变量与函数
一、目标认知
学习目标：
1．函数是刻画现实世界中变化规律的非常重要数学模型，对函数概念体会的深入程度是学好函数知识
的关键，在学习过程中一定要紧紧地结合实例体会引入函数概念的意义，紧紧地结合实例体会了解
常量、变量，理解函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法(列表法、解
析式法和图象法)。认真不浮躁地落实基本知识和基本技能。
2. 数学建模思想的体会理解，从分析探索实际问题中的数量关系和变化规律出发，经历体会“找出常
量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的每个过程细节，提高运用所学
知识分析解决问题的意识。
重点：
函数定义、解析式、自变量取值范围、函数的表示方法
难点：
运用函数定义辨析是否存在函数关系，分析具体材料背景写出函数解析式及自变量取值范围
二、知识要点梳理
知识点一：通过实例体会变量、常量、函数的概念
1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时，请完成下表：
t/时 1 2 3 4 5
S/千米60 120 240 300
思考：在上述变化过程中，有两个变量S、t，一个常量速度60，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
答案肯定：通过填表可以验证，当这里的两个变量中的任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。
2、每张电影票售价为10元，早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少?请完成下表，
时段早场日场晚场
售出票数(张) 150 205 310
收入金额(元) 1500 2050 3100 思考：在上述变化过程中，有两个变量：售出票数和收入金额，一个常量：单价10，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。
3、在一根弹簧下端悬挂重物，弹簧原长10cm，若每1kg重物使得弹簧伸长0.5cm，请根据不同的重量m，填写对应的弹簧长度L
重量m/kg 1 2 5 8 10
弹簧长度L/cm 10.5 11 12.5 14 15 思考：在上述变化过程中，有两个变量重量和弹簧长度，一些常量弹簧原长、单位重量伸长的数值，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。两者之间的关系为：
圆的面积(S) 10 20 50 100 300
圆的半径(r) 1.78 2.52 3.99 5.64 9.77
思考：在上述变化过程中，有两个变量S、r，一个常量圆周率，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应! 两者之间的关系为：
5、用10m长的绳子围成长方形，根据长方形一边的长度，观察长方形的另一边的长度和面积如何变化。请思考完成下表：
思考：在上述变化过程中，有三个变量长方形的一边长、另一边长、面积，一个常量长方形的周长10，其中每两个变量之间是否都有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
答案不一定：通过填表可以验证，每两个变量之间的关系可分两种情况：（1）一边长与另一边长之间，其中任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。两者之间的关系式为：y=5-x；（2）一边长与面积或另一边长与面积之间，其中当前一个变量随便取定一个可以取的值时，后一个变量都有唯一确定的值与之相对应。两者之间的关系式分别为：S=x(5-x)，S=y(5-y)；但反过来不满足该规律，例如当面积为5.25m 时，长方形的一边长可以为：3.5或1.5，不唯一。
知识点二：函数的定义
在我们身边的各种变化中，有各种变化的量和不变化的量，在两个变量之间有一种不是一定存在的关系，但是非常普遍存在的关系就是：“当其中一个变量随便取定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应!”也就是说普遍的两个变量之间都存在相互对应的关系!
函数定义：
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量(independent variale)，y是x 的函数(function)，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值。
对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数不是数，而是两个变量之间一种对应的关系；
（2）对于变量x允许取的每一个值，集合在一起组成了x的取值范围。
（3）判断两个变量之间是否有函数关系不仅要看它们之间是否有关系式，还要看对于x允许取的每一个
值，y是否都有唯一确定的值与它相对应。
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量x的取值
范围相同。否则，就不是相同的函数。而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取
值范围有时容易忽视，这点应注意。
知识点三：自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围。自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
⑴当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
⑵当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
⑶当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
⑷当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零。
其次，当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
知识点四：函数值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值，比如当时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做的函数值，简称函数值。
注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个。比如：中，当函数值为4时，自变量的值为。
知识点五：函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式。
注：函数关系式是等式；等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示自变量的函数；没有特殊说明，自变量x的取值范围是使解析式有意义的所有实数。
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法，例如:前面的五个实例均是用列表法表示的函数;
（3）图像法：用图象表达两个变量之间的关系。
注：有些问题可三种方法兼用，如S=60t，但有些问题只能用某一种方法，如每天的气温变化，只能用图象记录（自动测温仪）。
知识点六：函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
注：函数的解析式是一个二元方程，这个方程的解分别是这个函数图象上点的横坐标、纵坐标；函数图象的画法：列表、描点、连线。
三、规律方法指导
1．学习函数时，要注意区分常量与变量，函数与函数值等概念，例如：,是随的变化而变化的量，变量是变量的函数，2是常量；函数值是自变量所对应的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值，例如当时，函数的函数值等于；当时，函数的函数值等于。
2．函数的图象以几何形式直观地表示变量间的单值对应关系，是研究函数的重要工具。学习函数的图
象不仅要了解它的一般意义和作法，更重要的是了解其中包含的数形结合地研究问题的思想，学习
如何使用这种工具讨论函数。
类型一：函数概念辨析
1．判断下列材料中所给的两个变量之间是否存在函数关系?
(1)心电图中的变量：心脏脉冲电流值和时间
(2)下表中所示变量：人口数和年份之间
思路点拨：要判断是否为函数关系，首先要找到两个变量，其次判断两个变量是否满足函数的定义。
解：存在函数关系，因为在(1)图中，在每一个时刻，心脏脉冲电流都有唯一确定的值与该时刻相对应，(2)图中，对年份的每一个取值，都存在唯一确定的人口数与之相对应。
总结升华：函数关系普遍存在。人们需要表达函数关系，上题所给的图示就是一种表达函数很好的方法，我们分别称之为：图象法和列表法。另外还有许多的函数，我们都可以通过一个二元关系式来表达，这种表达函数的方法称之为：解析式法。
举一反三：
[变式1] 某工人每分钟生产机械零件8个，写出这个工人生产零件的总数y（个）与生产时间t（分）的关系式，判断是不是函数关系，并指出式中的常量与变量。
分析：每分钟生产零件8个，在生产过程中该数值保持不变，所以每分钟生产零件的个数8是常量；而时间变化后零件总数可随之增长，则时间和生产的零件总数是变量。
解：，其中8是常量，y、t 是变量。
[变式2]判断下列说法是否正确?
(1) 3x+l是x的函数；
(2)函数y=x与是相同的函数
(3)若y是x的函数，则y的值肯定随x值的改变而改变；
解：(1)说法正确，通过函数定义可以验证，对x的每一个确定取值3x+l都有唯一确定的值与之相对应；
(2)说法不正确，尽管第二个函数经过化简之后解析式与第一个函数相同，但是它们自变量的取值范围是不同的；
(3)说法不正确，比如函数y=x0，随x的变化y的值恒定不变。
[变式3]判断下列关系式和图象中，其中y是否是x的函数?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解：
(1)， y是x的函数，因为根据函数定义，对每一个x的可取值都存在唯一确定的y值与之相对应。同样根据函数的定义可验证，y不是x的函数
(2)只有第二个关系式y不是x的函数，其它三个关系式y都是x的函数，理由同上；
(3)y是x的函数，理由同上；
(4)y是x的函数，理由同上；
(5)y不是x的函数，因为由图可以看出，有许多x值都与两个y值相对应。
[变式4]用长为10 cm的绳子围成一个长方形，其中长方形的一条边长是xcm，这个长方形的面积Scm2，判断填空：
这里_____是常量，_____是变量，变量间是否存在函数关系?若存在，其中_____是_____的函数，你是否能说明理由?是否能选择适当的方法表达该函数关系?
解：周长10是常量，边长x和面积s是变量，面积是边长x的函数，因为对于边长x 的每一个取值，面积s都有唯一确定的值与之相对应，但反之不成立，即x不是s的函数，用解析式法表达该函数关系：s=x(5-x)，其中x的取值范围是0＜x＜5.
思考：若在上述函数解析式后不加上自变量x的取值范围，函数解析式还能否完整表达背景材料中的函数关系呢?
注：(1)当用解析式表达函数关系时，一定要关注自变量的取值范围；
(2)确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数解析式有意义，而且还要注意问题的实际意义；
(3)约定：在我们今后所给定的函数解析式中，若没有特别说明，都默认自变量取值范围为使解析式有意义的所有实数。
类型二：自变量的取值范围
2．求下列函数中自变量x的取值范围。
（1）；（2）；（3）。
思路点拨：（1）要使分式有意义，则分母，所以；（2）要使被开方数有意义，则，所以；（3）分母且，则有。
解：（1）自变量的取值范围是的实数；
（2）自变量的取值范围是；
（3）自变量的取值范围是。
总结升华：自变量的取值范围必须使整个解析式有意义。
举一反三：
[变式]求函数的自变量的取值范围。
解：要使函数有意义，则x要符合：
即：或
解方程组得自变量取值是或。
类型三：函数表示方法的理解
3．已知，（1）写成y是x的函数形式；（2）写成x是y的函数形式。
思路点拨：y是x的函数形式，就是用含的代数式去表示，x是y的函数形式就是用含的代数式表示，这便是函数的表示方法之一——解析式法，但要使函数解析式有意义。
解析：(1)由可知，又，所以。
综上得：且。同理得：且
由，去分母有：，移项得，
整理成y是x的函数为（且）。
(2)同理，写成x是y的函数为(且)。
总结升华：函数表示方法有三种：解析式法，图象法和列表法。当用解析式法表示时，通常表示为y是x的函数，但x也可以是y的函数，只要满足函数的定义。
举一反三：
[变式1]写出下列函数关系式：
(1)等腰三角形的底角的度数y°与顶角度数x°之间的关系为______；
(2)某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前一排多1个座位，则每排座位数y与这排的
排数x的关系为_____·
解；(1)
(2)y=x+19 (0＜x＜26，且x为自然数)
[变式2]已知等腰三角形周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm。（1）确定y 与x的函数关系式；（2）确定x的取值范围；（3）画出函数图象。
分析：利用等腰三角形周长公式可以写出函数关系式，再利用两边之和大于第三边可以确定x的取值范围，根据腰长与底长的列表可以画出图象。
解：（1）因为，所以。
（2）因为有，所以，即；
又因为，所以，即，
故自变量x的取值范围是。
（3
x 3 4 5 5.5 6
y 6 4 2 1 0
②描点，画图（如图所示）：
总结升华：要注意三边组成一个三角形的条件，即符合两边之和大于第三边，避免出现的错误。画函数图象时，通常边界值有时也可以取，一般是在范围内的点用实心点，不在范围内的点用空心点。
类型四：函数值
4．设函数，已知当时，，求当时x的值。
思路点拨：利用时可以先求出a值，再把a值代入时的函数中，便可求出x的值。
解：根据题意有，则。
所以有，则。
总结升华：了解常量、变量、函数的意义，会分辨常量与变量，自变量与函数值之间的联系。
举一反三：
[变式1] 求当时，函数的函数值。
分析：自变量x的值一定时，求函数值时只要把x的值代入解析式即可。
解：当时，有。
[变式2] 已知函数，当x为何值时，函数值是正数、0、负数？
分析：已知函数解析式，可分别令函数值为正数、0、负数，即可求x的值。
解：当y为正数时，即，则；
当y为0时，即，则；
当y为负数时，即，则。
所以当时，函数值为正数，当时，函数值为0；当时，函数值
为负数。
总结升华：本题的目的是巩固函数值概念，加强对函数值概念的理解。
类型五：函数的综合应用
5. 一辆汽车由A地驶向相距240千米的B地，它的平均速度为30千米／时，求汽车距B地的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式，并画出这个函数图象。
思路点拨：路程=速度×时间．
解：由题意可知s=240-30t（0≤t ≤8）．
t0 2 4 8
s240 180 120 0
总结升华：画图象前先列表，令t为某值，代入函数式后可求出相应函数值．
举一反三：
[变式1] 已知在等腰△ABC中，AB=AC，根据下列条件，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围．
（1）底角度数为x°，顶角度数为y°；
（2）腰长为x，底边长为y，周长为8．
解：（1）由等腰三角形的特点及内角和定理可知；
（2）由周长=2×腰长+底长可知，．
[变式2] 某公园集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元，超过20人的部分，每人10元．
（1）写出应收门票费y（元）与进园人数x（人）（x≥20）之间的函数关系式．
（2）利用（1）中的关系式计算：某旅游团有54人去该公园观赏，购买门票花了多少钱?
分析：20人以内应收费为25×人数(元)，当进园人数为x（x≥20）人时，门票费y元。则等于20人的门票费加上超过部分人数购买的门票费．
解：（1）根据题意有，
整理得（x为整数，且x≥20）．
（2）根据，当x=54时，有y=10×54+300=840（元），
即54人进园购票费用为840元．
[变式3] 如下图中各图形是由若干皮球摆成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）个皮球，每个图案皮球总数是s，按照所给规律写出总数s与皮球个数n 之间的关系式．
分析：通过所绘图案可得：随着每条边包含的皮球数的增多，图案的皮球总数s也在增大．且有：n=2,S=3；n=3,S=6；n=4,S=9。n每增加1时，S增加3。因此，可猜想s=3+3（n-2），可用n=2,S=3；n=3,S=6；n=4,S=9验证关系式，结论正确。
解：关系式为．
总结升华：通过本题，可考查观察、探索、发现问题的综合能力．
第十七章反比例函数 课题 17.1.1 反比例函数的意义课时：一课时【学习目标】 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.会判断一个给定函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。 【重点难点】 重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的表达式。 难点：反比例函数的意义。
【导学指导】 复习旧知: 1.什么是常量？什么是变量？函数是如何定义的？ 2.我们学过哪几种函数？每一种函数形式怎样？ 3.写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数.
（1）梯形的上底长是2，下底长是4，一腰长是6，则梯形的周长y与另一腰长x之间的函数关系式。（2）某种文具单价为3元，当购买m个这种文具时，共花了y元，则y与m的关系式。 学习新知：阅读教材P39-P40相关容，思考，讨论，合作交流完成下列问题。 1.什么是反比例函数？反比例函数的自变量可以取一切实数吗？为什么？
2.仔细观察反比例函数的解析式y=k/x,我们还可以把它写成什么形式？ 3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数，我们是用什么方法求它们的解析式的？以此类推，我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。 【课堂练习】 1.下列等式中y是x的反比例函数的是（） ①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑤y=5/x+2 ⑥y=x/2 ⑦y=-√2/x ⑧y=-3/2x 2.已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=7, (1)写出y与x的函数关系式；（2）当x=7时，y等于多少？
【要点归纳】 通过今天的学习，你有哪些收获？与同伴交流一下。
新人教版八年级下册数学导学案（全册） 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m
八年级数学（下）导学案（第七章） 勾股定理的逆定理 【学习目标】 1.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用； 2.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，会辨析哪些问题用哪个结论。 【复习回顾】写出勾股定理：__________________________________________________. 【课前预习】预习课本第56-60页内容 任务一：阅读教材第56-60页内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面的横线上： 任务二：阅读课本56页实验与探究的内容，解决下列问题。 1.选定一个单位长度，然后取一根长度为12单位的细绳，将它首尾相接并围成一个三角形，使得这个三角形的三条边长度分别为3、4、5，再用图钉把这个三角形钉在木板上. ①计算一下，这个三角形三边满足a2＋b2＝c2吗? ②度量以下这个三角形的各个内角，是怎样的三角形？ ③由此你得到了什么？ 2.结果尝试 再取一根长度为30单位的细绳，围成边长分别为5、12、13的三角形，重复以上(1)、（2）步骤，你又发现了什么？ 3.归纳总结，并记住勾股定理的逆定理 任务三：阅读课本140页例题1，解决下列问题. 1.由下列线段组成的三角形是不是直角三角形. （1）12，16，20 （2）8，11，13 （3）1.5，3.6，3.9 【课中实施】 一：勾股定理的逆定理 二：勾股数组： 【当堂达标】
一、选择题（每题4分，共12分） 1.下列各组中,不能构成直角三角形的是（） A.9，12，15 B.15，32，39 C.16，30，32 D.9，40，41 2.下面几组数中，为勾股数的是（） A. 4，5，6 B. 12，16，20 C. -10，24，26 D. 2.4，4.5，5.1 3.三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 二、填空题（每题4分，共16分） 4.△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________． 5.已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是_____． 6.三条线段m，n，p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为______． 7.请完成以下未完成的勾股数： （1） 8，15，_______；（2）15，12，______； （3）10，26，_______；（4）7，24，_______． 【课后巩固】（6分） 如图，已知CD＝6m， AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影部分的面积．
第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义 学习目标： 了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字 母的取值范围。 理解二次根式的非负性 学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导： 看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。（2）被开方数必须是 数。 判断下列格式哪些是二次根式? ⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2 )2 1(- ⑷ ()223≥-a a ⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02?-x x 学： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 2-x ⑵ x -21 ⑶13-+ -x x ⑷2x ⑸3x （6） ()01-a （1）常见的非负数有：a a a ,,2 （2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。 巩固练习： 已知(),03122 =-++b a 求a,b 的值 2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练： 1.下列各式中：①52+- x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥ 3+-x 其中是二次根式的有 。 2.若1 21 3-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。 3.已知122+-+-= x x y ，则=y x 4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（） （A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子ab a 1+ -有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限 （A ）一 (B)二 (C)三 (D)四 6.若,011=-++b a 则=+20112011 b a 7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是 8.已知01442=-++ +-y x y y ，求xy 的值
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 导学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 导学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 导学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 导学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分 式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9 中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3）
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第十六章 分式 第一课时 一、学习目标： 1.识记分式、有理式的概念. 2.知道分式有意义的条件，分式的值为零的条件； 3.能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、自主预习： 自学教材相关内容，并完成以下各题。 1.完成教材“思考1”中的空格。 2．什么叫分式分式与整式的区别是什么 3．判断下列各式中，哪些是整式哪些不是整式 ①38n m +＋m 2 ； ②1＋x ＋y 2－z 1； ③π213-x ； ④x 1 ； ⑤1222++x x ； ⑥22 2ab b a +； 三、课堂导学： 例1 填空： 当x 时，分式x 52 有意义； 当x 时，分式22-x x 有意义； 当x 时，分式x 252 -有意义； 当x 、y 满足关系 时，分式y x y x 2-+有意义； 例2 当m 为何值时，分式的值为0 （1）1-m m （2）32 +-m m (3) 11 2+-m m
四、课堂自测： 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式 9x+4, x 7, 209y +, 54-m , 238y y -， 9 1-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义 （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0 （1） （2） (3) 4、列式表示下列各量： （1）某村有n 个人，耕地40公顷，人均耕地面积为 公顷； （2）ABC ?的面积为S ，BC 边长为a ，则高AD 为 ； （3）一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/小时;一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 千米/小时。 5、下列式子中，哪些是是分式哪些是整式两类式子的区别是什么 ①x 1；②3x ；③5 342+b ；④352-a ；⑤22y x x -； ⑥n m n m +-；⑦121222+-++x x x x ；⑧)(3b a c - 完成课本课后习题 4522--x x x x 235 -+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --221
精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！ 《数据的分析》复习 一、学习目标 【知识与技能】：理解统计的基本思想是用样本的特征去估计总体的特征，会用平均数、中位数、众数、极差、方差进行数据处理。 【过程与方法】：经历探索数据的收集、整理、分析过程，在活动中发展学生的统计意识和数据处理的方法与能力。 【情感态度与价值观】：培养合作交流的意识与能力，提高解决简单的实际问题能力，形成一定的数据意识和解决问题的能力，体会特征数据的应用价值。 二、学习重难点 【重点】：应用样本数字特征估计总体的相应特征，处理实际问题中的统计内容。 【难点】：方差概念的理解和应用。 三、学习过程 （一）自主复习、查漏补缺 1、若n 个数 的权分别是 则： 叫做这n 个数的加权平均数。 2、在求n 个数的算术平均数时，如果x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（这里 f 1+ f 2+…+ f k =n ）那么这n 个数的算术平均数 _______。 3、调查包括_________调查和__________调查。总体是指考察对象的___________， 个体是总体中的______________________， 样本是从________中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的____________。 4、统计图包括_________统计图、_________统计图和___________统计图。 5、将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的 。如果数据的个数是偶数，则 就是这组数据的中位数。中位数是一个 。如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于等于或大于等于这个中位数的数据各占一半。 6、一组数据中出现次数__________的数据就是这组数据的众数。 7、极差：一组数据中 __ 数据与___ 数据的差。 极差是最简单的一种度量数据 情况的量,但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大。 8、各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差。公式为： s 2= 方差 ，波动越小。方差 ，波动越大。 （二）合作交流、展示点评 1、数学期末总评成绩由作业分数，课堂参与分数，期考分数三部分组成，并按3：3：4的比例确定。已知小明的期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的总评成绩为________。 n x x x ，， ， ?21n w w w ，， ， ?21
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为 v +20100小时，逆流航行 60千米所用时间 v -2060小时，所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相 同点和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 1-m m 32 +-m m 112 +-m m
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推 广 ： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） 1 21 +-x （3） （4） （5）121 3-+ -x x (6) . （7 ）若 ，则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围 是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时， A B C D 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若2004a a -=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 2 9922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 7．若m =m 的值． 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，， 满足2|2|1022a b a ++=+，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<
八年级数学下册导学案 制作人：数学组
目录 ＄16.1二次根式（一）导学案 (4) ＄16.1二次根式（二）导学案 (8) ＄16.2二次根式的乘除（一）导学案 (12) ＄16.2二次根式的乘除（二）导学案 (16) ＄16.2二次根式的乘除（三）导学案 (20) ＄16.3二次根式的加减（一）导学案 (23) ＄16.3二次根式的加减（二）导学案 (26) ＄17.1勾股定理（一）导学案 (29) ＄17.1勾股定理（二）导学案 (35) ＄17.1勾股定理（三）导学案 (39) ＄17.2勾股定理的逆定理（一）导学案 (43) ＄17.2勾股定理的逆定理（二）导学案 (47) ＄18.1.1平行四边形的性质（一）导学案 (50) ＄18.1.1平行四边形的性质（二）导学案 (55) ＄18.1.2平行四边形的判定（一）导学案 (61) ＄18.1.2平行四边形的判定（二）导学案 (66) ＄18.2.1矩形（一）导学案 (70) ＄18.2.1矩形（二）导学案 (75) ＄18.2.2菱形（一）导学案 (80) ＄18.2.2菱形（二）导学案 (84) ＄18.2.3正方形导学案 (87) ＄19.1.1变量与函数（一）导学案 (91) ＄19.1.1变量与函数（二）导学案 (95) ＄19.1.2函数的图象（一）导学案 (100) ＄19.1.2函数的图象（二）导学案 (106) ＄19.1.2函数的图象（三）导学案 (110) ＄19.2.1正比例函数导学案 (114) ＄19.2.2一次函数（一）导学案 (119) ＄19.2.2一次函数（二）导学案 (124) ＄19.2.2一次函数（三）导学案 (128) ＄19.2.2一次函数（四）导学案 (132) ＄19.2.3一次函数与一元一次方程导学案 (135) ＄19.2.3一次函数与一元一次不等式导学案 (139) ＄19.2.3一次函数与二元一次方程组导学案 (144) ＄19.3课题学习选择方案（一）导学案 (149) ＄19.3课题学习选择方案（二）导学案 (153) ＄20.1.1平均数（一）导学案 (156) ＄20.1.1平均数（二）导学案 (161)
第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的_____;x 是a 的____, 记为____,a 一定是____数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的 高度h (单位：米)满足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16，5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______ 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 4
2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任 意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数围因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数围有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数围有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 2、（1a 的值为___________． （2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子x x +-121中，x 的取值围是____________. ________)(2=a x --21 2)3(
人教版数学 16.1二次根式教学设计 四海店镇中学
16.1 二次根式(1) 一、学习目标： 知识与技能：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 过程与方法：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。 情感态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题 的能力及研究问题的严谨性。 二、学习重点：理解二次根式的概念 三、学习难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。 四、学习过程 （一）复习引入： 1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 2、（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________； （2） 16的算术平方根是_______，用式子表示为 __________； （3） 0 的算术平方根是_______； （4）正数a的算术平方根为_______， （5）－7_______算术平方根。 归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根 （二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 （三）探索新知、提出问题 思考：用带有根号的式子填空 1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。 2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。 3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______. 很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式 （学生举例巩固） （四）议一议 1、-1有算术平方根吗？ 2、0的算术平方根是多少？ 3、当a<0时，有意义吗？ 点评：1、表示非负数a的算术平方根。 2、a可以是数也可以是一个含有字母的式子。
人教版八年级数学下册全册学案［精心整理，超值收藏］ 人教版八年级数学下册全册学案 目录 71分式1 1 71分式2 5 72分式的乘除 9 73分式的加减1 13 73分式的加减2 17 74分式方程1 21 74分式方程2 25 《反比例函数》导学案28 《反比例函数图形的性质》导学案 34 《反比例函数图形的性质》导学案 38 《§反比例函数图形的性质》导学案43 《§反比例函数小结与思考》导学案48 181 勾股定理1 53 181 勾股定理2 56 181 勾股定理3 58 182 勾股定理的逆定理一60 182勾股定理逆定理2 63
勾股定理复习1 65 勾股定理复习 2 68 第十九章四边形71 平行四边形及其性质一71 平行四边形及其性质二74 平行四边形的判定一77 平行四边形的判定二80 平行四边形的判定三83 特殊的平行四边形-矩形一 87 特殊的平行四边形-矩形二 90 特殊的平行四边形-菱形一 93 特殊的平行四边形-菱形二 96 特殊的平行四边形-正方形一99 特殊的平行四边形-正方形二102 梯形一105 梯形二108 梯形专项练习112 重心115 第二十章数据的分析117 测试1 平均数一117 测试2 平均数二119 测试3 中位数和众数一122
测试4 中位数和众数二125 测试5 极差和方差一127 测试6 极差和方差二129 参考答案132
71分式1 学习目标 了解分式的概念 了解分式有意义分式无意义分式值为零的条件 会用分式表示简单实际问题中的数量关系 学习重点分式的概念 学习难点用分式表示简单实际问题中的数量关系 学习过程 课前导学 自主预习课本并思考以下问题 1表示两个相除且除式中含有的代数式叫做分式请写出三个分式 2下列代数式中哪些是整式哪些是分式 3因为除数不能为零所以分式中字母的取值不能使分母为零否则分式就没有意义了当分母的值为时分式无意义当分母的值不为时分式有意义 4当时分式有意义当时分式无意义 当时分式有意义当时分式无意义 当时分式有意义当时分式无意义 当时分式有意义当时分式无意义 当时分式无意义则
第十六章二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：、a_O(a_O)和(a)2二a(a _ 0) 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质. 难点：综合运用性质,a _0(a _0)和(?.. a)2=a(a 一0)。 三、学习过程 (一)复习回顾： (1)已知x2=a，那么a是x的_______ ; x是a的____ , 记为______ , a 一定是____ 数。 (2)__________________________________________ 4的算术平方根为2,用式子表示为匚二_________________________________________ ;正数a的算术平方根为 \4 ____ , 0的算术平方根为_____ ；式子岛3 0(a兰0)的意义是_____________ 。 (二)自主学习 (1) 16的平方根是_____________ ; (2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的 高度h(单位：米)满足关系式h =5t2。如果用含h的式子表示t，则t=_ ； (3) 圆的面积为S,则圆的半径是 ______________ ; ⑷正方形的面积为b -3，则边长为______________ 。 思考：J6 ,、h，. S ,、b-3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. \ 5 \兀 定义：一般地我们把形如V a ( a K0)叫做二次根式，a叫做 ____________ 。+厂 _________________________________________________________________ 。
北师大版八年级数学下册 全册导学案
1.1不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4(2≤l ，即2516 2 ≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即π 42l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ， 4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地 方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于 3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的 31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是 2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故“y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是 2 1 y+2x ≥3。 3. 下列各数： 2 1 ，-4，π，0，5.2，3其中使不等式2-x ＞1，成立是（） A ．-4，π，5.2 B ．π，5.2，3 C ．2 1 ，0，3 D ．π，5.2 答案：D 4. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图1-2所示，所 b a b a +-的值（）
北师大版数学八年级下册 导学案（全） 班级：姓名: 中学 注：（由网客收集整理，整合了几家比较好的学案。喜欢就拿走做资料用，如有雷同实属转载，分享。在此感谢原作者的无私奉献。谢谢！） 编号：№1 班级小组姓名小组评价教师评价 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 §1.1 不等关系 学习目标： 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. 3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力. 4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣. 学习重点： 用不等关系解决实际问题. 学习难点： 正确理解题意列出不等式.
预习作业： 请同学们预习作业教材P2-4的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题： 1.不等式的概念： 一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________ 2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________ 例1、用不等式表示 （1）a是正数；（2）a是负数； （3）a与6的和小于5；（4）x与2的差小于－1； （5）x的4倍大于7；（6）y的一半小于3. 变式训练： 1、用适当的符号表示下列关系： (1) a是非负数； （2）直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长； （3） X与17的和比它的5倍小。 2.（1）当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？ （2）当x=1.5时，成立吗？ （3）当x=－1呢？ 活动与探究： a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示： 图1－2 用“＜”或“＞”号填空： （1）a__________b;（2）|a|__________|b|; （3）a+b__________0;（4）a－b__________0; （5）a+b__________a－b;（6）ab__________a 拓展训练： 1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可) 编号：№2 班级小组姓名小组评价教师评价 §1.2 不等式的基本性质 学习目标： 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. 3.通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. 学习重点: 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.
- - -总结. 八年级数学假期预习导学案 1.1不等关系 知识点:不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. (1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 （1)a 与1的和是正数; (2)y 的2倍与1的和大于3; (3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数; (4)c 与4的和的30%不大于-2; (5)x 除以2的商加上2,至多为5; (6)a 与b 两数的和的平方不可能大于3 练习：1.判断下列式子中哪些是不等式？哪些是等式？为什么？ (1)3>2 (2)a 2+1>0 (3)3x 2+2x (4)x<3x+1 (5)x=2x+5 (6)x 2+4x<3x+1 (7)a+b ≠c (8)|x-1|≥0 （9）x-2 第一章 三角形的证明 【学习目标】 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。 【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 难点：本章知识的综合性应用。 【学习过程】 1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。 2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。 4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。 5、线段垂直平分线的性质定理： 。 逆定理： 。 三角形的垂直平分线性质： 。 6、角的性质定理： 。 逆定理： 。 三角形的角平分线性质： 。 7、三角形全等的判定方法有： 。 8、30°锐角的直角三角形的性质： 。 9、方法总结： （1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质； 5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。 （3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。 （4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。 1、填空：（1）△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB= 。 （2）直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是 。 （3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。 （4）三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是________ 2、已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF 。 求证：△ABC 是等腰三角形。 3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －E D A B八年级下册数学学案第一章复习学案北师大版
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