专题波的多解问题

s = nλ + ∆s
t = kT + ∆t
s nλ + ∆s v= = t kT + ∆t
其中n=0,1,2,3,…; 其中n=0,1,2,3,…; k=0,1,2,3,….
例3、绳上有一列简谐波向右传播。当绳上某点A向上 绳上有一列简谐波向右传播。当绳上某点A 运动到最大位移时，在其右方相距0.3m的质点B 0.3m的质点 运动到最大位移时，在其右方相距0.3m的质点B刚好 向下运动到最大位移。已知波长大于0.1m 0.1m， 向下运动到最大位移。已知波长大于0.1m，求这列波 的波长。 的波长。
例1、如图所示为一列横波在某时刻的波形图。 如图所示为一列横波在某时刻的波形图。 此时x=2m处的质点M恰好位于平衡位置， x=2m处的质点 此时x=2m处的质点M恰好位于平衡位置，再 经过0.1s 质点M到达y=2cm 0.1s， y=2cm。 经过0.1s，质点M到达y=2cm。已知波的周期 大于0.1s 求波速。 0.1s。 大于0.1s。求波速。
分析：由于波的周期大于0.1s，故波在0.1s内传播的距离必小于 分析：由于波的周期大于0.1s，故波在0.1s内传播的距离必小于 0.1s 0.1s 一个波长。 到达的新位置可以画出再过0.1s时的波形图如图。 0.1s时的波形图如图 一个波长。由M到达的新位置可以画出再过0.1s时的波形图如图。 由于不知道波的传播方向，也无法确定波的传播方向， 由于不知道波的传播方向，也无法确定波的传播方向，故 新的波形可能是原波形向右传播λ/4而形成的， λ/4而形成的 新的波形可能是原波形向右传播λ/4而形成的，也可能是原波形 向左传播3λ/4而形成的。这两种情况都是可能的。 3λ/4而形成的 向左传播3λ/4而形成的。这两种情况都是可能的。故在解题时要 分两种情况讨论。 分两种情况讨论。

•波传播的双向性 •在一维的条件下，机械波既可以向x轴正方向传播，又可 以向x轴负方向传播，这就是波传播的双向性．波沿正负两 个方向传播的最短时间之和为一个周期、最短距离之和为
一个波长．
•即Δt左＋Δt右＝T，Δx左＋Δx右＝λ.如图所示，实线为t时刻波 形，虚线为t＋Δt时刻波形．
机械波多解问题中物理量的处理
物理
选择性必修 第一册
专题：波的多解问题
情境导入
如图所示，机械波可以向左传播，也可以向右传播， 这样就形成了多解的问题。另外，质点可以向上振动， 也可以向下振动，这样也能出现多解的情况。那么，如 何研究和处理机械波的多解问题呢？
知识海洋
机械波的多解问题
1.波动问题多解的主要因素 （1）周期性 ①时间周期性：时间间隔Δ t 与周期T 的关系不明确。 ②空间周期性：波传播的距离Δ x 与波长λ 的关系不明确。 （2）双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
（1）如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周 期是多大？
（2）如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周 期是多大？
课堂优化3
• 一列横波在x轴上传播，当t=0和t=0.005 s时的两波形图如 图，求：（1）设周期大于（t2-t1），如果波向右（或
向左）传播时，波速各为多少？ （2）设周期小于（t2-t1），波速为6 000 m/s，求波的传 播方向。
机械波在一个周期内不同时刻图象的形状是不同的，但在相隔时 间为周期整数倍的不同时刻图象的形状则是相同的。机械波的这 种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与 之对应。即三个物理量可分别表示为：
x n x
t kT t
v x n x
t kT t

题组剖析
1．(2018· 河北唐山一模)(多选)如图所示为一列向左传播的横波的图象，图 中实线表示 t 时刻的波形，虚线表示又经 Δt＝0.2 s 时刻的波形，已知波长 为 2 m，下列说法正确的是( A．波的周期的最大值为 2 s 2 B．波的周期的最大值为 s 9 C．波的速度的最小值为 9 m/s D．这列波不能发生偏振现象 E．这列波遇到直径 r＝1 m 的障碍物会发生明显的衍射现象
备选训练
备选训练
2．[双向性造成的多解问题](2017· 衡水模拟)在一
列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B
两点，如图10甲、乙分别是A、B两质点的振动图象， 已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速。
转到解析
转到解析
规律总结
方法技巧： 1．解决波的多解问题的思路：一般采用从特殊到一般的思维方 法，即找出一个周期内满足条件的关系 Δt或Δx，若此关系为时间， 则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝ 0，1，2…)。 2．求解波的多解问题的一般思路 (1)根据初末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式。 Δx λ (2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。 (3)根据波速公式 v＝ Δt 或 v＝T＝λf 求波速。
课堂互动
c. 只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方
向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播．
d. 只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能． 解决此类问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法 ，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，如 已知时间关系，则加nT；如已知空间关系，则加nλ.
1．[周期性造成的多解问题](2016· 吉林长春三 模)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波 形图如图9中的实线所示，此时波刚好传到P点，t ＋0.6 s时刻的波形 如图中的虚线所示，a、b、 c、P、Q是介质中的质点， A ．这列波的波速可能为 则下列说法正确的是 ( 50 ) m/s B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm C．质点c在这段时间内通过的路程可能为60 cm D．若周期T＝0.8 s，则在t＋0.5 s时刻，质点b、P 的位移相同 E．若周期T＝0.8 s，从t＋0.4 s时刻开始计时，则 转到解析 质点c的振动方程为x＝0.1sin πt(m)

波的多解问题一、波传播的周期性与多解问题1．造成波传播多解的主要因素(1)周期性①时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确。

②空间周期性：波传播的距离Δx 与波长λ的关系不明确。

(2)双向性①传播方向双向性：波的传播方向不确定。

②振动方向双向性：质点振动方向不确定。

2．解决波的多解问题的思路一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt 或Δx ，若此关系为时间，则t ＝nT ＋Δt (n ＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x ＝nλ＋Δx (n ＝0，1，2，…)。

二、针对练习1、（多选）一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为λ，沿正x 方向传播.某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两点1P 、2P ，已知1P 的x 轴坐标小于2P 的x 轴坐标，则（ ）A ．若221λ<P P ，则1P 向下运动，2P 向上运动 B ．若221λ<P P ，则1P 向上运动，2P 向下运动 C ．若221λ>P P ，则1P 向上运动，2P 向下运动 D ．若221λ>P P ，则1P 向下运动，2P 向上运动2、(多选)如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，实线为t ＝0时的波形图，虚线为t ＝0.5 s 时的波形图，下列说法正确的是( )A ．若波沿x 轴正方向传播，则其最大周期为2.0 sB ．若波沿x 轴负方向传播，则其传播的最小速度为2 m/sC ．若波速为26 m/s ，则t ＝0时P 质点的运动方向沿y 轴正方向D ．若波速为14 m/s ，则t ＝0时P 质点的运动方向沿y 轴正方向3、（多选 ）一列横波以10 m/s 的速率沿水平方向传播，某时刻的波形如图中的实线所示，经时间t ∆后的波形如图中的虚线所示，已知T t T >∆>2(T 为这列波的周期).由此可知t ∆可能是（ ）A ．0.3sB ．0.5sC ．0.6sD ．0.7s4、(多选)一列简谐横波沿x 轴传播，t ＝0时刻该波波形如图中实线所示，此时x ＝0处的质点沿y 轴负向振动；t ＝2.0 s 时刻波形如图中虚线所示。

(2)双向性:
①传播方向双向性:波的传播方向不确定。
②振动方向双向性:质点振动方向不确定。
考点巧讲
一 波的多解性问题
2.解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法,即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx,
若此关系为时间,则t=nT+Δt(n=0,1,2,…);若此关系为距离,则x=nλ+Δx(n=0,1,2,…)。
3
+4


得 v= =
=
3
4
6
4+3
λ(n=0、1、2…)
(n=0、1、2…)
当 n=0 时,v=2 m/s,当 n=1 时,v≈0.86 m/s,B 项正确。
丁
考点巧讲
例3.(多选)如图所示,有一列减幅传播的简谐横波,x=0与x=75 m处的A、B 两个质
点的振动图象分别如图中实线与虚线所示。则这列波的( BC )。
则波长有:x2-x1= +
1
4
λ(n=0、1、2…)

2 - 1
1
+4


得波速1、2…)
当 n=0 时,v=6 m/s,当 n=1 时,v=1.2 m/s,C 项正确。
丙
②若沿 x 轴负向传播,其波形如图丁所示。
则有 x2-x1= +

2 - 1
求解波的多解问题的一般步骤：
(1)根据初、末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式。
(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。
(3)根据波速公式v=Δx/Δt或v=λ/T=λf求波速。
典例讲解
1.一列简谐横波沿 x 轴传播,已知 x 轴上 x1=1 m 和 x2=7 m 处质点的振动图象分别如图

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原题：如图，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点， 相距为14.0m，b点在a点的右方，波长λ＞１４ｍ。当 一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到 正极大时，b点的位移为零，且向下运动，经过1.00s后， a点的位移第一次为零，且向下运动，而b点的位移达到 负极大，则这列简谐波的波速等于多少？
a
b
变化二：若把原题中“a点的位移第一次为零”改为“a
点的位移为零”。问这列简谐波的波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s 解答：由题意知，3 λ/4=14m，考虑时间上的周期性， 即：（n+1/4）T=1s ，故波速：V=λ/T=14（4n+1）/3
当n=0时，V= 4.67m/s A答案正确
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a
b
变化一：若把原题中“波长λ＞１４ｍ”的条件取消，

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题42 机械波导练目标导练内容目标1机械波的传播和波的图像目标2波的图像与振动图像目标3波的多解问题目标4波的干涉目标5波的衍射目标6多普勒效应一、机械波的传播和波的图像1.机械波的传播特点(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。

(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。

(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质不同，波长和波速可以改变，但频率和周期都不会改变。

(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。

2．波速公式v＝λT＝λf的理解(1)波速v：机械波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，与波源的周期T无关。

(2)频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。

各个质点振动的频率等于波源的振动频率。

3．波的图像的特点(1)时间间隔Δt＝nT(波传播nλ，n＝0,1,2,3，…)时，波形不变。

(2)在波的传播方向上：①当两质点平衡位置间的距离Δx＝nλ (n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同，在波形图上的对应位移一定相同；①当两质点平衡位置间的距离Δx＝(2n＋1)λ2 (n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反，在波形图上的对应位移一定等值反向。

(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。

4．根据波的图像、波的传播方向判定质点的振动方向的方法内容图像“上下坡”法沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动“同侧”法波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧“微平移”法将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向注意：波的图像、波的传播方向与质点振动方向三者之间可以互相判定。

【例1】战绳训练是当下流行的一种健身方式，健身者通过晃动战绳的一端使其上下振动从而让手臂和肩部的肌肉得到良好的锻炼。

a
b
变化二：若把原题中“a点的位移第一次为零”改为“a
点的位移为零”。问这列简谐波的波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s 解答：由题意知，3 λ/4=14m，考虑时间上的周期性， 即：（n+1/4）T=1s ，故波速：V=λ/T=14（4n+1）/3
当n=0时，V= 4.67m/s A答案正确
a
b
变化一：若把原题中“波长λ＞１４ｍ”的条件取消，
问这列简谐波的波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s 解答：T/4= 1.00s，考虑波传播空间上的周期性有： （n+3/4）λ=14m （n=0、1、2、3……），故波速： V=λ/T=14/（4n+3）
当n=0时，V= 4.67m/s A答案正确
原题：如图，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点， 相距为14.0m，b点在a点的右方，波长λ＞１４ｍ。当 一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到 正极大时，b点的位移为零，且向下运动，经过1.00s 后，a点的位移第一次为零，且向下运动，而b点的位 移达到负极大，则这列简谐波的波速等于多少？
a
b
变化四：若取消原题中 “简谐横波沿此长绳向右传播”
和“波长λ＞１４ｍ”的条件，并把原题中“a点的位移
第一次为零”改为“的位移为零”。问这列简谐波的
波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s
a
b
变化三：若把原题中“a点的位移第一次为零”改为“a
点的位移为零”，并取消“波长λ＞１４ｍ”的条件，
问这列简谐波的波速可能等于：

波的图象多解问题【思考】１．波动图象多解问题主要由两方面引起：①波图象的周期性；②波传播方向的双向性。

２．由于波的周期性和波的传播方向的不明确导致波动问题中出现系列解、多解问题，主要包括三种情况：① 时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确② 波传播的距离Δx 与波长λ的关系不明确③ 传播方向的不明确【预测】1．一列横波沿直线在介质中传播，某时刻直线上相距s 的a 、b 两点均处在平衡位置，如图所示，若a 、b 之间只有一个波峰，且经过时间t 后质点b 第一次到达波峰位置，则这列波的波速可能是 （ ）A ．t sB ．t s t s 232和C ．t s t s 434和D ．ts t s 636和 2．有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10Hz ，振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P 到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6m 处的质点Q 刚好到达最高点。

由此可知波速和传播方向可能是 （ ）A ．8m/s ，向右传播B ．8m/s ，向左传播C ．24m/s ，向右传播D ．24m/s ，向左传播3．一列横波在t =0时刻的波形如图中实线所示，在t =1s 时刻的波形如图中虚线所示。

由此可以判定此波的 （ ）A ．波长一定是4cmB ．周期一定是4sC ．振幅一定是2cmD ．传播速度一定是1cm/s4．一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，周期为0.5s ；某一时刻，离开平衡位置的位移都相等的各质点依次为P 1、P 2、P 3···已知P 1和P 2之间的距离为20cm ，P 2和P 3之间的距离为80cm ，则P 1的振动传到P 2所需要的时间为 （ ）A ．0.50sB ．0.13sC ．0.10sD ．0.20s5．一列简谐横波沿x 轴正方向传播，x 轴上相距 1.2m 的两个质点A 和B ，它们的振动方向始终是相反的，已知波的周期是0.2s ，则这列波的波速多大？【例题】6．如图所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a 、b 两点，相距14m ，b 点在a 点的右方；当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a 点的位移达到正的最大时，b 点的位移恰好为零，且向下运动；经过1s 后，a 点的位移为零，且向下运动，而b 点的位移恰好达到负最大，则这列简谐横波的波速可能等于 （ ）A ．4.67m/sB ．6.0m/sC ．10.0m/sD ．14.0m/s7．在波的传播方向上，有相距1.05m 的两质点a 、b ，当a 到达正向最大位移时，b 恰好在平衡位置，已知a 、b 间的距离小于２个波长，波的频率为200Hz ，求波传播的可能速度。

3．两质点间关系不确定形成多解 在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或 相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有 的可能性，就会出现漏解。
[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有 P、 Q 两个质点，它们相距 8 m，当 t＝0 时，P、Q 的位移恰好是 正最大值，且 P、Q 之间只有一个波谷。t＝0.6 s 末时，P、Q 两点正好都处在平衡位置，且 P、Q 之间只有一个波峰和一个 波谷，且波峰距 Q 点的距离第一次为4λ，试求：
(1)波由 P 传至 Q，波的周期； (2)波由 Q 传到 P，波的速度； (3)波由 Q 传到 P，从 t＝0 时开始观察，哪些时刻 P、Q 间(P、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。
[解析] (1)由题意，t＝0 时的波形如图 1(a)所示，t＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：
图1 若波从 P 传向 Q，则 t＝34T，从而得 T＝0.8 s。 (2)若波从 Q 传向 P，则 t＝14T，从而得 T＝2.4 s， 波速 v＝Tλ ＝3向性不确定出现多解 波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质 中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可 以确定的，反之亦然。因此，根据题中的已知条件不能确 定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现 多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主 地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这 样就会漏掉一个相反方向的可能性解。
2．时间、距离不确定形成多解 沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的 质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的 前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题 中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt与周期T之 间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播 距离Δs与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。 同学们在解题时经常只分析传播时间Δt小于T(或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。

波的图像与振动图像的综合及波的多解性问题[学习目标] 1.理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系.2.理解波的多解性，会分析波的综合问题．一、波的图像与振动图像的综合问题(多选)图1甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为这列波上质点P的振动图像，则下列说法正确的是()图1A．该横波向右传播，波速为0.4 m/sB．t＝2 s时，质点Q的振动方向为y轴负方向C．在2～4 s时间内，质点P沿x轴向右平移2.0 mD．在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为10 cm答案AD解析由题图乙知，在t＝2 s时，质点P正通过平衡位置向下振动，根据“上下坡法”可知波向右传播，由题图甲可知波长为λ＝1.6 m，由题图乙可知周期T＝4 s，则波速为v＝λT＝1.64m/s＝0.4 m/s，A正确；质点Q与质点P相差半个波长，故振动方向相反，则t＝2 s时，质点Q沿y轴正方向运动，B错误；质点不会随波迁移，只在平衡位置附近振动，C错误；由题图甲可知振幅A＝5 cm，在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为s＝2A＝10 cm，D正确．分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速．(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向．注意：波的图像对应时刻不一定是振动图像中t＝0的时刻．二、Δt 后波形图的画法1．平移法：算出波在Δt 时间内传播的距离Δx ＝v Δt ，把波形沿波的传播方向平移Δx .如果Δx 较大，可化为Δx ＝nλ＋Δx ′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx ′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整．2．特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt 时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波形图，如果Δt 较长，可先表示为Δt ＝nT ＋Δt ′.由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt ′时刻的波形图．特殊点法适用于特殊时间，Δt 或Δt ′必须为14T 的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形．特殊点法画波形图较为简单易行．如图2甲为某波在t ＝1.0 s 时的图像，图乙为参与该波动P 质点的振动图像．图2(1)求该波的波速；(2)画出Δt ＝3.5 s 时的波形． 答案 (1)4 m/s (2)见解析图解析 (1)由题图甲得波长λ＝4 m ，由题图乙得周期T ＝1.0 s ，所以波速v ＝λT ＝4 m/s.(2)法一：平移法由题图乙可知1.0 s 时质点P 向y 轴负方向振动，所以题图甲中的波沿x 轴负方向传播，传播距离Δx ＝v Δt ＝4×3.5 m ＝14 m ＝(3＋12)λ，所以只需将波形沿x 轴负方向平移12λ＝2 m 即可，如图(a)所示法二：特殊点法如图(b)所示，在图中取两特殊质点a 、b ，因Δt ＝3.5 s ＝312T ，舍弃3，取T2，找出a 、b 两质点振动T2后的位置a ′、b ′，过a ′、b ′画出正弦曲线即可．三、波的多解问题1．波的传播方向的双向性形成多解凡是没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性． 2．波的时间的周期性形成多解机械波在传播过程中，t 时刻与t ＋nT (n ＝1,2…)时刻的波形完全重合，即同一波形图可能是不同时刻形成的．3．波的空间的周期性形成多解将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍的距离，平移后的波形与原波形完全重合，这就是波的空间周期性．4．质点在振动中情况不明形成多解在波动问题中，如讲到某质点在某时刻处于最大位移处，就包含有处于正向最大位移处与负向最大位移处两种可能；讲到质点从平衡位置开始振动，就可能是沿y 轴正方向或负方向两个方向振动．一列简谐横波图像如图3所示，t 1时刻的波形如图中实线所示，t 2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt ＝t 2－t 1＝0.5 s ，图3(1)这列波的周期可能是多大？ (2)这列波可能的波速表达式是怎样的？ (3)若波向左传播，且3T <Δt <4T ，波速为多大？ (4)若波速v ＝68 m/s ，则波向哪个方向传播？ 答案 见解析解析 (1)(2)由题图可知波长λ＝8 m ， 当波向右传播时Δt ＝nT 1＋T 14T 1＝24n ＋1s(n ＝0,1,2，…)v 右＝λT 1＝4(4n ＋1) m/s(n ＝0,1,2，…)当波向左传播时Δt ＝nT 2＋34T 2T 2＝24n ＋3s(n ＝0,1,2，…)v 左＝λT 2＝4(4n ＋3) m/s(n ＝0,1,2，…)．(3)若波向左传播，且3T <Δt <4T 则Δt ＝334T ，T ＝215 s ，v 1＝λT＝60 m/s(4)Δt 内波传播的距离为：x ＝v Δt ＝68×0.5 m ＝34 m ＝414λ，故波向右传播．解决波的多解问题的一般思路1．首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论．2．对设定的传播方向，首先确定Δt 和T (或确定Δx 和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT (或nλ)．3．应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt 大于或小于一个周期等．所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．针对训练 (多选)(2019·天津卷)一列简谐横波沿x 轴传播，已知x 轴上x 1＝1 m 和x 2＝7 m 处质点的振动图像分别如图4甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是( )图4A ．7 m/sB ．2 m/sC ．1.2 m/sD ．1 m/s 答案 BC解析 由两质点的振动图像可知，t ＝0时刻，x 1＝1 m 处的质点处于平衡位置向下运动，x 2＝7 m 处的质点位于波峰处，该波的周期为T ＝4 s ．若该简谐横波沿x 轴正方向传播，则两质点间的距离为(n ＋14)λ＝6 m(n ＝0、1、2…)，则λ＝244n ＋1 m ，由波速的公式得v ＝λT ＝64n ＋1 m/s(n ＝0、1、2…)，n ＝0时，v ＝6 m/s ；n ＝1时，v ＝1.2 m/s ；n ＝2时，v ＝23 m/s ，C 正确；若该简谐横波沿x 轴负方向传播，则两质点间的距离为(n ＋34)λ＝6 m(n ＝0、1、2…)，则λ＝244n ＋3 m ，由波速的公式得v ＝λT ＝64n ＋3 m/s(n ＝0、1、2…)，n ＝0时，v ＝2 m/s ；n ＝1时，v ＝67 m/s ，B 正确，A 、D 错误．(多选)一列简谐横波沿直线传播，在波的传播方向上有A 、B 两点．在t 时刻A 、B 两点间形成如图5甲所示波形，在(t ＋3 s)时刻A 、B 两点间形成如图乙所示波形，已知A 、B 两点平衡位置间的距离a ＝9 m ，则下列说法中正确的是( )图5A ．若周期为4 s ，波一定向右传播B ．若周期大于4 s ，波可能向右传播C ．若波速为8.5 m/s ，波一定向左传播D ．该波波速可能的最小值为0.5 m/s 答案 ACD解析 若波向右传播，3 s ＝(n ＋34)T 1(n ＝0,1,2，…)，T 1＝124n ＋3 s ≤4 s ，B 错误；若波向左传播，3 s ＝(n ＋14)T 2(n ＝0,1,2，…)，T 2＝124n ＋1 s ．由于n 是整数，当n ＝0，T ＝4 s 时，符合T 1通项，波向右传播，故A 正确；由题图知波长λ＝6 m ，若波速为8.5 m/s ，波在3 s 内传播的距离为x ＝v t ＝8.5×3 m ＝25.5 m ＝414λ，根据波形的平移，波一定向左传播，故C 正确；波在3 s 内传播的最小距离为向左传播1.5 m ，波速可能的最小值为v min ＝1.53m/s ＝0.5 m/s ，故D 正确．1．(波的图像与振动图像的综合应用)(多选)如图6所示，图(a)为一列简谐横波在t ＝0.1 s 时刻的波形图，Q 是平衡位置为x ＝4 m 处的质点，图(b)为质点Q 的振动图像，则下列说法正确的是( )图6A ．该波的周期是0.1 sB ．该波的传播速度为40 m/sC ．该波沿x 轴正方向传播D ．t ＝0.4 s 时，质点P 的速度方向向下 答案 BD解析 由题图(a)得到该波的波长为λ＝8 m ，由题图(b)得到该波的周期为T ＝0.2 s ，所以波速为v ＝λT ＝80.2 m/s ＝40 m/s ，故A 错误，B 正确；t ＝0.1 s 时，Q 点处在平衡位置，且向下振动，根据波形平移法可知该波沿x 轴负方向传播，故C 错误；根据振动规律可知t ＝0.4 s 时，质点P 的速度方向向下，故D 正确．2.(Δt 后波形图的画法)如图7所示为一列沿x 轴负方向传播的简谐横波在某一时刻的图像，请画出再经过14T 后的波的图像．(T 为波源的振动周期)图7答案 见解析图解析 将图像沿x 轴负方向平移14个波长，如图虚线所示．3．(波的多解问题)(多选)(2020·南昌期中)一列简谐横波沿直线由A 向B 传播，A 、B 相距0.45 m ，如图8所示是A 处质点的振动图像．当A 处质点运动到波峰位置时，B 处质点刚好到达平衡位置且向y 轴正方向运动，这列波的波速可能是( )图8A ．4.5 m/sB ．3.0 m/sC ．1.5 m/sD ．0.5 m/s 答案 AD解析 由题图可知周期为0.4 s ．由题可知A 、B 间距和波长的关系为x ＝(n ＋14)λ，再由公式v＝λT 得v ＝ 4.54n ＋1 m/s(n ＝0,1,2，…)，当n ＝0时，v ＝4.5 m/s ，当n ＝1时，v ＝0.9 m/s ，当n ＝2时，v ＝0.5 m/s ，选项A 、D 正确．4.(波的多解问题)(2021·绵阳南山中学高二月考)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t ＝0时刻的波形如图9中实线所示，t ＝0.1 s 时刻的波形如图中虚线所示．波源不在坐标原点O ，P 是传播介质中平衡位置离坐标原点2.5 m 处的一个质点．则以下说法正确的是( )图9A ．质点P 的振幅为0.05 mB ．波的频率可能为0.75 HzC ．波的传播速度可能为50 m/sD ．在t ＝0.1 s 时刻，平衡位置与质点P 平衡位置相距5 m 处的质点一定沿x 轴正方向运动 答案 C解析 质点P 的振幅为0.1 m ，故A 错误；波沿x 轴正方向传播，则Δt ＝nT ＋T4，周期为T＝0.44n ＋1(s)(n ＝0,1,2，…)，f ＝1T ＝4n ＋10.4 (Hz)，所以波的频率可能为2.5 Hz ，12.5 Hz,22.5 Hz ，…，B 错误；波速v ＝λf ＝4×4n ＋10.4 m/s ＝(40n ＋10) m/s ，当n ＝1时，v ＝50 m/s ，C 正确；质点只能在其平衡位置附近振动，不可能沿x 轴正方向运动，故D 错误．。

D．6 m/s
分析：由图可知T=0.2s,某一时刻，一质点在波峰，而另一质点 在波谷。则二者相距△x=nλ+λ/2=3 λ=6/(2n+1) ﹥1.5 , ∴ n=0、1。 V=λ/T= 30/(2n+1)
， n=0、1
y/cm
v
a
x /cm
0.15
4．已知：a坐标为（0.0），在t=0时向下振动，同时在 0.15位置有一质点处于波峰，问：这列波的波长可能是 多少？波长存在最大值还是最小值？
左传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=3S/2t. （乙）λ=s,右传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=3S/4t. 左传时：B第一次到达波峰t=T/4,所以V=λ/T=S/4t. （丙）λ=s,右传时：B第一次到达波峰t=T/4,所以V=λ/T=S/4t.
左传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=3S/4t. （丁）λ=2s/3,右传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=S/2t.
(4)若波速是35 m/s，求波的传播方向； (5)当0.2 s小于一个周期时，传播的距离、周期、波速．
(4)若波速是 35 m/s，则波在 0.2 s 内传播的距离为 3 x＝vt＝35×0.2 m＝7 m＝1 λ，所以波向左传播． 4 (5)若 0.2 s 小于一个周期，说明波在 0.2 s 内传播的距离小于一个波 3λ 3T 长．则：向左传播时，传播的距离 x＝ ＝3 m；传播的时间 t＝ ，得 4 4 周期 T＝0.267 s；波速 v＝15 m/s. λ T 向右传播时，传播的距离为 ＝1 m；传播的时间 t＝ ，得 4 4 周期 T＝0.8 s；波速 v＝5 m/s.
方法总结：

波的多解问题专项练习1、一列简谐横波沿直线AB 传播，已知A 、B 两质点平衡位置间的距离是3m ，且在某一时刻，A 、B 两质点的位移均为零，A 、B 之间只有一个波峰，则这列横波的波长可能是（ ）A 、3mB 、6mC 、2mD 、4m2、如图所示，绳中有一列正弦横波，沿x 轴正向传播，，b 是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当点振动到最高点时，b 点恰好经过平衡位置向上运动。

试在图上、b 之间画出波形图。

5、一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经0．02s 后波形如图中虚线所示，则该波的波速和频率f 可能是（ ）A ．＝5m ／sB ．＝45m ／sC ．f ＝50HzD ．f ＝37．5Hz6．图5所示为一列简谐横波在t=20s 时的波形图，图6是这列波中P 点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是：（ ）A ．s cm v /25=，向左传播B ．s cm v /25=，向右传播C ．s cm v /50=，向左传播D ．s cm v /50=，向右传播7．一根张紧的水平弹性长绳上有ａ、ｂ两点相距14m ，ｂ点在ａ点的右方．当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若ａ点的位移达到正极大值时，ｂ点的位移恰为0，且向下运动．经过1s 后，ａ点的位移为0，且向下运动，而ｂ点的位移恰达到负极大值．则这列简谐横波的波速可能等于( )A ．4.67m/sB ．6m/sC ．10m/sD ．14m/s8．一简谐波沿x 轴正方向传播．已知轴上x 1=0和x 2=1m 两处的振动图象分别如图9所示，又知此波的波长大于1m ，则此波的传播速度v =_____m/s ．（取整数）9．一列波以速率v 传播，如图2所示，t 1时刻的波形的实线，t 2时刻的波形为虚线，两时刻之差t 1-t 2=0.03s ，且小于一个周期T ，有下列各组判断中，可能正确的是：( )A ．T ＝0．12s ，v =100m ／sB ．T ＝0.04s ，v ＝300m ／sC ．T ＝0.12s ，v ＝300m ／sD ．T ＝0．04s ，v =100m ／s 图5 图6图2。

A
SP 17.4m 21 4 1 SQ 16.2m 20 4
Q
S
P
有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播，波速 均为v＝2.5m/s。在t＝0时，两列波的波峰正好在x＝2.5m处重合， 如图所示。 （1）求两列波的周期Ta和Tb。 （2）求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。
图511
例2 (2010· 福州质检)质点以坐标原点O为 中心位置在y轴上做简谐运动，其振动图 象如图所示，振动在介质中产生的简谐 横波向 x 轴正方向传播，波速为 1.0m/s, 0.4s 后，此质点立即停止运动，再经过 0.1s后的波形图是下图中的(D )
1：如图所示，S为向上振动的波源，频率为100 Hz， 所产生的正弦波向左、右传播，波速为80m/s.已知 SP=17.4m，SQ=16.2m，则当S通过平衡位置向上振动 A.P在波峰，Q在波谷 B.P、Q都在波峰 v 0.8m C.P在波谷，Q在波峰 f D.P、Q均在平衡位置 3
1．(2010年广东广州模拟)一列简谐横波沿x轴传播，如图甲、 乙分别为传播方向上相距3 m的两质点的振动图象，如果波长大 于1.5 m，则波的传播速度大小可能为( AC)
A．30 m/s B．15 m/s
C．10 m/s
D．6 m/s
分析：由图可知T=0.2s,t=0时刻，一质点在波峰，而另一质点 在波谷。则二者相距△x=nλ+λ/2=3 λ=6/(2n+1) ﹥1.5 , ∴ n=0、1。 V=λ/T= 30/(2n+1)
t=x/v=5/5s=1s
或:x=2.5m的波动，传到Q点经t=3.5/5s=0.7s 此时向下运动再经3T/4到达波峰，则总经历时间1s.

B
B
B
例4、如图所示，实线是一列简谐波在某时刻 如图所示， 的波形图，虚线是0.2s后它的波形图。 0.2s后它的波形图 的波形图，虚线是0.2s后它的波形图。求该 波的波速。 波的波速。
y/m
–4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4
x/m
解：由图中读出波长λ=4m。 由图中读出波长λ=4m。 λ=4m 若波向右传播，则在0.2s时间传播的距离为： 0.2s时间传播的距离为 ⑴ 若波向右传播，则在0.2s时间传播的距离为： (n=0、 s=nλ+λ/4 (n=0、1、2、3……) ) ∴ v=s/t=(4n+1)/0.2=5(4n+1)m/s (n=0、 (n=0、1、2、3……) ) 若波向左传播，则在0.2s时间传播的距离为： 0.2s时间传播的距离为 ⑵ 若波向左传播，则在0.2s时间传播的距离为： (n=0、 s=nλ+3λ/4 (n=0、1、2、3……) ) ∴v=s/t=(4n+3)/0.2 =5(n+3)m/s (n=0、 (n=0、1、2、3……) )
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2．如图所示，一列向右传播的简谐横波，波速 ．如图所示，一列向右传播的简谐横波， 大小为0.6m/s，P质点的横坐标 质点的横坐标x=0.96m，从图中 大小为 ， 质点的横坐标 ， 状态开始计时， 状态开始计时，求： 质点第一次到达波谷？ （1）经过多长时间，P质点第一次到达波谷？ ）经过多长时间， 质点第一次到达波谷 质点第二次到达波峰？ （2）经过多长时间，P质点第二次到达波峰？ ）经过多长时间， 质点第二次到达波峰 质点刚开始振动时， （3）P质点刚开始振动时，振动方向如何？ ） 质点刚开始振动时 振动方向如何？

波传播的多解性问题授课内容：例题1、有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10Hz，振动方向沿竖直方向．当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6m处的质点Q刚好到达最高点．由此可知波速和传播方向可能是（）A、8m/s，向右传播B、8m/s，向左传播；C、24m/s，向右传播D、24m/s，向左传播；例题2、如图所示，实线是一列简谐横波在t=0时刻的波形图，虚线是这列简谐横波在t=0.2s时刻的波形图，波中质点的振动周期T大于0.2s，求：（1）由图中读出波的振幅和波长；（2）若波沿x轴正方向传播，波速是多大？波动周期是多大？（3）若波沿x轴负方向传播，波速是多大？波动周期是多大？图二例题3、如图所示，实线为一列沿x轴正方向传播的简谐波在t=0时的波形，而虚线是该波在t=0.5s时的波形，此列波的周期大于0.3s而小于0.5s，该波的波速为( )A．2m/s B．10m/sC．18m/s D．6m/s图三例题4、一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点相距4.2m，b点在a 点的右方，一列简谐波沿水平绳向右传播，波速为20m/s，波长大于2m。

某时刻b点达到波峰位置，而a点正处于平衡位置且向上运动，则这列波的周期可能是（）A．0.12s B．0.28s C．0.168s D．0.84s例题5、一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0m，b点在a点的右方。

当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动。

经过1.00s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移恰达到负极大。

则这简谐横波的波速可能等于( )A．4.67m/s B．6m/s C．10m/s D．14m/s图五例题6、一列简谐横波向右传播，波速为v，沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图所示。

某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰。

经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。

（1）如果波是向左传播的，从图看出，虚线所示 的波形相当于实线所示的波形向左移动了 6cm（ 1 个波长) ,
4
x 0.06 m / s 0.12m / s t 0.5 0.24 s 2.0s T v 0出，虚线所示的波形相当于
想一想：能否先求周期，再求波速？
1 2 0.5 T nT ,T s(n 0,1,2...) 4 4n1
v 0.12(4n1)m/ s(n0,1,2...) T

（2）如果波是向右传播的，
3 n x 4 v 0.12(4n 3)m / s(n 0,1,2...) t 0.5 2 T (n 0,1, 2...) v 4n 3
V右
x右 2 n 2 8n 4(4n 1)m / s (n 0,1, 2...) t 0.5 0.5
x左 6 n 6 8n V左 4(4n 3)m / s(n 0,1, 2...) t 0.5 0.5
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速多大？
三、波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出几个特殊点， 而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有 多种可能，形成波动问题的多解。
例3：有一列沿水平绳传播的简谐横波，频
率为10Hz，质点振动方向沿竖直方向，当绳 上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在 其右方相距0.6m处的质点Q刚好到达最高点。 由此可知波速和传播方向可能是 A．8m/s，向右传播 B．8m/s，向左传播 C．24m/s，向右传播 D．24m/s，向左传播 （ BC )
机械波多解问题分析
• 两把刷子
1.求波速的方法
v

T
x t