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茆诗松概率论教案第一章概率论的基本概念1.1 随机试验与样本空间介绍随机试验的概念及其特点讲解样本空间、事件及它们的分类举例说明如何判断两个事件的关系（包含、互斥、独立等）1.2 概率的定义与性质介绍概率的定义（古典概率、几何概率、条件概率）讲解概率的基本性质（互补性、可加性、乘法公式）举例说明如何计算简单事件的概率1.3 条件概率与独立性讲解条件概率的定义及其计算方法介绍独立事件的定义及其性质讲解如何判断两个事件是否独立1.4 贝叶斯定理讲解贝叶斯定理的定义及其意义讲解如何应用贝叶斯定理计算后验概率第二章随机变量及其分布2.1 随机变量的概念介绍随机变量的定义及其分类（离散型、连续型）讲解随机变量的数学期望、方差、标准差等基本统计量2.2 离散型随机变量的概率分布讲解离散型随机变量的概率质量函数（PMF）讲解常见离散型随机变量的分布（均匀分布、二项分布、泊松分布等）2.3 连续型随机变量的概率分布讲解连续型随机变量的概率密度函数（PDF）讲解常见连续型随机变量的分布（均匀分布、正态分布、指数分布等）2.4 大数定律与中心极限定理讲解大数定律的意义及其应用讲解中心极限定理的内容及其意义第三章随机变量的数字特征3.1 随机变量的数学期望讲解随机变量数学期望的定义及其计算方法讲解随机变量数学期望的性质及其应用3.2 随机变量的方差与标准差讲解随机变量方差的定义及其计算方法讲解随机变量标准差的定义及其计算方法3.3 随机变量的协方差与相关系数讲解随机变量协方差的定义及其计算方法讲解随机变量相关系数的定义及其计算方法3.4 随机变量的矩讲解随机变量矩的定义及其计算方法讲解随机变量矩的应用及其意义第四章随机向量及其分布4.1 随机向量的概念介绍随机向量的定义及其分类（离散型、连续型）讲解随机向量的数学期望、方差、标准差等基本统计量4.2 离散型随机向量的概率分布讲解离散型随机向量的概率质量函数（PMF）讲解常见离散型随机向量的分布（均匀分布、二项分布等）4.3 连续型随机向量的概率分布讲解连续型随机向量的概率密度函数（PDF）讲解常见连续型随机向量的分布（均匀分布、正态分布等）4.4 大数定律与中心极限定理在随机向量中的应用讲解大数定律与中心极限定理在随机向量中的应用方法第五章随机变量的函数及其分布5.1 随机变量函数的定义及其分类介绍随机变量函数的定义及其分类（确定性函数、随机性函数）5.2 离散型随机变量的函数的分布讲解离散型随机变量的函数的分布的定义及其计算方法讲解常见离散型随机变量的函数的分布的性质及其应用5.3 连续型随机变量的函数的分布讲解连续型随机变量的函数的分布的定义及其计算方法讲解常见连续型随机变量的函数的分布的性质及其应用5.4 随机向量的函数的分布讲解随机向量的函数的分布的定义及其计算方法讲解随机向量的函数的分布的应用及其意义第六章随机过程及其基本性质6.1 随机过程的概念介绍随机过程的定义及其特点讲解随机过程的分类（离散时间、连续时间）6.2 随机过程的随机变量的相关性质讲解随机过程中随机变量的相关性质（独立性、马尔可夫性等）6.3 随机过程的分布函数及其性质讲解随机过程的分布函数的定义及其性质讲解如何计算随机过程的分布函数6.4 随机过程的数字特征讲解随机过程的数字特征（数学期望、方差、协方差等）讲解如何计算随机过程的数字特征第七章马尔可夫链7.1 马尔可夫链的概念介绍马尔可夫链的定义及其特点讲解马尔可夫链的分类（有限状态、无限状态）7.2 马尔可夫链的转移概率讲解马尔可夫链的转移概率的定义及其计算方法讲解如何判断马尔可夫链的稳态分布7.3 马尔可夫链的性质及其应用讲解马尔可夫链的性质（无后效性、唯一性等）讲解马尔可夫链在实际应用中的例子（例如，股票价格预测、人口变化等）7.4 马尔可夫决策过程讲解马尔可夫决策过程的定义及其特点讲解如何应用马尔可夫决策过程解决实际问题第八章随机过程的数学期望和方差8.1 随机过程的数学期望讲解随机过程的数学期望的定义及其计算方法讲解随机过程的数学期望的性质及其应用8.2 随机过程的方差和协方差讲解随机过程的方差的定义及其计算方法讲解随机过程的协方差的定义及其计算方法8.3 随机过程的矩讲解随机过程的矩的定义及其计算方法讲解随机过程的矩的应用及其意义8.4 随机过程的线性变换讲解随机过程的线性变换的定义及其计算方法讲解如何利用线性变换分析随机过程的性质第九章随机过程的应用9.1 随机过程在统计学中的应用讲解随机过程在统计学中的应用方法（例如，时间序列分析、生存分析等）9.2 随机过程在物理学中的应用讲解随机过程在物理学中的应用方法（例如，噪声、布朗运动等）9.3 随机过程在经济学中的应用讲解随机过程在经济学中的应用方法（例如，随机模型、经济预测等）9.4 随机过程在其他领域中的应用讲解随机过程在其他领域中的应用方法（例如，生物学、工程学等）第十章随机过程的进一步研究10.1 随机过程的极限讲解随机过程的极限的定义及其性质讲解如何判断随机过程的极限存在性10.2 随机过程的稳态分布讲解随机过程的稳态分布的定义及其计算方法讲解如何判断随机过程的稳态分布的存在性10.3 随机过程的谱分析讲解随机过程的谱分析的定义及其方法讲解如何利用谱分析研究随机过程的性质10.4 随机过程的其他研究方法讲解随机过程的其他研究方法（例如，主成分分析、信息论等）重点和难点解析重点环节1：随机试验与样本空间需要重点关注样本空间的定义及其包含的所有可能结果。
第二章 随机变量及其分布上一章研究内容： 事件（集合A ）→ 概率（数）．本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．事件（数）→ 概率（数）．§2.1 随机变量及其分布2.1.1.随机变量的概念随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，不合格记为0．随机试验中，可将每一个样本点ω 都对应于一个实数X (ω)，称为随机变量（Random Variable ），常用大写英文字母X , Y , Z 等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x , y , z ．对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：如掷硬币，⎩⎨⎧=反面正面,0,1X ，X 的全部可能取值为0, 1；掷两枚骰子，X 表示掷出的点数之和，X 的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ；观察某商店一小时内的进店人数X ，X 的全部可能取值为0, 1, 2, … ；电子元件使用寿命，用X 表示使用的小时数，X 的全部可能取值为 ),0[∞+； 一场足球比赛（90分钟），用X 表示首次进球时间（分钟），若为0:0，记X = 100，X 的全部可能取值为 (0, 90 )∪{100}；注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数，2．不同样本点可以对应于同一个实数，3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法． 例 掷一枚骰子，用X 表示出现的点数，则 X = 1表示出现1点；X > 4表示点数大于4，即出现5点或6点；X ≤ 0为不可能事件．又出现奇数点，即X = 1, 3, 5；点数不超过3，即X ≤ 3． 例 X 表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数）， 则 X = 0表示没有销售；X ≤ 10表示销售不超过10件．又销售5件以上（不含5件）即X > 5；若该商店准备了a 件该商品，事件“能满足顾客需要”，即X ≤ a ． 例 X 表示一只电子元件的使用寿命（小时）， 则 X = 1000表示该元件恰好使用了1000小时，X ≥ 800表示该元件使用寿命在800小时以上． 例 90分钟足球比赛，X 表示首次进球时间（分钟），且0:0时，记X = 100， 则 X = 10表示上半场第10分钟首次进球．又上半场不进球即X > 45；开场1分钟内进球即X ≤ 1．如果随机变量X 的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．（注：可列个即可以排成一列，一个一个往下数，如非负整数0, 1, 2, 3, … ）离散型随机变量的全部可能取值是实数轴上一些离散的点，而连续型随机变量的全部可能取值是实数轴上一个区间或多个区间的并，如电子元件使用寿命X （小时），全部可能取值是),0[∞+．下面按离散型和连续型分别进行讨论．2.1.2. 离散随机变量的概率分布列对于随机变量还应该掌握它的每一取值或取值范围表示事件的概率．定义 如果随机变量X 的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量X 的全部可能取值为x 1, x 2, …, x k , …，则X 取值x k 的概率p k = p (x k ) = P {X = x k }, k = 1, 2, …… 称为离散型随机变量的概率分布函数（Probability Distribution Function ，PDF ），简称概率分布或概率函数．直观上，又写为L LLL)()()(2121k kx p x p x p Px x x X 或 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L L L L)()()(~2121k k x p x p x p x x x X ， 称为X 的概率分布列．如掷一枚骰子，X 表示出现的点数，X 的分布列为616161616161654321PX ． 概率函数基本性质：（1）非负性 p (x k ) ≥ 0 , k = 1, 2, ……； （2）正则性1)(1=∑∞=k kxp ．这是因为事件X = x 1 , X = x 2 , … , X = x k , … 是一个完备事件组， 故P {X = x 1} + P {X = x 2} + … + P {X = x k } + … = P (Ω) = 1，即p (x 1) + p (x 2) + … + p (x k ) + … = 1． 例 设盒中有2个红球3个白球，从中任取3球，以X 表示取得的红球数．求X 的分布列． 解：X 的全部可能取值0, 1, 2 ，样本点总数为1035=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，X = 0表示“取到3个白球”，所含样本点个数为1330=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有1.0101)0(==p ， X = 1表示“取到1个红球2个白球”，所含样本点个数为612231=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有6.0106)1(==p ， X = 2表示“取到2个红球1个白球”，所含样本点个数为322132=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3.0103)2(==p ． 故X 的分布列为3.06.01.0210P X．求离散型随机变量X 的概率分布步骤： （1）找出X 的全部可能取值，（2）将X 的每一取值表示为事件， （3）求出X 的每一取值的概率．例 现有10件产品，其中有3件不合格．若不放回抽取，每次取一件，直到取得合格品为止．用X 表示抽取次数，求X 的概率分布． 解：X 的全部可能取值1, 2, 3, 4 ，X = 1表示“第1次就取得合格品”，有107)1(=p ， X = 2表示“第2次取得合格品且第1次是不合格品”，有30797103)2(=⋅=p ， X = 3表示“第3次取得合格品且前两次是不合格品”，有12078792103)3(=⋅⋅=p ， X = 4表示“第4次取得合格品且前三次是不合格品”，有1201778192103)4(=⋅⋅⋅=p ， 故X 的分布列为120112073071074321PX ． 例 上例若改为有放回地抽取，又如何？ 解：X 的全部可能取值1 , 2 , … , n , … ，7.0107)1(==p ，21.0107103)2(=⋅=p ，7.03.0)3(2×=p ，…，7.03.0)(1×=−k k p ，…， 故X 的概率函数为L ,2,1,7.03.0)(1=×=−k k p k ；X 的分布列为LL L L 7.03.07.03.021.07.032112××−k PkX ．例 若离散型随机变量的概率函数为kCk p =)(，k = 1, 2, 3, 4，且C 为常数． 求：（1）C 的值，（2）P {X = 3}，（3）P {X < 3}．解：（1）由正则性知：1432)4()3()2()1(=+++=+++CC C C p p p p ，即11225=C ，故2512=C ．（2）254)3(}3{===p X P ， （3）25182562512)2()1(}3{=+=+=<p p X P ． 2.1.3.随机变量的分布函数连续型随机变量在单个点取值概率为零，如电子元件使用寿命恰好为1000小时这个事件的概率就等于零，因此连续型随机变量不能考虑概率函数．为了用单独一个变量表示一个区间，特别地取区间 (−∞, x ]．定义 随机变量X 与任意实数x ，称F (x ) = P {X ≤ x }，−∞ < x < +∞为X 的累积分布函数（Cumulative Distribution Function ，CDF ），简称分布函数．P {a < X ≤ b } = P {X ≤ b } − P {X ≤ a } = F (b ) − F (a )，P {X > a } = 1 − P {X ≤ a } = 1 − F (a )，由概率的连续性知)0()(lim }{lim }{−==≤=<−−→→a F x F x X P a X P ax ax ，且P {X = a } = P {X ≤ a } − P {X < a } = F (a ) − F (a – 0)，可见X 在任一区间上或任一点取值的概率都可用分布函数表示． 例 已知随机变量X 的分布列为3.05.02.0210PX ，求X 的分布函数．解：X 的全部可能取值为0, 1, 2，当x < 0时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0， 当0 ≤ x < 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = p (0) = 0.2，当1 ≤ x < 2时，F (x ) = P {X ≤ x } = p (0) + p (1) = 0.7， 当x ≥ 2时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω ) = 1，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,7.0,10,2.0,0,0)(x x x x x F若离散型随机变量的全部可能取值为x 1, x 2, ……，概率函数p (x k ) = p k ，k = 1, 2, ……，则分布函数∑≤=≤=xx kk xp x X P x F )(}{)(．且离散型随机变量的分布函数F (x )是单调不减的阶梯形函数，X 的每一可能取值x k 是F (x )的跳跃点，跳跃高度是相应概率p (x k )．例 已知某离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤−−<=,5,1,52,6.0,20,4.0,01,3.01,0)(x x x x x x F 求X 的分布列． 解：X 的全部可能取值是F (x )的跳跃点，即 −1, 0, 2, 5，跳跃高度依次为：p (−1) = 0.3 − 0 = 0.3； p (0) = 0.4 − 0.3 = 0.1； p (2) = 0.6 − 0.4 = 0.2； p (5) = 1 − 0.6 = 0.4．故X 的分布列为4.02.01.03.05201PX −．分布函数的基本性质：（1）单调性，F (x ) 单调不减，即x 1 < x 2时，F (x 1) ≤ F (x 2)； （2）正则性，F (−∞) = 0，F (+∞) = 1；（3）连续性，F (x ) 右连续，即)()(lim 00x F x F x x =+→． 证：（1）当x 1 < x 2时，{X ≤ x 1} ⊂ {X ≤ x 2}，有F (x 1) ≤ F (x 2)；（2）F (−∞) = P {X < −∞} = P (∅) = 0，F (+∞) = P {X < +∞} = P (Ω ) = 1；（3）任取单调下降且趋于x 0的数列{x n }，有}{}{}{lim 01x X x X x X n n n n ≤=≤=≤∞=∞→I ，根据概率的连续性知}{}{}{lim 01x X P x X P x X P n n n n ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤=≤∞=∞→I ，即)()(lim 00x F x F x x =+→． 但F (x )不一定左连续，任取单调增加且趋于x 0的数列{x n }，有}{}{}{lim 01x X x X x X n n n n <=≤=≤∞=∞→U ，得}{}{}{lim 01x X P x X P x X P n n n n <=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤=≤∞=∞→U ， 故}{)(}{)(lim 0000x X P x F x X P x F x x =−=<=−→．2.1.4. 连续随机变量的概率密度函数离散型随机变量的全部可能取值是有限或可列个点，连续型随机变量的全部可能取值是实数区间．但连续型随机变量在单独一个点取值的概率为0，其概率函数无实际意义，对于连续随机变量通常考虑其在某个区间上取值的概率，这就需要讨论分布函数．连续型随机变量的分布函数是连续函数． 注意：概率为0的事件不一定是不可能事件．定义 随机变量X 的分布函数F (x )，若存在函数p (x )，使 ∫∞−=xdu u p x F )()(，则称X 为连续型随机变量，p(x )为X 的概率密度函数（可以理解为：p (u )为概率密度，p (u )du 为X 在该小区间内取值的概率，∫∞−x 为从−∞ 到x 无限求和．几何意义：在平面上作出密度函数p (x )的图形，则阴影部分的面积即为F (x )的值．密度函数基本性质：（1）非负性 p (x ) ≥ 0；（2）正则性 1)(=∫∞+∞−dx x p ．因)()(x F du u p x =∫∞−，有1)()(=+∞=∫∞+∞−F dx x p ．连续型随机变量的性质：设连续型随机变量X 的概率密度函数为p (x )，分布函数为F (x )，则有 （1）∫=−=≤<21)()()(}{1221x x dx x p x F x F x X x P ；（2）当p (x ) 连续时，p (x ) = F ′(x )； 因∫∞−=x du u p x F )()(，当p (x ) 连续时，有)(])([)(x p du u p x F x=′=′∫∞−（3）X 在单独一个点取值的概率为0，其分布函数为连续函数；（4）P {x 1 < X ≤ x 2} = P {x 1 ≤ X ≤ x 2} = P {x 1 < X < x 2} = P {x 1 ≤ X < x 2}，即连续型．．．随机变量在某区间内的概率与区间开闭无关，离散型则不成立；（5）只在有限个点上取值不相同的密度函数对应于同一个分布函数，一般，只在概率为0的数集上取值不相同的密度函数都对应于同一个分布函数．例 设F (x ) = A + B arctan x 为某连续型随机变量X 的分布函数． 求：（1）A , B ； （2）}31{≤≤−X P ； （3）密度函数p (x )． 解：（1）由正则性 F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，得：02π)arctan (lim =−=+−∞→B A x B A x ，12π)arctan (lim =+=++∞→B A x B A x ，故21=A ，π1=B ；（2）x x F arctan π121)(+=，得1274ππ1213ππ121)1()3(}31{=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=−−=≤≤−F F X P ． （3）密度函数)1π(1)()(2x x F x p +=′=．例 已知⎩⎨⎧<<−=,,0,10),()(32其它x x x C x p是某连续型随机变量X 的密度函数，求：（1）C ， （2）}211{<<−X P ， （3）分布函数F (x )．解：（1）由正则性：1)(=∫∞+∞−dx x p ，得1120)4131()43()(10431032==−−=−=−∫C C x x C dx x x C ，故C = 12；（2）165)641241(12)43(12)(12)(}211{2104321032211=−=−=−==<<−∫∫−x x dx x x dx x p X P ；（3）X 的全部可能取值为 [0, 1]，分段点0, 1，当x < 0时，0)()(==∫∞−xdu u p x F ，当0 ≤ x < 1时，4304303234)43(12)(12)()(x x u u du u u du u p x F xxx−=−=−==∫∫∞−，当x ≥ 1时， 1)(12)()(132=−==∫∫∞−du u u du u p x F x，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−<=.1,1,10,34,0,0)(43x x x x x x F例 已知⎩⎨⎧<<−=,,0,11|,|)(其它x x x p是某连续型随机变量X 的密度函数，求分布函数F (x )．解：分段点−1, 0, 1，当x < −1时，0)()(==∫∞−xdu u p x F ；当−1 ≤ x < 0时， 212122)()()(22121x x u du u du u p x F xxx−=+−=−=−==−−∞−∫∫； 当0 ≤ x < 1时，21221022)()()(220212001x x u u udu du u du u p x F xxx+=++=+−=+−==−−∞−∫∫∫；当x ≥ 1时， 1)()()(101=+−==∫∫∫−∞−udu du u du u p x F x．故⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤−−<=.1,1,10,21,01,21,0,0)(22x x x x xx x F§2.2 随机变量的数学期望对于随机变量，还应当掌握反映其平均值、分散程度等的指标，这就需要引入数学期望和方差等概念． 2.2.1.数学期望的概念例 甲、乙两个射击选手，在射击训练中甲射了10次，其中3次10环，1次9环，4次8环，2次7环；乙射了15次，其中2次10环，9次9环，2次8环，2次7环．问谁的表现更好？ 分析：比较他们射中的平均环数甲共射中3 × 10 + 1 × 9 + 4 × 8 + 2 × 7 = 85环，平均每次射中5.81085=环； 乙共射中2 × 10 + 9 × 9 + 2 × 8 + 2 × 7 = 131环，平均每次射中73.815131=&环． 故乙的表现更好．一般地，若在n 次试验中，出现了m 1次x 1，m 2次x 2，…，m k 次x k ，（其中m 1 + m 2 + … + m k = n ），则平均值为∑==+++ki i i k k n mx n x m x m x m 12211L ，即平均值等于取值与频率乘积之和．因n 很大时，频率稳定在概率附近，即平均值将稳定在取值与概率乘积之和附近． 2.2.2.数学期望的定义定义 设离散型随机变量X 的分布列是⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L L L L )()()(~2121k kx p x p x p x x x X ，如果级数∑∞=1)(k k k x p x 绝对收敛，则称之为X 的数学期望（Expectation ），记为E (X )． 数学期望的实际意义是反映随机变量的平均取值，是其全部可能取值以相应概率为权数的加权平均．如X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2.04.01.03.04102，则E (X) = (−2) × 0.3 + 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.2 = 0.6． 例 某人有4发子弹，现在他向某一目标射击，若命中目标就停止射击，否则直到子弹用完为止．设每发子弹命中率为0.4，以X 表示射击次数，求E (X )． 解：先求X 的分布列，X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4，X = 1，第一枪就命中， p (1) = 0.4；X = 2，第一枪没有命中，第二枪命中，p (2) = 0.6 × 0.4 = 0.24； X = 3，前两枪没有命中，第三枪命中，p (3) = 0.6 2 × 0.4 = 0.144； X = 4，前三枪没有命中， p (4) = 0.6 3 = 0.216．则X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛216.0144.024.04.04321，故E (X ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.24 + 3 × 0.144 + 4 × 0.216 = 2.176．例 若X 的概率函数为L ,2,1,21)2(==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−k kp k k，求E (X )． 解：因∑∑∞=∞=−=⋅−11)1(21)2(k kk k k k k 收敛但不是绝对收敛，故E (X ) 不存在．离散型随机变量的数学期望是取值乘概率求和：∑∞=1)(k k k x p x ，类似可定义连续型随机变量的数学期望是取值乘密度积分：∫+∞∞−dx x xp )(．定义 设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )．如果广义积分∫+∞∞−dx x xp )(绝对收敛，则称之为X 的数学期望，记为E (X )．例 已知连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其它x x x p 求E (X )．解：32322)()(1310=⋅=⋅==∫∫∞+∞−x xdx x dx x xp X E ． 例 已知X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=.,0,20,)(其它x bx a x p 且32)(=X E ，求a , b ． 解：由正则性得122)2()()(2220=+=⋅+=+=∫∫∞+∞−b a x b ax dx bx a dx x p ，又32382)32()()()(20322=+=⋅+⋅=+==∫∫∞+∞−b a x b x a dx bx a x dx x xp X E ，故21,1−==b a ． 例 已知X 的密度函数为+∞<<∞−+=x x x p ,)1π(1)(2，求E (X )．解：因+∞∞−+∞∞−+∞∞−+∞∞−+=⋅+=+=∫∫∫)1ln(π21)(21)1π(1)1π()(2222x x d x dx x x dx x xp 发散， 故E (X )不存在． 2.2.3.数学期望的性质设X 为随机变量，g (x ) 为函数，则称Y = g (X ) 为随机变量函数，Y 也是一个随机变量．下面不加证明地给出随机变量函数的数学期望计算公式．定理 设X 为随机变量，Y = g (X ) 为随机变量函数，则（1）若X 为离散型随机变量，概率函数为p(x k ), k = 1, 2, …，则∑∞===1)()()]([)(k k k x p x g X g E Y E ；（2）若X 为连续型随机变量，密度函数为p (x )，则∫+∞∞−==dx x p x g X g E Y E )()()]([)(．数学期望具有以下性质：（1）常数的期望等于其自身，即E (c ) = c ；（2）常数因子可移到期望符号外，即E (aX ) = a E (X )；（3）随机变量和的期望等于期望的和，即E [g 1 (X ) + g 2 (X )] = E [g 1 (X )] + E [g 2 (X )]． 证明：（1）将常数c 看作是单点分布p (c ) = 1，故E (c ) = c p (c ) = c ；（2）以连续型为例加以证明，)()()()(X aE dx x xp a dx x axp aX E ===∫∫+∞∞−+∞∞−；（3）以连续型为例加以证明，∫∫∫+∞∞−+∞∞−+∞∞−+=+=+dx x p x g dx x p x g dx x p x g x g X g X g E )()()()()()]()([)]()([212121= E [g 1 (X )] + E [g 2 (X )]．由性质（2）、（3）知随机变量线性组合的期望等于期望的线性组合，可见数学期望具有线性性质． 例 设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3.04.01.02.02101， 求E (2X +1)，E (X 2)．解：E (2X +1) = −1 × 0.2 + 1 × 0.1 + 3 × 0.4 + 5 × 0.3 = 2.6；E (X 2) = 1 × 0.2 + 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.3 = 1.8． 例 已知圆的半径X 是一个随机变量，密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,31,21)(其他x x p 求圆面积Y 的数学期望． 解：圆面积Y = π X 2，故3π1332π21π)(π)(3133122=⋅=⋅==∫∫∞+∞−xdx x dx x p x Y E ． 例 设国际市场对我国某种出口商品的需求量X （吨）的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,40002000,20001)(其他x x p 设每售出一吨，可获利3万美元，但若销售不出，每积压一吨将亏损1万美元，问如何计划年出口量，能使国家获利的期望最大．解：设计划年出口量为a 吨，每年获利Y 万美元．当X ≥ a 时，销售a 吨，获利3a 万美元；当X < a 时，销售X 吨，积压a − X 吨，获利3X − (a − X ) = 4X − a 万美元；即⎩⎨⎧<≤−≤≤==.2000,4,4000,3)(a X a X X a a X g Y则4000200024000200020003)2(2000120001320001)4()()()(aa a a x a ax x dx a dx a x dx x p x g Y E +−=⋅+⋅−==∫∫∫+∞∞− 8250)3500(10001400071000122+−−=−+−=a a a ， 故计划年出口量为3500吨时，使国家获利的期望最大．§2.3 随机变量的方差与标准差数学期望反映平均值，方差反映波动程度．如甲、乙两台包装机，要求包装重量为每袋500克，现各取5袋，重量为甲：498，499，500，501，502； 乙：490，495，500，505，510．二者平均值相同都是500克，但显然甲比乙好．此时比较的是它们的偏差（即取值与平均值之差）．偏差：甲：−2，−1，0，1，2；乙：−10，−5，0，5，10． 2.3.1.方差的定义定义 随机变量X 与其数学期望E (X ) 之差X − E (X ) 称为偏差．偏差有大有小，可正可负，比较时需要去掉符号，但绝对值函数进行微积分处理不方便，因此考虑偏差平方的数学期望．定义 随机变量X ，若E [X − E (X )]2存在，则称之为X 的方差（Variance ），记为Var (X ) 或D (X )．即Var (X ) = E [X − E (X )]2．显然方差Var (X ) ≥ 0，称)Var(X 为X 的标准差（Standard Deviation ）．在实际问题中，标准差与随机变量有相同的量纲．方差与标准差反映波动程度．方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中． 例 设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4.04.02.0321， 求E (X ), Var (X )．解：E (X ) = 1 × 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.4 = 2.2；Var (X ) = (−1.2)2 × 0.2 + (−0.2)2 × 0.4 + 0.82 × 0.4 = 0.56． 例 已知X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他x x x p求E (X ), Var (X )．解：32322)()(1310=⋅=⋅==∫∫∞+∞−x xdx x dx x xf X E ； 181949821949842)98382()()32()Var(1023410232=+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+−=−=∫∫∞+∞−x x x dx x x x dx x p x X ．例 已知X 的全部可能取值为0, 1, 2，且E (X ) = 1.3，Var (X ) = 0.81．求X 的分布列．解：设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c b a 210，由正则性得：a + b + c = 1，且E (X ) = 0 × a + 1 × b + 2 × c = b + 2c = 1.3，Var (X ) = (−1.3)2 × a + (−0.3)2 × b + 0.72 × c = 1.69a + 0.09b + 0.49c = 0.81， 解得a = 0.3，b = 0.1，c = 0.6，故X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛6.01.03.0210．2.3.2. 方差的性质方差具有以下性质：（1）方差计算公式：Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2； （2）常数的方差等于零，即Var (c ) = 0；（3）设a , b 为常数，则Var (a X + b ) = a 2 Var (X )． 证：（1）Var (X ) = E [X − E (X )]2 = E [X 2 − 2X ⋅ E (X ) + E (X )2] = E (X 2 ) − 2E (X ) ⋅ E (X ) + [E (X )]2．= E (X 2) − [E (X )]2；（2）Var (c ) = E [c − E (c )]2 = E (c − c )2 = E (0) = 0；（3）Var (a X + b ) = E [(a X + b ) − E (a X + b )]2 = E [a X + b − a E (X ) − b ]2 = a 2 E [X − E (X )]2 = a 2 Var (X )． 由性质（1），显然有以下推论：推论 对于随机变量X ，如果E (X 2) 存在，则E (X 2) ≥ [E (X )]2．以后常利用方差计算公式Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2计算随机变量的方差．通常用公式计算比直接用定义计算方差要方便． 例 设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4.04.02.0321， 求Var (X )．解：前面已求得E (X ) = 2.2，因E (X 2) = 1 2 × 0.2 + 2 2 × 0.4 + 3 2 × 0.4 = 5.4， 故Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2 = 5.4 − 2.22 = 0.56． 例 已知X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他x x x p 求Var (X )．解：前面已求得32)(=X E ， 因21422)(141022=⋅=⋅=∫x xdx x X E ， 故1813221)]([)()Var(222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=X E X E X ． 对于随机变量X ，若方差Var (X ) 存在，且Var (X ) > 0．令)Var()(*X X E X X −=，有0)]()([)Var(1)]([)Var(1)Var()(*)(=−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=X E X E X X E X E X X X E X E X E ； 1)Var()Var(1)](Var[)Var(1)Var()(Var *)Var(==−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=X X X E X X X X E X X ．称X *为X 的标准化随机变量．2.3.3. 切比雪夫不等式方差反映随机变量的分散程度，切比雪夫不等式给出其定量标准．切比雪夫不等式表明大偏差概率的上限与方差成正比．定理 设X 为随机变量，且方差Var (X ) 存在，则对于任何正数ε ，都有2)Var(}|)({|εεX X E X P ≤≥−．证明：以连续型随机变量为例证明，设X 的密度函数为p (x )，有∫≥−=≥−εε|)(|)(}|)({|X E x dx x p X E X P ，且∫∞+∞−−=−=dx x p X E x X E X E X )()]([)]([1)Var(22222εεε，故222|)(|22)Var()()]([)()]([}|)({|εεεεεX dx x p X E x dx x p X E x X E X P X E x =−≤−≤≥−∫∫∞+∞−≥−，得证．注：切比雪夫不等式的等价形式2)Var(1}|)({|εεX X E X P −≥<−．如随机变量X 的数学期望为E (X ) = 10，方差Var (X ) = 1，则由切比雪夫不等式可得43211}2|10{|}128{2=−≥<−=<<X P X P ． 例 设随机变量X 的全部可能取值为),0[∞+，且数学期望E (X ) 存在，试证：对任何正数a ，都有)(1}{X E aa X P ≤≥． 证明：以连续型随机变量为例证明，设X 的密度函数为p (x )，有∫+∞=≥a dx x p a X P )(}{，且∫∫+∞+∞∞−==0)()(1)(1dx x p a x dx x xp a X E a ，故)(1)()(}{0X E adx x p a x dx x p a x a X P a =≤≤≥∫∫+∞+∞，得证．定理 设随机变量X 的方差存在，则Var (X ) = 0的充分必要条件是存在常数b ，使得X 几乎处处收敛于b ，即P {X = b } = 1．证：充分性，设存在常数b ，使得P {X = b } = 1，有P {X ≠ b } = 0，即E (X ) = b P {X = b } = b ，故Var (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X − b )2 = 0 × P {X = b } = 0； 必要性，设X 的方差Var (X ) = 0，因事件U +∞=+∞→⎭⎫⎩⎨⎧≥−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−=>−11|)(|lim 1|)(|}0|)({|n n n X E X n X E X X E X ，则01)Var(lim 1|)(|lim 1|)(|}0|)({|21=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−=>−+∞→+∞→+∞=n X n X E X P n X E X P X E X P n n n U ， 可得P {| X − E (X )| > 0} = 0，即P {| X − E (X )| = 0} = 1，取b = E (X )，有b 为常数， 故P {X = b } = 1．注：如果P {X = b } = 1，记为X = b , a.e.（或a.s.），称为X = b 几乎处处成立（或几乎必然成立）．这里，a.e.就是almost everywhere 的缩写，a.s.就是almost surely 的缩写．意味着不成立的情况是一个测度（或概率）等于零的集合（或事件）．§2.4 常用离散分布对于一个给定的函数，只要满足概率函数的两条基本性质：非负性、正则性，都可以成为某个离散随机变量的概率函数．但绝大多数在实际工作中并不常见，下面是几种常用的概率函数． 2.4.1.两点分布与二项分布一．两点分布两点分布只可能在两个点取值，通常就是0或1．定义 随机变量的可能取值只有两个：0或1，且概率函数为p (0) = 1 − p ，p (1) = p ， 其中0 < p < 1，称X 服从两点分布（Two-point Distribution ）或0-1分布，记为X ~ (0-1)．分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−p p110． 两点分布实际背景是一次伯努利试验．通常描述为：X 表示一次伯努利试验中事件A 发生的次数．非负性：p (0) = 1 − p > 0，p (1) = p > 0； 正则性：(1 − p ) + p = 1． 两点分布的数学期望为E (X ) = 0 × (1 − p ) + 1 × p = p ．又因E (X 2 ) = 02 × (1 − p ) + 12 × p = p ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = p − p 2 = p (1 − p )．二．二项分布在n 重伯努利试验中，以X 表示事件A 的发生次数，则X 的全部可能取值为0, 1, 2, …, n ，且kn k p p k n k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==)1(}{． 定义 若离散型随机变量X 的概率函数为kn k p p k n k p −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1()(， k = 0, 1, 2, …, n ；0 < p < 1， 则称X 服从二项分布（Binomial Distribution ），记为X ~ b (n , p )．二项分布的实际背景是n 重伯努利试验． 当n = 1时，二项分布就是两点分布．非负性：0)1()(>−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−kn k p p k n k p ； 正则性：1)]1([)1()(11=−+=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑=−=nnk k n k nk p p p p k n k p ． 例 掷三枚硬币，X 表示正面朝上的次数，求X 的概率分布．解：X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3 ，将掷每一枚硬币看作一次试验．每次试验两种结果：正面A ，反面A ；每次试验相互独立；每次试验概率5.0)(=A P ． 即n 重伯努利试验，n = 3，5.0=p ，有X ~ b (3, 0.5)，p (0) = 0.5 3 = 0.125，375.05.05.013)1(21=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 375.05.05.023)2(12=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， p (3) = 0.5 3 = 0.125．例 现有5台机床，每台机床一小时内平均开动18分钟，且是否开动相互独立，以X 表示同一时刻开动的机床数，求X 的概率分布．解：X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5 ，将每台机床是否开动看作一次试验．每次试验两种结果：开动A ，不开动A ；每次试验相互独立；每次试验概率P (A ) = 0.3． 即n 重伯努利试验，n = 5，p = 0.3，有X ~ b (5, 0.3)．p (0) = 0.7 5 = 0.16807，36015.07.03.015)1(41=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 3087.07.03.025)2(32=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 1323.07.03.035)3(23=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 02835.07.03.045)4(14=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， p (5) = 0.3 5 = 0.00243 ．一般地，如果随机变量X 服从二项分布，概率函数值p (k ) 将随着k 的增加，先逐渐增加，达到最大值后，又逐渐减少．通常，一个随机变量X 的概率函数或密度函数的最大值点称为X 的最可能值．二项分布b (n , p )的最可能值为⎩⎨⎧+−++++=.)1(,1)1()1(,)1(],)1[(0是正整数时当或不是正整数时当p n p n p n p n p n k 这里[x ]表示不超过x 的最大整数．如[2.3] = 2，[3.14] = 3，[−1.2] = −2．证：若X ~ b (n , p )，有n k p p k n k n p p k n k p k n k kn k ≤≤−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0,)1()!(!!)1()(， 则11)1()!1()!1(!)1()!(!!)1()(+−−−−+−−−−−=−−k n k k n k p p k n k n p p k n k n k p k p ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−−⋅−−−=−−11)1()!()!1(!1k n p k pp p k n k n k n k)1()1()1()!()!1(!1+−−+⋅−−−=−−k n k k p n p p k n k n k n k ， 当k < (n + 1) p 时，有p (k ) > p (k − 1)；当k > (n + 1) p 时，有p (k ) < p (k − 1)．如果(n + 1) p 不是正整数，取k 0 = [(n + 1) p ]，有k 0 < (n + 1) p ，即p (k 0) > p (k 0 − 1)；且k 0 + 1 > (n + 1) p ，即p (k 0 + 1) < p (k 0)． 故p (k 0) 为最大值．如果(n + 1) p 是正整数，取k 0 = (n + 1) p ，即p (k 0) = p (k 0 − 1)， 故p (k 0) 和p (k 0 − 1) 都是最大值．如X ~ B (3, 0.5)，有(n + 1) p = 4 × 0.5 = 2是正整数，最可能值k 0 = 2或1；X ~ B (5, 0.3)，有(n + 1) p = 6 × 0.3 = 1.8不是正整数，最可能值k 0 = [1.8] = 1．三．二项分布的数学期望和方差组合数公式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−⋅−−⋅=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!(!!k n k n k n k n k n k n k n k n ， （n ≥ k > 0）． 二项分布b (n , p )的数学期望为∑∑∑=−−=−=−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅⋅=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=nk k n k n k kn k nk k n k p p k n np p p k n k n k p p k n k X E 1110)1(11)1(11)1()( = np [ p + (1 − p )]n − 1 = np ．又因∑∑∑=−=−=−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=nk k n k n k k n k nk k n k p p k n k p p k n k k p p k n k X E 002022)1()1(11)()1()( )()1(22)1()1()(22X E p p k n k k n n k k nk k n k+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⋅−=∑=− np p p k n pn n nk kn k +−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=∑=−−222)1(22)1( = n (n − 1) p 2 [ p + (1 − p )]n − 2 + np = (n 2 − n ) p 2 + np ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = (n 2 − n ) p 2 + np − (np )2 = − np 2 + np = np (1 − p )．2.4.2.泊松分布一．泊松分布泊松分布是一种理论推导的极限分布（成立的条件和推导过程见附录）． 定义 若随机变量X 的概率函数为λλ−=e !)(k k p k， k = 0, 1, 2, …… ；λ > 0，则称X 服从参数为 λ 的泊松分布（Poisson’s Distribution ），记为X ~ P (λ)．泊松分布的实际背景是已知平均发生次数为常数λ ，实际发生次数的概率分布．如足球比赛进球数，商店进店人数，电话接听次数等．非负性：λ > 0时，0e !>−λλk k；正则性：1e e e !=⋅=⋅−∞=−∑λλλλk kk ．例 已知一场足球比赛的进球数X 服从参数λ = 2.3的泊松分布，求比分为0:0, 1:0以及总进球数超过5个的概率．解：因X ~ P(2.5)，则3.2e !3.2)(−=k k p k ， k = 0, 1, 2, ……．比分0:0，即X = 0，100.0e e !03.2)0(3.23.20===−−p （查表）；比分1:0，即X = 1，231.0100.0331.0e 3.2e !13.2)1(3.23.21=−===−−p （查表）；总进球数超过5个，即X > 5，030.0970.01e !3.21e!3.2}5{53.263.2=−=−==>∑∑=−∞=−k k k k k k X P （查表）． 例 已知某公用电话每小时内打电话的人数X 服从参数为λ = 8的泊松分布．求某一小时内无人打电话的概率，恰有10人打电话的概率，至少有10人打电话的概率．解：因X ~ P(8)，有8e !8}{−==k k X P k ． 无人打电话的概率0003.0e e !08}0{880====−−X P ，恰有10人打电话的概率099.0717.0816.0e !108}10{810=−===−X P （查表），至少有10人打电话的概率283.0717.01}9{1e !8}10{108=−=≤−==≥∑∞=−X P k X P k k （查表）． 例 已知某商店一天中某种贵重商品的销售件数X 服从泊松分布P (7)，问该商店每天应该准备多少件该商品才能以99.9%以上的概率满足顾客需要？解：设准备了a 件该商品，X ~ P(7)，则7e !7)(−=k k p k ．事件“满足顾客需要”，即X ≤ a ，有P {X ≤ a } ≥ 0.999，故查表可得a = 16． 泊松分布P (λ )的最可能值为⎩⎨⎧−=.,1,],[0是正整数时当或不是正整数时当λλλλλk 证：若X ~ P(λ)，有L ,2,1,0,e !)(==−k k k p kλλ，故k k k k k k k k p k p k k k k−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=−−=−−−−−−−−−λλλλλλλλλλe )!1(1e )!1(e)!1(e !)1()(111，当k < λ 时，有p (k ) > p (k − 1)；当k > λ 时，有p (k ) < p (k − 1)．如果λ 不是正整数，取k 0 = [λ ] ，有k 0 < λ ，即p (k 0) > p (k 0 − 1)；且k 0 + 1 > λ ，即p (k 0 + 1) < p (k 0)． 故p (k 0) 为最大值．如果λ 是正整数，取k 0 = λ ，即p (k 0) = p (k 0 − 1)， 故p (k 0) 和p (k 0 − 1) 都是最大值． 二．泊松分布的数学期望和方差泊松分布P (λ )的数学期望为λλλλλλλλλλλ=⋅=−⋅=−=⋅=−∞=−−∞=−∞=−∑∑∑e e )!1(e e)!1(e!)(111k k k kk kk k k k X E ，即泊松分布的参数 λ 反映平均发生次数．又因)()!2(e e!e!)(e!)(222222X E k k k k k k k k X E k k k kk kk k+−⋅=⋅+⋅−=⋅=∑∑∑∑∞=−−∞=−∞=−∞=−λλλλλλλλλ= λ 2 e −λ ⋅ e λ + λ = λ 2 + λ ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = λ 2 + λ − (λ )2 = λ ．三．二项分布的泊松近似二项分布与泊松分布的实际背景都是反映发生次数问题．下面的定理说明了二者之间的联系，泊松分布是二项分布的一种极限分布． 定理 （泊松定理）在n 重伯努利试验中，记事件A 在每次试验中发生的概率为与试验次数n 有关的数p n ，如果当n → +∞ 时，有n p n → λ ，则λλ−−+∞→=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛e !)1(lim k p p k n k k n n k n n ． 证：记λ n = n p n ，有λλ=+∞→n n lim ，因nk n n n kn n k n n n n n n p )(11)1(−−⋅−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−λλλλ，且e 1lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−+∞→nnn n n λλ，λλ−=−−+∞→n k n n n )(lim ， 则λλλλ−−−⋅−+∞→−+∞→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−e 1lim )1(lim )(n k n n n n k n n n n n n p ，又因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n k n k n k k n n n k n k 1111!!)1()1(L L ，且11111lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n k n n L ， 故⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→−+∞→n k n p p k n p p k n k n nk n k n k n n k n n 1111)1(!lim )1(lim L λλ−+∞→−+∞→+∞→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−⋅=e !1111lim )1(lim !)(lim k n k n p k np k n k n n n k n n L ． 此定理表明对于二项分布b (n , p )，当n 很大，p 很小时，可用泊松分布P (λ ) 近似，其中λ = n p ．例 某地区每年人口意外死亡率为0.0001，现有60000人投保人身意外保险，求一年内因投保人意外死亡恰好赔付8人的概率以及赔付不超过5人的概率．解：设X 表示“一年内因投保人意外死亡而赔付的人数”，X ~ B (60000, 0.0001)．则5999289999.00001.0860000}8{××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，∑=−××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤50600009999.00001.060000}5{k kk k X P ， 但显然计算很繁琐，为便于计算，用泊松分布近似．因n = 60000很大，p = 0.0001很小，λ = np = 6，有)6(~P X &，故103.0744.0847.0e !86}8{68=−=≈=−X P ，446.0e !6}5{506=≈≤∑=−k k k X P ．2.4.3. 超几何分布一．超几何分布在N 件产品中，有M 件次品，从中不放回地取n 件，以X 表示取得的次品数．设X 取值为k ，一方面，显然有k ≤ n 且k ≤ M ，即k ≤ min{n , M }，另一方面，有k ≥ 0且n − k ≤ N − M ，可得k ≥ M + n − N ，即k ≥ max{0, M + n − N }．这样X 的全部可能取值为l , l + 1, …, L ，其中l = max{0, M + n − N }，L = min{n , M }，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n N k n M N k M k X P }{．定义 若随机变量X 的概率函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n N k n M N k M k p )(，k = l , l + 1, …, L ，l = max(0, n + M − N )，L = min(M , n )，M < N ，n < N ， 则称X 服从超几何分布（Hypergeometric Distribution ），记为X ~ h (n , N , M )．超几何分布的实际背景是古典概型中的不放回抽样检验问题． 注：有放回检验抽样问题对应的是二项分布．非负性：0>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N k n M N k M ；正则性：10=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑∑==n N n N n N k n M N k M n N k n M N k M Ll k L k ．注：比较(1 + x )M(1 + x )N − M与(1 + x )N中x n的系数可以证明⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑=n N k n M N k M Ll k ．例 一袋中有3个红球，2个白球，不放回地取出3个球，X 表示取得的红球数．求X 的概率分布．解：不放回抽样，N = 3，M = 2，n = 3，则X ~ h (3, 5, 3)．故X 的全部可能取值为1, 2, 3， (l = max (0, n + M − N ) = 1，L = min(n , M ) = 3)，3.0352213}1{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，6.0351223}2{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，1.0350233}3{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ． 超几何分布h (n , N , M )的最可能值为⎪⎩⎪⎨⎧+++−++++++++++++=.21)1(,121)1(21)1(,21)1(],21)1[(0是正整数时当或不是正整数时当N M n N M n N M n N M n N M n k证：若X ~ h (n , N , M)，有)!()!()!()!(!!1)(k n M N k n M N k M k M n N n N k n M N k M k p +−−−−⋅−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=， 故p (k ) − p (k − 1))!1()!1()!1()!1()!(!)!()!()!(!)!(!−+−−+−+−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=k n M N k n k M k n N M N M k n M N k n k M k n N M N M)]()1)(1[()!()!1()!1(!)!(!k n M N k k n k M k n M N k n k M k n N M N M +−−−+−+−+−−+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=)]2()1)(1[()!()!1()!1(!)!(!+−+++−−+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=N k n M k n M N k n k M k n N M N M ．当21)1(+++<N M n k 时，有p (k ) > p (k − 1)；当21)1(+++>N M n k 时，有p (k ) < p (k − 1)． 如果21)1(+++N M n 不是正整数，取21)1[(0+++=N M n k ，有21)1(0+++<N M n k ，即p (k 0) > p (k 0 − 1)；且21)1(10+++>+N M n k ，即p (k 0 + 1) < p (k 0)．故p (k 0) 为最大值．如果21)1(+++N M n 是正整数，取21)1(0+++=N M n k ，即p (k 0) = p (k 0 − 1)，故p (k 0) 和p (k 0 − 1) 都是最大值． 二．超几何分布的数学期望和方差超几何分布h (n , N , M )的数学期望为N nM n N k n M N k M N nM n N n N k n M N k M k M k n N k n M N k M k X E Ll k L lk L l k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑∑∑===11111111)(， 又因∑∑∑===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=L lk L l k Ll k n N k n M N k M k n N k n M N k M k k n N k n M N k M k X E )()(222 ∑=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⋅−=Llk X E n N n n N N k n M N k M k k M M k k )(22)1()1(22)1()1()(2N nM N N M M n n N nM n N k n M N k M N N M M n n Ll k +−−−=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−−−=∑=)1()1()1(2222)1()1()1(， 故方差为)1())(()1()1)(1()]([)()Var(222222−−−=−+−−−=−=N N n N M N nM N M n N nM N N M n nM X E X E X ． 为了便于记忆，可将超几何分布与二项分布的数学期望和方差进行比较．二项分布b (n , p )：数学期望E (X ) = np ，方差Var (X ) = np (1 − p )；超几何分布h (n , N , M )：数学期望N M nX E =)(，方差11)Var(−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=N n N N M N M n X ； 可见分布h (n , N , M )中的N M 相当于二项分布b (n , p )中的p ，方差修正因子为1−−N nN ． 三．超几何分布的二项近似直观上，当抽样个数n 远小于M 及N − M 时，不放回抽样问题可近似看作有放回抽样问题，也就是此时超几何分布可用二项分布近似．定理 如果当N → +∞ 时，p NM→， (0 < p < 1)，则k n k N p p k n n N k n M N k M −+∞→−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)1(lim ． 证：因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛N n N n N n n N N N n N n 1111!!)1()1(L L ， 且⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛M k M k M k M k 1111!L ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−M N k n M N k n M N k n M N kn 1111)!()(L ， 故⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→+∞→N n N n N M N k n M N k n M N M k M k M n N k n M N k M n k n k N N 1111!1111)!()(1111!lim lim L L L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−⋅−=−+∞→N n N M N k n M N M k M N M N M k n k n nk n k N 111111111111)()!(!!lim L L L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+∞→−+∞→N n N M N k n M N M k M N M N M k n N kn k N 111111111111lim 1lim L L L。
（2）正态分布N (µ, σ 2 ；（3）对数正态分布LN (µ, σ 2 ．解：（1）因 X 服从区间 (a, b上的均匀分布，则0.5 = P{ X ≤ x0.5 } = P{a < X ≤ x0.5 } = 故中位数x0.5 = a + 0.5(b − a = （2）因 X 服从正态分布N (µ, σ 2 ，x0.5 − a ，b−a a+b ； 2 x −µ⎛x −µ⎞ =0，则 0.5 = P{ X ≤ x0.5 } = F ( x0.5 = Φ⎜ 0.5 ⎟，即0.5 σ ⎝ σ ⎠故中位数 x0.5 = µ；（3）因 X 服从对数正态分布LN (µ, σ 2 ，有 ln X 服从正态分布 N (µ, σ 2 ，ln x0.5 − µ ⎛ ln x0.5 − µ ⎞ =0，则0.5 = P{ X ≤ x0.5 } = P{ln X ≤ ln x0.5 } = F (ln x0.5 = Φ⎜⎟，即σ σ ⎝⎠故中位数 x0.5 = e µ． 4．设 X ~ Ga (α , λ ，对 k = 1, 2, 3，求µ k = E (X k 与ν k = E [X − E (X ] k．解：因Ga (α , λ 的密度函数为⎧λα α −1 − λ x ⎪ x e , x ≥ 0, p X ( x = ⎨ Γ(α ⎪ x < 0. ⎩0, 由正则性知∫ +∞ +∞ +∞ Γ(α λα α −1 − λ x x e dx = 1 ，可得∫ x α −1 e −λ x dx = α ，0 Γ(α λ 0 故µ1 = ∫ 0 x⋅ λα α −1 − λ x λα+ ∞ α −λ x λα Γ(α + 1 α x e dx = x e dx = ⋅ = ；λ Γ(α Γ(α ∫0 Γ(α λα +1 λα α −1 −λ x λα + ∞ α +1 − λ x λα Γ(α + 2 α (α + 1 e = ⋅ = x e dx = x dx ；Γ(α Γ(α ∫0 Γ(α λα + 2 λ2 λα α −1 − λ x λα + ∞ α + 2 −λ x λα Γ(α + 3 α (α + 1(α + 2 e = ⋅ = x e dx = x dx ；Γ(α Γ(α ∫0 Γ(α λα + 3 λ3 µ2 = ∫ µ3 = ∫ +∞ 0 x2 ⋅ +∞ 0 x3 ⋅ ν 1 = E [X − E (X ] = 0；α (α + 1 α 2 α − 2 = 2 ；λ2 λ λ α (α + 1(α + 2 α (α + 1 α α 3 2α ．3 2 − ⋅ + = ν 3 =E[ X − E ( X ]3 = µ 3 − 3µ 2 µ1 + 2µ13 = λ λ3 λ2 λ3 λ3 5．设X ~ Exp(λ，对 k = 1, 2, 3, 4，求µ k = E (X k 与ν k = E [X − E (X ] k ，进一步求此分布的变异系数、偏ν 2 = E[ X − E ( X ] 2 = µ 2 − µ12 = 度系数和峰度系数．解：因 X 的密度函数为⎧λ e − λ x , x ≥ 0, p X ( x = ⎨ x < 0. ⎩0, 41且 k 为正整数时，∫ 故µ1 = ∫ +∞ 0 +∞ 0 x k −1 e − λ x dx = +∞ Γ(k λ k = (k − 1! λk 1 ，； x ⋅ λ e −λ x dx = λ ∫ 0 x e −λ x dx = λ ⋅ λ 2 = 2! 1 λ = = = µ 2 = ∫ x 2 ⋅ λ e −λ x dx = λ ∫ x 2 e −λ x dx = λ ⋅ 0 0 +∞ +∞ 2 λ λ 3 λ2 6 ；；；µ 3 = ∫ x 3 ⋅ λ e − λ x dx = λ ∫ x 3 e − λ x dx = λ ⋅ 0 0 +∞ +∞ 3! 4 λ3 24 µ 4 = ∫ x 4 ⋅ λ e −λ x dx = λ ∫ x 4 e −λ x dx = λ ⋅ 0 0 +∞ +∞ 4! λ 1 5 λ4 ν 1 = E [X − E (X ] = 0；ν 2 = E[ X − E ( X ] 2 = µ 2 −µ12 = 2 λ 2 − 1 λ 2 = λ2 6 3 ；ν 3 = E[ X − E ( X ]3 = µ 3 − 3µ 2 µ1 + 2µ13 = λ −3 2 λ 2 ⋅ 1 λ 4 +2 −4 1 λ 6 3 = ⋅ 1 2 λ3 ；ν 4 = E[ X − E ( X ] 4 = µ 4 − 4 µ 3 µ1 + 6µ 2µ12 − 3µ14 = 变异系数C v ( X = 24 λ λ 3 λ +6 2 λ 2 ⋅ 1 λ 2 −3 1 λ 4 = 9 λ3 ； Var( X E( X =2；= ν2 =1； µ1 偏度系数β 1 = ν3 (ν 2 3 / 2 峰度系数β 2 = ν4 −3=9−3=6．(ν 2 2 6．设随机变量 X 服从正态分布 N (10, 9，试求 x0.1 和 x0.9．x − 10 ⎛ x − 10 ⎞解：因F ( x 0.1 = Φ⎜ 0.1 = 1.2816 ，故 x0.1 = 6.1552；⎟ = 0.1 ，得− 0.1 3 3 ⎝⎠ x − 10 ⎛ x − 10 ⎞又因F ( x 0.9 = Φ⎜ 0.9 = 1.2816 ，故 x0.9 = 13.8448．⎟ = 0.9 ，得0.9 3 3 ⎝⎠ x − 10 x 0.1 − 10 = 1.28 ，故 x0.1 = 6.16； 0.9 = 1.28 ，故 x0.9 = 13.84）3 3 7．设随机变量 X 服从双参数韦布尔分布，其分布函数为（或查表可得− m ⎧⎪⎪⎛ x⎞⎫⎟⎜ F ( x = 1 − exp ⎨− ⎜⎟⎬, η ⎭⎪⎩⎝⎠⎪ x>0，其中η > 0, m > 0．试写出该分布的 p 分位数 xp 的表达式，且求出当m = 1.5, η = 1000 时的 x0.1 , x0.5 , x0.8 的值．⎧⎪⎛ xp 解：因F ( x p = 1 − exp⎨− ⎜⎜η ⎪⎩⎝故x p = η[−ln(1 − p ] m ； 1 ⎞⎟⎟⎠ m ⎫⎪⎬= p，⎪⎭ 42当m = 1.5, η = 1000 时， x 0.1 = 1000(− ln 0.9 1 1.5 1 = 223.0755 ； x 0.5 = 1000(− ln 0.5 1 1.5 = 783.2198 ；x 0.8 = 1000(− ln 0.2 1.5 = 1373.3550 ． 8．自由度为 2 的χ 2 分布的密度函数为p ( x = 1 −2 e , 2 x x>0，试求出其分布函数及分位数x0.1 , x0.5 , x0.8 ．解：设 X 服从自由度为 2 的χ 2 分布，当 x < 0 时，F (x = P{X ≤ x} = P (∅ = 0，当x ≥ 0 时，F ( x = P{ X ≤ x} = ∫ 故 X 的分布函数为 x ⎧ − ⎪1 − e2 , x ≥ 0, F ( x = ⎨⎪ x < 0. ⎩0, x − − 1 −2 e du = (− e 2 = 1 − e 2 ； 2 0 u u x x 0 因 F (x p = 1 − e − xp 2 = p ，有xp = −2 ln (1 − p，故x0.1 = −2 ln 0.9 = 0.2107；x0.5 = −2 ln 0.5 = 1.3863；x0.8 = −2 ln 0.2 = 3.2189． 9．设随机变量 X 的分布密度函数 p(x 关于 c 点是对称的，且 E (X 存在，试证（1）这个对称点 c 既是均值又是中位数，即 E (X = x0..5 = c；（2）如果 c = 0，则xp = −x1 − p ．证：设 f (x = p (x + c，因 p (x 关于 c 点对称，有 f (x 为偶函数，（1）E ( X = ∫ xp( xdx = ∫ ( x − c p ( xdx + ∫ cp( xdx = ∫ up (u + cdu + c = ∫ uf (u du + c −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ = 0 + c = c；因 f (x 为偶函数，有∫ 则F (c = ∫ c −∞ 0 −∞ 0 f ( xdx = 1 +∞ f ( xdx = 0.5 ，2 ∫− ∞ 0 p( x dx = ∫ p (u + cdu = ∫ −∞ −∞ f (u du = 0.5 ，可得 x0..5 = c；故 E (X = x0..5 = c；（2）如果 c = 0，有 p (x 为偶函数，则 F (x p = ∫ xp −∞ p ( xdx = ∫ −xp +∞ p(−u ⋅ (−du = ∫ +∞ −xp p(u du = 1 − ∫ −xp −∞ p(u du = 1 − F (− x p = p ，可得 F (−xp = 1 − p，故−xp = x1 − p ，即xp = −x1 − p ． 10．试证随机变量 X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，即对任意的实数a, b (b ≠ 0， Y = a + b X 与 X 有相同的偏度系数与峰度系数．证：因 Y = a + bX，有 E (Y = E (a + bX = a + bE (X ，可得Y − E (Y = a + b X − a − bE (X = b[X − E (X ]，则ν 2 (Y = E [Y − E (Y ]2 = E{b2[X − E (X ]2} = b2 E [X − E (X ]2 = b2ν 2 (X ，ν 3 (Y = E [Y − E (Y ]3 = E{b3[X − E (X ]3} = b3 E [X − E (X ]3 = b3ν 3 (X ，ν 4 (Y = E [Y − E (Y ]4 =E{b4[X − E (X ]4} = b4 E [X − E (X ]4 = b4ν 4 (X ，故偏度系数β 1 (Y = ν 3 (Y [ν 2 (Y ] 3/ 2 = b 3ν 3 ( X [b ν 2 ( X ] 2 3/ 2 = b 3ν 3 ( X b [ν 2 ( X ] 3 3/ 2 = ν 3 (X [ν 2 ( X ]3 / 2 = β1 ( X ； 43峰度系数β 2 (Y = b 4ν 4 ( X b 4ν 4 ( X ν 4 (Y ν (X−3 = − 3 = −3= 4 − 3 = β2(X ．2 2 2 4 2 [ν 2 (Y ] [b ν 2 ( X ] b [ν 2 ( X ] [ν 2 ( X ] 2 11．设某项维修时间 T（单位：分）服从对数正态分布LN (µ, σ 2 ．（1）求 p 分位数 tp；（2）若µ =4.127，求该分布的中位数；（3）若µ = 4.127，σ = 1.0364，求完成 95%维修任务的时间．解：（1）因 T 服从对数正态分布LN (µ, σ 2 ，有 ln T 服从正态分布 N (µ, σ 2 ，ln t p − µ ⎛ ln t p − µ ⎞⎟则p = P{T ≤ t p } = P{ln T ≤ ln t p } = Φ⎜ = up ，ln tp = µ + σ ⋅ up，⎜σ ⎟，即σ ⎝⎠故tp = e µ +σ ⋅u p ；（2）中位数 t0.5 = e µ +σ ⋅u0.5 = e 4.1271+0 = 61.9979 ；（3）t0.95 = e µ +σ ⋅u0.95 = e4.1271+1.0364×1.6449 = 340.9972 ． 12．某种绝缘材料的使用寿命 T（单位：小时）服从对数正态分布LN (µ, σ 2 ．若已知分位数 t0.2 = 5000 小时，t0.8 = 65000 小时，求µ和σ．解：因 T 服从对数正态分布LN (µ, σ 2 ，有 ln T 服从正态分布N (µ, σ 2 ，由第 11 题可知t p = e µ +σ ⋅u p ，则t0.2 = e µ +σ ⋅u0.2 = e µ−0.8416σ = 5000 ，t0.8 = e µ +σ ⋅u0.8 = e µ +0.8416σ = 65000 ，可得µ − 0.8416σ = ln 5000 = 8.5172，µ + 0.8416σ = ln 65000 = 11.0821，故µ = 9.7997，σ =1.5239． 13．某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的 5%的工人发放高产奖．已知过去每人每月生产额 X（单位：千克）服从正态分布 N (4000, 602 ，试问高产奖发放标准应把生产额定为多少？解：因 X 服从正态分布 N (4000, 602 ，x − 4000 ⎛ x − 4000 ⎞ = u0.95 = 1.6449 ，则0.95 = P{ X ≤ x0.95 } = F ( x0.95 = Φ⎜0.95 ⎟，即 0.95 60 60 ⎝⎠故高产奖发放标准应把生产额定为 x0.95 = 4000 + 60 ×1.6449 = 498.6940 千克． 44。
