第八篇第八节曲线与方程

第八节曲线与方程【考纲下载】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤建系建立适当的平面直角坐标系设点轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)列式列出或找出动点P满足的等式化简将得到的等式转化为关于x，y的方程验证验证所求方程即为所求的轨迹方程1．若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是曲线CD ．以上说法都正确解析：选C 因为曲线C 可能只是方程f (x ，y )＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C 正确．2．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋y －5＝0，则下列各点中，在曲线C 上的点是( )A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．(2，－3)D ．(3,6)解析：选A 将四个点的坐标一一代入曲线C 的方程，只有A 选项成立，因此(－1,2)在曲线C 上．3．函数y ＝4x 的图象是( )A ．抛物线B ．圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．以上都不是解析：选C 函数y ＝4x 的定义域是x ≥0，值域是y ≥0，则y ＝4x ，即y 2＝4x (x ≥0)，所以函数y ＝4x 的图象是顶点在原点，开口向右的抛物线位于x 轴上方的部分．4．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．5．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：选D 当a ＝3时，点P 的轨迹是线段，当a ≠3时，点P 的轨迹是椭圆．方法博览(七)利用参数法求轨迹方程在求点的轨迹方程时，有时求动点应满足的几何条件不易求得，也无明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(如斜率、比值、截距或坐标等)的制约，即动点坐标(x，y)中的x，y分别随另外变量的变化而变化，我们称这些变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．[典例](2013·福建高考)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．[解题指导](1)设A i的坐标为(i,0)，则B i的坐标为(10，i)，可用i表示点P的坐标，得出P的参数方程．(2)设直线l的斜率为k，将直线l的方程与抛物线的方程联立，寻找M，N两点坐标之间的关系，再由面积之比即可求出k的值．[解](1)法一：依题意，过A i(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，B i的坐标为(10，i)，所以直线OB i的方程为y＝i10x.设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝i ，y ＝i 10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y . 所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 法二：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝⎛⎭⎫i ，i 210. 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)依题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N . 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝10k ，x 1x 2＝－100.①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32. 所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0. [点评] 参数法求轨迹方程的步骤：(1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标；(2)得出动点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (k )，y ＝g (k )；(3)消去参数k ，得M 的轨迹方程；(4)由k 的范围确定x 、y 的范围.。

足为Q，且QP QF FP FQ，则动点P的 轨迹C的方程为（ ）
A. x2 4 y
B. y2 3x
C. x2 2y
D. y2 4x
3.已 知 动 P（x点 ，y） 与 两M定 （1点 ， 0） ，
N（1， 0） 连 线 的 斜 率 常之 数 （ 积 0等 ）于 ，
则 动P的 点轨C的 迹方 程 __为 ___。 ____
动 点 M 满 足 PD 2 MD ， 动 点 M 形 成 的 轨 迹 为 曲线 C。 （1） 求 曲 线 C 的 方 程 ； （ 2） 已 知 点 E （1，0） ， 若 A ， B 是 曲 线 C 上 的
两个动点，且满足 EA EB ，求 EA B A 的 取值范围。
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考点一 直接法求轨迹方程
[题 组 练 透 ] 1. y 1 1（x 1）2表 示 的 曲 线 是 （ ） A.抛 物 线 B .一 个 圆 C.两 个 圆 D .两 个 半 圆
2.已知点F（0，1），直线l：y 1，P为 平面上的动点，过点 P作直线l的垂线，垂
考点二 定义法求轨迹方程
[典题例析 ]
1 .如图，已知 ABC 的两顶点坐标 A （ 1，0），
B （ 1，0），圆 E 是 ABC 的内切圆，在边 AC ， BC ，
AB 上的切点分别为 P ， Q ， R ， CP （1 从圆外一
点到圆的两条切线段长
相等），动点 C 的轨迹为
曲线 M 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ 1）求曲线 M 的方程；
（ 2）设直线 BC 与曲线 M 的
另一交点为 D ，当点 A 在以

【解析】 知， 由已知： |MF| ＝ |MB| ，根据抛物线的定义
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
【答案】 D
4．(2011· 北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－ 1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨 迹．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； 1 2 ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于 a . 2 其中，所有正确结论的序号是________．
3n
利用第(1)问的
结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键． 2．如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直 线有关的几何量的等量关迹方 程的方法称为直接法． 3．求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增 解，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
【答案】 ②③
如图8－8－1所示，A(m， B(n，－
3 m)和
3 n)两点分别在射线OS，OT上
1 → → 移动，且OA·OB＝－ ，O为坐标原点， 2 → ＝OA → ＋OB →. 动点P满足OP (1)求mn的值； (2)求动点P的轨迹方程，并说明它表 示什么曲线？
→ ·OB → ＝(m， 3m)· 【尝试解答】 (1)由OA (n，－ 3n) ＝－2mn. 1 1 得－2mn＝－ ，∴mn＝ . 2 4 → ＝OA → ＋OB →， (2)设P(x，y)(x＞0)，由OP 得(x，y)＝(m， 3 m)＋(n，－ 3 n)＝(m＋n， 3 m－ 3n)．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为 方程组 F2(x，y)＝0，则C1、C2的交点坐标即为__________
F1（x，y）＝0 F2（x，y）＝0 的实数解． _________________

m)x2＋y2＝m2－1表示的曲线是
()
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：原方程可化为m2y－2 1－mx＋2 1＝1， ∵m>1，∴m2－1>0，m＋1>0. ∴表示焦点在y轴上的双曲线．
答案： D
2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，若动点P满足 PA·PB＝2，则动点P的
[自主解答] (1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)． 所以 MA＝(－x，－1－y)， MB＝(0，－3－y)， AB ＝(x，－2)． 再由题意可知( MA＋ MB)·AB＝0， 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0 所以曲线C的方程为y＝14x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝14x2－2上一点， 因为y ′＝12x，所以l的斜率为12x0. 因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)， 即x0x－2y＋2y0－x20＝0.
解：(1)设N(x，y)，P(0，b)， ∵ PM ＋ PN ＝0，∴M(－x,2b－y)． ∵M在x轴上，∴2b－y＝0，∴y＝2b. ① 又∵ PF ·PM ＝0，∴PF⊥PM. ∴y－x b·－ba＝－1.∴x＝ba2. ② 由①②可得y2＝4ax(也可用作直线l′：x＝－a，运用抛 物线的定义得出)．
()
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点 (2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案： D
4．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多 一个单位长度，则动点P的轨迹方程为________．

∴曲线 E 的方程为 x2＋y42＝1.
“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（五十九）” (单击进入电子文档)
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个 方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线❶. (1)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0, 那么点 P0(x0，y0)在 曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)＝0. (2)“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的 点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件.

x0－
33，y0.由于―M→B ＝－2―M→A ，∴－
33，2＝－2x0－
33，y0.
∴x0＝
23，y0＝－1，即

A

23，－1.
a·02＋b·22＝1，
∵A，B
都在曲线
E
上，∴ a·
232＋b·－12＝1，
a＝1， 解得b＝14.
同理 l2 的方程为 y＝y12x＋y22.
联立y＝y11x＋y21， y＝y12x＋y22，
x＝y12y2， 解得y＝y1＋2 y2.
易知 CD 的方程为 x0x＋y0y＝8，
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其中 x0，y0 满足 x20＋y20＝8，x0∈[2,2 2 ]， 由yx20＝x＋2xy， 0y＝8， 得 x0y2＋2y0y－16＝0，
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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类型一 直接法求轨迹方程 [基础自学过关]
[题组练透]
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1．已知点 F(0,1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点 P
作直线 l 的垂线，垂足为 Q ，且―Q →P ·―Q →F ＝―F→P ·―F→Q ，则动

∴当t＝ 5时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
第二十六页，共47页。
(2)由椭圆C2：x92＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)， 又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝x0y＋0 3(x＋3)．① 直线A2B的方程为y＝x－0－y03(x－3)．② 由①②得y2＝x－20－y029(x2－9)．③
第八页，共47页。
4．(2011·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－ 1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨 迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2. 其中，所有正确结论的序号是________．
第十九页，共47页。
【尝试解答】 过点A、B、O分别作直线l的垂线，垂 足分别为A′、B′、O′.
∵|AO|＝|BO|， ∴|AA′|＋|BB′|＝2|OO′|＝8， 设抛物线的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝ 8， 又|AB|＝4， ∴点F的轨迹在以点A、B为焦点的椭圆上， 设所求椭圆方程为xa22＋by22＝1， 则a2＝42＝16，b2＝42－22＝12， ∴抛物线焦点的轨迹方程为1x62＋1y22 ＝1(x≠±4)．
第二十页，共47页。
1．解答本题时，易忽视点(－4，0)和(4，0)不合要求，致 使答案错误．
2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满 足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以(kěyǐ)直接根据 定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫 做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
2．相关点法求轨迹方程：形成(xíngchéng)轨迹的动点 P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动 点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表示 成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方 程．

3．曲线的交点
设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2 的方程为 F2(x，y)
＝0，则 C1、C2 的交点坐标即为方程组
的实数解．
若此方程组 无解 ，则两曲线无交点．
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条 件．( )
(1)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其 最大面积；
(2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程．
图 8­8­3
[思路点拨] (1)设出点 A 的坐标，利用对称性表示 S 矩形ABCD，
并确定矩形 ABCD 面积取得最大值的条件，进而求出 t 值．(2)
点 M 受点 A 的变化制约，根据点 A 满足的方程求出点 M 的轨迹
2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲
线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运
算量，优化解题过程．
【变式训练 2】 如图 8­8­2 所示，已知 C 为圆(x＋ 2)2＋y2 ＝4 的圆心，点 A( 2，0)，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 所在的直线上，且M→Q·A→P＝0，A→P＝2A→M.当点 P 在圆上运动时， 求点 Q 的轨迹方程．
[答案] D
3．过椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂 足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方程是________．
[解析] 设 MN 的中点 P(x，y)，则点 M(x，2y)在椭圆上， ∴xa22＋（2by2）2＝1，即xa22＋4by22＝1.

提 知
又当点F与点A、B在一条直线上时，不合题意，故应除去
能
两点．
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自
【尝试解答】 过点A、B、O分别作直线l的垂线，垂
高 考
主 落
足分别为A′、B′、O′.
实 ·
∵|AO|＝|BO|，
固
∴|AA′|＋|BB′|＝2|OO′|＝8，
体 验 · 明 考
基 础
设抛物线的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝
【答案】 A
后 作 业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落
3．(2013·余姚模拟)已知点F(
1 4
，0)，直线l：x＝－
1 4
，
高 考 体 验
实 ·
点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂
· 明
固 基
直平分线交于点M，则点M的轨迹是(
)
础
A．双曲线 B．椭圆
考 情
C．圆
考 体 验
实
· 固 基
由y′＝12x，得kl＝12x0.
· 明 考 情
础
∴直线l的方程为y－y0＝
1 2
x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－
x20＝0，
典 例 探
则点O到l的距离d＝|2y40－＋xx2020|，
课 后
究
· 提 知
又y0＝14x02－2，
作 业
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
体 验
实
·
· 固
16 ， A( － 2， 0) ， B(2， 0) 为 两 个 定

(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方 程组有 实数解 ．可见，求曲线的交点问题，就是 求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
3．求动点M的轨迹方程的步骤 (1)建立适当的直角坐标系； (2)设 动点 M的坐标为(x，y)； (3)把几何条件转化为 坐标 表示，列出方程F(x，y)＝0； (4)证明“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上”．
(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双 曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的 椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除 去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭 圆(除去短轴的两个端点)．
[做一题] [例 3] (2011·安徽高考)设 λ>0，点 A 的坐标为(1,1)，点 B 在抛物线 y＝x2 上运动，点 Q 满足 BQ ＝λQA，经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交 抛物线于点 M，点 P 满足 QM ＝ λ MP ，求点 P 的轨迹方程．
[自主解答] 由 QM ＝λ MP 知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x
解析：|PM|－|PN|＝2，而|MN|＝2，∴点P在
MN的延长线上．
答案：D
2．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之积为－1的动点
P的轨迹方程是 A．x2＋y2＝1
() B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0) D．y＝ 1－x2 解析：设P(x，y)则kPA＝x＋y 1，kPB＝x－y 1(x≠±1)
x1＝1＋λx－λ， y1＝1＋λ2x2－λ1＋λy－λ.

所以P→F1＋P→F2＝P→M＝－2O→P. 又O→Q＝P→F1＋P→F2， 所以O→P＝－21O→Q
第十七页，共18页。
设 Q(x，y)，P(x0，y0)，则 x0＝－x2，且 y0＝－y2， 又点 P(x0，y0)在椭圆xa22＋by22＝1 上， 则有（－ax22 ）2＋（－b2y2 ）2＝1，即4xa22＋4yb22＝1. 答案：4xa22＋4yb22＝1
第十六页，共18页。
(2016·武汉模拟)P 是椭圆xa22＋by22＝1 上的任意一点，F1，F2 是它 的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点 Q 满足O→Q＝P→F1＋P→F2，则动 点 Q 的轨迹方程是________．
解析：作 P 关于 O 的对称点 M，连接 F1M，F2M，则四边形 F1PF2M 为平行四边形，
第十八页，共18页。
解：(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)， 因为点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|＝45|PD|， 所以 xP＝x，且 yP＝54y， ∵P 在圆 x2＋y2＝25 上， ∴x2＋54y2＝25，整理得2x52 ＋1y62＝1， 即 C 的方程是2x52 ＋1y62＝1.
第十二页，共18页。
如图所示，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.
(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的长度．
第十三页，共18页。
2．运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程 的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的． ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．