1.3解直角三角形同步练习3

2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1.3解直角三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（）A．100米B．50米C．50米D．2．如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处（OM⊥ON，点A，B，C，D，O，M，N在同一平面内），已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α．则点B到ON的距离等于（）A．m•cosα+n•cosαB．m•sinα+n•cosαC．m•cosα+n•sinαD．m•sinα+n•sinα3．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B 处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（）A．海里B．海里C．40海里D．海里4．某公司准备从大楼点G处挂一块大型条幅到点E，公司进行实地测量，工作人员从大楼底部F点沿水平直线步行40米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端点E 的仰角为36°；然后他再沿着坡度i＝1：0.75长度为50米的自动扶梯到达扶梯顶端D 点，又沿水平直线行走了80米到达C点，在C点测得条幅上端点G的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且C，D和A，B，F分别在同一水平线上），则GE的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．189.3米B．178.5米C．167.3米D．188.5米5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B 之间的距离为（）A．20km B．km C．km D．km 6．如图，某校教学楼AB与CD的水平间距BD＝am，在教学楼CD的顶部C点测得教学楼AB的顶部A点的仰角为α，测得教学楼AB的底部B点的俯角为β，则教学楼AB的高度是（）A．（a tanα+a tanβ）m B．C．（a sinα+a sinβ）m D．（a cosα+a cosβ）m7．如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（）海里．A．4B．8C．16D．248．如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）A．80m B．85m C．90m D．95m二．填空题（共8小题，满分32分）9．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）10．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为千米．11．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，则这棵古杉树AB的长为m．（结果取整数）（参考数据：＝1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）12．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是（结果可保留根号）13．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10.8米，灯杆AB的长为2.4米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，灯亮时其投射角α满足cosα＝，灯罩上装有自动控制旋钮用以调整灯罩方位，初始状态下，灯的投射区域为DE，D 处测得路灯A的仰角为β，且tanβ＝6，若调整灯罩旋钮使点D沿DE方向移动2米，则点E移动的距离为米．14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了米．15．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD＝8cm，∠CDE＝60°，则点C到底座DE的距离为cm．（结果保留根号）16．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．某初中数学兴趣小组想测量学校旗杆CD的高度，他们在地面上选取了一个测量点A 测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动43.7m到达测量点B，在B点测得（参考数据：sin37°点D的仰角为37°，如图所示．求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1m）≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）18．如图，一艘轮船位于灯塔P东偏南25°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东30°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离（结果取整数）．（参考数据：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，≈1.732）19．如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s 的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B 运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）求sin B；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．20．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）21．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）22．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：设此人所在的位置升高了x米，∵斜坡的坡度为1：2，∴此人前进的水平距离为2x米，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（100）2，解得：x＝100（负值舍去），∴此人所在的位置升高了100米，故选：A．2．解：如图，作BE⊥OA交OA的延长线于点E，∵OD⊥OA，∴∠AEB＝∠AOD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝n，∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠OAD＝∠ADO＝α，∵＝cos∠BAE＝cosα，∴AE＝AB•cosα＝m•cosα，∵＝sin∠ADO＝sinα，∴OA＝AD•sinα＝n•sinα，∴OE＝AE+OA＝m•cosα+n•sinα，∵BE∥ON，∴点B、点E到ON的距离相等，∴点B到ON的距离等于m•cosα+n•sinα，故选：C．3．解：如图，过点B作BN⊥AM于点N，由题意得，AB＝40×1＝40海里，∠ABM＝105°，在直角三角形ABN中，BN＝AB•sin45°＝20（海里），在直角△BNM中，∠MBN＝105°﹣45°＝60°，∴∠M＝30°，∴BM＝2BN＝40（海里）．故选：D．4．解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，如图所示：则四边形DMFN是矩形，∴NF＝DM，DN＝FM，∵AD的坡度i＝1：0.75，AD＝50米，∴NF＝DM＝AD＝40（米），AM＝AD＝30（米），∴DN＝FM＝AF+AM＝40+30＝70（米），∴CN＝CD+DN＝80+70＝150（米），在Rt△CGN中，∠GCN＝50°，tan∠GCN＝＝tan50°≈1.19，∴GN≈1.19CN＝1.19×150＝178.5（米），∴GF＝GN+NF＝178.5+40＝218.5（米），在Rt△AEF中，∠EAF＝36°，tan∠EAF＝＝tan36°≈0.73，∴EF≈0.73×40＝29.2（米），∴GE＝GF﹣EF＝218.5﹣29.2≈189.3（米），故选：A．5．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝30km，CF＝BE，由题意得：∠DCF＝60°，∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°，∴CF＝CD＝×20＝10（km），∴BE＝10km，DF＝sin60°×CD＝×20＝10（km），∴DE＝DF+EF＝（10+30）（km），∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan30°×DE＝×（10+30）＝（10+10）（km），∴AB＝AE+BE＝10+10+10＝（10+20）（km），故选：B．6．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得：CE＝BD＝a米，在Rt△BEC中，∠BCE＝β，∴BE＝CE•tan∠BCE＝a tanβ米，在Rt△AEC中，∠ACE＝α，∴AE＝CE•tan∠ACE＝a tanα米，∴AB＝AE+BE＝（a tanα+a tanβ）米，故选：A．7．解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝8海里，即船与灯塔C距离为8海里．故选：B．8．解：过点C作CH⊥DN于H，设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，在Rt△CDH中，∠2＝30°，则CH＝CD＝（210﹣x）m，在Rt△ABM中，sin∠1＝，则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，解得：x＝90，即AB＝90m，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57米，DE＝30米，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30米，∵AB＝57米，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30米，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30米．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝（57﹣30）米，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．10．解：如图，过该建筑物的顶端C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意得，∠CAB＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝15°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝4千米，在Rt△BCD中，sin30°＝，解得CD＝2，∴该建筑物离地面的高度为2千米．故答案为：2．11．解：过B点作BD⊥AC于D．∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，∴在Rt△ADB中，AD＝，在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD+CD＝24m，∴+BD＝24，解得BD≈17m．AB＝≈18m．答：这棵古杉树AB的长度大约为18m．故答案为：18．12．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x米；∵∠PBE＝60°∴∠BPE＝30°在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，∵AB＝AE﹣BE＝6米，则x﹣x＝6，解得：x＝9+3．则BE＝（3+3）米．在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．13．解：如上图所示，灯罩调整后，灯光在地面的落点E移动到E′的位置，过A点做AD′⊥CE，过B点做BM⊥AD′，易求出AM＝AB•sin30°＝1.2，则AD′＝10.8+1.2＝12（米），DD′＝AD′÷tanβ＝12÷6＝2，有题意得点D沿DE方向移动2米，即AD′⊥CE，同时D′点也是D点移动后的位置，则AD2＝AD′2+DD′2＝122+22＝148，AD＝2，在△ADE中，过E点做EH⊥AD，设DE的长度为x，则：x•cosβ+x•sinβ÷tanα＝AD（由tanβ＝6，可得cosβ＝，sinβ＝；由cosα＝知tanα＝）解得：x＝＝DE，灯罩移动后，投射角α＝∠D′AE′，在RT△AD′E′中，D′E′＝AD′•tanα＝12•＝16，EE′＝DE′﹣DE＝DD′+D′E﹣DE＝2+16﹣＝（米），故答案是．14．解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AB＝ED＝10，由＝sinα＝＝cosβ＝，设BC＝3m，则AB＝5m，则5m＝10，解得m＝2，∴BC＝3×2＝6，设EC＝3n，则ED＝5n，∴5n＝10，解得n＝2，∴EC＝3×2＝6，∴DC＝＝＝8，∴BD＝DC﹣BC＝8﹣6＝2（米），∴梯子顶端上升了2米，故答案为：2．15．解：作CH⊥DE于H，∵CD＝8cm，∠CDE＝60°，∴CH＝CD•sin∠CDE＝8×sin60°＝4（cm），故答案为：4．16．解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701m，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：设BC＝xm，在Rt△BCD中，∠DBC＝37°，∴DC＝BC•tan37°≈0.75x（m），∵AB＝43.7m，∴AC＝BC+AB＝（x+43.7）m，在Rt△ADC中，∠DAC＝26.6°，∴tan26.6°＝＝≈0.50，∴x＝87.4，经检验：x＝87.4是原方程的根，∴CD＝0.75x≈65.6（m），∴旗杆CD的高度约为65.6m．18．解：延长BA交灯塔P正东方向于C，如图所示：则∠BCP＝90°，∠BPC＝90°﹣30°＝60°，∴∠PBC＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ACP中，∠APC＝25°，cos∠APC＝，即cos25°＝，∴PC＝80×cos25°≈80×0.906＝72.48（nmile），在Rt△BCP中，∠PBC＝30°，∴BP＝2PC＝2×72.48≈145（nmile），答：此时轮船所在B处与灯塔P的距离约为145nmile．19．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝3cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2cm，在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm，∴AD＝＝＝，∴sin B＝＝；（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sin B＝sin C＝，分两种情况：当0＜t≤1时，由题意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ sin C＝3t•＝t，∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•t＝2t﹣t2＝﹣t2+2t，当1＜t＜2时，由题意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝6﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQ sin B＝（6﹣3t）•＝2﹣t，∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•（2﹣t）＝t2﹣4t+4，∴S＝．20．解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt△AEM中，∵tan∠AEM＝，∴EM＝＝≈16.9，在Rt△AFN中，∵tan∠AFN＝，∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，答：2号楼的高度约为45.8米．21．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即广告牌CD的高度约为6.7米．22．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．2．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么cosα的值是（）A．3B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．25．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．6D．8二．填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为．12．已知等腰三角形两条边的长分别是4，6，底角为α，则cosα＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为．14．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝；当tanα的值最大时，n的值为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AC上，∠ABE＝45°，tan∠CBE＝，若AD＝BC，AC＝2，则线段BC的长是．三．解答题16．根据下列条件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．17．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin∠AOB＝，点A的坐标为（，0）．（1）求点B的坐标；（2）求sin∠OAB的值．18．如图，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°，∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC＝30，sin B＝，求：（1）线段CD的长．（2）cos∠BDE的值．20．如图（1），在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，以下是某同学推理证明的过程：证明：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角△ABC中，求证：．参考答案一．选择题1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∴sin A＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝＝＝．故选：A．2．解：∵sin A＝，∴∠A＝60°，∵tan C＝，∴∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．∴△ABC是等边三角形．故选：C．3．解：如图，过P点作P A⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，3），∴OA＝1，P A＝3，∴tan∠POA＝＝＝3，即tanα＝3．故选：D．4．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝，∴AB＝BC＝×＝2，∴AC＝＝＝＝．故选：C．5．解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．6．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．7．解：如图：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：∵AD⊥BC，BD＝9，cos B＝，∴AB＝＝15，AD＝＝12，∵DC＝5，∴AC＝＝13，∵E为边AC的中点，∴ED＝，∴∠EDA＝∠DAE，∴cos∠EDA＝cos∠DAE＝，故选：D．9．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，∴AD＝，∴tan∠BAD＝．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴tan∠BDE＝tan∠BAD＝，故选：C．10．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝＝＝4，故选：B．二．填空题11．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案为：．12．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝3，在Rt△ABD中，cos B＝＝，当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2，在Rt△ABD中，cos B＝＝＝，综上所述：cosα＝或，故答案为：或．13．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故答案为：2．14．解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：则∠AMC＝90°，∠ANB＝90°，∵直线y＝﹣2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∠CGB＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∵∠AMC＝∠CGB＝90°，∴△AMC∽△CGB，∴，设BG＝m，∵点A坐标为（4，3），点C坐标为（0，n），∴AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∴＝，当n＝2时，可得，解得m＝1，∴GB＝1，BN＝3，∴tanα＝＝；∵tanα＝，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，∵＝，∴m＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，∵﹣＜0，∴当n＝时，m取得最大值，即tanα最大，故答案为：，．15．解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，设AD与BF交于点G，∵∠ABE＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF，∵∠GDB＝∠AFG＝90°，∠BGD＝∠AGE，∴∠GBD＝∠F AG，∴tan∠GBD＝tan∠F AG，∴＝＝，设DG＝x，则BD＝2x，∴BG＝＝x，设FG＝a，则AF＝2a，∴BF＝AF＝2a，AG＝＝a，∴BG＝BF﹣FG＝a，∴a＝x，∴AD＝AG+DG＝a+x＝6x，∵DC＝BC﹣BD＝AD﹣BD＝a+x﹣2x＝a﹣x＝4x，在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD2+DC2＝AC2，∴（6x）2+（4x）2＝（2）2，∴x＝1（负值舍去），∴BC＝AD＝6x＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∴a＝b＝12，∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．17．解：（1）过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC中，OB＝4，sin∠AOB＝，∴BC＝OB•sin∠AOB＝4×＝3，∴，∴点B的坐标为（，3）；（2）∵点A的坐标为（，0），∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴，∴，∴sin∠OAB的值为．18．解：如图，设CE交BD于G．∵∠A＝∠A＝90°，∠ADC＝∠ABD，∴△ADC∽△ABD，∴，，解得AD＝5，∴DC＝＝，DB＝＝，∵∠A＝∠ECD＝∠CBE＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ECB，设∠DBA＝∠CDA＝α，则∠ECB＝α，∴∠GCB＝∠GBC＝α，∴CG＝GB，设CG＝GB＝x，∴DG＝﹣x，∴（）2+x2＝（﹣x）2，解得x＝，∴tan∠CDB＝＝．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝30，sin B＝＝，∴AB＝50，∵D为直角三角形ABC斜边上的中点，∴CD＝AB＝25；（2）∵AB＝50，D为AB的中点，∴AD＝BD＝25，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝40，由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2，即252﹣DE2＝402﹣（25+DE）2，解得：DE＝7，∴cos∠BDE＝＝．20．解：过C点作CD⊥AB于D，过B点作BE⊥AC于E，∴sin A＝，sin B＝，∴CD＝b sin∠A＝a sin B，∴，同理，∴．。

1.3 解直角三角形同步练习一、单选题1、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A、3个B、2个C、1个D、0个2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）A、2B、4C、8D、83、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A、mB、4 mC、mD、8 m4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝， BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2C、D、5、如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）A、B、C、D、6、在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是A、B、C、D、7、某水坝的坡度i＝1:，坡长AB＝20米，则坝的高度为( )A、10米B、20米C、40米D、20米8、一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（）A、1：3B、1：C、1：D、1：9、如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为 ( )A、3B、C、D、10、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC的最小值为A、B、C、D、211、在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=， cosB=， AC=40，则△ABC的面积是（）A、800B、800C、400D、40012、如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A、3B、4C、5D、613、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A、B、C、D、14、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A、75cm2B、（25+25）cm2C、（25+）cm2D、（25+）cm215、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、3二、填空题16、在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，若sinC=，则BC的长度为________17、已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．18、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5cm， AP＝8cm， AP平分∠DAB，交DC于点P，过点B作BE⊥AD于点E，BE交AP于点F，则tan∠BFP ＝________19、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________20、如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则sin∠ABM=________．三、解答题21、如图，矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O ，过点O作OE⊥AC交AD于E ，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．22、如图的斜边AB=5，cosA=（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线与AB，AC分别相交于D,E两点，求DE的长23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）24、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．25、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E.（1）说明：；（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标. （3）当的面积为时，求的值.答案部分一、单选题1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】B5、【答案】A6、【答案】C7、【答案】A8、【答案】A 9、【答案】C 10、【答案】B 11、【答案】D 12、【答案】B 13、【答案】A 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】10 17、【答案】18、【答案】19、【答案】20、【答案】三、解答题21、【答案】解：连接EC ，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC ，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC= =10，即OA=5，∵OE⊥AC ，∴AE=CE ，在Rt△EDC中，设EC=AE=x ，则有ED=AD-AE=8-x ， DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8-x）2+62，解得：x= ，∴AE= ，在Rt△AOE中，sin∠OEA= ．22、【答案】解：（1）作图（2）因为直线垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC AC，所以DE//BC，所以DE=BC．因为在中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=,BC=4得DE=2．23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=BD-AB=（10 -10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．24、【答案】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．25、【答案】解：(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0. 解得：x1=-2，x2=4∴OA=2，OB=4.过点O作OG∥AC交BE于G∴△CEG∽△OGD∴∵DC=DO∴CE=0G∵OG∥AC∴△BOG∽△BAE∴∵OB=4,OA=2∴;(2)由（1）知A（-2，0），且点C、点A到y轴的距离相等，∴C（2，8）设AC所在直线解析式为：y=kx+b把 A 、C两点坐标代入求得k=2，b=4所以y=2x+4分别过E、C作EF⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为F、H由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=, ∴E点坐标为（，）（3）连接OE∵D是OC的中点，∴S△OCE=2S△CED∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5∴S△CED：S△AOC=1：5．∴S△AOC=5S△CED=8∴∴CH=8。

解直角三角形—题集1.如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）．A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】米．【标注】【知识点】仰角与俯角2.如图，斜坡，坡顶到水平地面的距离为米，坡底为米，在处，处分别测得顶部点的仰角为，，求的长度．（结果保留根号）．【答案】的长度为米．【解析】设米，则米，由题意得，四边形为矩形，∴，在中，∴ ，在中，，∴，∴，解得，，∴．答：的长度为米．【标注】【知识点】仰角与俯角A.的值越小，梯子越陡B.的值越小，梯子越陡C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关3.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）．【答案】B【标注】【知识点】坡度4.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方米处（的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（1）（2）若新坡面坡角为，求坡角度数．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1）（2）．该文化墙需要拆除，证明见解析．【解析】（1）（2）∵新坡面坡角为，新坡面的坡度为，∴，∴．作于点，则米，∵新坡面的坡度为，∴，解得，米，∵坡面的坡度为，米，∴米，∴米，又∵米，∴米米，故该文化墙需要拆除．【标注】【知识点】坡度游船港口海警船北（1）（2）5.一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．求点到直线的距离．求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，）【答案】（1）（2）海里．小时．【解析】游船港口海警船北（1）（2）如图，过点作交延长线于．在中，∵，，海里，∴点到直线距离海里．在中，∵，，∴（海里），∴海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．【标注】【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用6.一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为 ．【答案】【解析】过点作于点，在中，，，，∴．∵，∴．，在中，，，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角板拼接问题7.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，一辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）请简述你的理由 ．（参考数据：，，）．【答案】否 ; 点到的距离小于与墙的距离【解析】过点作，垂足为点，如图．在中，∵，米，∴米，∵汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，∴车门不会碰到墙(点到的距离小于与墙的距离)．故答案为：否；点到的距离小于与墙的距离．【标注】【知识点】测量物体之间的距离8.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，求树的高度．【答案】米．【解析】延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米），故答案为：米．【标注】【知识点】影子问题（1）（2）9.如图，在中，，点是边的中点，，．求和的长．求的值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）∵点是边的中点，且∴．∵，∴．∵在中，，，∴．在中，，，∴．故，．如图，作交于点．∵在中，，，∴设，，由勾股定理可得，解得，∴．在中，∵，，∴．即．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用10.如图，在四边形中，，于点，已知，，，求的长．【答案】．【解析】过点作于．∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴．∴在中，，，∴，．又∵在中，，，．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用11.如图，在中，，，=， ，求．【答案】．【解析】 在中，，，，，，由勾股定理得：，∵，∴，∵∴，，∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用。

1.3 解直角三角形（3）课题 1.3 解直角三角形（3）单元第一单元学科数学年级九年级下册学习目标1.理解方位角、仰角与俯角的概念；2．运用解直角三角形来解决方位角问题；3．运用解直角三角形来解决仰角、俯角问题．重点解直角三角形的运用．难点例5，例6均需化归为解两个直角三角形问题．但例6涉及的两个直角三角形交叠在一起，图形和计算都较例5复杂，是本节教学的难点．教学过程导入新课【引入思考】引例：灯塔上发现在它的南偏东30°，距离500m的A处有一艘船，该船向正西方向航行，经过3分钟到达灯塔西北方向的B处，求这船的航速是每时多少千米（3取1.7新知讲解提炼概念如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.典例精讲【例5】某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处．求船从A处到B处的航速（精确到1km/h）．【例6】如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12ʹ，点C的俯角为43°24ʹ．求这两幢楼的高度（精确到0.1m）．课堂练习巩固训练1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地 ( )2．如图所示，两建筑物AB和CD的水平距离为30 m，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______m(用根号表示)．3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1 m，参考数据：3≈1.73)4.在地面上的A点测得树顶端C的仰角为30°，沿着向树的方向前进6m到达B点，在B点测得树顶端C的仰角为45°．请画出示意图，并求出树高（精确到0.1m）．5.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案引入思考提炼概念根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为解直角三角形问题，这是解决问题的关键，也是教学中要让学生重点体验和积累的经验之处．典例精讲例5 解：根据题意画出示意图，如图在Rt △AOC 中，OA ＝500m ，∠AOC ＝30°，∴AC ＝OA sin ∠AOC ＝500×sin30°＝500×12＝250（m ）， OC ＝OA ×c os ∠AOC ＝500×cos30°＝500×32＝2503（m ） 在Rt △BOC 中，∠BOC ＝45°，∴BC ＝OC ＝2503（m ），∴AB ＝AC ＋BC ＝250＋2503＝250(1＋3)（m ）．∴船的航速为250(1＋3)÷3×60≈14000（m/h ）＝14（km/h ）． 答：船从A 处到B 处的航速约为14km/h ． 例6解：如图，作DE ⊥AB 于点E ， 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝∠FAC ＝43°24ʹ，∴AB ＝BC ×tan ∠ACB ＝32.6×tan43°24ʹ≈30.83≈30.8（m ）． 在Rt △ADE 中，∠ADE ＝∠DAF ＝35°12ʹ，DE ＝BC ＝32.6（m ）．∴AE ＝DE ×tan ∠ADE ＝32.6×tan35°12'≈23.00（m ）． ∴CD ＝AB －AE ≈30.83－23.00＝7.83≈7.8（m ）． 答：两幢楼高分别约为30.8m 和7.8m ．巩固训练1.D2.2033.解： 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，可得∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝66 m.在Rt △ADB 中，由tan ∠BAD ＝BD AD，得BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝66×tan 30°＝66×33＝22 3. 在Rt △AD C 中，由tan ∠CAD ＝CD AD，得CD ＝AD ·tan ∠CAD ＝66×tan 60°＝66×3＝663，∴BC ＝BD ＋CD ＝223＋663＝883≈152.2(m)． 答：这栋楼高约为152.2 m. 4.解：如图．解法一：设树高CD 为x （m ），则(6＋x )2＋x 2＝4x 2， 解得x 1＝3－33（舍去），x 2＝3＋33≈8.2． 答：树高约为8.2m ．解法二：设树高CD 为x （m ），在Rt △ACD 中，tan30°＝CD AD ＝x AD ，则AD ＝xtan30°． 同理，在Rt △BCD 中，BD ＝xtan45°．由AB ＝AD －BD ＝6，得x tan30°－xtan45°＝6，解得x ≈8.2． 答：树高约为8.2m ． 5.解：由点A 作BD 的垂线交BD 的延长线于点F ，垂足为F ，∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x则在Rt △ADF 中，根据勾股定理()222223AF AD DF x x x=-=-=在Rt △ABF 中，tanAFABFBF∠=3tan3012xx=+解得x=666310.4AF x==≈10.4 > 8没有触礁危险课堂小结。

1.3解直角三角形第1课时解直角三角形【基础练习】知识点已知一边一角或两边解直角三角形,BC=6,则AB的长为()1.在Rt△ABC中,△C=90°,sin A=35A.4B.6C.8D.102.如图1,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=30°,AB=8,则BC的长为()图1A.4√3B.4C.8√3D.4√333.在Rt△ABC中,已知△C=90°,△A=40°,BC=3,则AC等于()A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°4.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,c=10,△A=45°,则a=,b=,△B=°.5.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,a=6,b=2√3,则△B的度数为.6.如图2,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=37°,BC=32,则AC的长约为.(结果保留整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图27.如图3所示,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°).图38.如图4,在Rt△ABC 中,△C=90°,a ,b ,c 分别为△A ,△B ,△C 的对边,由下列条件解直角三角形. (1)△A=60°,b=4; (2)a=13,c=√23;(3)c=2√2,△B=30°;(4)a=8,sin B=√22.图49.如图5,在△ABC 中,△ABC=90°,△A=30°,D 是边AB 上一点,△BDC=45°,AD=4,求BC 的长.(结果保留根号)图5【能力提升】10.某简易房的示意图如图6所示,它是一个轴对称图形,则AC的长为()图6A.511sinα米B.511cosα米C.115sinα米D.115cosα米11.等腰三角形的腰长为2√3,底边长为6,则底角等于()A.30°B.45°C.60°D.120°12.[2019·杭州]如图7,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC△OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,△BCO=x,则点A到OC的距离等于()图7A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos xD.a cos x+b sin x13.如图8,已知在Rt△ABC中,△ABC=90°,点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B,C不重合),作BE△AD于点E,CF△AD,交AD的延长线于点F,则在点D运动的过程中,BE+CF的值()图8A.不变B.逐渐增大C.逐渐减小D.先增大后减小14.如图9,小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD边上,设此点为F.若AB∶BC=4∶5,则tan△ECB的值为.图915.在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.(1)初步尝试:我们知道:tan60°=,tan30°=,发现结论:tan A2tan A2(填“=”或“≠”).(2)实践探究:如图10△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=2,BC=1,求tan A2的值.小明想构造包含12△A的直角三角形:延长CA至点D,使得DA=AB,连结BD,可得到△D=12△BAC,即转化为求△D的正切值.请按小明的思路进行余下的求解.(3)拓展延伸:如图△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=3,tan A=13.△tan2A=;△求tan3A的值.图10答案1.D2.D3.D4.5√2 5√2 455.30° [解析] ∵tan B=ba ,b=2√3,a=6, ∴tan B=2√36=√33,∴∠B=30°. 6.24 [解析] 因为在Rt △ABC 中,∠C=90°, 所以tan B=ACBC ,即tan37°=AC32, 所以AC=32·tan37°≈32×0.75=24. 7.√38.解:(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°. ∵b=4,cos A=bc,∴4c=12,解得c=8,∴a=√82-42=4√3.(2)∵a=13,c=√23,∴b=√c 2-a 2=13. ∵sin A=a c =13÷√23=√22, ∴∠A=45°,∴∠B=45°. (3)∵∠B=30°,c=2√2,sin B=bc , ∴12=2√2,∠A=60°,∴b=√2,∴a=√c 2-b 2=√(2√2)2-(√2)2=√6. (4)∵sin B=√22,∴∠B=45°, ∴∠A=45°,∴b=a=8, ∴c=√a 2+b 2=8√2.9.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°, ∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°, ∴AB=√3BC ,∴AD+BD=√3BC ,即AD+BC=√3BC. 又∵AD=4,∴4+BC=√3BC , 解得BC=2√3+2.10.D [解析] 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.由题意,得AB=AC ,BC=4+0.2+0.2=4.4(米). ∵AH ⊥BC , ∴BH=CH=2.2米. 在Rt △ABH 中,cos α=BH AB,∴AB=BHcosα=2.2cosα=115cosα(米),即AC=115cosα米. 故选D . 11.A [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=AC=2√3,BC=6,过点A 作AD ⊥BC 于点D , 则BD=12BC=12×6=3.在Rt △ABD 中,cos B=BDAB =2√3=√32,∴∠B=30°.故选A .12.D [解析] 如图,过点A 分别作AE ⊥OC 于点E ,AF ⊥OB 于点F .∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC ,∠BCO=x ,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x.∵AB=a,AD=b,∴AE=FO=FB+BO=a cos x+b sin x.故选D.13.C[解析] ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE.设∠DCF=∠DBE=α,则CF=CD·cosα,BE=DB·cosα,∴BE+CF=(DB+CD)cosα=BC·cosα.∵∠ABC=90°,∴0°<α<90°,当点D从点B向点C运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的.故选C.14.12[解析] 设AB=4k,则BC=5k.在△DFC中,FC=BC=5k,CD=AB=4k,∴DF=3k,∴AF=2k.由折叠的性质可知∠CFE=∠B=90°,∴∠CFD+∠AFE=90°.又∵∠CFD+∠DCF=90°,∴∠AFE=∠DCF.又∵∠D=∠A=90°,∴△DFC∽△AEF,∴DFAE =FCEF,即3kAE=5k4k-AE,解得AE=1.5k,∴BE=2.5k,∴tan∠ECB=2.5k5k =1 2 .15.解:(1)√3√33≠(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴AB=√AC 2+BC 2=√5. ∵DA=AB ,∴∠D=∠ABD ,CD=DA+AC=√5+2, ∴∠BAC=2∠D , ∴tan A2=tan D=BCCD =√5+2=√5-2.(3)①34 [解析] 如图ⓐ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结BE ,则AE=BE ,∠A=∠ABE ,∴∠BEC=2∠A. ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,tan A=13, ∴BC=1,则AB=√AC 2+BC 2=√10. 设AE=x ,则BE=x ,EC=3-x.在Rt △EBC 中,由勾股定理,得BE 2=EC 2+BC 2,即x 2=(3-x )2+1, 解得x=53,即AE=BE=53,∴EC=43,∴tan2A=tan ∠BEC=BC EC=34.故答案为34.②如图ⓑ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结CE ,作BM 交AC 于点M , 使∠MBE=∠ABE ,则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y ,则CM=EC -EM=43-y. ∵∠MBE=∠ABE ,∠A=∠ABE ,∴∠A=∠MBE ,∠ABM=2∠A=∠BEC , ∴△ABM ∽△BEM , ∴AB BE =BM EM,即√1053=BM y,∴BM=3√105y. 在Rt △MBC 中,BM 2=CM 2+BC 2, 即3√105y 2=43-y 2+1,整理得117y 2+120y -125=0, 解得y 1=2539,y 2=-53(不合题意,舍去), 即EM=2539,则CM=43-2539=913,∴tan3A=tan ∠BMC=BCCM=1913=139.。

1.4 解直角三角形同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 在中，，，，则等于（）A. B. C. D.2. 如图，已知中，，．则的值是（）A. B. C. D.3. 等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为（）A. B. C. D.4. 如图，在菱形中，，，则的长为（）A. B. C. D.5. 如图，在中，，，，则的值是（）A. B.C. D.以上都不是6. 如图所示，已知是等腰底边上的高，且，上有一点，满足，则的值是（）A. B. C. D.7. 已知：如图，在中，是边上的一点，且，，，则边上的高的长为（）A. B. C. D.8. 如图，在中，，，垂足为，，，则长为（）A. B.C. D.9. 如图，一艘轮船以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向．此时轮船与灯塔的距离为（）A.海里B.海里C.海里D.海里二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）10. 在中，，如果，，那么________．11. 在中，，，，则________．12. 如图，在中，，，，，垂足为，则的值是________．13. 在中，，，为锐角且，则的正切值等于________．14. 如图，在中，斜边上的高，，则________．15. 如图，在四边形中，，，，连接对角线，则的面积为________．16. 如图，中，，，则________．17. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则的值等于________．18. 如图，如果绕点按逆时针方向旋转后得到，且，那么的长为________．（不取近似值．以下数据供解题使用：，）三、解答题（本题共计 11 小题，每题 6 分，共计66分，）19. 在中，，，，求解直角三角形．20. 如图，中，，，，求的面积．21. 如图，在中，，，．求的长；求的值．22. 如图，矩形中，，求矩形的面积．23. 如图所示，将一副三角尺摆放在一起，连接，求的余切值．24. 如图，在中，，，，求的长和的值．25. 如图，，，，，求的四个三角函数值．26. 如图，在中，于，，，，求的长．27. 如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．求证：；当为直角时，求线段．28. 如图，在中，，，，动点以每秒个单位长度的速度从点开始，沿边向点移动，于，于、设点运动时间为秒，和的面积分别为，，当时，求的值；在点移动的过程中，是否存在值，使得？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．参考答案1. B2. B3. A4. B5. D6. B7. D8. D9. B10.11.12.13.14.15.16.17.18.19. 解：∵在中，，，，∴，，．20. 解：过作于，则，∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面积是，即的面积是．21. 解：∵在中，，，，∴，由勾股定理得：；（2）．22. 解：由矩形的性质知：，在中，∴，∴矩形．23. 解：过点作的延长线的垂线’，垂足为’，在等腰中，，设，则，在中，，则，在’中，’，则’’，在’中，’’，则．24. 解：∵在中，，，，，∴设，则，∴，解得，或（舍去），∴，∴，即的长为，．25. 解：∵，，，∴设，，∴在中，，即，解得：，故，，∵，，，∴，∴，，，．26. 解：∵在中，于，，∴在中，，，在中，，∴，∴．27. 证明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；解：设，作于．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，即．28. 解：动点以每秒个单位长度的速度从点开始，沿边向点移动，当时，，∵，，∴，∴∴故当时，；假设存在值，使得，则：，，由题意得，，，∴，∴，，，∵，∴解得∴存在秒，使得．11。