函数与方程复习讲义

.函数与方程复习讲义一.【目标要求】①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，②判断一元二次方程根的存在性及根的个数.③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性二.【基础知识】1 .函数零点的概念：对于函数y f(x)，我们把方程f(x) 0的实数根叫做函数y f(x)的零点。

2. 函数零点与方程根的关系：方程f(x) 0有实数根函数y f (x)的图象与x轴有点函数y f (x)有零点3. 函数零点的存在性定理：如果函数y f(x)在区间a,b上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b) 0，那么，函数y f(x)在区间a,b内有零点，即存在x。

(a,b)，使得f(X o)0 ,这个X。

也就是方程f (x) 0的根。

注：若f(x) 0或f (x) 0恒成立，则没有零点。

三.【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充(1 )若y f (x)在x a处其函数值为0，即f(a) 0 ,则称a为函数f (x)的零点。

(2 )变号零点与不变号零点①若函数f (x)在零点X。

左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x)的变号零点。

②若函数f (x)在零点X。

左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f (x)的不变号零点。

③若函数f (x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f (b) 0是f (x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。

(3 )一般结论：函数y f (x)的零点就是方程f(x) 0的实数根。

从图像上看，函数y f (x)的零点，就是它图像与x轴交点的横坐标。

21) ax2 bx c 0(a 0) 恒成立a 0 2，axbx c 0(a 0) 恒成立a02) ax2 bx c 0的解集为R 0或02ax2 bx c 0的解集为R 0或0(4)更一般的结论：函数F(x) f(x) g(x)的零点就是方程f(x) g(x)的实数根，也就是函数y f (x) 与y g(x) 的图像交点的横坐标。

2. 函数y f (x)零点个数(或方程 f (x) 0实数根的个数)确定方法1) 代数法：函数y f (x)的零点 f (x) 0的根2) 几何法：有些不容易直接求出的函数yf (x) 的零点或方程f (x) 0的根，可利用y f (x) 的图像和性质找出零点。

画3) 注意二次函数的零点个数问题0 y f (x) 有 2 个零点f(x) 0 有两个不等实根0 y f (x) 有 1 个零点f(x) 0有两个相等实根0 y f(x) 无零点f(x) 0 无实根对于二次函数在区间a,b 上的零点个数，要结合图像进行确定4) 对于函数F(x) f (x) g(x) 的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。

5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。

6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数 a 化为正数，3)对于二次函数在区间a,b 上的最值问题，参照第 1.5(1)和1.5( 2)节4. 用二分法求方程的近似解4.判断是不是达到精确度 ，即如果a b,则得到零点近似值 a 或(b)； 否则就重复步骤2-4函数与方程复习题1.(2015安徽2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()2(A ) y cosx (B ) y sinx (C ) y In x (D ) y x 1 【答案】A2 |X, x 2,2. ( 2015天津8)已知函数f X2函数g X b f 2x 2 , x 2,x ，其中7c 77小(B )J(C ) o,(D ) ,244 4【答案】D 【解析】由所以 y f (x) f (2 x)㈠给定精确度，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：1. 精确区间 a,b D ，使 f(a) f(b 0).令 a 0 a,b 0 b .12. 取区间a °,b o 的中点 X o-(a ob o ),计算 f (x °), f(a 。

)，f (b °) —般步骤(1)如果f(X o ) 0,则X o 就是f(x)的零点，计算终止；⑵如果f(a o )f(X o ) o ,则零点位于区间a o ,X o ,令印 a o ,d x 。

；⑶如果f (a °)f(x o ) o ,则零点位于区间 X o ,b o 令a i x °,b i b o 。

13. 取区间a 1,b 1的中点X 1 那耳 b),计算f(xj (1)如果f(xj o ,则X o 就是f (x)的零点，计算终止；⑵如果f(aJf(X 1) o ,则零点位于区间 a o ,X o ,令a 2人；⑶如果f(aJf(X 1) o ,则零点位于区间 X o ,b o 令a 1 x 」？d 。

2 N,2X2’ 得 f(2 x) 2「X ，X x 2 , x 2,x , x2 x x 2,x 04 |X |2 x, 0x2,2 2 x (x 2)2,x 22x x 2, x 0即y f(x) f(2 x) 2, 0x2x2 5x 8, x 2y f (x) g(x) f (x) f (2 x) b,所以y fx g x恰有4个零点等价于方程f (x) f (2 x) b 0有4个不同的解，即函数y b与函数y f(x) f (2 x)的图象的4个公共点，由图象可知7b 2.4【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合x3x a3.(2015湖南15)已知f(x) 2’，若存在实数b，使函数g(x) f (x) b有两个零x ,x a点，贝U a的取值范围是___________ .【答案】(,0) (1,).【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程x3b(x a)与方程x2b(x a)的1b3a根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组 b a有解，b a2 . …a b可知关于3)a，从而ab的不等式组3 21 ；若方程x b(x a)无解，方程x1b a有解，从而a 0,综上，实数b ab(x a)有2个根：则a的取值范围是(,0) (1,).2x a? x 1?4.(2015 北京14)设函数 f x4 x a x 2a ?x >1.①若a 1,则f x的最小值为 _________ ;②若f x恰有2个零点，则实数a的取值范围是_________【答案】(1)1 , (2) 1a 1或a 2.【解析】①a1 时，f x 2x4 x 1 1? x Tx 2 ? x >1. ，函数f (x )在( ,1)上为增函数,3 3 函数值大于1，在［1,］为减函数，在［,)为增函数，当 2 2 为1; x3时,2f (x )取得最小值(2)①若函数 g (x ) 2xa 在 x 1时与x 轴有一个交点，则 a0，并且当x 1时，g (1) 2 a >0 , 则0 a 2，函数 h (x )4(xa )(x2a )与x 轴有一个交点，所以2a1 且a 1 12 a 1;②若函数g (x ) 2xa 与x 轴有无交点，则函数 h (x ) 4( x a )( x 2a )与x 轴有 两个交点，当a 0时g (x )与x 轴有无交点，h (x ) 4(x a )( x 2a )在x 1与x 轴有无交点，不合题意；当h (1) 2 a 0时，a 2 ,h(x )与x 轴有两个交点，x a 和x 2a ，由于a 2 ,两交点横坐标均满足 x 1 1 ；综上所述a 的取值范围 2 a 1 或a 2. 5.(2015 江苏13)已知函数f(x) 11nx|, g(x) 0,0 x 1 2厂c 「则方程| x 41 2, x 1| f(x) g(x)| 1实根的个数为【答案】 4【解析】由题意得：求函数 y f (x)与y 1 g(x)交点个数以及函数yf(x)与x 1 g(x)交点个数之和，因为 1,0 21 g(x) 7 x ,x2 2 x 1,1 x 2，所以函数 f(x)与1 g(x)有两个交点，又 1,0 x 1 2g(x) 5 x ,x 22x 3,1x 2，所以函数yf(x)与1 g(x)有两个交点，因此共有4个交点6.(2014 山东08)已知函数x x 2 1 g x kx 若方程 f x g x 有两个不相与y = f (x )的图像相切时，由等的实根，则实数 k 的取值范围是1 1 (A (0,—)( B)(―，( C) (1,2)(D) (2,)22画出f x 的图象最低点是 2,1 — g xkx 过原点和 2,1时斜率最【答案】B 【解析】1小为—，斜率最大时g x 的斜率与f X x 1的斜率一致。

27.(2014天津14)已知函数f(x) |x 23x| , x R .若方程f(x) a|x 1| 0恰有4个 互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 _____________________________ . 【答案】0<a < 1或a>9.【解析】在同一坐标系内分别作出 y = f (x )与y = a | x — 1|的图像如图所示.当 y = a | x - 1|2 -—ax + a = — x — 3x,整理得 x + (3 — a )x + a = 0,则 a >0,A = (3 — a )2— 4a = a 2— 10a + 9= 0,解得 a = 1 或 a = 9.故当 y = a | x — 1| 与 y = f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.8.(2014 江苏13 )已知f (x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ［0,3)时，21f(x) |x 2x -| y f (x) a 在区间［3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a 的2取值范围是 _____ .1【答案】(0,—)【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合， 通过找y f (x)与y a2的图象交点去推出零点，先画出 ［0,3］上y x 22x 丄的图像，再将x 轴下方的图象对称2到上方，利用周期为 3,将图象平移至［3,4］，发现若f (x)图象要与y a 有10个不同的 交点，贝U a9.已经函数f(x) )x sinx,a R，则f(x)在［0,2 ］上的零点个数为(B )B. 2 C . 3 D.10 .F列函数中，在(0,—)上有零点的函数是(2A. f (x) sin x x .f (x) sinx Zx C. 2f (x) sin x x .f (x) sin11. 设定义在R上的函数f(x)1,x|x 3|1,x 32若关于x的方程f (x) +af(x) +b=O有5A. (- 6,0]13."m <1”是"函数 A.充分而不必要条件 C.充要条件B. (-6, 6) C. (4, +) 2f (x ) = x + 2x + m 有零点”的(A )B.必要而不充分条件 •既不充分也不必要条件D. ( -4, 4)114. 设函数f (X )=-x象有且仅有两个不同的公共点A.当 a <0 时，X 1 + X 2<0,C.当 a >0 时，X 1 + X 2>0,g (x )2 ,=ax +bx (a , A (X 1, yj , B y 1 + y 2<0 y 1 + y 2<015. 设函数 f (x ) (x R )满足 f (— x )f (x )= x 2,又函数 g (x ) =| xcos ( b € R , 0),若y = f (x )的图象与y = g (x )的图B (X 2, y 2)，则下列判断正确的是(D.当 a <0 时，X 1 + X 2>0, y 1 + y 2>0.当 a >0 时，X 1 + X 2<0, y 1 + y 2>0 =f (x ), f (x ) = f (2 — x ),且当 xx )| ，则函数(X )=g (x )— f (x ) ［0,1 ］时,16. (2013年重庆)b c ,则函数A. a,b 和b,c 内B. ,a 和a,bC. b,c 和c, 内D.,a 和 c,17. (2013年湖南)函数x 2ln x 的图像与函数g4x 5的图像的交点个数为() A.3B.2【答案】BC.1D.018. (2013年天津数学) 函数 f (x) x_2 |log 0.5 x| 1的零点个数为((A) 1 (B) 2 【答案】B(C) 3(D) 419. (2013上海)方程33X 13x 1的实数解为20.(2012 辽宁 11)设函数 f (x ) (x个不同实数解，则实数a 的取值范围是(D ) A.(0,1) B.(-,-1) C.(1, +) D. ( - ，— 2) U (— 2，— 1)4312.已知函数f (x) 与g(x)=x +t ，若f(x)与g( x)的交点在直线y = x 的两侧，则实 x数t 的取值范围是(B ) 上的零点个数为(A 5B 6的两个零点分别位于区间【答案】【答案】x log 34.R)满足 f ( X )=f (x ) ,f (x )=f (2 x )，且当 x ［0,1］时,3 1 3f (x)=x .又函数g(x)=| x cos ( x) |，则函数h(x)=g(x)- f(x)在［］上的零点个数为()2 2kx 2的图象恰有两个交点，则(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】 B21.(2012 湖北 9)函数 f(x) 2xcosx 在区间［0,4］上的零点个数为 A. 4 B .5 C .6 D . 7【答案】Cx 122.(2012 天津14)已知函数y --------- 的图象与函数 yX 1实数k 的取值范围是 ___________ 【答案】0 k 1或1 k 4的零点为X 1，g(x)的零点为X 2，则(A ) A. 1 x 2x 1 2 B . 1 x 1 x 2 2 C . 1 x 1 2 x 2 D . 2 x 2 x 124.(2012江苏17)如图，建立平面直角坐标系xoy , x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y kx —(1 k 2)x 2(k 0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地20点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超 过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.1 1 【答案】 解：(1)在 y kx (1 k 2)x 2(k 0)中，令 y 0 ,得 kx (1 k 2)x 2=0。