信号与线性系统第二章

∑ ⋅⋅⋅ +d1δ ′(t) + d0δ (t) + n kieλitε (t)
i=1
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
三、零输入响应法求解系统的冲激响应
⎪⎧h(n−1) (0+ ) = 1
⎨ ⎪⎩h
(
线性系统响应 的时域求解
二阶系统 求解得：
�求解c1、c2
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
n阶系统
可以写成： 均为单根时，求解得： 有重根的情况：
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
f(t ) = Aε(t ) − Aε(t − τ )
有始周期矩形脉冲： f(t ) = Aε(t ) − Aε(t − τ ) + Aε(t − T ) − Aε(t − T − τ )
+ Aε(t − 2T ) − Aε(t − 2T − τ ) + ⋅ ⋅ ⋅
∞
= A∑[ε(t − nT ) − ε(t − nT − τ )] n =0
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
t
f(t ) = ∫0f(τ )δ(t − τ )dτ
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
阶跃函数 冲激函数
零状态系统
求解响应函数
一、激励函数与响应函数之间的关系
1. 线性时不变系统
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
例：利用冲激函数的性质，求解下列积分
∫ e ∞ δ(t + 3) ⋅ e −tdt = 3 −∞
∞
1
∫ cos(πt) ⋅δ (t − )dt =
−∞
2
0
∫ ∞ e−2tδ (t)dt = 1 -∞
叠加积分
冲激偶：对单位冲激函数求导
δ(t ) =
1 ε(t
+
τ)−
1 ε(t
− τ)⇒
δ ′(t ) =
1 δ(t
+
τ)−
1 δ(t
− τ)
τ
2τ
2
τ
2τ
2
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
单位斜变函数、单位阶跃函数、单位冲激函数和单位冲 激偶四者之间的关系：
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
t
f(t ) = f(0)ε(t ) + ∫0f ′(τ )ε(t − τ )dτ
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
三、任意函数表示为冲激函数的积分
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
n
f(t ) ≈ ∑ f(k∆t ) ⋅ ∆t ⋅ δ(t − k∆t ) k =0
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
冲激函数的一些性质：
抽样性质：
f (t)δ (t) = f (0)δ (t)
f (t)δ (t − t1) = f (t1)δ (t − t1)
积分性质： δ (t) = ε ′(t) = dε (t)
dt
t
∫ δ(τ )dτ = ε(t) −∞
[ ∫ ( ∞ cos ω t
−∞
− 3)]δ (t
− 3)dt
=1
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
单位斜变函数：
∫ ∫∫ R(t) =
t
ε(τ )dτ
−∞
=
⎧ ⎪
t
ε(τ
0
)dτ
⎨t
=t
⎪ ⎩
0
−∞
⋅
dτ
=
0
当t > 0 = tε(t)
当t < 0
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
定义一个函数：
f(t )
=
⎪⎧ 1 ⎨τ
⎪⎩0
| t |≤ τ 2
else
τ → 0 f(t ) = δ(t )
1
⎪⎧δ(t ) = 0,t ≠ 0 ⎨ +∞
∫⎪⎩ −∞ δ(t )dt = 1
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
杜阿梅尔积分 系统由一系列阶梯函数的响应总和
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
为方便起见，用p代表微分算子，即：
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
n阶线性微分方程的算子表示：
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
例：已知某二阶线性时不变系统的微分方程为 解得：
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
奇异函数：函数或其各阶导数都有一个或多个间断点 (不连续)，在间断点上的导数用一般方法不好确定
微分方程的算子表示可以简写成：
求系统零输入响应： 求系统零状态响应：
转移算子
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
例：已知一线性时不变系统在 激励e(t)下的转 移算子为H(p)，现在激励改为-e(t)，则该系统 的转移算子应是 A. -H(p) B. H(p) C. -H(-p) D. H(-p)
阶跃函数：
1V
S
vi (t)
N
单位阶跃函数：
⎧1 t >0
ε
(t)
=
⎨ ⎩
0
t<0
⎧1
ε
(t
−
t1 )
=
⎨ ⎩
0
t > t1 t < t1
函数与阶跃函数相乘：
f
(t
)ε
(t)
=
⎧ ⎨ ⎩
f 0
(t)
t>0 t<0
系统方程的 算子表示法
单位冲激函数（狄拉克函数）：
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
任意激励函数可以用若干 个冲激之和来近似地代表
利用各冲激分量响应 叠加求零状态响应
激励函数：
n
e(t) ≈ ∑ e(k∆t) ⋅∆t ⋅δ (t − k∆t)
k =0
响应函数：
n
r(t) ≈ ∑ e(k∆t) ⋅∆t ⋅ h(t − k∆t)
k =0
t
∫ r(t) = e(τ )h(t − τ )dτ 0− t
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
系统的零输入响应是当系统没有外加激励信 号时的响应 求解齐次方程：
一阶系统
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
二、系统的冲激响应
∑ 当n = m时，h(t) = n kieλitε (t) + bmδ (t)
i=1
当n < m时， h(t) = dm−nδ (m−n) (t) + dm−n−1δ (m−n−1) (t) +
T
T
+ A (t − 2T )[ε(t − 2T ) − ε(t − 3T )] ⋅ ⋅ ⋅ T
∑ ∑ =
A
∞
tε(t ) − A
ε(t
− nT )
=
A
∞
R(t ) − A
ε(t
− nT )
T
n =0
T
n =1
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
二、任意函数表示为阶跃函数的积分
奇异函数
信号的 脉冲分解
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数