正方形ABCD 的______．
3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4．正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5.已知三角形的两边长分别是方程0232
=+-x x 的两根，第三边的长是方程03522=+-x x 的根，求这个三角形的周长.
6．如图，PA 和PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点D ．连结
OP ，CB ．求证：OP ∥CB ；。

3.8圆内接正多边形 导学案班级：_____________姓名：_____________一、 学习目标1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。

二、温故知新1.已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点， （1）若PA=3cm ，则PB= cm 。

（2）若PA=12-x ，PB=5+x ，则x = 。

（3）若⊙O 的半径为3，∠APB=60°，则PA= 。

（1） （2）2.如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点， ∠APB=30°，则∠ACB=（ ）A ．60B ．75C ．105D ．120° 3. 是正多边形。

4.正n 边形的有关计算公式：每个内角= ，每个外角= 。

三、自主探究：阅读课本p97— 98探究（一）圆内接正多边形的定义：正多边形和圆组合的美丽图案（1）都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的。

(2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边形的中心角是度，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的。

例1 ．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．探究（二）1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形；2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形.思考：作正多边形有哪些方法？四、随堂练习1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_____．2.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3.若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是_____度，半径是______，边心距是_____，它的每一个内角是______．4.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）A．4√3B．4C．2√3 D.2 8.5.1994年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R，那么它的边长是（）A.Rsin20°B．Rsin40°C．2Rsin20°D．2Rsin40°6.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。

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圆内接正多边形练习时间:40分钟，总分100分【必做部分】一、选择题：（共30分)1．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )A． B．2 C．2 D．22．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,若⊙O的半径为5,则的长度为( ）A．π B．2π C．5π D．10π3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB为（）A．30° B．40°C．45° D．60°1题 2题 3题二、填空题:（共30分）1．要在一个圆形钢板上，截出一块面积为8cm2的正方形，如图所示，圆形钢板的直径最少是2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1,则的长为3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OAB的度数为1题 2题 3题三、简答题：（共40分)1．如图,正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm,求⊙O的半径．2．如图,⊙O的半径为，⊙O的内接一个正多边形,边心距为1，求它的中心角、边长、面积．【选做部分】1．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4,则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为， .2．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．。