八年级数学下册 19.1.1 变量与函数学案(新版)新人教版

人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》是初中数学的重要内容，主要让学生了解变量的概念，以及变量与函数的关系。

本节课通过具体的实例，引导学生理解函数的概念，并能够运用函数解决实际问题。

教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知发展规律。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，对数学概念有一定的理解能力。

但是，对于函数的概念和意义，以及如何运用函数解决实际问题，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例理解函数的概念，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量与函数的概念，能够识别函数关系，并运用函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.难点：函数概念的理解，以及如何运用函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法。

通过设置问题情境，引导学生观察、操作、思考，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作意识和创新精神。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学问题和活动。

2.学生准备：预习教材，了解变量与函数的基本概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出变量与函数的概念。

提问：什么是变量？什么是函数？引导学生思考并回答。

2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题和练习题，让学生观察、分析，引导学生发现变量与函数之间的关系。

提问：如何判断两个变量之间存在函数关系？如何表示函数关系？3.操练（15分钟）学生分组讨论，选取一个实例，尝试用函数表示变量之间的关系。

19.1.1 变量与函数【学习目标】1.能根据所给定条件写出简单的函数关系式；2.能从实际问题中得到函数关系式；3.会求函数解析式中自变量的取值范围及函数值；【学习重点】会求自变量的取值范围及函数值.【学习难点】能从实际问题中得到函数关系式，会求自变量的取值范围.【学前准备】一颗树现高50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为ycm，y与x的关系式为，变量是，常量是 .【导入】【自主学习、合作交流】函数阅读课本P95页到97页探究以上的内容，回答下列问题：1.完成96页的归纳2.分组讨论：教科书P(96)页”思考”中的两个问题.3.根据函数定义归纳函数的三要素：4.什么是自变量和函数值完成P97页的探究例题解析例1：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油y（单位： L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子：，其中是自变量，是函数，像这样的式子叫做函数解析式.(2)自变量x的取值范围为 . (3)当汽车行驶200km时,油箱中还有多少升(L)汽油？例2：分别说出下列函数关系式中的自变量及谁是自变量的函数，并确定自变量的取值范围？（1）y=x-1（2）y=11-x（3）y=1-x（4）y=11-x归纳总结：求函数解析式中自变量取值范围的一般方法①当解析式为整式时，自变量取全体实数；②当解析式为分式时，分母不为0；③当解析式为算术平方根时，被开方数为非负数（大于等于0）④当解析式有上述多种形式组合时，应先求出各部分的取值范围，然后再求它们的公共部分.⑤当涉及实际问题时，不仅要考虑函数关系式自身有意义,而且还要考虑问题的实际意义.【知识应用】1.列问题中的两个变量是否是函数关系？是函数关系的指出自变量和函数.（1）平行四边形的面积S和它的一边长x的关系（2）圆的面积S与长C的关系2.函数y=3x-1中，自变量x的取值范围是 .3.函数y=521+x中，自变量x的取值范围是 .【课堂小结】如何确定自变量的取值范围及求函数值.【当堂测试】1.已知函数y=x2-x-2,当x=2时，函数值为 .2.在函数y=12+x 中，自变量x 的取值范围是 .在函数y=31--x x 中，自变量x 的取值范围是 . 在函数y=112+x 中，自变量x 的取值范围是__________.3.圆的面积为S ，半径为r ，则S=πr 2,则r 的取值范围是 .4.从甲地到乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，①若时间t ≥3分钟时，电话费y （元）与t （分钟）之间的函数关系式是 ；②当t=30分钟时，y= . 【课后作业】Ⅰ 必做题1.一个三角形的底边长为5,高h 可以任意伸缩,面积S 随h 变化的解析式为 ,其中常量是 ,变量是 , 自变量是 , 是 的函数,自变量的取值范围是 .2.x= 时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值.3.一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少xcm 后得到的新的正方形的周长为 ycm ，写出y 与x 的关系式 ，其中自变量x 的取值范围是 .4.个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数是x (千克) 与售价y (元)的关系如下表：(1)卖出的苹果数量x(千克)与售价y(元)的关系可以表示为 . (2)当小勤卖出的苹果数量从5千克变到10千克时，苹果的销售额 元变到 元. (3)当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款 元. 5.观察下面式子: ①35y x =- ②21x y x -=-③y 回答:(1)说说上面每个式子中的y 是x 的函数吗?(2)写出自变量x 在什么范围内取值时函数解析式有意义?(3)当x=5时对应的函数值是多少?6.某种活期储蓄的月利率是0.06％，存入100元本金,求本息和(本金与利息的和)y 元随所存月数x 变化的函数解析式，并计算存期为4个月时的本息和.Ⅱ 选做题如图，在靠墙（墙长为18m ）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m ，求鸡场的一边长y （m ）与另一边长x （m ）的函数关系式，并求自变量的取值范围.【课后反思】【评价】yx。

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19。

1。

1变量与函数 (第1课时）【学习目标】1.理解变量、常量的概念以及相互之间的关系，能指出一个变化过程中的变量与常量。

2。

能找出变量之间的简单关系，列出简单关系式.【重点难点】重点:１。

常量和变量的概念；２。

用式子表示变量间关系．难点:用含有一个变量的式子表示另一个变量．【学习过程】一、自主学习：思考：一辆长途客车在行驶过程中，那些量不变?那些量发生了变化？二、合作探究：【问题1】一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．•行驶时间为t 小时．(1）请同学们根据题意填写下表：(2)在以上这个过程中,变化的量是_ __，不变化的量是________．（3）试用含t的式子表示s．____ 。

【问题2】每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,午场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票x张,票房收入为y元,怎样用含x的式子表示y?（1）早场票房收入:_____（元）（2）午场票房收入：_____（元)（3）晚场票房收入:_____（元）(4）用含x 的式子表示y 的关系式:____________【问题3】用10m 长的绳子围成一个长方形，当长方形的一边长x 分别为3m 、4m 、4。

第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数1.认识变量、常量.2.学会用一个变量的代数式表示另一个变量.3.认识变量中的自变量与函数.4.进一步理解掌握确定函数关系式.5.会确定自变量的取值范围.自学指导：阅读教材第71页至74页，独立完成下列问题：知识探究(1)一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.①根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5s/千米60 120 180 240 300②试用含t的式子表示s为s=60t；③在以上这个过程中，不变化的量是60，变化的量是s与t.(2)每张电影票的售价为10元，早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张.①三场电影的票房收入分别是1500元，2050元，3100元.②设一场电影售票x张，票房收入y元，则用含x的式子表示y为y=10x.③在以上这个过程中，不变化的量是10，变化的量是x与y.(3)变量：在一个变化的过程中，数值变化的量；常量：在一个变化的过程中，数值不变的量.(4)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个变化值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数. (5)对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.活动1 学生独立完成例1 分别指出下列关系中的变量和常量：(1)圆面积公式S=πr2(s表示面积，r表示半径)；(2)匀速运动公式s=vt(v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程).解：(1)r、S是变量，π是常量；(2)t、s是变量，v是常量.π是圆周率，是定值，是常量，半径r每取一个值都有唯一的S值和它对应，故S和r是变量.因为是匀速运动，所以速度v是常量，t和s是变量.例2 如图，一个矩形推拉窗高1.5m，则活动窗的通风面积S(m2)与拉开长度b(m)的关系式是S=1.5b.窗高1.5m是一边长，拉开长度b(m)是另一边长，因此通风面积S=1.5b.例3 某火力发电厂，贮存煤1000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x，该电厂开始发电后，贮存煤量为y(吨).(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的函数关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？解：(1)y=-50x+1000；(2)y=-5x+1000，当x=30时，y=-5×30+1000=850.∴当发电30天时，电厂贮存煤850吨.电厂贮存的煤量与原贮存量，每天发电的用煤量，每天从外地运回的煤量，以及发电天数有关.活动2 跟踪训练1.设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系是V=πr2h，这个式子中常量是π，h，变量是V，r.2.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43πＲ3.其中变量是R，V，常量是43，π.找准不变的量，再确定变量.3.下列变量间的关系：①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④.一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系.4.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米a元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费，某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)(x>12)之间的关系式为y=2ax-12a，若该月交水费20a元，则这个月实际用水16米3.5.若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=-2x＋180，变量是x，y，常量是-2，180.6.在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=12ah，当底边a的长一定时，在关系式中的常量是12，a，变量是S，h.7.已知水池里有水200m3，每小时向水池里注水20m3，设注水时间为x小时，水池里共有水ym3，用含x的式子表示y，则y=20x+200，其中变量为x，y，常量为20，200.8.人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).(1)上述关系中的常量与变量各是什么？(2)正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？解：(1)常量0.8，220，变量a,b； (2)164.9.蓄水池中原有水800m3，每小时从中放出60m3的水.(1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式；(2)写出自变量t的取值范围；(3)12h后，池中还有多少水？解：(1)Q＝-60t＋800； (2)0≤t≤403； (3)80m3.实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义.此题要根据函数Q的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围.活动3 课堂小结1.常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景.2.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.3.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，本节课主要介绍变量的概念以及函数的定义。

学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等，为本节课的学习打下了基础。

本节课的内容是学生学习更高级数学知识的重要基石，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于未知数、代数式等概念有了初步的了解。

但是，学生在学习过程中，可能对于抽象的变量概念、函数的定义及表示方法等方面存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过具体实例来理解抽象概念，提高学生的抽象思维能力。

三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量与变量的区别。

2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。

3.能够运用变量和函数的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.重点：变量、函数的概念及其表示方法。

2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量和函数的概念，使学生能够更好地理解抽象知识。

2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现变量和函数的规律。

3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对变量和函数概念的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解变量和函数的概念。

2.教学实例：准备一些生活实例，用于引导学生学习变量和函数。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如气温、水位等，引导学生思考这些量是如何变化的。

通过观察、讨论，让学生初步理解变量概念。

2.呈现（10分钟）介绍常量与变量的定义，让学生明确常量与变量的区别。

接着，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、图象等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，举例说明生活中的一些函数关系，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等。

变量与函数（课题）变量与函数教学目标（一）知识与技能：掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制(二)数学思考：掌握根据函数自变量的值求对应的函数值（三）问题解决：联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法（四）情感态度：使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识教学重点：函数关系式直观得到自变量取值范围教学难点：函数自变量的值求对应的函数值教具准备：多媒体课件教学时数：2课时教学过程：第 2 课时一、基本训练激趣导入创设情境问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x 表示，纵向的加数用y 表示，试写出y 与x 的函数关系式．解 如图能发现涂黑的格子成一条直线．函数关系式：y ＝10－x ．二、提出目标 指导自学问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y 与底角的度数x 之间的函数关系式．解 y 与x 的函数关系式：y ＝180－2x ．问题3 如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分面积y cm 2与MA 长度x cm 之间的函数关系式．解 y 与x 的函数关系式：221x y．三、合作学习 引导发现探究归纳思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°． 问题3，开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，MA 长度达到10cm ．解 (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9；问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90；问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10．(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s ＝60t ， S ＝πR 2．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0．对于函数 y ＝x (30－x )，当自变量x ＝5时，对应的函数y 的值是 y ＝5×(30－5)＝5×25＝125．125叫做这个函数当x ＝5时的函数值．四、反馈调节 变式训练例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)21+=x y ； (4)2-=x y ．分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，21+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义．解 (1)x 取值范围是任意实数；(2)x 取值范围是任意实数；(3)x 的取值范围是x ≠－2；(4)x 的取值范围是x ≥2．归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y (元)关于用电度数x 的函数关系式；(2)已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x (cm)，求底边上的高y (cm)关于x 的函数关系式；(3)在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r (cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S (cm 2)，求S 关于r 的函数关系式．解 (1) y ＝0.50x ，x 可取任意正数； (2)xy 40=，x 可取任意正数； (3)S ＝100π－πr 2，r 的取值范围是0＜r ＜10．例3 在上面的问题(3)中，当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是多少?解 设重叠部分面积为y cm 2，MA 长为x cm ， y 与x 之间的函数关系式为 221x y =当x ＝1时，211212=⨯=y 所以当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是21cm 2．例4 求下列函数当x = 2时的函数值：(1)y = 2x -5 ； (2)y =－3x 2；(3)12-=x y ； (4)x y -=2．分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值．解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1； (2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；(3)当x = 2时，y =122-= 2； (4)当x = 2时，y =22-= 0．五、分层测试 效果回授1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．2.求下列函数中自变量x 的取值范围：(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)； (3)36+=x x y ； (4)12-=x y ．3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s ＝10t ＋2t 2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：(1) y ＝(x +1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)12-+=x x y ．教学反思：。

变量与函数教学目标知识与技能1.认识变量、常量．2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．过程与方法1.经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．2.逐步感知变量间的关系．情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.认识变量、常量2.用式子表示变量间关系教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量教学方法精心设疑合作交流自主探究教具准备多媒体课件课时安排1课时教学过程活动一组织教学通过学生对一天内气温的感觉引入变化的量，观看幻灯片中随时间的变化温度也随着变化的图像，让学生感受到数学就在我们身边。

活动二问题解决，引入实例1、周末，老师乘车回家。

汽车以每小时60km的速度匀速行驶，行驶时间为t小时，行驶路程为s km。

2、用20m 长的绳子围成矩形，矩形的一边长为 x m，邻边长为y m。

3、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数为n个，单价 a元。

4、每张电影票的售价是10元，一场电影售出x张票，票房收入为y元。

活动三提出问题，感受特征提问1：分别指出（1）~（4）的变化过程中涉及到哪些量，你能将这些量分为几类？分类的标准是什么？提问2：这些量有什么数量关系？提问3：在（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？（修改学生认可的关系式）提问4：在（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？活动四适时命名，学生定义变量（variable）：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。

常量（constant）：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。

问题1：请指出上面各个变化过程中的常量、变量。

活动五 辨析概念，巩固练习1、填空（1）某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y （元）与学生数n （个）的关系式是 ，其中的变量是 ，常量是 。

19.1.1变量与函数一、学习目标1.认识变量、常量2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量重点：了解常量与变量的关系难点：较复杂问题中常量与变量的识别.二．自主学习一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．１．根据题意填写下表：２．在以上这个过程中，变化的量是____ __．不变的量是__________．３．试用含t的式子表示s = 。

三．合作探究1、每张电影票售价为10元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张，第三场售出310张．三场电影的票房收入分别为元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•用含x的式子表示y为。

y随x的变化（填“要”或“不”）变化。

2、当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为30cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为r时，圆的面积S为；S随r的变化（填“要”或“不”）变化。

3、用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．•记录不同的矩形的长度值时计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xm，面积为Ｓm2．怎样用含有x的式子表示S?因矩形对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10m的一半，即 m．若长为1m，则宽为 =4（m）据矩形面积公式：Ｓ＝ =4（m2）若长为2m，则宽为（m）面积Ｓ＝若长为xm，则宽为5 （m）面积Ｓ＝从以上三个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．结论：在一个变化过程中，数值发生变化的量为，数值始终不变的量为。

注意：常量与变量必须存在于一个变化过程中。

判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：四、达标测试１．若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43Ｒ3．其中变量是_____、•_____，常量是________．2．夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y与上升高度x之间关系式为__________．3．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．。

人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计一. 教材分析《变量与函数》是初中数学的重要内容，人教版八年级下册19.1.1节主要介绍了变量的概念以及函数的定义。

通过本节课的学习，学生能够理解变量、常量的概念，了解函数的定义及表示方法，为后续学习函数的性质、图象等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等。

但他们对变量的概念及函数的定义还较为模糊，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

此外，学生可能对函数的表示方法感到陌生，需要通过教师的引导和学生的实践来逐步熟悉。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量、常量的概念，掌握函数的定义及表示方法。

2.过程与方法：通过实例分析，让学生体会变量之间的依赖关系，学会用函数表示实际问题中的变量关系。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：变量、常量的概念，函数的定义及表示方法。

2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量、常量概念，让学生在具体情境中感受数学与生活的联系。

2.引导发现法：教师引导学生发现变量之间的依赖关系，自主探究函数的定义及表示方法。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对函数概念的理解，提高运用函数解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖实例、练习、拓展等环节的课件，以便于引导学生逐步深入学习。

2.教学素材：收集与生活相关的函数实例，如温度、身高、体重等，用于导入和巩固环节。

3.练习题库：准备不同难度的练习题，以便于针对性地进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的变量关系，如气温随时间的变化、身高与年龄的关系等，引导学生关注变量之间的依赖关系。

在此基础上，提出问题：“你们认为什么是变量？什么是常量？”让学生发表自己的见解。

第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数【教学目标】知识与技能1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律了解常量、变量的意义.2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.过程与方法体会数形结合的思想．情感、态度与价值观培养学生良好的变化与对应意识【教学重难点】重点：常量与变量的识别.难点：常量与变量的识别.【导学过程】【情景导入】由大量图片“万物皆变”）引入。

【新知探究】探究一、自主探究P71问题（1），汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．①．请同学们根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5s/千米②．在以上这个过程中，变化的量是 ,不变化的量是_______．③．试用含t的式子表示s： s=________,t的取值范围是 ________ .这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间的变化过程．探究二、自主探究P71问题（2）~~（4），然后完成下列填空在（2）中用含x的式子表示y, 则y＝；在（3）中用含m的式子表示l, 则l ＝；在（4）中用含s的式子表示r,则r＝；探究三、1.概念、在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量．．．．．．为 .有些量的数值是始终不变的，我们称它们为 .2.在P71的五个问题中，（1）中的常量是，变量是；（2）中的常量是，变量是；（3）中的常量是，变量是；（4）中的常量是，变量是；（5）中的常量是，变量是 .【知识梳理】1.什么叫变量？什么叫常量？2.举一个运动变化的例子并指出其变量和常量．3.你认为变化过程中的变量之间会有联系吗？ 【随堂练习】1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q•（元）与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是 （ ）A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距S 千米，某人行完全程所用的时间t （时）与他的速度v （千米/时）满足S=vt ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 （ ）A ．S 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．S 是常量3．长方形相邻两边长分别为x 、•y •，面积为100•，•则用含x •的式子表示y •，则y ＝_______，在这个问题中， 常量； 是变量．4．某种报纸的价格是每份0.4元,买x 份报纸的总价为y 元,先填写下表,再用含x 的式子表示y ．x 与y 之间的关系是y＝ ,在这个变化过程中，常量是 ,变量是 ．5.一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t•（小时）表示水箱中的剩水量y （吨），y ＝ ，t 的取值范围是 .6．如图：已知△ABC 中，底边BC ＝15cm ，高AD 可以任意伸缩．写出△ABC 的面积Ｓ随AD 变化关系式，并指出其中常量与变量．7、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n 盆花，每个图案的花盆总数是S ，求S 与n 之间的关系式.份数/份 1 2 3 4 5 6 7 100总价/元D A A A B Cn ＝1 n ＝2 n ＝3。

第十九章 函数19.1 函数19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量学习目标：1.了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.重点：能够区分同一个问题中的常量与变量. 难点：用式子表示变量间的关系.一、知识链接1.人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 .同时用“数”来表明“量”的大小.2.写出路程（s ）、速度（v ）、时间（t ）之间的关系： . 二、新知预习1.小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元／支，总价y 元随铅笔支数x 的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.2.圆的面积S 随着半径r 的变化而变化，已知它们的关系为:2r S π=,在这个问题中，常量是 ，变量是 . 3.自主归纳：变量：在一个变化过程中，数值________的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值________的量为常量. 三、自学自测1.指出下列关系式中的常量和变量.（1）长方形的长为2，长方形面积S 与宽x 之间的关系S=2x ； （2）一批香蕉每千克6元，则总金额y （元）与销售量x （千克）之间的关系式为y=6x.2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s （米）与时间t （秒）之间的关系式，并指出其中的变量和常量.四、我的疑惑____________________________________________________________ ____________________________________________________________一、要点探究探究点1：常量与变量问题1：一辆汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米．行驶时间为t 小时． （1）请同学们根据题意填写下表：（2）试用含t 的式子表示s,则s= ；（3）在以上这个过程中，变化的量有 ，不变化的量有__________．问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x 张，票房收入y 元． （1）请同学们根据题意填写：早场电影的票房收入为 元； 日场电影的票房收入为 元； 晚场电影的票房收入为 元；（2）在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．（3）试用含x 的式子表示y,则y= ；这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．问题3：你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r 分别为10cm,20cm,30cm 时,圆的面积S 分别为多少? （1）填空：当圆的半径为10cm 时，圆的面积为 cm 2； 当圆的半径为20cm 时，圆的面积为 cm 2； 当圆的半径为30cm 时，圆的面积为 cm 2； 当圆的半径为r 时，圆的面积S= ；（2）在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________． 要点归纳：在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ，数值始终不变的量为 .典例精析例1 指出下列事件过程中的常量与变量 (1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a 千橘子的总价为m 元，其中常量是________，变量是________； (2)周长C 与圆的半径r 之间的关系式是C ＝r 2π，其中常量是________，变量是________； (3)三角形的一边长5cm ，它的面积S(cm 2)与这边上的高h(cm)的关系式52y h =中，其中常量是________，变量是________. 变式题阅读并完成下面一段叙述：（1）某人持续以a 米／分的速度用t 分钟时间跑了s 米，其中常量是________,变量是________. （2）s 米的路程不同的人以不同的速度a 米／分各需跑的时间为t 分，其中常量是________,变量是________.t/小时 1 2 3 4 5S/千米课堂探究（3）根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：_________________________.方法总结:区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.探究点2：确定两个变量之间的关系 例2.弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm ，每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm ，试填下表： 怎样用含重物质量m （kg ）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?变式题：如果弹簧原长为12cm ，每1kg 重物使弹簧压缩0.5cm ，则用含重物质量m （kg ）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为________. . 写出下列问题中的关系式，并指出变量和常量：（1）某市的自来水价为4元/吨.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x 吨，月应交水费为y 元.（2）某地手机通话费为0.2元/分.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t 分钟，话费卡中的余额为w 元.（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，圆周长为C ，圆周率（圆周长与直径的比）为π.（4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x 本，第二个抽屉放入y 本.1.若球体体积为V，半径为R，则343V Rπ=，其中变量是________、________，常量是________.2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价a（元）的关系式是________，其中变量是________，常量是________.3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行使时间t（小时）的关系是________，其中的常量是________，变量是________.4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是．5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式.50 80 100 15025 40 50 75x 123…ny…教学备注配套PPT讲授5.当堂检测（见幻灯片19-21）第十九章 函数) 2.下列式子中：y 是x 的函数的有 .（填序号）①y=|x|；②x+1=|y|；③y=x 2-2；④3.已知函数y=2x2-1.（1）求出当x=2时y的值；（2）求出当y=3时x的值.四、我的疑惑___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________二、要点探究探究点1：函数的概念问题1：填表并回答问题：x14916y=+2x（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？（2）y是x的函数吗？为什么？问题2：如何判断两个变量间具有函数关系？典例精析例1.下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④y=x±；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是．方法总结:判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.例2.已知函数421xyx-=+.(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；(2)求当x取什么值时，函数的值为0. 课堂探究教学备注配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-14）1.下列说法中，不正确的是（）A.函数不是数，而是一种关系B.多边形的内角和是边数的函数C.一天中时间是温度的函数D.一天中温度是时间的函数2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )3.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为，这个关系式中，是常量，是变量，是的函数.4.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是，自变量t的取值范围是 .5.求下列函数中自变量x的取值范围：2(1)2y x x=--；3(2)48yx=+；(3)3y x=+；1(4)11y xx+-.6. 我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？八年级数学下册期中综合检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.3x-x的取值范围是（）A.x≥3B.x≤3C.x>3D.x<32.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A.4，5，6B.1，12C.6，8，11D.5，12，233.下列各式是最简二次根式的是（）97200.34.下列运算正确的是（）532149138222(25)-=255.方程｜4x－8｜x y m--当y>0时,m的取值范围是（）A.0<m<1 B.m≥2 C.m≤2 D.m<26.若一个三角形的三边长为6,8，x ，则此三角形是直角三角形时，x 的值是（ ） A.8 B.10 C.27 D.10或277.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ） A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形8.能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB ∥CD ，AD=BC B.AB=CD ，AD=BC C.∠A=∠B ，∠C=∠D D.AB=AD ，CB=CD9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A.当AB=BC 时，它是菱形 B.当AC ⊥BD 时，它是菱形 C.当∠ABC=90°时,它是矩形 D.当AC=BD 时，它是正方形第9题图 第10题图 第13题图 第15题图10.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4） S △AOB =S 四边形DEOF 中正确的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（每小题3分，共24分）11.43a b +126b a b +-+可以合并，则ab = .12.若直角三角形的两直角边长为a 、b 269a a -+｜b －4｜=0,则该直角三角形的斜边长为 .13.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S 1=258π，S 2=2π，则S 3= .14.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥BD,且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD 成为菱形（只需添加一个即可）.15.如图，△ABC 在正方形网格中，若小方格边长为1，则△ABC 的形状是 .16.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=120°,AC=4，则该菱形的面积是.17.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是.18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P为线段BC上的点.小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（3，4），请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标.三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题：（1）(48－418)－(313－20.5)；（2）(2－3)2015·(2+3)2016－2×|－3|－(－3)0.20.（8分）如图是一块地，已知AD＝4 m,CD＝3 m,AB＝13 m,BC＝12 m，且CD⊥AD,求这块地的面积.21.(8分)已知9+11与9－11的小数部分分别为a,b，试求ab－3a+4b－7的值.22.(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D 点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长.23.（10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF＝BC.求证：（1）DF＝AE；（2）DF⊥AC.24.（10分）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为402 m,∠ABC=120°,在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m2,请问需投资金多少元？（结果保留整数）25.（12分）（1）如图①，已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）如图②，已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE和CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离，已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.八年级数学下期末综合检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.二次根式0.5、27、30、2x +、240x 、22a b +中，最简二次根式有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.若式子43x x --有意义，则x 的取值范围为（ ） A.x ≥4 B.x ≠3 C.x ≥4或x ≠3 D.x ≥4且x ≠3 3.下列计算正确的是（ ）A.4×6=46B.4+6=10C.40÷5=22D.2(15)-=－154.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ） A.365 B.1225 C.94D.335.平行四边形ABCD 中,∠B=4∠A,则∠C=（ ） A.18° B.36° C.72° D.144°6.如图,菱形ABCD 的两条对角线相交于O,菱形的周长是20 cm ，AC ∶BD=4∶3，则菱形的面积是（ ）A.12 cm 2B.24 cm 2C.48 cm 2D.96 cm 2第6题图 第8题图 第10题图7.若方程组 的解是 .则直线y =－2x +b 与y =x －a的交点坐标是（）A.(－1，3)B.(1，－3)C.(3，－1)D.(3，1)8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多9.在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A.1.70，1.65B.1.70，1.70C.1.65，1.70D.3，410.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A.54B.52C.53D.65二、填空题（每小题3分，共24分）11.当x= 时，二次根式x+1有最小值，最小值为.12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式222c a b--+|a－b|=0,则△ABC的形状为.13.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=13，AC=10，DB=24，则四边形ABCD的周长为.14.如图,一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2－k1）x+b2－b1＞0的解集为.第14题图第16题图第18题图15.在数据－1，0，3，5，8中插入一个数据x,使得该组数据的中位数为3，则x的值为.16.如图，□ABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，∠ECF=60°，AE∥BD，EF ⊥BC，EF=23，则AB的长是.17.（山东临沂中考）某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如下表所示：则这50名学生一周的平均课外阅读时间是小时.18.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③BE+DF＝EF，④S正方形ABCD＝3其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题：（1）2－3|－212-⎛⎫-⎪⎝⎭18（2）先化简，再求值：a ba+÷(－a－22ab ba+)，其中a3+1，b3－1.20.（8分）如图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE.若BC=10cm,AB=8 cm.求EF的长.21.（9分）已知一次函数的图象经过点A（2,2）和点B（－2，－4）.（1）求直线AB的解析式;（2）求图象与x轴的交点C的坐标；（3）如果点M(a,－12)和点N（－4，b）在直线AB上，求a,b的值.22.（9分）（湖北黄冈中考）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况做一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.（1）请将条形统计图补充完整；（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？23.（10分）（山东德州中考）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？24.（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME.25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B 两点，且△ABO的面积为12.（1）求k的值；（2）若点P为直线AB上的一动点,P点运动到什么位置时，△PAO是以OA为底的等腰三角形？求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PO,△PBO是等腰三角形吗？如果是，试说明理由；如果不是，请在线段AB上求一点C,使得△CBO是等腰三角形.更多全套优质教学课件、教案、习题、试卷，请关注本人主页！教学备注 1.情景引入 配套PPT 讲授 5.当堂检测 （见幻灯片。

19．1 函数19．1.1 变量与函数01 课前预习要点感知1 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量． 预习练习1－1 直角三角形两锐角的度数分别为x 、y ，其关系式为y ＝90－x ，其中变量为x ，y ，常量为90．要点感知2 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x ＝a 时，y ＝b ，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值．预习练习2－1 若球的体积为V ，半径为R ，则V ＝43πR 3.其中自变量是R ，V 是R 的函数． 要点感知3 函数自变量的取值范围既要满足函数关系式有意义，又要满足实际问题有意义． 预习练习3－1 甲乙两地相距100 km ，一辆汽车以每小时40 km 的速度从甲地开往乙地，t 小时与乙地相距s km ，s 与t 的函数解析式是s ＝100－40t ；自变量t 的取值范围是0≤t≤2.5. 02 当堂训练知识点1 变量与常量1．圆周长公式C ＝2πR 中，下列说法正确的是(D )A ．π、R 是变量，2为常量B ．R 是变量，2、π、C 为常量C ．C 是变量，2、π、R 为常量D ．C 、R 是变量，2、π为常量2．写出下列各问题中的数量关系，并指出各个关系式中，哪些是常量？哪些是变量？(1)购买单价为5元的钢笔n 支，共花去y 元；(2)全班50名同学，有a 名男同学，b 名女同学；(3)汽车以60 km /h 的速度行驶了t h ，所走过的路程为s km .解：(1)y ＝5n ，y 、n 是变量，5是常量．(2)a ＋b ＝50，a 、b 是变量，50是常量．(3)s ＝60t ，s 、t 是变量，60是常量．知识点2 函数的有关概念3．下列关系式中，一定能称y 是x 的函数的是(B )A ．2x ＝y 2B ．y ＝3x －1C .||y ＝23x D ．y 2＝3x －54．若93号汽油售价7.85元/升，则付款金额y(元)与购买数量x(升)之间的函数关系式为y ＝7.85x ，其中x 是自变量，y 是x 的函数．5．当x ＝2和x ＝－3时，分别求下列函数的函数值．(1)y ＝(x ＋1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2.解：(1)当x ＝2时，y ＝(x ＋1)(x －2)＝(2＋1)×(2－2)＝0；当x ＝－3时，y ＝(x ＋1)(x －2)＝(－3＋1)×(－3－2)＝10.(2)当x ＝2时，y ＝2x 2－3x ＋2＝2×22－3×2＋2＝4；当x ＝－3时，y ＝2x 2－3x ＋2＝2×(－3)2－3×(－3)＋2＝29.知识点3 函数的解析式及自变量的取值范围6．(云南中考)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围为(D ) A ．x ＞2 B ．x ＜2C ．x ≤2D ．x ≠27．正方形的边长为a ，面积为S ，若a 是自变量，则S 与a 之间的函数解析式可表示为(D )A ．S ＝a 4B ．S ＝4aC ．a ＝S 2D ．S ＝a 28．(眉山中考)在函数y ＝x ＋1中，自变量x 的取值范围是全体实数．9．(曲靖中考)如果整数x ＞－3，那么使函数y ＝π－2x 有意义的x 的值是1(只需填一个)．10．某商店进了一批货，每件进价为4元，售价为每件6元，如果售出x 件，售出x 件的总利润为y 元，那么y 与x 的函数关系式为y ＝2x.03 课后作业11．在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形面积S ＝12ah ，当a 为定长时，在此函数关系式中(A )A ．S ，h 是变量，12，a 是常量B ．S ，h ，a 是变量，12是常量C ．a ，h 是变量，12，S 是常量D ．S 是变量，12，a ，h 是常量12．(百色中考)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1（x≥0），4x （x<0），当x ＝2时，函数值y 为(A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．813．(黔南中考)函数y ＝2x －2的自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是(B )14．若等腰三角形的周长为60 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，则y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围是(D )A ．y ＝60－2x(0<x<60)B ．y ＝60－2x(0<x<30)C ．y ＝12(60－x)(0<x<60)D ．y ＝12(60－x)(0<x <30)15．圆的面积S ＝πr 2中，自变量r 的取值范围是r>0．16．(安顺中考)在函数1－x x ＋2中，自变量x 的取值范围是x ≤1且x≠－2. 17．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数解析式；(2)写出自变量t 的取值范围；(3)10小时后，池中还有多少水？解：(1)剩余水的体积Q ＝800立方米－抽掉的水的体积，即Q ＝800－50t.(2)抽完水所需时间为：0＝800－50t，得t＝16，所以0＜t≤16.(3)当t＝10时，即Q＝800－50t＝800－50×10＝300(立方米)．18．圆柱的底面半径是 2 cm，当圆柱的高h(cm)由大到小变化时，圆柱的体积V(cm3)随之发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量和自变量的函数各是什么？(2)在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h之间的关系式？(3)当h由5 cm变化到10 cm时，V是怎样变化的？(4)当h＝7 cm时，V的值等于多少？解：(1)自变量是圆柱的高，自变量的函数是圆柱的体积．(2)体积V与高h之间的关系式V＝π·22h＝4πh.(3)当h＝5 cm时，V＝20π (cm3)；当h＝10 cm时，V＝40π (cm3)．当h越来越大时，V也越来越大．(4)当h＝7 cm时，V＝4π×7＝28π (cm3)．挑战自我19．如图，长方形ABCD中，当点P在边AD(不包括A，D两点)上从A向D移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些则发生了变化．(1)试分别写出长度变和不变的线段，面积变和不变的三角形；(2)假设长方形的长AD为10 cm，宽AB为4 cm，线段AP的长为x cm，分别写出你所列出的变化的线段PD的长度(y)、△PCD的面积(S)与x之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围．解：(1)长度变化的线段有：AP ，PD ，BP ，PC ； 面积变化的三角形有：△APB，△DCP ； 长度不变的线段有：AB ，BC ，CD ，AD ；面积不变的三角形有：△BPC.(2)根据题意可知：PD ＝AD －AP ，AD ＝10 cm ，AP ＝x cm ， ∴y ＝10－x ，其中0＜x ＜10.根据题意可知：△PCD 的面积为12·DC·PD，∴S ＝12×4×(10－x)＝20－2x.其中0＜x ＜10.。

八年级数学下册 19.1.1变量学案（新版）新人教版1、理解变量与函数的概念以及相互之间的关系2、增强对变量的理解3、渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想重难点：变量与常量，对变量的判断，找变量之间的简单关系，试列简单关系式课前预习教材助读一信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s、t/m12345s/km预习自测二写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；(2)购买单价是0、4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）银行规定：五年期存款的年利率为2、79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。

课中探究提出问题，创设情景问题一：汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时、１、请同学们根据题意填写下表：t/时12345ts/千米２、在以上这个过程中，变化的量是_____________、不变化的量是__________、３、试用含t的式子表示s: s=________,t的取值范围是 _________ 、这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程、深入探究，得出结论（一）问题探究：问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元、• １、请同学们根据题意填写下表：售出票数（张）早场150午场206晚场310x收入y (元)2、在以上这个过程中，变化的量是_____________、不变化的量是__________、３、试用含x的式子表示y: y=______ ,x的取值范围是、这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程、问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律、如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0、5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为L cm、1、请同学们根据题意填写下表：所挂重物（kg）12345m受力后的弹簧长度L（cm）2、在以上这个过程中，变化的量是_____________、不变化的量是__________、３、试用含m的式子表示L:L=____________ ,m的取值范围是、这个问题反映了_________随_________的变化过程、问题四：要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢?怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？１、请同学们根据题意填写下表：(用含的式子表示）面积s （cm2）102030s半径r(cm)２、在以上这个过程中，变化的量是_____________、不变化的量是__________、３、试用含s的式子表示r、r=_________，s的取值范围是、这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程、问题五：用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化、记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。

2019-2020学年八年级数学下册19.1.1变量与函数3导学案(新人教版) 学习目标：
1、理解函数解析式的概念；
2、能在实际问题中抽象出两个变量之间的函数解析式；
3、会确定实际问题中自变量的取值范围.
【自主学习】
1、什么叫做函数的解析式？
2.为什么在实际问题中，要确定自变量的取值范围？
3. 行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：
小结：行驶路程随的变化而变化，有关系式s= ，即s随的变化而变化；故自变量是，函数值是，自变量的取值范围是。

课题：19.1.1 变量与函数(3) 达标检测
姓名：____________班级：____________日期：_______________
1．小华在400米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(秒)与他跑步的速度v(米/秒)关系式为_________________________，其中_____________是常量，_____________________是变量。

2. 拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时用油4升，求油箱中剩余油量y（升）与工作时间x（时）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围。

3. 在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m，求鸡场的一边长y （m）与另一边长x （m）的函数关系式，并求自变量的取值范围。

2021 2021学年八年级数学下册 19.1.1 变量与函数(1)学案（新版）新人教版 doc----f43ce1d0-6ea0-11ec-b29d-7cb59b590d7d2021-2021学年八年级数学下册19.1.1变量与函数(1)学案（新版）新人教版doc2022-2022学年八年级数学第二卷19.1.1变量和函数（1）学习计划（新版）人教版学习目标1通过探索具体问题中的数量关系和变化规律，理解常数和变量的含义；2.学会用包含一个变量的代数公式来表达另一个变量。

指导过程1。

请根据问题的含义填写下表：T/H S/km 12345t2。

在上述过程中，变化量为___________3。

试着用t来表示s，s=______;，t的取值范围是。

这个问题反映了汽车以恒定速度行驶的距离随行驶时间的变化过程。

[合作勘探]问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元。

?1、请同学们根据题意填写下表：售票（张）收入y（元）上午150张，下午205张，晚上310x2张。

在上述过程中，变化量为________3。

尝试使用包含x的公式来表示y，y=，x的值范围为。

这个问题反映了票房收入_。

问题3：当圆的半径r分别为10cm、20cm和30cm时，圆的面积s是多少？1.请根据问题的含义填写下表：（用带？）的公式表示）半径r面积s10cm20cm30cm2、在以上这个过程中，变化的量是__________．不变化的量是__________．3、试用含s的式子表示r，s=,r的取值范围是。

这个问题反映了随的变化过程。

问题4：用一根10米长的绳子形成一个长方形，试着改变长方形的长度，观察长方形的面积是如何变化的。

记录不同矩形的长度值，计算矩形对应的面积值，探索其变化规律。

让矩形的长度为XM，面积为SM。

1.请根据问题的含义填写下表：长x（m）另一边长（m）面积s（m）2233.544.5x2。