第8节 函数与方程 (3)

第8节函数与方程考试要求 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0)无交点零点个数210[常用结论与易错提醒]1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x).() 解析(1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错误.(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.下列函数中既是偶函数又存在零点的是()A.y＝cos xB.y＝sin xC.y＝ln xD.y＝x2＋1解析由函数是偶函数，排除选项B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点.答案 A3.(必修1P88例1改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析由f′(x)＝e x＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.答案 B4.(2019·北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是()A.y＝x3＋xB.y＝log2xC.y＝2x2－3D.y＝2 x解析对于A：y＝x3＋x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符；对于B：y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；对于C：y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；对于D ：y ＝2x 不存在零点，与题意不符，故选A. 答案 A5.函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 因为函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f (－1)·f (1)＜0，即(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，16.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x <0，2x －2，x ≥0，则f (f (－2))＝________；函数f (x )的零点的个数为________.解析 根据题意得：f (－2)＝(－2)2＝4，则f (f (－2))＝f (4)＝24－2＝16－2＝14；令f (x )＝0，得到2x －2＝0(x ≥0)，解得：x ＝1，则函数f (x )的零点个数为1. 答案 14 1考点一 函数零点所在区间的判断【例1】 (1)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A.(a ，b )和(b ，c )内 B.(－∞，a )和(a ，b )内 C.(b ，c )和(c ，＋∞)内D.(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)(一题多解)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3)D.(3，4)解析 (1)∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0， f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.(2)法一 函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1，2).法二 易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数， 且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点. 答案 (1)A (2)B规律方法 确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 (1)函数f (x )＝4x －2x 的零点所在区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 (2)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析 (1)f (x )的图象在(0，＋∞)上连续，又f (x )在(0，＋∞)上递减，且f (1)＝2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝83－232＝8－623＜0.∴选C.(2)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－12>0.故f (x )的零点x 0∈(2，3). 答案 (1)C (2)C考点二 函数零点(或方程根)个数的判断【例2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln （x －1）|，x >1，2x －1＋1，x ≤1，则方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）＋34＝0的实根个数为( ) A.3 B.4 C.5D.6(2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________.解析 (1)令t ＝f (x )，则方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）＋34＝0等价于f (t )－2t －32＝0.在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋32的图象，由图象可得有两个交点，且f (t )－2t －32＝0的两根分别为t 1＝0和1<t 2<2.当t 1＝f (x )＝0时，解得x ＝2；当t 2＝f (x )∈(1，2)时，方程f (x )＝t 2有3个不等实根.综上所述，方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）＋34＝0的实根个数为4，故选B.(2)令f (x )＝2x|log 0，5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f (x )有2个零点.答案 (1)B (2)2规律方法 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 【训练2】 (1)(2020·杭州二中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若实数m ∈(0，1)，则函数g (x )＝f (x )－m 零点个数为( ) A.0 B.1 C.2D.3(2)f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 (1)函数g (x )＝f (x )－m 的零点即为函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象的交点.如图画出函数y ＝f (x )的图象，结合0＜m ＜1可知函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象的交点为3个，所以函数g (x )＝f (x )－m 的零点有3个，故选D.(2)f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点个数，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案 (1)D (2)2 考点三 函数零点的应用【例3】 (1)(2020·杭州质检)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，则a 的取值范围为__________.(2)(2019·江苏卷)设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当x ∈(0，2]时，f (x )＝1－（x －1）2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋2），0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期T ＝4. 又f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝f (4－x )， 因此函数y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称. 又f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根. 由函数的图象(如图)，必须有⎩⎨⎧f （6）<2，f （10）>2，a >1.即⎩⎨⎧log a 6<2，log a 10>2，a >1.解得6<a <10.故a 的取值范围是(6，10).(2)当x ∈(0，2]时，y ＝f (x )＝1－（x －1）2⇔(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，即f (x )的图象是以(1，0)为圆心，1为半径的半圆.结合f (x )是周期为4的奇函数，可作出f (x )在(0，9]上的图象如图所示.∵当x ∈(1，2]时，g (x )＝－12，又g (x )的周期为2，∴当x ∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g (x )＝－12.由图可知，当x ∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点.故当x ∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.又当x ∈(0，1]时，y ＝g (x )＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点A (－2，0)，由图可知，当x ∈(2，3]∪(6，7]时，f (x )与g (x )的图象无交点，∴当x ∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.由f (x )与g (x )的周期性可知，当x ∈(0，1]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点. 当y ＝k (x ＋2)与圆弧(x －1)2＋y 2＝1(0<x ≤1)相切时， d ＝|3k |k 2＋1＝1⇒k 2＝18(k >0)⇒k ＝24. 当y ＝k (x ＋2)过点A (－2，0)与B (1，1)时，k ＝13. ∴13≤k <24.答案 (1)(6，10) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，24规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解.【训练3】 (1)(2019·浙江名师预测卷三)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[－1，1]上存在两个不同的零点，且0≤b －2a ≤1，则a ＋b 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.(－1，1) C.[－1，3]D.(－1，0](2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.解析 (1)由题意可知，此问题等价于函数g (x )＝ax ＋b 与函数h (x )＝－x 2的图象在[－1，1]上有两个不同的交点，且b －2a ＝g (－2)∈[0，1]，求g (1)＝a ＋b 的取值范围.画出临界位置的图象如图所示，当x ＝1时，要使满足题意，直线l 1，l 2须经过线段AB ，而当l 1过点B 时，直线与曲线没有交点，当l 2过点B 时，直线与曲线只有1个交点，均不合题意，故舍去y ＝0的情况，所以g (1)＝a ＋b ∈[－1，0)，故选A.(2)在同一坐标系中，作出y ＝f (x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.答案 (1)A (2)(3，＋∞)基础巩固题组一、选择题1.函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(－2，－1)D.(－1，0)解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点. 答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0 C.12D.0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0. 答案 D3.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3)D.(0，2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )·(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14B.18C.－78D.－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78. 答案 C5.(一题多解)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A.－12 B.13 C.12D.1解析 法一 f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈(－∞，＋∞).∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝1 2.法二f(x)＝0⇔a(e x－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.e x－1＋e－x＋1≥2e x－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”.－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”.若a＞0，则a(e x－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝1 2.若a≤0，则f(x)的零点不唯一.故选C.答案 C6.(2019·浙江三校三联)已知关于x的方程e x|x－t|－1＝0有三个不同的实数根，则实数t的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.[2，＋∞)D.(2，＋∞)解析关于x的方程e x|x－t|－1＝0有三个不同的实数根等价于函数f(x)＝|x－t|与函数g(x)＝1e x的图象有三个不同的交点，在平面直角坐标系内画出两函数的图象如图所示，由图易得当x＞t时，直线y＝x－t与函数g(x)＝1e x的图象有一个交点，要使两函数图象有三个不同的交点，则直线y＝t－x与函数g(x)＝1e x的图象有两个不同的交点，当直线y＝t－x与曲线g(x)＝1e x相切时，易得t＝1，则由图易得要使两函数图象有三个不同的交点，则t＞1，故选B.答案 B7.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点.作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.答案 C8.(2019·浙江卷)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0. 若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( ) A.a <－1，b <0 B.a <－1，b >0 C.a >－1，b <0D.a >－1，b >0解析 由题意，b ＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0.设y ＝b ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论. ①当a <－1时，1－a >0，可得g (x )在(－∞，0)上递增； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可得g (x )在(0，＋∞)上递增.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故A ，B 排除.②当a >－1，即a ＋1>0时， 因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)， 所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上递增. 如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去. 综上，－1<a <1，b <0. 故选C. 答案 C 二、填空题9.(2020·北京朝阳区一模)能说明“函数f (x )的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线.若f (0)·f (2)＞0，则f (x )在(0，2)内无零点”为假命题的一个函数是________.解析 考查函数y ＝(x －1)2，绘制函数图像如图所示，该函数f (x )的图像在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，f (0)·f (2)＞0，但是函数f (x )在(0，2)内存在零点x ＝1，故该函数使得原命题为假命题. 答案 y ＝(x －1)210.(2019·七彩阳光联盟三联)函数f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则f (f (－3))＝________；若存在四个不同的实数a ，b ，c ，d ，使得f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，则abcd 的取值范围为________.解析 由题可得f (－3)＝2，所以f (f (－3))＝f (2)＝1.不妨设a ＜b ＜c ＜d ，则有－log 2c ＝log 2d ，所以cd ＝1，且a ＋b ＝－2，其中－1＜b ≤0.所以abcd ＝ab ＝b (－2－b )＝－b 2－2b ∈[0，1). 答案 1 [0，1)11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <a ，x 2，x ≥a .若f (x )是单调函数，则实数a 的取值范围是________；若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数a 的取值范围是________. 解析因为函数y ＝2x 在定义域内是单调递增函数，所以函数f (x )为单调递增函数，所以a >0且2a ≤a 2.在同一坐标系下作出函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象，由图可知，实数a 的取值范围为[2，4].函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )与y ＝b 的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数y ＝f (x )与y ＝b 的图象，由图可知，当a 在y 轴的左方时，存在实数b ，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g (x )有三个零点，实数a 的取值范围为(－∞，0).答案 [2，4] (－∞，0) 12.已知f (x )＝1x ＋2－m |x |，若f (x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f (x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 函数f (x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m ＝|x |(x ＋2)(x ≠－2)的实数根，令g (x )＝|x |(x ＋2)＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g (x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m <1，即m >1时，有3个交点. 答案 1 (1，＋∞)13.(2019·北京大兴区期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤a ，f （2a －x ），x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若函数y ＝f (x )－b 有两个零点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，f （－x ），x ＞0，当x ≤0时，f (x )＝2x ，f (x )在(－∞，0]上为增函数， 当x ＞0时，－x ＜0，则f (x )＝f (－x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 则f (x )max ＝f (0)＝20＝1.(2)根据题意，当x ≤a 时，f (x )＝2x －a ，当x ＞a 时，则有2a －x ＜a ， 此时f (x )＝f (2a －x )＝2a －x ，f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤a 2a －x ，x ＞a，其图象关于直线x ＝a 对称，若函数y ＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝b 有2个交点，其图象如图所示：必有0＜b ＜1，即b 的取值范围为(0，1). 答案 (1)1 (2)(0，1)14.(2020·杭州高级中学测试)已知函数f (x )满足：f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ≤1时，f (x )＝x 2＋a (a ∈R )，若存在实数t ∈[0，1]，使得关于x 的方程|f (x )|＝t 有且仅有四个不等实根，则实数a 的取值范围是________.解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知函数f (x )关于直线x ＝1对称.当a >1时，|f (x )|＝f (x )≥f (0)＝a >1，函数y ＝|f (x )|的图象与直线y ＝t 无公共点，不满足条件；当a ＝1时，函数y ＝|f (x )|的图象与直线y ＝t 最多只有两个公共点，不满足条件；当0≤a <1时，如图1所示，函数y ＝|f (x )|的图象与直线y ＝t 可能有四个公共点，满足条件；当－1<a <0时，如图2所示，存在t ＝0，使函数y ＝|f (x )|的图象与直线y ＝t 有且仅有四个公共点，满足条件；当a ≤－1时，如图3所示，存在实数t ∈[0，1]，使函数y ＝|f (x )|的图象与直线y ＝t 有且仅有四个公共点，满足条件.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1).答案 (－∞，1)能力提升题组15.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x ∈（－∞，2），12f （x －2），x ∈[2，＋∞），则函数F (x )＝xf (x )－1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.7解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )＝1x的图象如图，当x <0时，y ＝f (x )单调递增，y ＝1x 为减函数，此时函数f (x )与y ＝g (x )＝1x 只有一个交点.∵f (1)＝1，g (1)＝1，∴f (1)＝g (1)，(1，1)是两函数图象的一个交点；∵f (3)＝12f (1)＝12，g (3)＝13，满足f (3)>g (3)，∴两函数的图象在(2，4)内有两个交点；∵f (5)＝12f (3)＝14，g (5)＝15，满足f (5)>g (5)，∴两函数的图象在(4，6)内有两个交点；∵f (7)＝12f (5)＝18，g (7)＝17，满足f (7)<g (7)，∴两函数的图象在(6，8)内没有交点；∵f (9)＝12f (7)＝116，g (9)＝19，满足f (9)<g (9)，∴两函数的图象在(8，10)内没有交点，即当x >7时，恒有f (x )<g (x )，两函数的图象没有交点.综上所述，两函数的图象的交点个数为6个，即函数 F (x )＝xf (x )－1的零点个数为6个.答案 C16.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，若f (x )＋21－x 2＋|f (x )－21－x 2|－2ax －4＝0恰有两个不等实根x 1，x 2，则a 的取值组成的集合为( )A.{22－2}∪[－2，0]B.{22－2}∪[0，2]C.{22＋2}∪[0，2]D.{22＋2}∪[－2，0]解析 由题意得f (x )＋21－x 2＋|f (x )－21－x 2|＝max{2f (x )，41－x 2}＝2ax ＋4，即max{f (x )，21－x 2}＝ax ＋2.令g (x )＝max{f (x )，21－x 2}＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，－1≤x ＜－22，21－x 2，－22≤x ≤1，h (x )＝ax ＋2，f (x )＋21－x 2＋|f (x )－21－x 2|－2ax －4＝0恰有两个不等实根，等价于函数g (x )与h (x )的图象有两个不同的交点.作出函数g (x )和h (x )的图象如图，由图可知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2或0≤h (1)≤2，解得a ＝22－2或a ∈[－2，0]，故选A.答案 A17.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ≥1，e f （|x |＋1），x <1(e 为自然对数的底数)，则f (e)＝________，函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________.解析 f (e)＝ln e ＝1；函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为方程f (f (x ))＝1的根的个数，则①由ln x ＝1(x ≥1)，得x ＝e ，于是f (x )＝e ，则由ln x ＝e(x ≥1)，得x ＝e e ；或由e f (|x |＋1)＝e(x <1)，得f (|x |＋1)＝1，所以ln(|x |＋1)＝1，解得x ＝e －1(舍去)或x ＝1－e ；②由e f (|x |＋1)＝1(x <1)，得f (|x |＋1)＝0，所以ln(|x |＋1)＝0，解得x ＝0，所以f (x )＝0，只有ln x ＝0(x ≥1)，解得x ＝1.综上可知函数y ＝f (f (x ))－1有x ＝e e ，1－e ，1共3个零点. 答案 1 318.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x －4，若m ＝4，则函数f (x )的零点个数为________；若函数f (x )有4个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 当m ＝4时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x －4，由对勾函数的性质易得y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝±2时等号成立，所以函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x －4的零点有2个.当m >0时，由对勾函数的性质易得y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x ≥2m ，当且仅当x ＝±m 时等号成立，要使f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x －4有4个零点，则有2m <4，解得0<m <4；当m ＝0时，f (x )＝|x |－4，易知此时函数f (x )＝|x |－4有2个零点，不符合题意；当m <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x ≥0，当且仅当x ＝±－m 时，等号成立，所以此时函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x －4有4个零点，综上所述实数m 的取值范围为(－∞，0)∪(0，4). 答案 2 (－∞，0)∪(0，4)19.(2020·浙江十校联盟适考)已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a (a ∈R )，若存在x 1，x 2，x 3…，x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n －1)＝f (x n )成立的最大正整数n 为6，则a的取值范围为________.解析 设t ＝x ＋1x ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52，则问题等价于对于函数g (t )＝|t －a |，存在t 1，t 2，t 3，…，t n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52，使得g (t 1)＋g (t 2)＋…＋g (t n －1)＝g (t n )成立的最大正整数n 为6，即5g (t )min ≤g (t )max ＜6g (t )min .当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52时，g (t )min ＝0，则对所有正整数都存在相应的t 1，t 2，t 3，…，t n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52使得等式成立，此时的a不符合题意；当a ＜2时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52－a ，g (t )min ＝g (2)＝2－a ，则有5(2－a )≤52－a ＜6(2－a )，解得158≤a ＜1910；当a ＞52时，g (t )max ＝g (2)＝a －2，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝a －52，则有5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52≤a －2＜6⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52，解得135＜a ≤218.综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，1910∪⎝ ⎛⎦⎥⎤135，218答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，1910∪⎝ ⎛⎦⎥⎤135，218。