第二章变化率与导数最新衡水中学自用精品教学与导学设计

数学选修《变化率与导数》高中教案数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。

它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。

学生理解气球平均变化率问题和逼近的思想方法的应用。

四、教学支持条件分析在教学中适时地使用信息技术，充分发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解概念1.通过将计算结果实物投影，让学生积极主动地参与到课堂中来，使学生保持高水平的思维活动；2.通过几何画板演示，使学生对概念的理解更直观，生动。

五、教学过程设计1.创设情境、引入新课教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。

在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。

设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系；其次，概述了微积分的创立史及它的地位；第三，概述本章的学习内容。

2.实例探索，引出概念问题1：大家可能有过吹气球的经验。

在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。

这个过程中的自变量和函数值分别是谁?试建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程呢?设计意图：通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：回忆吹气球的过程（或者让学生现场吹气球），建立半径r关于体积V的函数关系：r（V）?r（V2）?r（V1）。

通过观察和计算，用数据解释上述现象，并通过几何画板演示，更逼真的V2?V1感受上述现象。

图1直观地演示了当球的体积增大（黑色部分面积变大，绿色越来越薄）时，半径增大越来越小。

图2演示当A，B两点向右运动时，自变量的增量保持不变，但是平均变化率越来越小。

113第二章 变化率和导数 2．1．1瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。

第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。

四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。

五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。

六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。

他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。

课题：3.1 函数的变化率教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础。

2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。

3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。

并养成学生探究——总结型的学习习惯。

教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。

教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。

教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。

二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示才问题：当自变量x样表示？ 分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A自变量x 的改变量：1x x =∆ 函数值y 的改变量：1y y =∆ 直线AB 的斜率：xyx x y y k ∆∆=--=0101说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ∆为定值）时，垂直距离变化量（y ∆）越大，则这段山路越陡峭；2、选取弯曲山路CD 放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。

人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计一、教学目标1.理解数学函数中变化率的概念和意义；2.掌握求解平均变化率和瞬时变化率的方法；3.理解导数的概念和意义；4.了解导数的符号、性质和计算方法；5.应用导数解决实际问题。

二、教学内容1.变化率的概念和意义；2.平均变化率的概念、计算方法及应用；3.瞬时变化率的概念、计算方法及应用；4.导数的概念和意义；5.导数的符号、性质和计算方法；6.导数的应用。

三、教学重点1.变化率的概念和意义；2.平均变化率和瞬时变化率的计算方法和应用；3.导数的概念、符号、性质和计算方法。

四、教学难点1.理解瞬时变化率的概念和意义；2.掌握求解导数的方法和应用。

五、教学方法1.讲授相结合的教学法；2.解决问题的教学法；3.案例教学法。

六、教学过程第一步：导入1.引入函数的概念，让学生了解函数的基本概念；2.介绍变化率的概念，让学生了解变化率的意义；3.引入平均变化率和瞬时变化率的概念，让学生了解两种变化率的区别和联系。

第二步：讲解1.讲解平均变化率的概念和计算方法；2.讲解瞬时变化率的概念和计算方法；3.讲解导数的定义和求导法则；4.讲解导数的符号、性质和计算方法。

第三步：示范1.示范如何求解平均变化率和瞬时变化率；2.示范如何求解导数。

第四步：练习1.练习求解平均变化率和瞬时变化率的题目；2.练习求解导数的题目；3.进行案例分析，让学生应用导数解决实际问题。

第五步：巩固1.总结导数的定义、求导法则、符号和性质；2.总结平均变化率、瞬时变化率和导数的应用。

第六步：拓展1.对导数的拓展，介绍高阶导数的概念和意义；2.对导数的应用进行拓展，介绍相关变化率的概念和计算方法。

七、教学评估1.课堂练习；2.作业练习；3.考试。

八、教学资源1.教材：人教版高中数学选修1；2.PPT课件；3.练习册。

九、教学反思本节课主要讲授了变化率和导数的概念、计算方法及应用，课堂中通过讲解、示范和练习等多种教学方法，让学生系统地掌握了这些知识点。

数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。

它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。

下面是课件网整理的有关数学选修《变化率与导数》高中教案。

高中数学选修1-1《变化率与导数》教案1教学准备教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.教学重点/难点教学重点瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点会求简单函数y=f（x）在x=x0处的导数教学用具多媒体、板书标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位米）与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系h（t）=-9t2+5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究[1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数，那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少解析探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位米）与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系 h（t）=-9t2+5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态（请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

§1.1 变化率与导数学案§1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 教学难点：平均变化率的概念. 教学过程： (一)问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 分析： (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出：思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,hto同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy.解:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 解:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率.五、课堂反馈1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 2．一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －63．将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4．在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy ∆∆为（ ）A 21+∆+∆x xB 21-∆-∆x xC 2+∆xD xx ∆-∆+12 5．在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是（ ） A 在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1B 在49650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0C 运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢D运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小§1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：导数的概念. 学习过程： 一、创设情景(一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)探究过程:二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论:小结:2.导数的概念 从函数)(x f y =在0x x=处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或'|x x y =即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0xx x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以 0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim .解: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况. 四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在0x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ）A x x f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'lim 0 B x x f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'lim C x x f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'lim 0 D x x x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim 3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ） A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3C －2D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xy x lim 07．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。

人教版高中选修1-13.1变化率与导数课程设计一、课程概述本课程主要涉及变化率与导数的相关知识，是高中数学选修1中的一部分。

在本课程中，学生将学习如何计算函数的导数以及利用导数求解优化问题。

同时，本课程将帮助学生深入理解函数的变化规律，能够在实际生活中灵活运用导数的概念和方法。

二、教学目标•理解函数的变化率概念和导数的定义；•掌握导数的运算法则，如求和法、差法、积法、商法；•能够利用导数求某一函数的极值，解决最值问题；•学习平均变化率和瞬时变化率的概念；•能够利用平均变化率和瞬时变化率求解实际生活中的问题。

三、教学内容1. 导数的定义及求法知识点：•导数的定义；•洛必达法则求导法；•常函数、初等函数的导数公式；•导数运算法则：求和法、差法、积法、商法。

学习目标：•理解导数的定义；•掌握求导的方法和技巧；•熟练掌握初等函数的导数公式和导数的运算法则。

2. 极值问题知识点：•极值的概念；•极值定理；•求函数的极值的方法；•极值问题的应用。

学习目标：•掌握函数极值问题的解法；•能够灵活运用极值问题解决实际生活中的问题。

3. 平均变化率和瞬时变化率知识点：•平均变化率的概念；•瞬时变化率的概念；•通过导数求解瞬时变化率。

学习目标：•理解平均变化率和瞬时变化率的意义及概念；•掌握计算平均变化率和瞬时变化率的方法；•熟练掌握通过导数求解瞬时变化率的技巧。

四、教学方法本课程采用讲授-练习相结合的教学方法。

教师应通过讲解相关知识点、梳理思路、演示计算方法等方式引导学生掌握所学知识；同时通过举例、练习、考试等方式来加深学生对知识点的理解，督促学生熟悉掌握。

并需注重培养学生的解决实际问题的能力，引导学生将所学知识应用到实践中。

五、教学要点•导数的定义及求法；•常函数、初等函数的导数公式；•导数运算法则：求和法、差法、积法、商法；•求函数的极值的方法；•极值问题的应用；•平均变化率和瞬时变化率的概念及其计算方法。

六、教学时长本课程需要4个学时，建议在连续的2-3周内进行授课，以便学生能够更好地掌握所学知识。

题型一 导数定义的应用函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx，这是数学上的“逼近思想”. 例1 求函数f (x )＝2x 2＋5在x ＝1点处的导数．解 方法一 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2(1＋Δx )2＋5－(2×12＋5)Δx＝4＋2Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(4＋2Δx )＝4. 方法二 (先求f ′(x )，再求f ′(1))Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝2(x ＋Δx )2＋5－(2x 2＋5)Δx＝4x ＋2Δx ，∴f ′(x )＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x .∴f ′(1)＝4. 反思与感悟 求函数f (x )在一点处的导数有两种方法：直接利用定义；先求函数f (x )的导函数f ′(x )，再代入求函数一点处的导数．跟踪训练1 求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝2处的导数． 解 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝12＋Δx ＋1－12＋1Δx ＝－19＋3Δx， ∴f ′(2)＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫－19＋3Δx ＝－19. 题型二 导数与曲线的切线利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型． 例2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. 当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值． 解 依题意有：f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， ∴l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0，∵l 与圆相切，∴|2－a |4(a －1)2＋1＝12⇒a ＝118， ∴a 的值为118.。