【教案】4.5.1函数的零点与方程的解-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义

【教学目标】1. 知道函数的零点和方程的解的概念及其联系。

2. 掌握求解代数方程和函数零点的方法。

3. 能够运用所学知识解决实际问题。

【教学重点】1. 函数的零点与方程的解的概念。

2. 求解代数方程和函数零点的方法。

【教学难点】1. 具体问题转化为代数方程或函数，再求解。

2. 掌握解方程和求函数零点的技巧。

【教学过程】一、导入新课通过解决一个实际问题引入本节课的主题：“函数的零点与方程的解”。

例如：问题：小明乘公交车去市区，上车花费2元，每公里0.5元。

如果她总共花7.5元，去了多少公里？请同学们思考，如何解决这个问题？二、概念讲解1. 函数的零点定义：若函数f(x)在某一点x=a处取值为0（即f(a)=0），则称a为函数f(x)的一个零点。

2. 方程的解定义：对于一个给定的方程，使这个方程成立的未知数的取值称为这个方程的解。

3.函数的零点与方程的解的联系对于一般的函数f(x)，若在某一点x=a处，f(a)=0，则f(x)可写成f(x)=(x-a)g(x)，其中g(a)≠0，此时a为f(x)的一个零点。

因此，求解函数的零点，可以经过两步：先找到一个值，使得f(x)=0，再根据零点的性质，用这个值与另外一个函数的值得到一个方程，再进行求解。

三、解决实际问题通过几个实际问题，让同学们理解函数的零点与方程的解的联系，并掌握求解代数方程和函数零点的方法。

案例一：问题：一个矩形的长比宽多1cm，面积是24平方厘米，求矩形长和宽。

分析：设矩形宽为x，则长为x+1，根据面积公式有x(x+1)=24，即$x^2$+x-24=0.解法：用配方法求解方程$x^2$+x-24=0:首先计算出$b^2-4ac$=1+96=97>0，因此可以用公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解。

将a=1，b=1，c=-24代入公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+96}}{2}$$x_1=-4，x_2=3$答案：宽为3cm，长为4cm。

教学目标：1. 理解函数零点的概念和性质，会求函数的零点。

2. 理解方程解的概念和性质，会求方程的解。

3. 能够灵活地运用函数与方程的知识，解决实际问题。

教学重点：1. 函数的零点的概念和性质。

2. 方程的解的概念和性质。

3. 在具体问题中应用函数与方程解决实际问题。

教学难点：能够在实际问题中熟练运用函数与方程解决问题。

教学方法：讲授、举例分析、示范演示、练习、互动交流教学过程：Step 1：引入新课教师先以图像的形式展示函数和方程的关系，使学生对函数和方程有一个初步的认识。

Step 2：讲解函数的零点1. 通过图像展示函数的零点，引导学生理解零点的概念和性质。

2. 介绍函数零点的分类和判定方法。

3. 给学生一些例题进行练习，引导学生掌握求函数零点的方法。

Step 3：讲解方程的解1. 通过图像展示方程的解，引导学生理解解的概念和性质。

2. 介绍方程解的分类和判定方法。

3. 给学生一些例题进行练习，引导学生掌握求方程解的方法。

Step 4：综合练习通过实例分析，引导学生熟练运用函数与方程解决实际问题。

Step 5：归纳总结教师总结函数与方程的知识点，并让学生归纳总结笔记。

Step 6：课后作业布置适量的作业进行巩固和拓展。

教学资源：课件、教材、练习册教学评价：1. 教学过程中学生是否认真听讲，积极思考。

2. 学生是否掌握函数与方程的基本知识和方法。

3. 学生是否能够熟练运用函数与方程解决实际问题。

4. 分析学生的错误原因，及时给予指导。

第四章 指数函数与对数函数4.5.1 函数的零点与方程的解教学设计一、教学目标1.结合函数图象，了解函数的零点与方程的解的关系.2.理解零点存在性定理，了解函数图象连续不断的意义及作用.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.二、教学重难点1、教学重点零点存在性定理.2、教学难点函数的零点与方程的解的关系.三、教学过程1、新课导入我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？这节课我们就来学习一下函数的零点与方程的解.2、探索新知知识点1 函数的零点对于一般函数()y f x =，使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.知识点2 方程、函数、图象之间的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点.知识点3 函数零点存在定理如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a b ，内至少有一个零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解.例题点拨例 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数.分析：可以先借助计算工具画出函数ln 26y x x =+-的图象或列出x ，y 的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.解：设函数()ln 26f x x x =+-，利用计算工具，列出函数()y f x =的对应值表如下表，并画出图象如图.xy 1-4 2-1.3069 31.0986 43.3863 55.6094 67.7918 79.9459 812.0794 9 14.1972由表和图可知，(2)0f <，(3)0f >，则(2)(3)0f f <.由函数零点存在定理可知，函数()ln 26f x x x =+-在区间(23)，内至少有一个零点.容易证明，函数()ln 26f x x x =+-，(0)x ∈+∞，是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解.3、课堂练习1.已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为( ) A.12，0 B.-2，0 C.12 D.0答案：D解析：当1x ≤时，令210x -=，得0x =；当1x >时，令21log 0x +=，得12x =（舍去）.综上所述，函数()f x 的零点为0.故选D. 2.已知函数e ,0()ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x a =++.若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[1,0)-B.[0,)+∞C.[1,)-+∞D.[1,)+∞答案：C解析：函数()()g x f x x a =++存在2个零点，即关于x 的方程()f x x a =--有2个不同的实根，即函数f x （）的图象与直线y x a =--有2个交点，作出直线y x a =--与函数f x （）的图象，如图所示，由图可知，1a -≤，解得1a ≥-，故选C.3.已知函数2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________.答案：(1,0)-解析：关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，等价于函数()y f x =与函数y k =的图象有三个不同的交点，作出两函数的图象，如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(1,0)-.4、小结作业小结：本节课学习了函数的零点与方程的解的关系以及零点存在性定理. 作业：完成本节课课后习题.四、板书设计4.5.1 函数的零点与方程的解1.函数的零点：对于一般函数()y f x =，使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.2.方程、函数、图象之间的关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点.3.函数零点存在定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a b ，内至少有一个零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解.。

4.5.1 函数的零点与方程的解教学目标：1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.教学重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法；掌握函数零点存在定理并能应用.教学难点：数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用；函数零点存在定理的理解. 教学过程： （一）新课导入观察下列三组方程与函数：大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x 轴的交点之间的关系.教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230x x --=的根为-1和3，函数223y x x =--的图像与x 轴交于点（-1,0），（3,0）.学生思考回答下面两组关系.学生：2210x x -+=有两个相等的实根为1，函数221y x x =-+的图像与x 轴有唯一的交点（1,0）.22+30x x -=没有实根，函数22+3y x x =-的图像与x 轴无交点.教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容. 探究一：零点的概念教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.学生思考并归纳：零点的概念：对于一般函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点.提问：考察函数（1）lg y x =；（2）2log (1)y x =+；（3）2x y =；（4）22x y =-的零点.学生思考回答：（1）零点是x =1；（2）零点是x =0；（3）没有零点；（4）零点是x =1. 教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图像与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点. 探究二：二次函数零点的判定提问：我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那么对于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么大家思考：二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有什么关系呢?学生思考并由教师归纳总结：二次函数零点的判定.对于二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式2Δ4b ac =-.师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?学生回答，教师点评.生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.（2）零点即函数图像与x 轴交点的横坐标.探究三：函数零点存在定理提问：探究函数245y x x =+-的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况?教师引导学生思考解决.师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.生：零点-5(6,4)∈--，零点1(0,2)∈，且(6)(4)0,(0)(2)0f f f f --<⋅<. 师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢? 观察下列函数的零点及零点所在区间： （1）()2 1.f x x =- （2）2()log (1)f x x =-.生：（1）函数()2 1.f x x =-的零点为12且(0)(1)0f f <，所以零点所在区间为（0,1）； （2）函数2()log (1)f x x =-的零点为2，2(1,3)∈且(1)(3)0f f <，所以零点所在区间为（1,3）.教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）=0的解.师生合作分析，并剖析定理中的关键词： （1）连续不断；（2）f （a ）f （b ）<0.教师讲解：由于函数图象连续不断，若f （a ）>0，f （b ）<0，则函数y = f （x ）的图象将从x 轴上方变化到下方，这样必通过x 轴，即与x 轴有交点.对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点；（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号；（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.例题：函数2()2f x x ax =-+在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a得取值范围.学生求解：（1）()f x 在（0,3）内有两个零点，则(0)0(3)0Δ0032f f a >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩622a ⇒-<<-；（2）()f x 在（0,3）内有一个零点，则(0)0(3)0f f >⎧⎨<⎩113a ⇒>.通过实例分析，进一步理解定理. （三）课堂练习例1.求函数3222y x x x =--+的零点，并画出他们的图像.解：因为3222x x x --+()22(2)(2)(2)1(2)(1)(1)x x x x x x x x =---=--=--+，所以这个函数的零点为-1，1，2.这三个零点把x 轴分为4个区间：(,1],[1,1],[1,2],[2,)∞∞---+.在这4个区间内，取x 得一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y…-4.381.8821.13-0.632.63…在直角坐标系中描点连线，这个函数的大致图像如图：例2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根?2(1)350x x -++=；(2)2(2)3x x -=-；2(3)44x x =-； 22(4)5235x x x +=+.解：（1）令2()35f x x x =-++，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程2350x x -++=有两个不相等的实数根.（2）2(2)3x x -=-可以化为22430x x -+=，令2()243f x x x =-+，作出函数()f x 的图像，它与x 轴没有交点，所以方程22430x x -+=没有实数根.（3）244x x =-可化为2440x x -+=，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有一个交点，所以方程244x x =-有两个相等的实数根.（4）225235x x x +=+可以化为22250x x +-=，令2()225f x x x =+-做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程22250x x +-=有两个不相等的实数根. （四）小结作业本节课我们主要学习了哪些内容? 1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想.板书设计：1. 零点的概念、求法以及判定.2. 函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.。

4.5.1 函数的零点与方程的解教材分析：（1）函数的零点：我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

这个概念是由二次函数的零点推广到一般函数f(x)得到的.（2）函数的零点与方程的解的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.从代数上看，在函数y=f(x)的解析式中，当函数值y=0时，得到方程f(x)=0，这个方程的实数解就是使f(x)=0的实数x，因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解.从图形上看，函数y=f(x)的解析式可以看成关于x,y的方程，这个方程的每一组解（x,y）对应于直角坐标系平面中函数y=f(x)的图象上一个点（x,y），当函数值y=0时，对应的点为（x,0），它是函数y=f(x)的图象与x轴交点，因此，方程f(x)=0的实数解是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.函数的零点与方程的解的关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)图象与x轴有交点.函数的零点与方程的解的关系也为解不能用公式求解的方程提供了思路：我们可以把方程与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解。

（3）函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点。

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，意味着在区间[a,b]上，当自变量从a连续不断地变化到b时，相应的函数值从f(a)连续不断地变化到f(b).若f(a)f(b)<0，则f(a)>0且f(b)<0,或者f(a)<0且f(b)>0，意味着当函数值从f(a)连续不断地变化到f(b)时，发生了函数值由正到负，或者由负到正的连续不断的变化，而正数和负数是以0为界线的，因此，必然存在一个c∈（a,b），使得f(c)=0.函数零点存在定理是判断方程在某个区间内是否有解的具体方法，是利用函数研究方程的有利工具。

【教学目标】1. 了解函数零点和方程解的定义及性质。

2. 掌握函数零点和方程解的求解方法。

3. 能够应用函数零点和方程解解决实际问题。

【教学重点】1. 函数零点和方程解的求解方法。

2. 函数零点和方程解在实际问题中的应用。

【教学难点】1. 如何运用函数图像求解函数零点。

2. 如何列方程解决实际问题。

【教学过程】一、引入新知1. 导入话题：回顾一下前面学习的知识，你能回答以下问题吗？（1）什么是函数？什么是整式函数？（2）如何判断一个点是否在函数图像上？2. 引出新知：本节课我们要学习函数零点和方程解，这两个知识点在数学中有非常广泛的应用。

首先我们来看一下函数零点。

二、函数零点的概念与性质1. 列举函数零点的定义和例子。

2. 介绍函数零点的特点和性质。

（1）函数零点的个数没有限制。

（2）零点与函数的图像有密切关系。

（3）利用零点可以确定函数的一些性质。

3. 通过一些例题演示函数零点的求解方法。

三、方程解的概念与性质1. 列举方程解的定义和例子。

2. 介绍方程解的特点和性质。

（1）方程解可能有无数个。

（2）通过解方程可以确定未知量的值。

（3）方程解的个数与方程次数有关。

3. 通过一些例题演示方程解的求解方法。

四、应用题探究1. 通过实际问题引导学生运用函数零点和方程解求解问题。

2. 分析应用题解决过程中需要注意的问题。

【教学反思】本节课主要讲解了函数零点和方程解的概念、性质和求解方法，以及在实际问题中的应用。

在教学过程中，应注意理论知识与实际问题的结合，引导学生从问题出发思考和解决问题。

同时，应充分利用图像、实例和应用题等多种形式来加深学生对知识点的理解和掌握。

在课堂教学过程中，可以通过小组讨论和互动，促进学生之间的交流和合作，提高教学效果。

姓名，年级：时间：第四章函数的应用（二）4。

5.1 函数的零点与方程的解教学设计一、教学目标1.知识与技能理解函数零点的概念，领会函数零点与对应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件及所在区间的判定方法；2.过程与方法通过对二次函数零点的探究，归纳一般函数零点的定义及存在定理，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳的能力；3.情感态度与价值观通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，体会数学的魅力.二、教学重难点1.教学重点零点的概念及零点存在定理.2.教学难点零点存在定理的理解和应用.三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入1.一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？学生思考回答.引导学生想到一元二次方程的实尝试用已学过的知识解决新问题，2.求方程的解.能直接用公式法求解吗？是否也能采用类似的方法,用相应的函数研究它的解的情况呢?数根就是相应二次函数与x轴交点的横坐标。

有利于学生对新知识的接受.2.探索新知1.函数零点的定义：与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点。

这样，函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与x轴的公共点的横坐标。

所以归纳出：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点。

思考:如何利用函数来求方程的解。

求方程的实数解，就是确定函数的零点。

一般地,对于不能用公式求解的方程,我们可以把它与相应的函数联系给出函数零点的定义，学生理解.学生归纳,最后教师总结。

学生归纳，举手回答，教师总结.以小组为单位讨直观地理解定义。

提高学生的归纳概括能力.锻炼学生的开放性思维.起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。

2.思考：函数存在零点时函数图像有什么特征？零点附近函数值有什么变化?以二次函数为例探究以上问题.可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。

函数在端点和的取值异号，即,函数在区间内有零点，它是方程的一个根.同样地，，函数在内有零点，它是方程的另一个根。

《函数的零点与方程的解》教学设计一、教学目标：1．推广函数零点的定义，掌握方程的实根与其相应函数零点之的等价关系；理解函数零点存在定理，并能运用该定理解决相关简单问题。

2．体验数学从特殊到一般抽象出结论，再应用结论解决问题的思维过程；通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；通过对函数与方程思想的剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

3．情感、态度与价值观：①学生体验从特殊到一般、化归与转化、函数与方程、数形结合这些数学思想在解决数学问题时的意义与价值；②学生在学习过程中基本形成锲而不舍的探索精神和严密思考的良好习惯；③学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

二、教学重难点分析：1．教学重点：零点的概念及零点存在定理。

2．教学难点：零点存在定理的理解。

三、教学的方法与手段四、教学过程：一．三个问题，承前启后在函数的应用（一）中我们已经收获了什么？在函数的应用（二）中我们将继续收获什么？关于二次函数的“零点”这一概念你能说一说吗？【设计意图】①通过回顾函数的应用（一），先知晓我们已经干了哪些事，阅读函数的应用（二）的章开头再明确接下来要干什么。

承前启后，合理自然。

②唤醒二次函数零点的概念，为函数零点概念的一般化作铺垫。

二．两个引例，推广概念【设计意图】通过生活中的实际例子，不断抛出函数零点这一话题，强化学习者意识，为抽象出 函数零点的概念作铺垫。

一方面得到函数零点与方程有解，图像与x 轴交点三者的等价关系。

另 一方面学习者经历从解得出方程的解的对数函数到解不出具体解不熟悉的函数，引发学习冲突。

为把问题研究转移到更熟悉的二次函数来作铺垫，符合学习者认识一般数学问题的认知规律。

三．一个函数，探究定理对于二次函数2f ()23x x x =--，观察它的图像，计算它的函数值，在零点所在的区间，函数图像 与x 轴有什么关系？ O y x f x () = x 2-2⋅x-3-4-3-2-121-2-14321℃O t t2Bt1-53结论：若该二次函数的图象在区间[ ，]上连续，如果有，那么函数在区间( , )上有零点.结论：若该二次函数的图象在区间[ ，]上连续，如果有，那么函数在区间( , )上有零点.【设计意图】：以熟悉的二次函数为研究对象，学习者亲自动手，探索规律，得出结论，猜想定理。