14.1.1变量与函数导学案

《变量与函数》教学设计一．内容和内容解析本节教学内容源于人教版初中数学义务教育课程标准实验教材八年级上册第十四章《一次函数》的《14.1 变量与函数》.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界永远是处于运动变化之中的，因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题.函数正是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际，反映的是变量之间的单值对应规律；它在对数量关系和空间形式的研究中发挥了巨大作用，在当今数学的各个领域都是极为重要的角色.函数是数量化地表达变化与对应思想的数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系.变化与对应思想正是本章内容中蕴涵的基本思想.所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：1．世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；2．在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系.函数概念来源于客观实际需要，也来自数学内部发展的需要.它是以变化与对应的思想为基础的数学概念.函数概念的实质就是运动变化与联系对应.基于上述分析，确定本节的教学重点是：以实际问题为学习背景，探索具体问题中的数量关系和变化规律，初步理解函数的概念.函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，因此，函数概念的形成过程也是本节的难点.二．目标和目标解析1．了解常量、变量的概念，能分清实例中的常量与变量；2．结合实例，理解函数的概念，体会“变化与对应”的思想.世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系，这就是“变化与对应”的思想；3．以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，正确地理解问题情境，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；三．教学问题诊断就学生而言，在前学段的学习中已经对“用字母表示数”和方程中的未知数的含义都有了较深理解，同时初步具备分析和解决各种简单实际问题的能力，也初步体会到建模的数学思想，但对客观世界中现存的大量的运动变化问题还不甚了解，特别是对同一变化过程中变量之间存在的对应关系更是难以理解，对“函数”这个抽象性强的概念的接受和理解就会有很大难度；教师可能出现的问题：1．对“函数”的含义和“变化与对应”数学思想的理解不够深刻，认识上不到位；2．用以理解“函数”概念和“变化与对应”思想的实际事例没有很好地贴近学生的生活，致使学生不能很好地正确地理解问题情境；3．不能通过设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学活动，达到真正理解“函数”概念的目的，过分强调知识的获得，忽略了“变化与对应”数学思想的揭示.本节教学内容遵循“问题情境——建立模型——对比分析——揭示本质”的模式.理解函数的基本概念，其问题的关键是如何从实际问题情境中抽象出数学问题，从而建立数学模型，重点是理解函数的本质.鉴于上述分析，确定本节课的教学难点是：理解函数的概念.四．教学支持条件分析以问题串的方式，通过PPT恰当的呈现形式，帮助学生准确地从实际问题中抽象出数学问题，以问题引导进行分析与研究，更好地揭示函数的本质，理解“变化与对应”的数学思想，形象、直观，提高课堂教学效率.五．教学过程设计（一）创设问题情境，揭示变量与常量的含义问题一：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．•行驶时间为t小时．先填写下表，再试用含t的式子表示s.设计目的：该问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程，旨在让学生初步体会变化过程中的某些量是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s；有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时，同时初步体验数学建模的思想.活动方式：学生思考并完成上述问题，小组交流意见，然后回答．学生解答：表中依次填写：60，120，180，240，300；关系式为：s=60t.问题二：１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元，怎样用含x的式子表示y?２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设物体质量为m kg,受力后的弹簧长度为l cm，怎样用含有m的式子表示l？设计目的：挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生进一步经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验.活动方式：独立思考，小组交流，个别回答，教师引导学生通过合理．正确的思维方法探索出变化规律．学生解答：1．早场电影票房收入：150×10=1500（元）；日场电影票房收入：205×10=2050（元）；晚场电影票房收入：310×10=3100（元）；关系式：y=10x 2．挂1kg重物时弹簧长度：1×0.5+10=10.5（cm）；挂2kg重物时弹簧长度：2×0.5+10=11（cm）；挂3kg重物时弹簧长度：3×0.5+10=11.5（cm）；关系式：l=0.5m+10问题三：1．要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r？2．用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形长度．观察长方形的面积怎样变化．记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律：设长方形的长度为xcm，面积为Scm2．怎样用含有x的式子表示S？设计目的：通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息.出于从具体到抽象地认识事物的考虑而设计了上述5个问题.这些问题的内容有物理问题、销售问题、几何问题等，问题的形式有填表、求值、写解析式等，都含有变量之间的单值对应关系，通过讨论这些问题不仅可以引出常量与变量的概念，而且也为后面引出变量间的单值对应关系进而学习函数的定义作了铺垫.围绕学生比较熟悉其背景的几个例子，系统地认识有关概念，有助于认识相关概念之间的联系和区别.活动方式：独立思考，小组合作，教师引导的方式进行.学生解答：1．要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=πr2⇒面积为10cm2的圆半径≈1．78（cm）；面积为20cm2的圆半径．52（cm）关系式：r2．因长方形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm．若长为1cm，则宽为5-1=4（cm）据长方形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm2）若长为2cm，则宽为5-2=3（cm）面积Ｓ＝2×（5-2）=6（cm2）… …若长为xcm，则宽为（5-x）（cm）面积S=x·（5-x）=5x-x2（cm2）教师小结：上述问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量（例如时间t，里程s；售出票数x，票房收入y……）的值是按照某种规律变化的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量（constant）．如上述问题中的速度60千米/时．票价10元，弹簧原长10cm及长方形的长、宽之和5cm……都是常量．随堂练习:请具体指出上述问题中，哪些是变量，哪些是常量？设计目的：在具体的问题情境中认识变量和常量，加深对变量和常量的理解.学生解答：（二）引导总结规律，理解函数概念；问题四：上述各问题中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么关系？也就是说当其中一个变量取定一个值时，另一个变量是否也随之有唯一的对应值呢？设计目的：在教师的引导下，经历从具体到抽象的认识过程，理解变化过程中有两个变量，且变量之间的存在这单值对应关系，为进一步揭示函数的概念奠定基础.活动方式：教师引导，学生归纳，师生小结.教师引导：先观察问题一，观察填出的表格发现：该问题中存在两个变量时间t小时和里程s千米，并且每当行驶时间t取定一个数值，行驶里程s就随之确定一个值，例如t=1，则s=60；t=2，则s=120……t=5，则s=300.再来看问题二中的两个小问题，均满足上述特点：问题（1）中，•经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度l•就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm．当m=10kg时，则l =15cm，当m=20kg时，则l =20cm．继续验证，观察问题三中的两个问题，看看它们中的变量又怎样呢？问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．•每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为2）中，我们可以根据题意，每确定一个长方形的一边长，•即可得出另一边长，再计算出长方形的面积．如：当x=1cm时，则S＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则S ＝2×（5-2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，•每当长方形长度x取定一个值时，面积S就随之确定一个值．由以上观察，我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有_______________（唯一确定的值与它对应）．问题五：思考下列用图表和表格表达的问题中，两个变量之间是否同样存在上述关系？（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表设计目的：通过表格和图象等多种形式深入体会函数中存在两个变量，以及变量之间的单值对应关系，一方面有助于全面地了解变量之间的单值对应关系，进而形成对函数的较全面的认识；另一方面也为后面学习函数的三种表示方法进行了适当的准备.活动方式：思考后由学生个别作答.学生解答：通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y教师小结：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independent variable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2.5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．（三）深入理解函数概念，提高问题解决能力：[活动一]判断下列问题中的变量之间是否存在函数关系.1．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：x 1 3 -4 0 101y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？2．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：x 1 2 3 0 -1y 3 5 7 2 -1所按的第三．四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．设计目的：通过探究这样的问题可以引导学生以函数的观点重新认识已经学习过的数学内容.活动方式：小组讨论，得出结果.学生解答：1．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯一的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．2．从表中两行数据中不难看出第三．四按键是1这两个键，且每个x•的值都有唯一的一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x 的函数．关系式是：y=2x+1[活动二]例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km．1．写出表示y与x的函数关系式．2．指出自变量x的取值范围．3．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？设计目的：本节的例1包括三个小题，它们的要求分别为写函数解析式、指出自变量的取值范围和计算函数值.目的是要加强联系实际，同时也使现在所学的内容与前面所学的不等式内容联系起来，以旧带新.活动方式：独立完成，小组交流，引导解答.学生解答：1．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶里程x时耗油为：0.1x（L）油箱中剩余油量为：(50-0.1x)L所以函数关系式为：y=50-0.1x2．仅从式子y=50-0.1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x•代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500 3．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0.1x得：y=50-0.1×200=30所以，汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．六．目标检测设计下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．2．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y（m2）随这个村人数n(人)的变化而变化．设计目的：从具体的实际问题中，进一步深入理解变量、常量和函数的含义，体会“变化与对应”的数学思想.学生解答：1．正方形边长x是自变量，正方形面积Ｓ是x的函数．函数关系式：S=x22．这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数．106函数关系式：y=n七．教学反思附1：教学设计理念：变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一次飞跃.因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力.同时在引导学生探索变量之间的规律、抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人.附2：教材范围人教版义务课程标准实验教材八年级数学上册P94—P99.二O O八年十一月三日。

集体备课导学案教学目标：知识与能力：（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律．（2）从具体的事例了解常量、变量的意义．（3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．过程与方法：在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．情感态度与价值观：通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣．教学重难点及教学突破：（1）从具体的事例了解常量、变量的意义．（2）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．教学设计过程活动一、设置问题情境、激发学生的学习兴趣和学习欲望问题在抗震救灾募捐活动中，某班有学生44人，若每人捐款10元，共捐多少？若每人捐款15元呢？20元呢？得出结论：捐款总数随着人数的变化而变化．其实生活中还有很多类似的现象．活动二、探究具体问题的数量关系，感受变量和常量的含义我们生活之中常常会遇见许多数量，这些数量之间的关系都是怎样表达的呢？让我们看一些具体的实例（大屏幕显示）．1．一辆汽车以60 km / h的速度行驶，行驶的路程s（千米）和行驶的时间t（小时）有怎样的关系?先填写下表，再试着用含的式子表示。

(小时)12345(千米)学生回答：s = 60 t（板书）．2．用10cm长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。

记录不同的长方形的长度值。

计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律。

设长方形的长为cm，面积为S，怎样用含的式子表示S？cm教师活动设计：让学生体会上述两个变量之间的变化，引导学生总结．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量，例如，x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们称y是x的函数．其中x是自变量．问题回顾：指出前面三个问题中涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.活动四、展示提高、拓展创新：1：在计算器上按照下面的程序进行操作输入x（任意一个数）→按键×、2、＋、5、＝→显示y．根据你的操作，你能发现y是x的函数吗？若是请写出它的表达式！2．购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：（1）y随x变化的关系式y = ，是自变量，是的函数；（2）当购买8支签字笔时，总价为元.3．一个三角形的底边为5，这一边上的高h可以任意伸缩．（１）高h的变化会引起三角形中哪些量发生变化？这些变量是高h的函数吗？（２）试求面积s随h变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。

14.1.1《变量与函数》执笔：林俊伟（民航子弟学校），青青（石化中学）一．容和容解析【教学容】《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元，教参建议本单元容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍变量与函数的概念，第2课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识函数图象（“看图说话”），第4、5课时画函数图象．本设计是第1课时，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用含x的f x表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学容（将来学的待定系数法才式子()是新的教学容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分容提前到第1课时．【学情分析】变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．二．目标和目标解析【知识目标】（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）．如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y 来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义．教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助几何画板形象演示几何图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念． 五、教学过程 导言：1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？理由：2.我们班中同学A 与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？理由：上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．板书课题：两个__量的关系：说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)指明本节课的学习容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简单的问题． （一）概念的引入1.票房收入问题：每电影票的售价为10元.（1）若一场售出150电影票，则该场的票房收入是 元； （2）若一场售出205电影票，则该场的票房收入是 元； （3）若一场售出310电影票，则该场的票房收入是 元；（4）若一场售出x 电影票，则该场的票房收入y 元，则 y .思考：（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y 随 的变化而变化；（2）当售出票数x 取定一个确定的值时，对应的票房收入y 的取值是否唯一确定？ (例如，当x =150时，y 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．1.一个__量 另一个__量体重 饭量脚印 身高2．如图，是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一数学测试中，（1）13号的成绩为______；（2）17号的成绩为______；（3）18号的成绩为______；（4）23号的成绩为______．思考：（1）测试成绩随________的变化而变化；（2）任意确定一个学号x，对应的成绩f的取值是否唯一确定？(例如，当学号x=13时，所得成绩f的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．3.温度变化问题：如图一，是春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，22时的气温是℃；（2）这一天中，最高气温是℃，最低气温是℃；（3）这一天中，在4时~12时，气温（），在12时~14时气温（），在16时~24时，气温（）.A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？(例如，当t=12时，所得温度T的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．设计意图：这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.（二）概念的定义图一1.上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？ 答：票房收入问题中，涉及票价(10元)、售出票数x 、票房收入y ，票数x 的变化会引起票房收入y 的变化，如图所示：类似的，有：在上面的四个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化， (1) 当t=0点时，T=2;当t=2点时，T=0; (2) 当t=12点时，T=8; 当t=12点1分时，T=8; 当t=12点2分时，T=8; … 当t=14点时，T=8; 情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T 的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T “唯一确定”.反之，当T=8时，所得t 的值为12~14点之间的任一时刻（“多对一”），通过温度T ，不能把时间t “唯一确定”.在这个问题中，我们把温度T 称为时间t 的函数．（但时间t 不是温度T 的函数，因为通过温度T ，不能把时间t “唯一确定”.）一般地，在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做 ； （2）不变的量叫做 ；（3）如果有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有 的值与之对应，称x 是 ，y 是x 的 ；（4）如果当a x =时，b y =，b 叫做当a x =时的函数值.说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．学号x 成绩f时间气温售出票数 票房收入问题回顾指出前面三个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数. 1.“票房收入问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____； （2）________是自变量，y 是x 的函数. 2.“成绩问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____； （2）____________是自变量，y 是x 的函数. 3.“气温变化问题”，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____； （2）____________是自变量，y 是x 的函数. 注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化．．．．．．. 设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，例1 一个三角形的底边为5，这一边上的高h 可以任意伸缩，三角形的面积s 也随之发生了变化.解：（1）面积s 随h 变化的关系式=s __ ，其中常量是 ，变量是 ，是自变量， 是 的函数； （2）当=h 3时，面积=s ______； （3）当=h 10时，面积=s ______；（4）当高由1变化到5时，面积从____ _变化到_____.例2 如果用r 表示圆的半径，半径r 的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半径r 的函数吗？ 分析：并有2S r π=，S 是r 的函数； 并有2C r π=，C 是r 的函数； 并有2d r =，d 是r 的函数．说明：此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系，顺便说明字母“π”是常量，但这并不是本节课的核心念．半径圆直径d半径 圆周长C 半径 圆面积 图二（三）概念巩固1. 购买一些签字笔，单价3元，总价为元，签字笔为x 支，根据题意填表：（1）y 随x 变化的关系式=y ， 是自变量， 是 的函数； （2）当购买8支签字笔时，总价为 元. 2.周末，小8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离s （千米）与时间t （时）的关系如图所示.（1）当12=t 时，____=s ；当14=t 时，____=s ；（2）小从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.图三（3）距离是时间t 的函数吗？（4）***时间是距离的函数吗？设计意图：1.例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.2. 练习二2(4)涉及反函数的知识，不少教师认为超纲不应涉及，本人的实践证明，提出这样的问题更有利于学生理解函数的“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要的是让学生养成逆向思维的习惯．当然，不宜在反函数的概念上作过多的拓展．（四）概念辨析1.两个变量x 、y 满足关系式y x =，填表并回答问题：2.下列各图中，表示y 是x 的函数的有_________________（可以多选）.理解函数概念把握两点：①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系.设计意图：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）.3．你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？（五）小结自变量（确定）函数（值_ 确定）设计意图：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质．（六）作业1. 行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.t（时） 1 2 3 4 5 (10)s（千米）（1）行驶路程随的变化而变化，即s随的变化而变化；（2）当行驶时间t取定一个确定的值时，行驶路程s的取值是否唯一确定？(例如，当t=3时，s的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．2．写出下列问题中的函数解析式，并指出其中的自变量、函数：（1）正方形的面积s与边长x关系式；10m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而（2）秀水村的耕地面积是6变化.解：（1）函数解析式：，是自变量，是的函数；（2）函数解析式：，是自变量，是的函数.3. 一年期的存款利率是4%，本金x（元）100 200 500 1000一年到期后所得的利息y（元）（２）本金x元与一年到期后所得的利息y元之间的关系式是___________________；（３）常量是，变量是，其中是自变量，是的函数.4. 小明、爸爸和爷爷同时从家中出发到同一目的地又立即返回.小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行. 三人的步行速度不等，小明与爷爷骑自行车的速度相等. 下面表示各人行走的路程与时间的关系图中，表示小明的是图( ), 表示爷爷的是图( ), 表示爸爸的是图( )... . …5.一辆汽车从甲地开往乙地，开始3小时以50千米/ 时的速度前进，但因为汽车出现故障，进行维修花去了2小时，接着以75千米/ 时的速度前进，经过2小时到达乙地．（1）请用图象表示汽车行驶的路程与时间的关系．t 1 2 3 4 5 6 7s（2）路程S和时间t具有函数关系吗？如果具有函数关系，请指出其中的自变量与函数．图四设计理念：变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃.因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力.同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人.. word. …。

变量与函数说课稿
14.1变量与函数教学设计（说课稿）
 说课流程：一、教材分析二、学情分析三、说教法四、说学法五、说教学过程六、几点说明
 一、教材分析
 1．教材的地位和作用
 函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，是对初中数学中的函数概念的深化，归纳。

初中的概念只停留在具体的几个类型的函数，教材中是从映射的概念出发来讲授函数的概念，本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基本概念，因此本节课的教学非常重要。

 2．教学目标
 知识和技能目标：
 （1）掌握变量、常量、自变量、函数、函数值等基本概念。

 （2）认识简单的实际问题中两个变量数量关系的变化规律。

 过程和方法目标：
 （1）经历探寻实际问题中两个变量之间的变化规律的过程，体会变量、常量等相关概念。

 （2）通过实际问题中两个变量之间的联系归纳函数概念的本质特征，初步理解函数概念。

 情感、态度和价值观目标：
 （1）经历实际问题的探究过程，提高解决实际问题的能力和抽象概括能力，体会数学与现实的密切联系，激发学习数学的兴趣。