人教版八下数学19.1.1变量与函数 课时1 常量与变量教案+学案

(1)v＝；19．1函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量1．了解常量、变量的概念；2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点)一、情境导入大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．二、合作探究探究点一：常量与变量【类型一】指出关系式中的常量与变量设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量：s8(2)s＝45t－2t2；(3)v t＝100.解析：根据变量和常量的定义即可解答．解：(1)常量是8，变量是v，s；(2)常量是45，2，变量是s，t；(3)常量是100，变量是v，t.方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．【类型二】几何图形中动点问题中的常量与变量＝x cm.∵∠BAC＝45°，∴S阴影·AM·h＝AM2＝x2，则y＝x2，0≤x≤10.其中的常量为，22222＝gt2(其中g取9.8m/s2)；(3)h＝gt2(其中g取9.8m/s2)，常量是g，变量是h，t；如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM11111＝变量为重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm.方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．探究点二：确定两个变量之间的关系【类型一】区分实际问题中的常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；(2)以固定的速度v米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h12(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．解：(1)S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；(2)h＝vt－4.9t2，常量是v，4.9，变量是h，t；1122(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．【类型二】探索规律性问题中的常量与变量按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．(1)题中有几个变量？(2)你能写出两个变量之间的关系式吗？解析：由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4(x－1)＝4x＋2.解：(1)有2个变量；(2)能，关系式为y＝4x＋2.方法总结：解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．三、板书设计1．常量与变量数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．2．常量与变量的区分整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．。

第十九章 函数青海一中 李清19.1 函数19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量学习目标：1.了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.重点：能够区分同一个问题中的常量与变量. 难点：用式子表示变量间的关系.一、知识链接1.人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 .同时用“数”来表明“量”的大小.2.写出路程（s ）、速度（v ）、时间（t ）之间的关系： . 二、新知预习1.小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元／支，总价y 元随铅笔支数x 的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.2.圆的面积S 随着半径r 的变化而变化，已知它们的关系为:2r S π=,在这个问题中，常量是 ，变量是 .3.自主归纳：变量：在一个变化过程中，数值________的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值________的量为常量. 三、自学自测1.指出下列关系式中的常量和变量.（1）长方形的长为2，长方形面积S 与宽x 之间的关系S=2x ；（2）一批香蕉每千克6元，则总金额y （元）与销售量x （千克）之间的关系式为y=6x.2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s （米）与时间t （秒）之间的关系式，并指出其中的变量和常量.____________________________________________________________ ____________________________________________________________探究点1：常量与变量问题1：一辆汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米．行驶时间为t 小时．（1）请同学们根据题意填写下表：（2）试用含t 的式子表示s,则s= ；（3）在以上这个过程中，变化的量有 ，不变化的量有__________． 问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出31张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x 张，t/小时 1 2 3 4 5 S/千米课堂探究教学备注配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片7-16）票房收入y元．（1）请同学们根据题意填写：早场电影的票房收入为元；日场电影的票房收入为元；晚场电影的票房收入为元；（2）在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．（3）试用含x的式子表示y,则y= ；这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．问题3：你见过水中涟漪吗?如图所示,形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?（1）填空：当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为30c时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为r时，圆的面积S= ；（2）在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．要点归纳：在一个变化过程中，数值发生变化的量为，数值始终不变的量为 .例1 指出下列事件过程中的常量与变量(1)某水果店橘子的单价为5／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是________，变量是________；(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝r2π，其中常量是________，变量是________；(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式52 y h =中，其中常量是________，变量是________. 变式题阅读并完成下面一段叙述：（1）某人持续以a 米／分的速度用t 分钟时间跑了s 米，其中常量是________,变量是________.（2）s 米的路程不同的人以不同的速度a 米／分各需跑的时间为t 分，其中常量是________,变量是________.（3）根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：_________________________.方法总结:区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.探究点2：确定两个变量之间的关系例2.弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm ，每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm ，试填下表： 怎样用含重物质量m （kg ）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?变式题：如果弹簧原长为12cm ，每1kg 重物使弹簧压缩0.5cm ，则用含重物质量m （kg ）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为________. . 写出下列问题中的关系式，并指出变量和常量：（1）某市的自来水价为4元/吨.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x 吨，月应交水费为y 元.（2）某地手机通话费为0.2元/分.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t 分钟，话费卡中的余额为w 元.（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，圆周长为C ，圆周率（圆周长与直径的比）为π.（4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x 本，第二个抽屉放入y 本.二、课堂小结 常量与变量的概念常量 在一个变化过程中，数值________的量为变量变量在一个变化过程中，数值________的量为变量 易错提醒 在不同的条件下，常量与变量是相对的1.若球体体积为V ，半径为R ，则343V R π=，其中变量是________、________，常量是________.2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a （元）的关系式是________，其中变量是________，常量是________.3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q （升）与行使时间t （小时）的关系是________，其中的常量是________，变量是________.4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x （单位：m ）落下时弹跳高度y （单位：m ）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是 ．50 80 100 15025405075当堂检测教学备注 配套PPT 讲授5.当堂检测 （见幻灯片19-21）5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。

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变量与函数教学内容人教版八年级下册（课题）变量与函数教学目标（一）知识与技能:掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念(二)数学思考:通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义（三)问题解决：了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系（四)情感态度：引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系,增强数学建模意识,列出函数关系式.教学重点：常量和变量、自变量和因变量（函数)基本概念教学难点：函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法教具准备：多媒体课件教学时数：2课时教学过程：第 1 课时一、基本训练激趣导入创设情境在学习与生活中,经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.问题1如图是某地一天内的气温变化图.看图回答：(1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2）这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少?（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1）这天的6时、10时和１４时的气温分别为－1℃、２℃、５℃;(2)这一天中,最高气温是5℃．最低气温是－4℃;（3)这一天中,3时～１4时的气温在逐渐升高.0时～３时和14时~24时的气温在逐渐降低．从图中我们可以看到,随着时间t(时）的变化,相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢?二、提出目标指导自学探究归纳问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是２002年7月中国工商银行为“整存整取"的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x 的增长,相应的年利率y 是如何变化的.解 随着存期x 的增长，相应的年利率y 也随着增长．三、合作学习 引导发现问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(ｍ）和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值:观察上表回答:(１）波长ｌ和频率f 数值之间有什么关系？(2）波长l 越大，频率f 就_＿__＿＿__．解 (1） l 与 f 的乘积是一个定值,即l ｆ=30０ 000,或者说ﻩﻩ l300000 f . (2)波长l 越大,频率f 就 越小 .问题４ 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则S 与r 之间满足下列关系:S ＝＿___＿_＿＿_.利用这个关系式,试求出半径为1 cm 、１.5 cm 、２ cm 、2。

第十九章19.1.1变量与函数（第1课时）教学内容：初中数学人教版八年级下册第十九章一次函数P70-P72。

一、教学目标：（一）、知识与技能目标1、理解变量、常量的概念及其相互关系；2、会识别一个变化过程中，哪些量是变量，哪些量是常量；3、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量。

（二）、过程与方法目标1、通过探索变化过程中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、逐步感知变量间的关系。

（三）、情感、态度与价值观目标1、以生活为支点，以实事求是的态度培养独立思考的习惯。

二、教学重点、难点重点：认识变量、常量。

难点：用含有一个变量的式子表示另一个变量．三、教学过程：（一）、创设情境，引出问题情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时。

1．请同学们分析题意、认真思考后填写下表：2．在以上这个过程中，有几个量？变化的量是什么？没有变化的量是什么？3．试用含t的式子表示s。

下面我们来共同探究和解决这些问题。

（二）、新课导入学生分组探究后，通过学生的回答，总结：从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60 千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米……因此行驶里程s（千米）与时间t（小时）之间有关系：s=60t．其中里程s 与时间t是变化的量，速度60•千米／小时是没有变化的量。

这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化而变化过程。

现实生活中有很多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程的，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、•里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时。

（三）、例题例1、每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元，y的值随x的值的变换而变化吗？怎样用含x的式子表示y?例2、画出一个半径r为10cm的圆，该圆的面积s是多少？r分别是20cm、30cm时，s分别是多少？s的值随r的值的变换而变化吗？怎样用含r的式子表示s?引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律，启发学生经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论解：1、早场电影票房收入：150×10=1500（元）；日场电影票房收入：205×10=2050（元）；晚场电影票房收入：310×10=3100（元）；y的值会随x的值的变换而变化；关系式：y=10x。

人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，本节课主要介绍变量的概念以及函数的定义。

学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等，为本节课的学习打下了基础。

本节课的内容是学生学习更高级数学知识的重要基石，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于未知数、代数式等概念有了初步的了解。

但是，学生在学习过程中，可能对于抽象的变量概念、函数的定义及表示方法等方面存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过具体实例来理解抽象概念，提高学生的抽象思维能力。

三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量与变量的区别。

2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。

3.能够运用变量和函数的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.重点：变量、函数的概念及其表示方法。

2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量和函数的概念，使学生能够更好地理解抽象知识。

2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现变量和函数的规律。

3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对变量和函数概念的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解变量和函数的概念。

2.教学实例：准备一些生活实例，用于引导学生学习变量和函数。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如气温、水位等，引导学生思考这些量是如何变化的。

通过观察、讨论，让学生初步理解变量概念。

2.呈现（10分钟）介绍常量与变量的定义，让学生明确常量与变量的区别。

接着，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、图象等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，举例说明生活中的一些函数关系，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等。

19．1 函 数19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量1．了解常量、变量的概念；2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点)一、情境导入大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．二、合作探究探究点一：常量与变量【类型一】 指出关系式中的常量与变量设路程为s km ，速度为v km/h ，时间为t h ，指出下列各式中的常量与变量：(1)v ＝s 8；(2)s ＝45t －2t 2； (3)v t ＝100.解析：根据变量和常量的定义即可解答． 解：(1)常量是8，变量是v ，s ； (2)常量是45，2，变量是s ，t ； (3)常量是100，变量是v ，t .方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 【类型二】 几何图形中动点问题中的常量与变量如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．解：由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2，0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．探究点二：确定两个变量之间的关系【类型一】区分实际问题中的常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h＝12gt2(其中g取9.8m/s2)；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．解：(1)S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；(2)h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；(3)h＝12gt2(其中g取9.8m/s2)，常量是12g，变量是h，t；(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．【类型二】探索规律性问题中的常量与变量按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．(1)题中有几个变量？(2)你能写出两个变量之间的关系式吗？解析：由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4(x－1)＝4x＋2.解：(1)有2个变量；(2)能，关系式为y＝4x＋2.方法总结：解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．三、板书设计1．常量与变量数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．2．常量与变量的区分整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．。

人教版数学八年级下册19.1.1第1课时《变量》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册19.1.1第1课时《变量》是初中数学中一个重要的概念。

这部分内容主要介绍了变量的概念、分类及表示方法。

通过这部分的学习，学生能够理解变量在数学中的地位和作用，掌握变量的表示方法，为今后的函数、方程等知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本课时，已具备了一定的数学基础，如代数式的知识。

但变量作为一个抽象的概念，对学生来说较为陌生，需要通过具体的生活实例来引导学生理解和掌握。

同时，学生对于新知识的学习兴趣和积极性较高，但部分学生可能在学习过程中存在一定的困难。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解变量的概念，掌握变量的表示方法，能运用变量表示实际问题。

2.过程与方法：通过生活实例，培养学生从实际问题中抽象出变量的能力，发展学生的数学思维。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的良好学习习惯。

四. 教学重难点1.重点：变量概念的理解，变量表示方法的掌握。

2.难点：从实际问题中抽象出变量，理解变量在数学中的地位和作用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解变量概念，感受变量在实际问题中的应用。

2.合作学习法：分组讨论，让学生在合作交流中巩固变量知识，提高解题能力。

3.问题驱动法：设置问题，引导学生思考，激发学生学习兴趣，突破教学难点。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，如身高、体重、温度等，用于引导学生理解变量。

2.准备课件，展示变量概念、表示方法及应用。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如身高、体重、温度等，引导学生思考：这些量是否发生变化？它们有什么共同特点？从而引出变量概念。

2.呈现（10分钟）通过课件，展示变量的概念、表示方法及应用。

让学生初步理解变量，并学会用变量表示实际问题。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生从实际问题中抽象出变量，并用变量表示。

19.1.1变量与函数第1课时变量与常量课时目标1.能识别简单实际问题中的变量和常量及其意义,能举出现实生活中的常量和变量,形成初步的抽象能力.2.通过寻找两个变量之间的数量关系和变化规律,发展抽象能力.学习重点变量和常量的意义.学习难点寻找变量之间的关系.课时活动设计情境导入一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为s km,行驶时间为t h.1.请同学们根据题意填写下表:t/h12345s/km601201802403002.在以上这个过程中,变化的量是时间t、路程s;不变化的量是速度60 km/h.设计意图:现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的值是按照某种规律变化,如上例中的时间t、路程s;有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60km/h.通过举例让学生感知概念.一起探究1.电影票的售价为10元/张,如果早场售出150张票,午场售出205张票,晚场售出310张票,那么三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元.这个问题中,一共有几个量?哪些量是不变的,哪些量是变化的?解:早场售出150张票,票房收入为150×10=1500(元),午场售出205张票,票房收入为205×10=2050(元),晚场售出310张票,票房收入为310×10=3100(元);这个问题中,一共有三个量,分别是票房收入、电影票的单价、售票张数.其中变化的量是售票张数x、票房收入y,不变的量是电影票的单价10元.2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧的原长为10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.这个问题中,一共有几个量?哪些量是不变的,哪些量是变化的?解:这个问题中,一共有三个量,分别是重物的质量、弹簧的原长、弹簧的总长.其中变化的量是重物的质量、弹簧的总长,不变的量是弹簧的原长.3.用10m长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m 时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?这个问题中,一共有几个量?哪些量是不变的,哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系?解:当x=3m时,y=2m;当x=3.5m时,y=1.5m;当x=4m时,y=1m;当x=4.5m时,y=0.5m.y的值随x的值的变化而变化.这个问题中一共有三个量,分别是绳子总长、一边长x、邻边长y.其中变化的量是一边长x、邻边长y,不变的量是绳子总长.设计意图:通过活动,使学生感受到实例中有的量是不变的,有的量是变化的,而且变量之间存在一定的关系,在丰富的问题情境中让学生了解常量与变量的意义,感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想.类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的?指出自己举出的例子中的变量和常量.设计意图:设置开放性问题,激发学生发散思维,使学生通过思考、互动交流加深对常量和变量的感受,让学生在反复的思维冲击中突破难点.辨析做一做在下列各问题中,分别各有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量?这些量之间具有怎样的关系?(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.(2)一台小型台秤最大称重为6kg,每添加0.1kg重物,指针就转动6°的角.当添加重物的质量为m kg时,指针转动的角度为α.解:(1)有3个量,每张电影票的售价10元是常量,售票张数x、票房收入y是变量.(2)有3个量,最大称重6kg是常量,添加重物的质量m kg、指针转动的角度α是变量.设计意图:学生通过做一做,进一步熟悉变量和常量的意义,学会寻找两个变量之间的关系,培养学生思维的多样性,促进学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.课堂8分钟.1.教材第71页练习.2.七彩作业.第1课时变量与常量变量:数值发生变化的量.常量:数值始终不变的量.教学反思。

《19.1.1 变量与函数》教学设计（第1课时）一、内容和内容解析1．内容变量与常量的概念．2．内容解析本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量．有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础．本课从学生身边的常见问题及四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫．二、教学问题诊断分析变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往只认为是一种确定的数量关系，类似于一元一次方程，没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化．三、教学目标1.了解变量与常量的意义，体验在一个过程中常量与变量是相对存在的；2. 在较复杂问题中辨别常量与变量；3. 通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣，体会数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验。

学习重难点：重点：能找出一个变化过程中的变量与常量，难点：体会运动变化过程中量的变化．四、设计理念：1.改变知识的呈现方式，创设良好的游戏，情景氛围，激发学生的学习欲望，理清知识的来龙去脉。

2.改变单纯的学习方式，通过观察，分析，归纳，运用等活动，体验用数学的思维解决问题，增强应用意识，形成数学能力。

3.优化提问设计，给学生充分思考，交流的时空，引导学生自主构建变量与常量的定义。

新课标指出学生是学习的主人，是学习的主体。

本节课的整个教学过程，学生的思维处于活跃状态，学生获得知识的同时，学习能力和学习方法也得到了相应的发展，通过对比，学生主动建构知识，在总结中增强了学习的信心，并体验到了数学来源于生活，服务于生活。

五、设计思路：从学生感兴趣的生活实例入手，自然的创设了愉快的学习氛围，使学生轻松的理解了变量与常量这一比较枯燥的概念，接着通过四个探究，使学生从解析式，表格，图像等三种形式中辨析出变量与常量，在对比中主动观察，分析和讨论，感知理解从初步到深刻，从数字到字母，从特殊到一般，逐步深入。

变量与函数教学设计（第一课时）变量与常量教材分析本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量。

本课在充分体会运动变化过程中数量变化的基础上，领会变量与常量的含义．函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际。

它是函数学习的入门，也为后面引出变量间的单值对应关系进而学习函数的定义做了铺垫。

本节课内容不但对培养学生比较、分析、概括的思维能力有作用，而且对培养学生运动变化等辨证唯物主义观点和形成良好的个性品质也有一定的帮助。

教学内容(人教版)初中数学八年级下册第71页。

教学目标知识与技能目标：结合丰富的实例，让学生在具体情境中了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，能描述变量之间的关系。

过程与方法目标：经历探索变量的过程，感受常量与变量的意义，强化数学的应用意识，学会将实际问题抽象成数学问题，形成用运动变化的观点探究事物的变化规律的方法。

情感态度与价值观目标：感受变量是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具，体会对应、数形结合的思想。

教学重点了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中量的变化及变量之间的关系．教学难点：正确的分析出常量和变量，能用关系式、表格、图象等形式描述一个变化过程中变量之间的关系教学方法：自主探究与合作交流相结合教学过程一、创设情境，引入新课1、出示图片揭示万物的运动变化（利用多媒体）。

2、导入课题（变量与常量）。

二、活动探究探究一：小刚骑自行车从家到学校，匀速行驶，速度为60米/分钟.先填写下表，s的值随t的变化而变化吗？再试着用含t的式子表示s。

(小时) 1 2 3 4 5(千米)在这一过程中，什么量是固定不变的？什么量是变化的？探究二：当鱼跳动时,观察水面上的波纹有怎样的变化呢?探究三：折纸游戏（和学生一起把一张纸对折，再对折……）对折次数 1 2 3 …n 页数(p) 2 4 8 …p = 2n 折痕数(m) 1 3 7 …m = 2n ﹣1 厚度(d) 0.2 0.4 0.8 … d = 0.1×2n 归纳：量的数值变化情况等；归纳定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

人教版八年级数学下册变量与函数教案2023年4月第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数课时1 变量与常量教学目标【知识与技能】借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

【过程与方法】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

【情感态度与价值观】从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。

学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质与判定的灵活运用..教学准备多媒体课件一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的。

例如，地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。

再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。

这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。

教学过程：二、合作交流、解读探究1、气温问题：下图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。

A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）气温随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7，……时，正方形的面积S分别是多少？3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用xm3天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫作变量；有些量的值始终不变（如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。

第十九章一次函数19．1函数19．1.1变量与函数第1课时变量教学设计课题变量授课人素养目标1.了解常量、变量的概念，体会在一个变化过程中常量与变量相对存在．2．能根据具体情境分清实例中的常量和变量．3．通过探索具体问题中的数量关系和变化规律，学会用含一个变量的代数式表示另一个变量，体会“变化与对应”的思想.教学重点常量与变量概念的理解和识别．教学难点用含一个变量的代数式表示另一个变量.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图引导学生围绕日常生活实际举例，激发学生兴趣，为引入新概念做准备.【情境导入】“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……在我们周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．为了研究这些变化过程，我们首先要找出其中变化的量和不变的量.【教学建议】学生自主发言，教师提示总结：我们处在一个不断变化的环境中，为了更好地认识世界，我们要对这些变化情况进行研究和探索.活动二：问题引入，自主探究设计意图利用某几项生活实例来探究事物相应的变化过程，从中引导学生发现变量和常量.探究点1变量与常量阅读教材P 71中的4个问题．(1)补充表格：在这个变化过程中，s 的值随t 的值的变化而变化，汽车的行驶路程s 和行驶时间t 是变化的量；汽车的行驶速度60km /h 是不变的量.(2)三场电影的票房收入依次为1500元、2050元和3100元.在这个变化过程中，y 的值随x 的值的变化而变化，电影售出票数x 和票房收入y 是变化的量；电影票的售价10元/张是不变的量.(3)由圆的面积公式S ＝πr 2可知，当r ＝10cm 时，S ＝100πcm 2；当r ＝20cm 时，S ＝400πcm 2；当r ＝30cm 时，S ＝900πcm 2.在这个变化过程中，S 的值随r 的值的变化而变化，圆的面积S 和半径r 是变化的量；圆周率π是不变的量.(4)补充表格：【教学建议】教师引导学生思考，将表格补充完整或求出结果，找出问题中变化的量和不变的量，进而引出变量与常量的概念．教学中应注意强调：①圆周率π表示的是一个常数，是常量；②常量、变量与字母的指数没有关系；③在一个变化过程中，变量的个数教学步骤师生活动设计意图引导学生运用乘法公式进行二次根式的运算.在这个变化过程中，y的值随x的值的变化而变化，矩形的一边长x和其邻边长y是变化的量；绳子的长度10m是不变的量．概念引入：在上面的几个变化过程中，有些量的数值是变化的，有些量的数值是始终不变的．由此，在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.【对应训练】1.教材P71练习.2.已知签字笔的价格是5元/支，笔记本的价格是2元/本，状状购买了a支签字笔和b本笔记本花了m元，在这个问题中，变量是a，b，m，常量是2，5.探究点2确定两变量之间的关系对于上面探究的4个问题，在同一问题中都含有两个变量．那么，这两个变量有着怎样的关系？你能否用式子表示出它们之间的关系？答：4个问题中都有两个变量相关，每当变量t，x，r，x取定一个值时，另一个变量s，y，S，y就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式分别为：(1)s＝60t；(2)y＝10x；(3)S＝πr2；(4)y＝5－x.归纳总结：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.【对应训练】回顾多边形的相关知识，随着多边形边数n的增加，多边形的内角和α和外角和β会有什么变化？请用式子表示出它们的关系.解：α的值随n的值的变化而变化，边数n每增加1，内角和α增加180°，α＝(n－2)·180°；β不受n的影响，β＝360°.并不一定有两个，如对应训练T2，变量有3个.【教学建议】首先，师生共同讨论一个问题，再由学生完成剩下的问题，最终发现：每个问题中的两个变量之间均存在单值对应关系．当一个变量取定一个值时，单值对应有两重含义：①另一变量有对应值；②对应值只有一个.活动三：重点突破，提升探究设计意图巩固对变量与常量以及变量间关系的认识.例如图，在矩形ABCD中，点M在边BC上，点n在边CD上．设BM＝a，C n＝b，则△BM n的面积S＝12ab.(1)若保持点M不动，点n在CD上运动，请指出S＝12ab中的变量与常量；(2)若保持点n不动，点M在BC上运动，请指出S＝12ab中的变量与常量.解：(1)S和b是变量，12和a是常量.(2)S和a是变量，12和b是常量.【教学建议】教师适时引导学生发现：①常量可以是常数，也可以是数值不变的字母；②变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中可能是变量.教学步骤师生活动活动四：随堂训【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：变量与常量的解题方法：判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．注意：(1)常量与变量是相对的；(2)常量、变量与字母的指数没有关系；(3)π是常量，不是变量．例1已知路程s ，速度v 和时间t 的关系式为s ＝vt ，则下列说法中正确的是(C )A ．当s 一定时，v 是常量，t 是变量B ．当v 一定时，t 是常量，s 是变量C ．当t 一定时，t 是常量，s ，v 是变量D ．当t 一定时，s 是常量，v 是变量解析：当s 一定时，s 是常量，v ，t 是变量，故A 选项说法错误；当v 一定时，v 是常量，t ，s 是变量，故B 选项说法错误；当t 一定时，t 是常量，s ，v 是变量，故C 选项说法正确，D 选项说法错误．故选C .例2若球的体积为V ，半径为R ，则V ＝43πR 3.其中V ，R 是变量，43，π是常量.例1写出下列问题所满足的关系式，并指出各个关系式中的常量和变量．(1)每本练习本0.6元，购买练习本所需的钱数m(单位：元)与购买的本数n 之间的关系式；(2)某种饮水机盛满20L 水，打开阀门每分钟可流出0.2L 水，饮水机中剩余水量y (单位：L )与放水时间x (单位：min )的关系式；(3)某三角形的一边长为5cm ，它的面积S(单位：cm 2)与这边上的高h(单位：cm )的关系式；(4)某直角三角形中的一个锐角的度数为α(单位：度)，另一个锐角的度数为β(单位：度)，β与α的关系式．解：(1)m ＝0.6n ；0.6是常量，m ，n 是变量．(2)y ＝20－0.2x ；20，0.2是常量，x ，y 是变量．(3)S ＝52h ；52是常量，S ，h 是变量．练，课堂总结概念是什么？如何判别一个量是变量还是常量？【作业布置】相应课时训练．板书设计19.1.1变量与函数第1课时变量常量：数值始终不变的量为常量变量：数值发生变化的量为变量在一个变化过程中(前提)教学反思本节课属于概念教学，在教学过程中，通过列举生活中的实例能够让学生更加积极地参与课堂教学互动，融入课堂．让学生通过“举例——类比——思考”的模式，将具体的实例转化为抽象的概念，便于学生理解和接受，亦为后续函数的学习做准备.本节课的重难点在于教会学生如何识别变量与常量，其辨析的依据是在一个变化过程中，量的数值是否发生变化.(4)β＝90－α；90是常量，β，α是变量．例2某矩形的周长为24cm，其中一边长为x cm(x>0)，面积为y cm2，则y与x的关系式为(D)A．y＝x2B．y＝(24－x)x C．y＝(12－x)2D．y＝(12－x)x解析：矩形的一边长是x cm，则另一边长是(12－x)cm.所以y与x的关系式为y＝(12－x)x.故选D.。

19.1.1 变量与常量 学案设计一、创设情境（图片展示）行星在宇宙中的位置随时间而变化；国旗的上升的高度随时间而变化气温随海拔而变化；汽车行驶里程随行驶时间而变化为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本知识，其中包括如何用式子和图、表来描述、刻画这种变化的内容．今天我们先来认识变量和常量 二、新知讲解<问题1>t/时 1 2 3 4 5 ...... s/千米......（２）在以上这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． （３）试用含t 的式子表示s ，s= ，定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫 ，数值始终不变的量叫 。

<问题2>电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张 售出票数x （张） 150张 205张 310张 ...... 收入y (元)......（2）设一场电影售出票x 张，票房收入为y 元，含x 的式子表示y: ． （3） y 的值随x 的值的变化而变化吗？ ． （4）这个问题中,变量是__________ 常量是___________.<问题3>水中涟漪，圆形水波的面积和它的半径之间存在着怎样的关系？ （1）当圆的半径R 分别为10 cm ，20cm ，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？半径r (cm) 10 20 30 r 面积s （cm 2）（2）圆面积S 与圆的半径R 之间的关系式是： ； （3） S 的值随R 的值的变化而变化吗？ （4）这个问题中的变量是 ；常量是 .<问题4> 用10m 长的绳子围成一个矩形（１）当矩形的一边长x 分别为3 m ，3.5m ，4m ,4.5m 时，它的邻边长y 分别为多少？（2）其邻边长y 与一边长x 之间的关系式是： （3） y 的值随x 的值的变化而变化吗？ （4）这个问题中的变量是 ；常量是 .一边长x （m ） 3 3.5 4 4.5 ......其邻边长y （m ）......三、例题及知识应用例1 指出下列事件过程中的常量与变量(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a 千橘子的总价为m 元，其中常量是________，变量是________； (2)周长C 与圆的半径r 之间的关系式是C ＝r 2 ，其中常量是________，变量是________；(3)三角形的一边长5cm ，它的面积S(cm 2)与这边上的高h(cm)的关系式S =52ℎ 中，其中常量是________，变量是________.知识应用1 写出下列问题中的关系式，并指出变量和常量：（1）某市的自来水价为4元/吨.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x 吨，月应交水费为y 元.（2）某地手机通话费为0.2元/分.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t 分钟，话费卡中的余额为w 元.（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，圆周长为C ，圆周率（圆周长与直径的比）为π. （4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x 本，第二个抽屉放入y 本. 例2 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，试填下表：怎样用含重物质量m （kg ）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)? 变式：如果弹簧原长为12 cm ，每1 kg 重物使弹簧压缩0.5 cm ，则用含重物质量m （kg ）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为： . 知识应用21.小丽去买一种笔记本，笔记本的总价Q （元）与笔记本的数量x (本)之间的关系记录如下：x /本1 2 3 4 … Q/元5101520…则用含x 的式子表示Q 为： .2.用10m 长的绳子围成一个长方形，设长方形的长为xm ，面积为Ｓm2，则用含x 的式子表示S 为: .重物的质量(kg) 1 2 3 4 5 弹簧长度(cm)三、随堂练习1.若球体体积为V ，半径为R ，则343V R π=，其中变量是________、________，常量是________. 2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a （元）的关系式是________，其中变量是________，常量是________.3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q （升）与行使时间t （小时）的关系是________，其中的常量是________，变量是________.4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x （单位：m ）落下时弹跳高度y （单位：m ）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是 ．5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x 之间的关系式：四、我的疑惑____________________________________________________________5080 100 15025405075x 1 2 3 … n y…。