一元一次方程的讨论3-

一元一次方程的解的分类讨论一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

解一元一次方程是初中数学学习的基础内容，本文将对一元一次方程的解进行分类讨论。

一、无解的情况在一元一次方程中，存在着无解的情况。

当系数a和b满足一定条件时，方程将无解。

设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0，b≠0时，方程无解。

这是因为当a=0时，方程变为0x + b = 0，无论b的值如何，都无法找到一个x使等式成立。

二、有唯一解的情况继续讨论一元一次方程的解分类，可以发现还存在着有唯一解的情况。

当系数a和b满足一定条件时，方程仅有一个解。

设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a≠0时，方程有唯一解。

这是因为当a≠0时，方程变为ax + b = 0，可以通过移项和除以a的方式，求得唯一解x = -b/a。

三、有无穷多解的情况除了无解和有唯一解的情况外，一元一次方程还存在有无穷多解的情况。

当系数a和b满足一定条件时，方程将有无穷多解。

设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0且b=0时，方程有无穷多解。

这是因为当a=0且b=0时，方程变为0x + 0 = 0，任意实数x都可以使等式成立。

总结一元一次方程的解的分类讨论，可以得出以下结论：1. 当方程的系数a和b满足a=0且b≠0时，方程无解。

2. 当方程的系数a满足a≠0时，方程有唯一解，解为x = -b/a。

3. 当方程的系数a和b满足a=0且b=0时，方程有无穷多解。

根据以上分类讨论，我们可以更加深入地理解一元一次方程的解的特点和性质，并能够更准确地求解一元一次方程的解。

这里我们可以举一个具体的例子来说明。

假设有一个一元一次方程2x + 4 = 0，我们可以将其应用到分类讨论中。

根据分类讨论的结论，我们可以得出该方程的系数a=2，b=4。

由于a≠0，所以该方程有唯一解。

课时课题：第五章第二节解一元一次方程（三）课型：新授课教学目标：1．掌握去分母的方法，完善解一元一次方程的方法.2．通过总结概括一元一次方程的解法，进一步体会解方程过程中所蕴涵的化归思想. 3．感受等式性质的作用，增进对解方程的理解.教学重点与难点：1. 掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，并能解这种类型的方程。

（重点）2. 探究通过“去分母”的方法解一元一次方程，归纳解一元一次方程的步骤。

（难点）教法及学法指导：在前面的学段中，学生已学习了合并同类项、去括号等整式运算内容。

解一元一次方程就成为承上启下的重要内容。

因此，它既是重点也是难点。

根据学生认识规律和教学的启发性、直观性和面向全体因材施教等教学原则，积极创设新颖的问题情境，以“学生发展为本，以活动为主线，以创新为主旨”，采用多媒体教学等有效手段，以引导法为主，辅之以直观演示法、讨论法，向学生提供充分从事数学活动的机会，激发学生的学习积极性，使学生主动参与学习的全过程。

在学习的过程中，通过创设问题情景，引发学生思考，列出方程，并尝试探索去解出方程，进而总结方法，学会用去分母的方法去解这一类方程，达到学习目标。

课前准备：制作多媒体课件教学过程:一、创设情境，引入新课师：大家看图片，上面的人物大家认识吗？生：不认识。

师：不认识没关系，他是古希腊的数学家----丢番图。

人们对他的生平事迹知道的很少，但是流传这一篇墓志铭叙述了他的生平：“坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一.又过十二分之一,两颊长胡.再过七分之一,点燃结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.”师：看过他的墓志铭之后，你知道丢番图去世时候的年龄吗？你会用方程解决这个问题吗？大家尝试一下列出方程来。

生：（开始思考，并尝试列出方程。

部分同学很自信，大声说出自己列的方程（在这个过程中小部分同学会遗漏掉部分时间。

一元一次方程的讨论（二）教学目标：1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程．2、培养学生分析问题，解决问题的能力．3、通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的信心.教学难点：让学生逐步树立列方程解应用题的思想．教学重点：弄清列方程解应用题的思想方法；会用去括号、去分母解一元一次方程．教学过程：一、去括号同学们也许都读过俄国杰出短篇小说家契诃夫的作品《变色龙》、《套中人》、《小公务员之死》……可同学们是否还知道，在他的小说《家庭教师》中，居然写了一位教师为一道数学题大伤脑筋呢！让我们大家一起来看看这究竟是怎样的一道题：顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少？1、如何解决这个问题呢？2、算术方法？方程方法？两种都行吗？孰良孰莠？请同学们讨论交流．3、较之算术方法，方程解法要简易得多，展示如下：（师生共同合作）设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料(138－x)俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5(138－x)卢布，根据买两种布料共用540卢布，列得方程3x＋5(138－x) = 540好，现在怎样使这个方程向x = a的形式转化呢？利用“分配律”先去括号，下面的框图表示了解这个方程的具体进程，你能说出每步的依据吗？由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料。

去括号：在解方程的过程中，我们发现去括号是解方程时常用的变形，因而，要利用方程解决实际问题，当然必须掌握去括号解方程的能力.二、去分母丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程= x和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，那么可以使解方程中的计算更方便一些．去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数84.于是，所列方程变为整系数方程，解得：x = 84探讨归纳：解方程：1、为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？2、在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据．三、小结：1、通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？2、去括号解一元一次方程要注意什么？3、去分母解一元一次方程时要注意什么？4、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分母最小公倍数的目的是什么？。

新人教版七年级上学期数学第三章一元一次方程教学内容本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析和解决实际问题。

分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。

通过丰富实例，从算式到方程建立一元一次方程，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“移项”、“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。

本教案对列方程解决实际问题的内容作了较集中的归类讨论。

教学目标〔知识与技能〕1、理解一元一次方程及有关概念和等式的基本性质；2、熟练掌握一元一次方程的解法（数字系数）并学会运用一元一次方程解决简单的实际问题。

〔过程与方法〕经历解一元一次方程和列一元一次方程解决实际问题的过程，明确解一元一次方程和列一元一次方程的基本步骤，初步树立数学建模思想和体会化归思想的运用。

〔情感、态度与价值观〕在解决实际问题中，体会数学的应用价值，激发学习数学的欲望，提高分析问题和解决问题的能力。

重点难点一元一次方程的解法和运用是重点，列一元一次方程解决实际问题是难点。

课时分配3.1 从算式到方程…………………………………………2课时3.2 解一元一次方程的讨论(一)…………………………3课时3.3 解一元一次方程的讨论(一)…………………………4课时3.4 实际问题与一元一次方程…………………………3课时本章小结………………………………………… 2课时3．1．1一元一次方程[教学目标]理解一元一次方程的概念，会识别一元一次方程；了解方程的解，会验证方程的解；知道怎样列方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

第17讲-元一次方程1． 一元一次方程是方程中最基础的部分，其基本内容包括：解方程，方程的解及对解的讨论．2．解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)分数化为1．解一元一次方程时，既要遵守一般步骤，又要根据实际情况随机应变．3．解一元一次方程的常用技巧：(1)若括号内含有分数，则由外向内去括号，再去分母；(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行．4．当方程中的系数为字母时，先把方程化为ax=b 的形式，然后对字母系数进行讨论，题10)23(2=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x =关于x 的整式方程只有唯一解，说明是一元一次方程，x 的最高次数是1，且系数不为零．解 因为方程0)23(2=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且有唯一解，所以3a+2b=0且a≠0．因此，,0,32=/-=b b a 把b a 32-=代入,0=+b ax 得 ,032=+-b bx 解得.5.1=x 一元一次方程都可以化为ax=b （其中a ≠O)的一般形式．熟练掌握一元一次方程的定义及方程的解的应用是学好一元一次方程的基础．比如：若05312=-++x axa 是关于x 的一元一次方程，则必有.0=a读一题，练3题，练就解题高手1-1．有如下四个等式： ;732=+y x ①;10987+=-x x ②;2+=x x ③.10132020092=-+x x ④其中，是一元一次方程的有( )．A O 个B 1个 C.2个 D ．3个1-2．已知08)7()1(22=+--⋅-x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式+++-)2)((2005m x x m m 9的值．1-3．若2=x 是方程72=-a x 的解，解关于x 的方程.02=+-a ax题2 （1）讨论关于x 的方程b x =α的解的情况，其中为a,b 为已知数；(2)解关于x 的方程：).(31)(2m x n x m +=+ 对于(2)，把方程化为一般形式；对于(1)，可根据方程中字母系数可能的取值隋况进行讨论． 解 (1)当a≠O 时，方程的解为;a b x =当0,0==b a 时，方程的解为任意有理数；当0,0≠=b a 时，方程无解．(2)去分母得 ),(2)(3m x n x m +=+去括号，得,2233m x mn mx +=+移项，合并，得.32)23(mn m x m -=-当,023=/-m 即32=/m 时，方程有唯一解=x ;2332--m mn m 当,023=-m 即32=m 时，方程可化为=x 0,234n - 若,0234=-n 即32=n 时，方程总成立，方程的解为任意有理数； 若,0234=/-n 即32=/n 时，方程不成立，方程无解． 综上所述，当32=/m 时，n 为任意数时，方程有唯一解;2332--=m mn m x 当32,32==n m 时，方程的解为任意有理数；当32,32=/=n m 时，方程无解． 对含有字母的一元一次方程，必须根据所有字母的取值情况，作分类讨论．读一题，练3题，练就解题高手2-1．(1)关于x 的方程，824+=+x ax 无解，则a 等于（ ）A OB 1 C.2 D.4(2)关于x 的方程05)2(|1|=+--k x k k 是一元一次方程，则k=(3)关于x 的方程0)3(2=+++b ax x b a 只有唯一解，则这个解是x2-2．如果关于x 的方程2)15(3161x k x kx +=--有无数个解，则k= 2-3．已知关于x 的一次方程07)83(=++x b a 无解，则ab 是( )．A 正数B ．非正数C ．负数D ．非负数题3 解方程：--=--+)1(2)1(31)1(3x x x ).1(21+x 若按常规顺序化简，显然繁杂．观察发现题中仅含(x+1)，(x-l)未知式，若按(x+1)，(x-1)项分别合并，则能化繁为简．解 移项，得).1(31)1(2)1(21)1(3-+-=+++x x x x 合并，得).1(37)1(27-=+x x 去括号，移项，解得.5-=x本题所用的方法称为“整体处理法”，整体处理可以使问题简化．解一元一次方程的一般步骤是： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并l 功芬项；(5)多数化为1； 实际解方程时，我们既要循规守矩，又要能随机应变、有时适当改变顺序会使过程更为简单， 读一题，练1题，决出能力高下3-1．解方程：.243511)32(31)231(41x x x x +=⋅----题4 不论k 为何值，x=-1总是关于x 的方程1322=--+bk x a kx 的解，试求a,b 的值。

4、问题情景
一、知识回顾
方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

例如：方程　
例
变式练习：
1.当a
　当a
例
解。

变式练习：关于
（2）有无数解（3）无解
例3、己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a　无解。

问a和b应满足什么关系？
变式练习：当b=1时，关于x的方程a（3x-2）+b（2x-3）=8x-7有无数多个解，求a的值。

例4、a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
变式练习：已知关于x 的方程2a(x-1)=（5-a）x+3b有无穷多解，求a、b
三、归纳总结
解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b 的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
四、拓展延伸
例
①
变式练习
①。

一元一次方程的解法及应用拓展一、一元一次方程的概念1.1 定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且两边都为整式的等式称为一元一次方程。

1.2 形式：ax + b = 0（a, b为常数，a≠0）二、一元一次方程的解法2.1 公式法：将方程ax + b = 0两边同时除以a，得到x = -b/a。

2.2 移项法：将方程中的常数项移到等式的一边，未知数项移到等式的另一边。

2.3 因式分解法：将方程进行因式分解，使其成为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。

三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。

3.2 线性方程组：由多个一元一次方程组成的方程组，可用代入法、消元法等方法求解。

3.3 函数图像：一元一次方程的图像为直线，可通过解析式分析直线与坐标轴的交点、斜率等性质。

四、一元一次方程的拓展4.1 比例方程：含有一元一次方程的等比例关系，可通过交叉相乘、解一元一次方程求解。

4.2 分式方程：含有一元一次方程的分式，可通过去分母、解一元一次方程求解。

4.3 绝对值方程：含有一元一次方程的绝对值，可分为两种情况讨论，求解未知数。

五、一元一次方程的练习题5.1 选择题：判断下列方程是否为一元一次方程，并选择正确的解法。

5.2 填空题：根据题目给出的条件，填空求解一元一次方程。

5.3 解答题：解答实际问题，将问题转化为一元一次方程，求解未知数。

六、一元一次方程的考试重点6.1 掌握一元一次方程的定义、形式及解法。

6.2 能够将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。

6.3 熟练运用一元一次方程解决线性方程组、函数图像等问题。

6.4 理解一元一次方程的拓展知识，如比例方程、分式方程、绝对值方程等。

七、一元一次方程的学习建议7.1 多做练习题：通过大量的练习题，熟练掌握一元一次方程的解法及应用。

7.2 深入理解实际问题：学会将实际问题转化为一元一次方程，提高解决问题的能力。