青岛版3.7正多边形与圆1导学案

3.7.1 正多边形和圆【学习目标】1.了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.【学习重难点】1、探究正多边形和圆的关系，了解有关概念.2、会进行相关计算。

【学习过程】一、学习打算：1.正多边形的定义？2.正多边形和圆有何关系？3.正多边形的有关概念.（1）正多边形的_______的圆心叫做正多边形的中心.（2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的_______.（3）正多边形每一边所对的________叫做正多边形的中心角.（4）正多边形_______到一边的距离叫做正多边形的边心距.二、自主探究活动一：视察生活中的一些图形，回顾正多边形的概念.提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？假如一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二：用量角器作正多边形，探究正多边形与圆的内在联系.1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n 边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心，外接圆的半径叫做_______.内切圆的半径叫做___________.3、可以看出，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正 n 边形的每个中心角都等于________.活动三：探究正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？假如是轴对称图形，画出它的对称轴；假如是中心对称图形，找出它的对称中心.问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发觉：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心是正多边形的中心。

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？思索：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，假如有偶数条边，那么它既是，又是 .例：一个正六边形花坛的半径为 R，求花坛的边长 a，周长 p 和面积 S三、课堂小结：1、谈一谈，这节课你有哪些收获？2、对于本节所学内容你还有哪些怀疑？四、随堂训练1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．3、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．4、正五边形的中心角是_____.A. 72 °B.108°C. 36°D. 54°5、已知圆的半径为6，则它的内接正三角形，正方形，正六边形的边长分别是_______.。

青岛版数学九年级上册《正多边形及其性质》教学设计1一. 教材分析《正多边形及其性质》是青岛版数学九年级上册的教学内容。

本节内容是在学生已经掌握了多边形的基本概念和性质的基础上进行讲解的，通过正多边形的特点引导学生探究其性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

教材通过生活中的实例，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对多边形有一定的了解。

但是，对于正多边形的性质，他们可能还没有直观的感受。

因此，在教学过程中，需要通过实物模型、几何画板等教学工具，帮助学生直观地理解正多边形的性质。

同时，九年级的学生已经具备了较高的逻辑思维能力，可以通过引导他们自己发现和总结正多边形的性质，提高他们的自主学习能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，能够运用正多边形的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义，正多边形的性质。

2.难点：正多边形性质的证明和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、启发式教学法、小组合作学习法等，充分调动学生的积极性，引导学生主动探究，发现和总结正多边形的性质。

六. 教学准备1.教学PPT2.正多边形的模型或图片3.几何画板软件七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些生活中的正多边形图片，如正方形、正三角形等，引导学生回顾多边形的基本概念，然后提出问题：“你们知道这些正多边形有什么特殊的性质吗？”2. 呈现（10分钟）利用PPT展示正多边形的性质，如正多边形的所有边相等，所有角相等等。

同时，引导学生通过观察正多边形的模型或几何画板软件，直观地理解这些性质。

3. 操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板软件，自己创建正多边形，并验证正多边形的性质。

正多边形与圆一、目标认知学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．重点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．难点与关键：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系二、知识要点透析知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).知识点二、正多边形的重要元素1. 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2. 正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的有关计算(1)正n边形每一个内角的度数是()2180nn-⋅︒；(2)正n边形每个中心角的度数是360n︒；(3)正n边形每个外角的度数是360 n︒.知识点三、正多边形的性质1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2. 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.3. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.知识点四、正多边形的画法1. 用量角器等分圆：由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.题型分类精讲题型一 正多边形与圆【例1】（1）判断：①正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )②若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )③各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )（2）判断下列各种图形是否一定是正多边形（是打“√”，不是打“×”）。

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3．7 正多边形与圆目标导引1. 了解正多边形和圆的有关概念2. 理解并掌握正多边形半径、边长、边心距、中心角之间的关系3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形重点应用多边形和圆的有关知识计算及画多边形难点应用多边形和圆的有关知识计算及画多边形一、新课导入欣赏下列图片：生活中与多边形有联系的问题处处存在，在我们身边有许多实例，你还能举出哪些例子？怎样方便快捷地设计一个正多边形的图案呢？探究完本节课的内容之后，相信同学们都能设计出自己喜欢的图案．二、教学建议1．正多边形的定义建议：教师引导学生重点关注定义中的“各边相等”“各角相等”这两个条件．这两个条件是相互独立的，二者缺一不可，教学时可以举反例加以甄别，同时强调，定义既是判定又是性质．2．正多边形和圆的关系建议：教师从以下几个层面来进行：(1)以正五边形为例，教师作图演示(平分圆，依次连接各分点构成)，让学生感受正多边形和圆的关系，也为下一步作图奠定基础．教师引导学生从正多边形的定义入手证明，关键是理顺证明的思路．(2)将结论推广到一般情况，同时点明这是研究问题的一种方法：由特殊到一般．3．正多边形有关概念和计算建议：(1)多让学生画图，结合图形让学生明确这些概念与圆的对应关系．(2)引导学生通过分割，把正多边形分割成n个全等的等腰三角形或2n个全等的直角三角形，将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等一些量集中在一个三角形中进行研究，结合勾股定理进行计算．(3)结合实际问题来解题，引导学生体会转化的解题策略：实际问题→数学问题→实际问题(具体→抽象→具体)；多边形问题→三角形问题．4．正多边形的画法建议：教师引导学生利用正多边形和圆的关系，思考利用等分圆周的方法进行尝试．对于特殊图形，如正三角形、正方形、正六边形、正八边形等，引导学生尝试使用尺规作图法作出图形．三、本课小结1．正多边形的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的等量关系．3．画正多边形的方法．4．研究以上问题中所用的数学方法及运用以上知识解决实际问题．关闭Word文档返回原板块。

24.3正多边形和圆【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.（1）你能从图案中找出多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知1.正多边形和圆的关系问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 3BCE CDA AB是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.2.正多边形的有关概念综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°（n-2）n3.正多边形和圆有关的计算问题例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.4.画正多边形画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：（1）用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.（2）用尺规等分圆正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB 的度数为_______.2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.（1）求图1中的∠MON的度数；（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案）【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.【答案】1.72°4.解：（1）连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.24.3正多边形和圆一、新课导入1.导入课题：情景：欣赏下面图片.问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？2.学习目标：（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.（2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.3.学习重、难点：重点：正多边形的有关概念与计算.难点：正多边形的有关计算.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第105页至第106页的内容.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲：①什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形和菱形不是正多边形，正方形是正多边形.②正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？是轴对称图形，不一定是中心对称图形.③以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、半径、中心角和边心距.中心：点O.半径：OC、OE、OF.中心角：∠EOF.边心距：OM.④正n 边形的每个内角都为()n ?n -︒2180，每个外角都为n ︒360，中心角为n︒360. ⑤有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一位).解：作OM ⊥BC 于M.连接OB 、OC,∵ABCDEF 是正六边形,∴△OBC 为正三角形,∴∠MOC=12∠BOC=30°，OB=BC=OC. ∴l ＝6BC ＝6OB ＝6×4＝24（m ）.在Rt △OMC 中，∵∠MOC=30°，∴MC=12OC=2m. ∴OM=OC 2-MC 2=23m.∴（）OBC S BC OM m ==⨯⨯=2114234322. ∴()正六边形OBC S S .m ==≈26243416.即地基的周长为24m,面积约为41.6m2.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)正多边形的相关概念.(2)正n 多边形的对称性.(3)填表：1.自学指导：(1)自学内容：教材第107页的内容.(2)自学时间：4分钟.(3)自学要求：阅读并画图，推理以强化理解.(4)自学参考提纲：①两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是作相等的圆心角；第二种方法的依据是在圆上作相等的弧.②分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否明白画图的依据.②差异指导：根据学情进行指导.(2)生助生：生生互动，交流、研讨.4.强化：正多边形的画法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)本节课首先从复习正多边形的定义入手,通过创设问题情境,将正多边形与圆紧密联系,让学生发现它们之间的密切关系,并将结论由特殊推广到一般,符合学生的认识规律,通过学习正多边形中的一些基本概念,引导学生将实际问题转化为数学问题,体现了化归的思想.其次,在这一基础上,又教给学生用等分圆周的方法作正多边形,这可以发展学生的作图能力.(2)等分圆周法是一种作正多边形的常见方法,通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列说法中正确的是（ C ）A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形2.(10分)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于（A ）A.36°B.18°C.72°D.54°3.(10分) 如图，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O （使直角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是（A ）A.4B.5C.6D.74.(20分) 如图，要拧开一个边长为a=6mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为多少？解：如图，∠ABC=120°.AB ＝a,AC ＝b.过B 作BD ⊥AC 于点D,则AD=DC=12b. 在Rt △ABD 中，∠BAC=30°,∴BD=12AB=3mm. ∴AD AB BD =-=-=22226333（mm ）.∴b=2AD=63mm.即扳手张开的开口b 至少要63mm.5.(20分) 如图，正方形的边长为4cm ，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：设正八边形的边长为x cm,则xx -⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭22422.即x2+8x-16=0.解得x=-1424，x=--2424(舍去).∴剪去的四个小三角形的面积为()()⎡⎤--⎢⎥⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦24424144832222cm2.∴正八边形的边长为()-424cm,面积为()()cm⨯--=-2444832232232.二、综合应用（20分）6.(20分) 如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM.（1）求证：△BCF≌△CDM；（2）求∠BPM的度数.（1）证明：∵ABCDE是正五边形，∴BC=CD,∠BCD=∠CDM，又CF＝DM,∴△BCF≌△CDM.（2）解：由（1）知∠FBC=∠MCD，∴∠BPM=∠FBC+∠BCM=∠MCD+∠BCM=∠BCF=35×180°=108°.三、拓展延伸（10分）7.(10分) 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（B）A.a4＞a2＞a1B.a4＞a3＞a2C.a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a4。

《正多边形与圆》（第1课时）教案探究版一、教学目标知识与技能1．了解正多边形和圆的有关概念，了解正多边形和圆的关系．2．理解并掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念以及它们之间的关系，并能应用它们进行有关的计算．过程与方法结合生活中的正多边形，发现正多边形与圆的关系，然后学会运用圆的有关知识，解决正多边形的问题．情感、态度经历观察、发现、探究等数学活动，感受数学来源于生活，又服务于生活，体会事物之间是相互联系、相互作用的．二、教学重点、难点重点：探索正多边形与圆的关系，弄清正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念．难点：掌握正多边形的半径、中心角、边心距和边长之间的关系．三、教学过程设计（一）复习引入前面我们已经学习了多边形和正多边形的概念，知道了正多边形的各角相等，各边也相等，知道了多边形的外角和等于360°，n边形的内角和等于(n-2)·180°，也研究了等边三角形（正三角形）、正方形（正四边形）的判定和性质，那么正多边形与圆有什么关系呢？这节课我们就来探究这个问题．设计意图：通过简单回顾前面所学的知识引入本节课所学内容．（二）探究新知观察与思考观察下图中的正多边形，思考下面的问题：正六边形正三角形正五边形正方形（1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴，并说出这些对称轴是怎样的直线．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成本题，教师订正． 答：它们都是轴对称图形，其对称轴如下图所示．正三角形的对称轴是三边的垂直平分线；正方形的对称轴是边的垂直平分线和对角线所在的直线；正五边形的对称轴是边的垂直平分线；正六边形的对称轴是边的垂直平分线和相隔两个顶点的两顶点所确定的直线．（2）正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n 边形有几条对称轴吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成本题，教师订正．答：正三角形有3条对称轴；正四边形、正五边形、正六边形分别有4条、5条、6条对称轴；正n 边形有n 条对称轴．（3）通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征？由此你能推出正多边形的什么性质？师生活动：教师出示问题，学生回答，教师补充完善．答：正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等．正多边形的性质：①正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形有n 条对称轴； ②正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等．（4）利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，然后再把发现的结论说出来．答：如下图所示，是同心圆，且圆心是各对称轴的交点．该点到正三角形的各顶点的距离相等，到三边的距离也相等．正六边形正五边形正方形正三角形（5）画出一个正方形，你能说出它的外接圆和内切圆的位置吗？你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，然后再回答问题．答：正方形的外接圆与内切圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点．该点到正方形的各顶点的距离相等，到四条边的距离也相等．（6）由（4）（5）你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗？如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征？师生活动：教师出示问题，引导学生得出结论．答：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点．教师讲解：如下图，正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．（a ）（b ）A可以看出，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于360n︒．（7）你能分别说出上图中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角的度数吗？师生活动：教师出示问题，让学生完成本题．答：上图中正方形的中心为点O，半径为OA，边心距为OP，中心角的度数是90°；正六边形的中心为点O，半径为OA，边心距为OP，中心角的度数是60°．（8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个怎样的图形？相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，再回答问题．答：正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，相应的边心距把其中每一个等腰三角形又分成了两个全等的直角三角形．（9）如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径d分别是多少？它们之间满足什么关系？一般地，如果正n边形的边长为a n，半径为r n，边心距为d n，这三个量之间有什么关系？师生活动：教师出示问题，让学生先根据题意画出图形，然后引导学生完成本题．答：它的外接圆的半径r，内切圆的半径d，它们之间满足d2+22a⎛⎫⎪⎝⎭=r2．如果正n边形的边长为a n，半径为r n，边心距为d n，那么这三个量之间的关系为2222nn nad r⎛⎫+=⎪⎝⎭．（10）以正n边形的中心O为旋转中心，将正n边形旋转360n︒，你能得到什么结论？师生活动：教师出示问题，让学生思考、讨论后回答问题．答：以正n边形的中心O为旋转中心，将正n边形旋转360n︒后与原来的图形重合．（11）正n边形是中心对称图形吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并回答问题，教师订正．答：当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，它的中心O是对称中心．当n为奇数时，正n边形不是中心对称图形．设计意图：培养学生的动手能力、推理论证能力及归纳概括能力．（三）例题精讲例1 一个正六边形花坛的半径为R，求花坛的边长a，周长p和面积S．师生活动：教师出示例题，让学生完成本题，教师针对学生出现的问题讲评． 解：如下图所示，ABCDEF 为正六边形．连接OA ，OB ，作OG ⊥AB ，垂足为点G ，则OA =OB =R ，AB =a ．在等腰三角形AOB 中， ∵∠GOB =12∠AOB =13603026︒⨯=︒， ∴a =2GB =2R sin 30°=R ． ∴p =6R ．∵OG =R cos 30°， ∴S =6S △AOB=2162R ⨯=． 设计意图：培养学生综合运用所学知识解决问题的能力．例2 如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC =4，OG ⊥BC ，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 解：如图，连接OD ．GCF∵六边形ABCDEF 为正六边形， ∴∠COD =3606︒=60°． ∴△COD 为等边三角形．∴CD =OC =4．在Rt △COG 中，OC =4，CG =12BC =12×4=2， ∴OG∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为．设计意图：教师通过引导学生将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中联系起来，将多边形化归为三角形，体现了化归思想．（四）挑战自我如图，正六边形ABCDEF 的边长为5，求对角线AD 、AC 的长．参考答案解：由正六边形的性质可得∠ABC =∠BCD =120°，AB =BC ． ∴在△ABC 中，∠CAB =∠ACB =30°．∴∠ACD =∠BCD -∠ACB =120°-30°=90°，即△ACD 是直角三角形． ∴AD 是正六边形ABCDEF 外接圆的直径． ∵正六边形的边长与外接圆的半径相等， ∴AD =10．在Rt △ACD 中，AC．设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况． （五）课堂练习1．下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反例． （1）正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线；FEDCBA（2）边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形；（4）有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形．2．完成下表中正多边形的计算，并把计算结果填入表内：师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．解：（1）假命题；反例：过正方形对边中点的直线也是正方形的对称轴．（2）真命题．（3）假命题；反例：等边三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形．（4）假命题；反例：直角三角形既有外接圆也有内切圆，但不是正三角形．2．解：设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．（六）课堂小结1．正多边形的概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．2．正多边形的性质（1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴；（2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等；（3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点．3．与正多边形有关的概念（1）正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心；（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距；（4）正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于360n．师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．四、课堂检测设计1．P是正六边形ABCDEF的外接圆上的一点，则∠APB的度数为（）．A．60°B．120°C．30°D．30°或150°2．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）．A．B．C D3．正六边形的边心距与边长之比为（）．A 3B 2C．1∶2 D∶24．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为___________．5．如图，点M，N分别是正八边形相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN，则∠MON=_______度．1．D．2．C．3．B．4．100π-5．45．。

课题 3.7正多边形与圆课型新授课教材分析本节课主要研究正多边形与圆的关系，探索正多边形的性质，是今后进一步研究圆的性质的基础，在教材中有着承上启下的重要地位。

本节课从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。

利用正多边形和圆的位置关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。

学情分析在此之前学生已经学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系，这些知识都将为本节课的学习起着铺垫作用。

九年级学生已经具备了一定的观察能力和分析问题的能力，但思维的严谨性和抽象性仍比较薄弱，需要在教学过程中加以引导。

教学目标认知目标1．了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，了解正多边形与圆的关系；2．探索正多边形的性质，能利用正多边形的性质进行有关的计算.感情目标培养学生科学严谨的治学态度。

教学重难点重点：正多边形与圆的关系.难点：正多边形的有关计算.教学准备多媒体投影、小黑板教学课时一课时教学过程学习任务活动设计一、复习旧知正多边形的定义：正n边形有条边，个角，内角和为，每个内角为.二、自主探究（一）探究：正多边形的性质一、感情调节（2mins)折一折正方形纸片，思考以下问题：1、正三角形的对称轴有几条？正四边形呢？正五边形呢？正六边形呢？…猜测：正n边形的对称轴有什么特征？1、正多边形是中心对称图形吗？2、观察每一个正多边形纸片上的折痕，对称中心O到各个顶点的距离相等吗？对称中心O到各边的距离相等吗？猜想：正n边形呢？（二）自学课本110页，学习正多边形的中心，半径，边心距，中心角，在纸片上标出中心，半径，边心距，中心角。

练习一：填写下列表格反思总结：（1）正n边形的内角和是，每个内角是，每个中心角是。

（2）边长为a，边心距d的正n边形，周长是，面积为。

（三）探究：三边关系观察正多边形纸片，思考：中心角所在的三角形是什么三角形？二、自学提示（8mins)(自主学习及任务设计）阅读教材109页-110页（5mins）1．静心默读，并用红笔标出你认为重要的内容。