模板式导学案正多边形和圆

正多边形和圆教学目标：1、使学生了解在任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；正多边形都是轴对称图形，有偶数条边的正多边形又是中心对称图形；边数相同的正多边形都相似．2、使学生理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．3、通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；4、通过正多边形有关概念的教学，培养学生的阅读理解能力．教学重点：正多边形的性质；正多边形的有关概念．教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．教学过程：一、新课引入：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．那么给定正多边形能否得到圆呢？为解决此问题本堂课继续研究正多边形和圆．正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的性质．例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．正多边形也是轴对称图形，正n边形就有n条对称轴，当n为偶数时，它又是中心对称图形，而且绕中的联系．根据“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心矩把正n边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的有关计算转变为解直角三角形问题．二、新课讲解：复习提问：1．作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？[安排记起来的学生回答]．2．作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？[请回忆起来的学生回答]．请两名中上学生到黑板前一人画不等边三角形的外接圆与内切圆，另一人画正三角形的外接圆与内切圆，其余学生在练习本上画上述两种三角形的外接圆与内切圆．教师引导：通过作图不难发现，不等边三角形都既有一个外接圆，又都有一个内切圆．大家观察黑板上两种三角形的外接圆与内切圆，结合你画的图，你发现正三角形的外接圆与内切有什么特殊之处？(学生思考、回答：正三角形的外接圆与内切圆是同心圆．)教师引导：正方形是不是既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心呢？[学生讨论]在学生讨论的基础上，教师依次提问如下问题：1．正方形外接圆的圆心在哪？(安排中上生回答：正方形对角线的交点．)2．根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？(安排中上生回答)3．正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？(安排中上生回答)．引导：通过大家画图实践与理论探讨发现正方形既有一个外接圆又有一个内切圆并且两圆同心．大家再看看矩形、菱形是否具有这条性质？(学生在练习本上画、前后左右讨论得出矩形只有外接圆，菱形只有内切圆结论)引导：我们发现正三角形既有外接圆又有内切圆且两圆同心，发现正方形也是如此，我们猜想正多形是否都具备这个性质呢？挂出预先画好一个正五边形ABCDE的小黑板．讲解：如果正五边形ABCDE有外接圆，则A、B、C、D、E五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等．大家知道不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE的顶点A、B、C作⊙O，连结OA、OB、OC、OD、OE．OA=OB=OC；证OD=OA、OE=OA即可．板书：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．分析、启发、提问：1．证点D在⊙O上就是证OD=OA，你打算证哪两个三角形全等？(安排中下生回答)．2．要证△AOB≌△COD已具备了哪些全等条件？(安排中下生回答)．3．要证△AOB≌COD还缺少什么条件？(安排中下生回答)．4．谁能证∠3=∠4？(安排中上生完成)板书：△OAB≌△ODCABCDE有一个外接圆⊙O．讲授：照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形不都应当有一个外接⊙O吗？分析、启发、提问：既然正五边形有一个外接⊙O，那么正五边形的五条边也就应是⊙O的五条等弦．根据弦等、弦心距相等，可知点O到五边的距离相等．那么正五边形有无内切圆呢？圆心是谁？半径是谁？(按中等生回答)．同样，正n边形也应有一个内切⊙O，且两圆同心．哪位同学能叙述一下正多边形的这个性质定理？(安排中上生回答)板书：定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．引导，正n边形既有一个外接圆又有一个内切圆，而且两圆同心就给正多边形带来了一系列的有关概念，请阅读教材P.158下数第2自然段．学生看书，教师板书：1．正多边形中心；2．正多边形半径；3．正多边形的边心距；4．正多边形的中心角．幻灯显示练习题，教师提问：1．O是正△ABC的中心，它是正△ABC的______圆与______圆的圆心；2．OB叫正△ABC的______它是正△ABC的______圆的半径；3．OD叫作正△ABC的______，它是正△ABC的______圆的半径．4．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．5．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．6．⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的______，它是正五边形ABCDE的圆的半径．7．∠AOB叫做正五边形ABCDE的______角，它的度数是______．8．图中正六边形ABCDEF的中心角是______，它的度数是______．9．你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？10．正三角形的一个外角度数是______；正方形的一个外角度数是______；正五边形的一个外角度数是______；正六边形的一个外角度数是______；正n边形的一个外角度数是______．11．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．教师引导：下面我们研究正多边形都具有哪些性质？教师提问：根据正多边形的定义，你想到它应具有什么性质？(安排中下生回答)板书：正多边形性质：1．各边都相等；2．各角都相等．教师提问：1．什么叫轴对称图形？(安排记起来的学生回答)．2．正三角形是不是轴对称图形？(让中下生答)．3．它有几条对称轴？(中等生回答)．4．正方形是不是轴对称图形？(中下生回答)．5．它有几条对称轴？(中等生回答)幻灯演示：观察图中正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？(学生思考、讨论)引导：以此类推，对正n边形又该有什么结论？(让中下生回答)板书：性质3．正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．教师提问：1．什么叫中心对称图形？(让记起来的学生回答)．2．正三角形是不是中心对称图形？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？3．什么样的正多边形是中心对称图形？(安排中等学生回答)．板书：续性质3 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．教师提问：1．所有的等边三角形都相似吗？为什么？(安排中上生回答)．2．所有的正方形都相似吗？为什么？(安排中等生回答)．3．所有的边数相同的正多边形都相似吗？为什么？(由中下生回答)．板书：性质4．边数相同的正多边形相似．(教师讲解)：大家都记得相似多边形的周长比等于相似比．面积的比等于相似比平方，不难证明，相似正多边形的边心距、半径的比都等于相似比．板书：续性质4，它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．性质5：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．三、课堂小结：本堂课主要学习了正多边形的两部分有关内容：1．概念；2．性质．教师提问：1．你学习了正多边形的哪些有关概念？2．正多边形有哪些性质？。

24.3 正多边形和圆一、学习目标：1知识与技能：（1）了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

（2）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。

2过程与方法：（1）学生在探讨正多边形有关计算过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力。

（2）在探索正多边形有关过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合运用所学的知识和技能解决问题。

3情感、态度与价值观：（1）学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。

（2）运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习自信心。

二、教学重难点：教学重点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，并能进行有关计算。

教学难点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。

三、教学方法：引导学生采用自主合作探究的方式进行学习四、教学准备：PPT课件、圆规、直尺五、教学过程：导入：前面我们学习了许多图形与圆的关系，如：点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系，还有什么图形我们没有与圆联系上呢？（多边形）那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。

看看它们之间有怎样的联系，又给我们带来什么样的知识。

（一）自习交流：1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容，勾画你认为重要的地方和有疑问的地方。

①什么是多边形？多边形的内角和与外角怎么计算的？②正多边形和圆有什么关系？③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径，并结合以前的知识说说它们的特点？④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半径、周长和面积？2.师生交流重要知识点：（1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如正五边形：AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E正多边形的内角和： 内角和=（n －2）×180°正多边形的外角: no360=外角（2）正多边形和圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. （3）正多边形的中心、中心角、边心距和半径：中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，是各边垂直平分线的交点，也是每个内角的角平分线的交点，即内切圆的圆心。

正多边形和圆导学案一、导学1.导入课题：情景：欣赏下面图片.问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？2.学习目标：（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.（2）会进行特殊的正多边形的有关计算，会画某些正多边形.3.学习重、难点：重点：正多边形的有关概念与计算.难点：正多边形的有关计算.二、分层学习第一层次学习1.自学指导⑴自学内容：P105—P106页的内容.⑵自学时间：6分钟.⑶自学方法：完成自学参考提纲.⑷自学参考提纲：①什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？②正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？如果是，指出它的对称轴和对称中心.③以正六边形为例，指出下面左图中正多边形的中心、半径、中心角和边心距.④正n边形的每个内角都为_______°，每个外角都为________°，中心角为________°.⑤有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一位).在上面右图中添加辅助线构造直角三角形，并给出解答.3.助学：(1)师助生：①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：⑴正多边形的相关概念.⑵正n多边形的对称性.1.自学指导⑴自学内容：P107页.⑵自学时间：4分钟.⑶自学要求：阅读并画图，推理以加强理解.⑷自学参考提纲：①两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是＿＿＿＿＿＿；第二种方法的依据是 .②分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：明了学生是否明白画图的依据.②差异指导：根据学情进行指导.(2)生助生：生生互动，交流、研讨.4.强化：正多边形的画法.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：⑴表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等.⑵纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价.（教学反思）.。

课堂教学导学案
展示精讲点拨3、正n边形的的周长= ，面积= 。

点拨:
4、常见正多边形R、r、a/2之间的关系：
正三角形：r:a/2:R= 正方形：r:a/2:R= 正六边形：r:a/2:R=
当堂训练拓展延伸基础训练：
1.如图5所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）
A、60°
B、45°
C、30°
D、22.5°
2.正方形的边长为a，那么这个正方形的半径是，边心距是 .
3. 已知正三角形的边长为a，其内切圆半径为r，外接圆半径为R，则r：a：R等于（）(提示：任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆，它们的同心圆)
A、1 ：3
2：2 B、1 ：3：2 C、1 ：2 ：3 D、1 ：3：3
2
4.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五等分点
而得到(如图6),五角星的每一个角的度数为（）
A. 30
B. 35
C. 36
D. 37
5.已知：如图7，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O的半径是2，连接OB,OC.
(1)求∠B OC的度数；（2）求正六边形ABCDEF的周长.
拓展延伸：
已知：⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．
课堂小结1、正多边形的有关概念：
2、正多边形的有关计算：
3、正多边形与圆的关系：
总结反思。

1. 让学生了解正多边形的定义及其性质。

2. 让学生掌握正多边形与圆的关系。

3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 正多边形的定义及性质。

2. 正多边形与圆的关系。

3. 正多边形的计算与应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正多边形的定义、性质及正多边形与圆的关系。

2. 教学难点：正多边形的计算与应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究正多边形的性质。

2. 利用几何画板软件，直观展示正多边形与圆的关系。

3. 结合实际例子，让学生运用正多边形的知识解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：讲解正多边形的定义，引导学生思考正多边形的性质。

2. 探究：让学生通过观察、操作，发现正多边形与圆的关系。

3. 讲解：讲解正多边形的计算方法，并举例说明。

4. 应用：布置练习题，让学生运用正多边形的知识解决实际问题。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调正多边形与圆的关系。

6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

1. 通过课堂提问，了解学生对正多边形定义和性质的掌握情况。

2. 通过练习题，评估学生对正多边形与圆的关系的理解程度。

3. 观察学生在实际问题中的应用能力，评估其对正多边形计算方法的掌握。

七、教学资源1. 几何画板软件：用于直观展示正多边形与圆的关系。

2. PPT课件：用于讲解正多边形的性质和计算方法。

3. 练习题：用于巩固学生对正多边形的理解和应用能力。

八、教学进度安排1. 第1周：介绍正多边形的定义及性质。

2. 第2周：讲解正多边形与圆的关系。

3. 第3周：讲解正多边形的计算方法。

4. 第4周：实际问题中的应用练习。

九、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生反馈调整教学策略。

2. 考虑如何更好地引导学生发现正多边形与圆的内在联系。

3. 评估作业难度，确保作业能够有效巩固所学知识。

十、拓展与延伸1. 引导学生探究正多边形在现实生活中的应用。

2. 介绍正多边形的相关历史背景和文化意义。

24.3正多边形和圆【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.（1）你能从图案中找出多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知1.正多边形和圆的关系问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 3BCE CDA AB是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.2.正多边形的有关概念综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°（n-2）n3.正多边形和圆有关的计算问题例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.4.画正多边形画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：（1）用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.（2）用尺规等分圆正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB 的度数为_______.2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.（1）求图1中的∠MON的度数；（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案）【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.【答案】1.72°4.解：（1）连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.24.3正多边形和圆一、新课导入1.导入课题：情景：欣赏下面图片.问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？2.学习目标：（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.（2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.3.学习重、难点：重点：正多边形的有关概念与计算.难点：正多边形的有关计算.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第105页至第106页的内容.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲：①什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形和菱形不是正多边形，正方形是正多边形.②正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？是轴对称图形，不一定是中心对称图形.③以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、半径、中心角和边心距.中心：点O.半径：OC、OE、OF.中心角：∠EOF.边心距：OM.④正n 边形的每个内角都为()n ?n -︒2180，每个外角都为n ︒360，中心角为n︒360. ⑤有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一位).解：作OM ⊥BC 于M.连接OB 、OC,∵ABCDEF 是正六边形,∴△OBC 为正三角形,∴∠MOC=12∠BOC=30°，OB=BC=OC. ∴l ＝6BC ＝6OB ＝6×4＝24（m ）.在Rt △OMC 中，∵∠MOC=30°，∴MC=12OC=2m. ∴OM=OC 2-MC 2=23m.∴（）OBC S BC OM m ==⨯⨯=2114234322. ∴()正六边形OBC S S .m ==≈26243416.即地基的周长为24m,面积约为41.6m2.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)正多边形的相关概念.(2)正n 多边形的对称性.(3)填表：1.自学指导：(1)自学内容：教材第107页的内容.(2)自学时间：4分钟.(3)自学要求：阅读并画图，推理以强化理解.(4)自学参考提纲：①两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是作相等的圆心角；第二种方法的依据是在圆上作相等的弧.②分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否明白画图的依据.②差异指导：根据学情进行指导.(2)生助生：生生互动，交流、研讨.4.强化：正多边形的画法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)本节课首先从复习正多边形的定义入手,通过创设问题情境,将正多边形与圆紧密联系,让学生发现它们之间的密切关系,并将结论由特殊推广到一般,符合学生的认识规律,通过学习正多边形中的一些基本概念,引导学生将实际问题转化为数学问题,体现了化归的思想.其次,在这一基础上,又教给学生用等分圆周的方法作正多边形,这可以发展学生的作图能力.(2)等分圆周法是一种作正多边形的常见方法,通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列说法中正确的是（ C ）A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形2.(10分)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于（A ）A.36°B.18°C.72°D.54°3.(10分) 如图，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O （使直角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是（A ）A.4B.5C.6D.74.(20分) 如图，要拧开一个边长为a=6mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为多少？解：如图，∠ABC=120°.AB ＝a,AC ＝b.过B 作BD ⊥AC 于点D,则AD=DC=12b. 在Rt △ABD 中，∠BAC=30°,∴BD=12AB=3mm. ∴AD AB BD =-=-=22226333（mm ）.∴b=2AD=63mm.即扳手张开的开口b 至少要63mm.5.(20分) 如图，正方形的边长为4cm ，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：设正八边形的边长为x cm,则xx -⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭22422.即x2+8x-16=0.解得x=-1424，x=--2424(舍去).∴剪去的四个小三角形的面积为()()⎡⎤--⎢⎥⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦24424144832222cm2.∴正八边形的边长为()-424cm,面积为()()cm⨯--=-2444832232232.二、综合应用（20分）6.(20分) 如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM.（1）求证：△BCF≌△CDM；（2）求∠BPM的度数.（1）证明：∵ABCDE是正五边形，∴BC=CD,∠BCD=∠CDM，又CF＝DM,∴△BCF≌△CDM.（2）解：由（1）知∠FBC=∠MCD，∴∠BPM=∠FBC+∠BCM=∠MCD+∠BCM=∠BCF=35×180°=108°.三、拓展延伸（10分）7.(10分) 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（B）A.a4＞a2＞a1B.a4＞a3＞a2C.a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a4。

九年级数学学科导学案
巩固案
1.判断
(1)各边相等的多边形是正多边形.（ ）(2)各角相等的多边形是正多边形.（ ）
(3)正十边形绕其中心旋转36°和本身重合.（ ）
2.正多边形都是 对称图形，一个正n 边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是 ，又是 对称图形。

3.正十二边形的每一个外角为 °每一个内角是 °该图形绕其中心至少旋转 °和本身重合.
4.用一张圆形纸剪一个边长为4cm 的正六边形，则这个圆形纸片半径最小应为_ cm.
5.正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
6.已知三角形的两边长分别是方程0232=+-x x 的两根，第三边的长是方程03522=+-x x 的
根，求这个三角形的周长。

自我评价：___________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________。

24.3正多边形和圆、新课导入1•导入课题:2•学习目标：(1)理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念(2)会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形3•学习重、难点：重点：正多边形的有关概念与计算•难点：正多边形的有关计算•二、分层学习第一层次学习1•自学指导：(1) 自学内容：教材第105页至第106页的内容•(2) 自学时间：6分钟•(3) 自学方法：完成自学参考提纲•(4) 自学参考提纲：①什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形•矩形和菱形不是正多边形，正方形是正多边形•②正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？是轴对称图形，不一定是中心对称图形③以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、心距•中心：点0.半径：0C、OE、OF.情景：欣赏下面图片问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系?半径、中心角和边中心角：/ EOF.边心距：0M.④正n边形的每个内角都为“ 2 ?80，每个外角都为^6^，中心角为.n n n ⑤有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(保留小数点后解：作0M丄BC于M.连接OB、0C, •/ ABCDEF是正六边形•••△ OBC 为正三角形,•••/ MOC= 1/ BOC=30 , OB=BC=OC2• I = 6BC = 6OB = 6^4 = 24 ( m)在Rt△ OMC 中，•••/ MOC=3° ,• MC= 1 OC=2m.2• OM=OC 2-MC 2= 2 .3 m.…S OBC = —BC|_O M = — 4 2^3 =4 , 3(m ).f 2 2=6S°BC =24；3 41.6 m…S正六边形即地基的周长为24m,面积约为41.6m2.2•自学：学生结合自学指导进行自学.3. 助学：(1)师助生：①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导(2)生助生：小组内相互交流、研讨4. 强化：(1) 正多边形的相关概念.(2) 正n多边形的对称性.⑶填表：正务边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积岳1 6 3 3 3 60fl丨21「22斗血90°2184 6120°60°2212 6 31•自学指导:(1) 自学内容：教材第107页的内容.(2) 自学时间：4分钟.(3) 自学要求：阅读并画图，推理以强化理解•(4) 自学参考提纲：①两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是作相等的圆心角；第二种方法的依据是在圆上作相等的弧•2•自学：学生结合自学指导进行自学3•助学：(1)师助生：①明了学情：明了学生是否明白画图的依据②差异指导：根据学情进行指导(2)生助生：生生互动，交流、研讨4•强化：正多边形的画法.三、评价1•学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？2•教师对学生的评价：(1) 表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等•(2) 纸笔评价：课堂评价检测•3•教师的自我评价(教学反思) :(1)本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般,符合学生的认识规律,通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想•其次,在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形,这可以发展学生的作图能力.(2)等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的第二层次学习②分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况， 可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、 最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势， 在 高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.----------- 评价作:亚I ------------------------------------- ■>（时间：12分钟满分：100分）、基础巩固（70分）1. （10分）下列说法中正确的是（C ） A. 各边都相等的多边形是正多边形B. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 各边都相等的圆内接多边形是正多边形D. 各角都相等的圆内接多边形是正多边形4.（20分）如图，要拧开一个边长为 a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口 b 至少为多少？解：如图，/ ABC=120 .AB = a,AC = b.过 B 作 BD 丄 AC 于点 D, 贝U AD=DC= 1 b2在 Rt △ ABD 中，/ BAC=30 ,••• BD= — AB=3mm.2• AD = AB 2 BD 2 = , 62 32 = 3 - 3 (mm ) • b=2AD=63mm.即扳手张开的开口 b 至少要6.3 mm.2. （10分）如果一个正多边形的每个外角都等于36 °,则这个多边形的中心角等于（ A ） D.54 °3.（10分）如图，点0是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，么n 的所有可能取值的个数是（A ）A.4B.5C.6D.75. （20分）如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积解：设正八边形的边长为xcm,2则i 4^x 2 二X2.即X2+8X-16=0..2解得X, , X2 - -4 2-4 （舍去）.- 2•••剪去的四个小三角形的面积为4‘4血4）疋丄；＜4 =（48 _32血）cm22 2 _V』•正八边形的边长为 4 2 -4 cm,面积为4 4 - 48-32••三二3^ 2 -32 cm2.、综合应用（20分）6. （20分）如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P, CF=DM.(1)求证：△ BCFCDM ;(2)求/ BPM的度数.(1)证明：T ABCDE是正五边形，• BC=CD, / BCD= / CDM，又CF = DM,(2)解：由(1)知/ FBC= / MCD ,• / BPM= / FBC+ / BCM= / MCD+ / BCM= / BCF= 3X180 °108〔三、拓展延伸(10 5分)7. （10分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的直径”封闭图形的周长与直径之比称为图形的周率”下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1, a2, a3, 84,则下列关系中正确的是（A.a4> a2> a1B.84> a3> a2C.a1 > a2> a3D.a2> a3> a4。

模板式导学案（正多边形和圆）学校科目课题课型教师班级小组学生时间编号一、学习目标1、学习目标：（1）、知道正多边形的概念、正多边形和圆的关系；正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念（2）、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；（3）、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？二、展示预设观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？对学群学本组疑问四、1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．求证：五边形ABCDE是正五边形．拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？总结提升（固定环节）三、学习内容（议一议）活动一：什么是正多边形？活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。

活动三探索正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。

问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正五、达标测试1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．。

山阳县色河中九年级数学学科导学案
注：本导学案只是为大家提供一个一般模式和思路，不同的学科，不同的章节，不同的课型可以在此基础上灵活变通。

1、探究的环节可根据教学内容设计，也可用活动取代，新授课不可缺少，应是一节课精彩之所在，如理科就可用做题后展示纠错来体现。

2、要有时间观念，把握时间分配，切忌虎头蛇尾，没有了当堂检测环节。

3、纠错一定要先学生后老师。

4、对学生的表现要多表扬，用掌声去鼓励，用语言去激励。

5、大胆放手，给学生完成的东西应面面俱到，讲解的东西一定要有取舍，学生已会的不讲，学生能做的不做，学生能说的不说。

6、教学反思不可少，是评价教案质量的一个重要指标。