苏科版九年级数学下册 7.5 解直角三角形同步练习

课题7.5 解直角三角形（第1课时）主备人执教者课型新授课课时1授课时间教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．教学重难点直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学法指导小组合作讨论、讲练结合法教具准备多媒体课件集体智慧个性设计教学后记新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角通过身边的情境让学生思考、交流、发言，调动学生的课堂参与的积极性，激发了他们研究的兴趣和探究的激情．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．用，把实际问题转化为数学模型解决；（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素”交流讨论；归纳总结．AB C（1）三边之间关系： a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）． （3）边角之间的关系：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面 两种情况（其中至少有一边） ：（1） 已知两条边（一直角边一 斜边；两直角边） ；（2） 已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义” ． 例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a sin cos tan a b a A A A c c b===，，．＝5．解这个直角三角形．例2已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝104，b＝20.49．（1）求c的值（精确到0.01）；（2）求∠A、∠B的大小（精确到0.01°）．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．练分析问题，掌握所学基础知识及基本方法，并进一步提高学生“执果索因”的能力．使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？布置作业（1）必做题：（2）选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米．（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？解直角三角（勾股定理）两锐角之间关系 边角之间关系简单应用（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31， cos18°≈0.95）（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

解直角三角形第01课 三角函数的定义知识点：解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即=A sin∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即=A cos∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即=A tan即锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数.注意：sinA,cosA,tanA 都是一个完整的符号,单独的"sin ”没有意义,其中A 前面的“∠”一般省略不写。

各锐角三角函数之间的关系：（1）互余关系：若∠A+∠B=900，则sinA=cos =cos （ ），cosA=sin =sin （ ） （2）平方关系：1cos sin 22===+=+A A ⇒1cos sin 22=+A A（3）倒数关系：1tan tan ,tan tan =⋅=⋅==B A B A ，⇒=⋅B A tan tan（4）弦切关系：=A sin ，=A cos ，=AAcos sin ⇒=A tan例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B 的正弦,余弦和正切.例2.探索300、450、600角的三角函数值.例3.计算：(1)(1)cos600+ sin 2450－tan340·tan560(2)已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值.例4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,135sin =B ,D 在BC 边上,且∠ADC=450,AC=5.求∠BAD 的正切值.例5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=135°求tanB 的值.课堂练习：1.填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)2.在Rt △ABC 中，∠C=900，31tan =A ，AC=6，则BC 的长为（ ） A.6 B.5 C.4 D.23.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，BC=3，cosB 的值为 （ ）A.51 B.53 C.54 D.434.在△ABC 中，∠C=900，tanA=1，则sinB 的值是 （ ）A.3B.2C.1D.22 5.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示,则cos B ∠的值为（ ） A.12 B.22C.32D.33第5题图 第6题图6.在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A=15º，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，则CE ：EB 等于（ ） A.2：3 B.3：2 C.3：1 D.1：37.在△ABC 中,∠A=30º,tan B=13，BC=10,则AB 的长为 8.计算：084sin 45(3)4-︒+-π+-= ； 9.锐角A 满足3)15sin(20=-A ,则∠A= 10.已知tanB=3，则sin 2B = ； 11.已知32sin =α，则αcos = ，αtan =12.已知31cos =α，则α2sin 1-= ；13.已知42cos sin =⋅a a ，则aaa a sin cos cos sin += 14.计算：（1)245cos 260sin 30sin 000-+⋅ (2)000020253tan 37tan 45tan 60cos 60sin ⋅+-+（3）︒⋅︒-︒⋅+︒60tan 60sin 45cos 230sin (4)000030tan )30cos 260(sin 345sin 2+--15.如图,在△ABC 中,∠C=900，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D,3310=AD cm,求∠B ，AB 及BC.16.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC= ． 17.在Rt △ABC 中,∠C=900,tanA=34,BC=8,则△ABC 的面积为 . 18.如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=300，则该山坡的高BC 的长为______米．19.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：△ABE ≌△DFA ；（2）如果AD=10,AB=6，求sin ∠EDF 的值．20.某市在地铁施工期间,交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF （如图所示），已知立杆AB 的高度是3米,从侧面D 点测到路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是600和450，求路况警示牌宽BC 的值．21.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由450降为300，已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上.求：改善后滑滑板会加长多少？22.如图，为了测量某风景区内一座塔AB 的高度,小明分别在塔的对面一楼房CD 的楼底C,楼顶D 处，测得塔顶A 的仰角为450和300，已知楼高CD 为10m ，求塔的高度．23.某型号飞机的机翼形状如图所示，AB ∥CD ，根据数据计算AC 、BD 和CD 的长度.24.一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF,∠F=∠ACB=900, ∠E=450,∠A=600,AC=10,试求CD 的长．25.如图,在△ABC 中，∠C=900，sinA=54，AB=15，求tanA 和△ABC 的周长．1.计算：2cos 45tan 60cos30+等于（ ）A.1B.2C.2D.32.A （cos600，-tan300）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A.1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B.3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C.1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D.1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 3.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A.35B.43 C.34 D.454.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是（ ）A.3sin 2A =B.1tan 2A = C.3cos 2B = D.tan 3B =5.如图,在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2,AC=3，则sin B 的值是（ ）A.23B.32C.34D.436.如图，在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若AC=32，AB=23，则tan BCD ∠的值为（ ）A.2B.22C.63D.337.如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得∠BAD=300，在C 点测得∠BCD=600，又测得AC=50米,则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B.253C.10033D.25253+8.已知△ABC 的外接圆O 的半径为3,AC=4,则sinB=（ ）A.13错误！未找到引用源。

解直角三角形（计算题）1、计算：﹣（π﹣2016）0+|﹣2|+2sin60°．2、（1）计算：（3﹣π）0﹣2﹣2+2sin30°；（2）计算：．3、计算：．4、（2015秋•安徽月考）计算：cos30°•tan60°﹣（sin45°）2．5、计算：（1）sin260°+cos260°；（2）4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．6、计算：（1）|﹣|﹣（π﹣）0+tan45°（2）a（a﹣3）+（2﹣a）（2+a）7、（2016-π）0-∣1-︳+8、如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在、两点测得塔顶的仰角为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度为1．5米，计算塔的高度．（参考数据：取0．8，取0．6，取1．2）9、计算：．10、如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A 北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．，）．11、超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，距离大路（BC）为30米，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处到C处所用的时间为5秒，∠BAC=60°．（1）求B、C两点间的距离．（2）请判断此车是否超过了BC路段限速40千米/小时的速度．（参考数据：≈1．732，≈1．414）12、（8分）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和8C（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长）．13、如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向，港口A位于B的北偏西30°的方向，A、B之间的距离为20海里，求A、C之间的距离．（结果精确到0．1海里，参考数据≈1．414）14、（本小题满分10分）某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）。

[7.5 第2课时 解直角三角形的应用]一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( ) A ．7sin35° B.7cos35°C ．7cos35°D ．7tan35°2．如图K －31－1，点A (3，t )在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 等于( )图K －31－1A ．0.5B ．1.5C ．4.5D ．23．等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为链接听课例2归纳总结( )A. 3 cmB.4 33cmC ．2 cmD ．2 3 cm 4．如图K －31－2，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )图K－31－2A．30° B．45° C．60° D．75°5．如图K－31－3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )图K－31－3A.13B.2－1 C．2－ 3 D.14二、填空题6．如图K－31－4，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为(5，12)，那么OP与x轴正半轴所夹的锐角为________．(精确到0.1°)图K－31－47．如图K－31－5，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则sin∠ABC＝________．图K－31－58．如图K－31－6，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则AB的长为________．图K－31－69．2018·安徽四模如图K－31－7，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH ＝BC，那么tan∠BAH的值是________．图K －31－710．2017·黑龙江在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是________． 三、解答题11．2018·淮南模拟如图K －31－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，cos B ＝45，AC ＝6 3.求AB 的长.链接听课例2归纳总结图K －31－812．如图K －31－9，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B 的坐标； (2)cos ∠BAO 的值．图K －31－913．2018·广安改编如图K －31－10，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为D .(1)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，连接BE .若cos P ＝45，PC ＝10，求BE 的长．图K －31－10阅读理解在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠ACB 的对边分别是a ，b ，c .如图K －31－11所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则cos A ＝AD b，即AD ＝b cos A ，图K －31－11∴BD ＝c －AD ＝c －b cos A .在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，有CD 2＝AC 2－AD 2＝BC 2－BD 2， ∴b 2－b 2cos 2A ＝a 2－(c －b cos A )2，整理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(1)同理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，(2) c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB . (3)这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素a ，b ，c ，∠A ，∠B ，∠ACB ，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．如：在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，已知∠A ＝60°，b ＝3，c ＝6，则由(1)式可得a 2＝32＋62－2×3×6cos60°＝27， ∴a ＝3 3，则∠B ，∠C 可由式子(2)，(3)分别求出，在此略． 根据以上阅读理解，请你试着解决如下问题：已知锐角三角形ABC 的三边a ，b ，c (a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边)分别是7，8，9，求∠A ，∠B ，∠C 的度数．(结果精确到1°)详解详析[课堂达标]1．[解析] C 在Rt △ABC 中，cos B ＝BCAB ，所以BC ＝AB ·cos B ＝7cos 35°.故选C .2．[解析] C 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限， ∴AB ＝t ，OB ＝3. 又∵tan α＝AB OB ＝t 3＝32，∴t ＝4.5. 故选C .3．[解析] D 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝∠CAD ＝60°，BD ＝DC.∵AD ⊥BC ，∴∠B ＝30°.∵AB ＝2 cm ， ∴AD ＝1 cm ，BD ＝ 3 cm ， ∴BC ＝2 3 cm .故选D .4．[解析] C ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝1，AB ＝2，∴sin ∠ABC ＝ACAB ＝12，∴∠ABC ＝30°，∠A ＝60°，∴∠D ＝60°，故选C . 5．[解析] A ∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝2AC. 又∵D 为边AC 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AC.∵DE ⊥BC 于点E ， ∴∠CDE ＝∠C ＝45°， ∴DE ＝EC ＝22DC ＝24AC ， ∴tan ∠DBC ＝DEBE ＝24AC 2AC －24AC ＝13. 故选A .6．[答案] 67.4°[解析] 如图，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A.由勾股定理，得OP ＝122＋52＝13，∴cos ∠POA ＝513，∴∠POA ≈67.4°.7．[答案] 2425[解析] 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由AC ＝6，BD ＝8，根据勾股定理得AB ＝32＋42＝5，菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝BC·AE，即12×6×8＝5×AE ，得AE ＝245，所以sin ∠ABC＝AE AB ＝2455＝2425. 8．[答案] 3＋ 3[解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.9．[答案] 12[解析] 设AH ＝BC ＝2x.∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝x ，∴tan ∠BAH ＝BH AH ＝x 2x ＝12.10．[答案] 21 3或15 3[解析] (1)当∠ACB 为锐角时，如图①，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵AB ＝12，∠B ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝6，BD ＝AB·cos B ＝12×32＝6 3.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（39）2－62＝3， ∴BC ＝BD ＋CD ＝6 3＋3＝7 3， 则S △ABC ＝12BC·AD＝12×7 3×6＝21 3；(2)当∠ACB 为钝角时，如图②，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D.由(1)知，AD ＝6，BD ＝6 3，CD ＝3，则BC ＝BD －CD ＝5 3，∴S △ABC ＝12BC·AD＝12×5 3×6＝15 3.故答案为21 3或15 3.11．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠A ＝30°，∴CD ＝12AC ＝3 3，AD ＝AC ·cos A ＝9.∵cos B ＝45，∴设BD ＝4x ，则BC ＝5x.由勾股定理，得CD ＝3x.由题意，得3x ＝3 3，解得x ＝3， ∴BD ＝4 3，∴AB ＝AD ＋BD ＝9＋4 3.12．解：(1)如图，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH ＝BO·sin ∠BOA ＝5×35＝3，∴OH ＝BO 2－BH 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6. 在Rt △AHB 中， ∵BH ＝3，AH ＝6， ∴AB ＝BH 2＋AH 2＝3 5， ∴cos ∠BAO ＝AH AB ＝2 55.13．解：(1)证明：连接OC.∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠PCO ＝90°，∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠OCB ＋∠OCA ＝90°， ∴∠PCA ＝∠OCB.∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠ABC ， ∴∠PCA ＝∠ABC.(2)∵cos P ＝PC OP ＝45，PC ＝10，∴OP ＝252，∴OC ＝OP 2－CP 2＝152，∴AB ＝15.∵AE ∥PC ，∴∠BAE ＝∠P.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠E ＝90°， ∴AE ＝AB·cos ∠BAE ＝15×45＝12，∴BE ＝AB 2－AE 2＝9. [素养提升][解析] 此题只要把三边长代入余弦定理公式即可求出三角的余弦值，从而求出三角．解：由(1)得72＝82＋92－2×8×9cos A ， 则cos A ＝23，∠A ≈48°.由(2)得82＝72＋92－2×7×9cos B ， 则cos B ＝1121，∠B ≈58°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ≈74°.。

图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。

解直角三角形及其应用--巩固练习一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A ，则tan B＝ ( )A．43 B．34C．35D．452．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC 长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A． B． C． D．第2题第3题第4题3．河堤、横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )A．米 B．10米 C．15米 D．4．如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为 ( )A ．12 B C D ．1 5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h αB ．tan h αC ．cos h αD ．sin h α第5题 第6题 第7题 第8题6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是 ( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距 ( )A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是 ( )A．．m D．100m二、填空题9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．第9题第10题第11题10.如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，的值为______．AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的(即AB:BC＝，且B、C、E三点在同一条直线上．请坡度为根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）一、选择题1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC＝3AC x =，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】B ．【解析】如图所示：设BC=x ，∵ 在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴ AC=2BC=2x ，AB=BC=x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=x ，作EM ⊥AD 于M ，则AM=AD=x ，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD==x x321=；3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC ===1:53AC BC ==米)．4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin hl α=.6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DCBDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=， PM = 二、填空题9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵ BE=2，∴ AE=t ﹣2，∵ cosA=，∴，∴ =，∴ t=5， ∴ AE=5﹣2=3，∴ DE==4， ∴ tan ∠DBE 224===BE DE ．故答案为：2．10．【答案】2； 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ． ∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，sin 60AG AF ==°．11．【答案】40+【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝40=． 在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC ＝5814．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt △CDE 中，tan tan 60DE DE CE x DCE ===∠°． 在Rt △ABC 中，∵AB BC =AB ＝2，∴ BC =． 在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x -2．∴ 22)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ．∴2)3x x -=，解得6x =． 答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=， ∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6， 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°， ∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2）∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==， ∴ 设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ，∴ 3x =6，得x =2，∴ BE=8，AE=10，∴ tanE====，解得，DE=，∴ AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．。

7.5 解直角三角形同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，若斜边上的高为ℎ，sin A=35，则AB的长等于（）A.5 4ℎB.53ℎ C.2512ℎ D.1225ℎ2. 已知Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=45，BC=8，则AC等于（）A.6B.323C.10D.123. 如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sin B=()A.5 13B.1213C.35D.454. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=50∘，AB=10，则BC的长为（）A.10tan50∘B.10cos50∘C.10sin50∘D.10cos50∘5. 在△ABC中，∠A=150∘，AB=2，AC=4，则tan B的值是（）A.√3+1B.√3−12C.√3−1 D.√3+126. 如图，在△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cos B=45，则AC=()A.6B.163C.5D.47. 已知Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝2√5，tan A=12，则BC的长是（）A.2B.8C.2√5D.4√58. 如图，四边形ABCD中，∠A=135∘，∠B=∠D=90∘，BC=2√3，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）A.4√2B.4√3C.4D.69. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，AC=2√2，AB=2√3，设∠BCD=α，那么cosα的值是（）A.√22B.√2 C.√33D.√6310. 在如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格线的交点．则∠ACB=()A.120∘B.135∘C.150∘D.165∘二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，D是BC上一点，AD=BD，tan∠ADC=4，AB=4√5，3则CD=________．12. 如图，在四边形ABCD中，∠A=30∘，∠C=90∘，∠ADB=105∘，sin∠BDC=√3，AD=24．则DC的长=________．13. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=2，BC=1+√3，求∠ACB的度数为________．14. 如图，已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，则BC=________．，则BD的长为15. Rt△ABC中，∠C＝90∘，CD为斜边AB上的高，若BC＝4，sin A=23________．16. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2√3，则CB的长为________．，AB=15，17. 如图，△ABC中，∠ACB=90∘，tan A=43AC=________．，AD=1．则BC的长18. 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45∘，sin B=13________．19. 如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是________．20. 如图，在△ABC和△ACD中，∠B=∠D，tan B=1，BC=5，CD=3，∠BCA=90∘−21∠BCD，则AD=________．2三、解答题（本题共计7 小题，共计60分，）21. 如图，已知∠MON=25∘，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25∘=0.42；cos25∘=0.91；tan25∘=0.47，结果精确到0.1）22. 如图，在△ABC中，AB=AC，它的一个外角为80∘，底角平分线CD的长为20√3，3求腰上的高CE的长．23. 已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，D为AC边上一点，∠BDC=45∘，求AD的长．24. 已知：在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，BE:AB=3:5，若CE=√2，cos∠ACD=4，求tan∠AEC的值及CD的长．525. 如图所示，在Rt△ABC中，AB=10，sin A=3，求BC的长和tan B的值．526. 如图，AD是△ABC的高，CD＝16．BD＝12，∠C＝35∘．求∠B（可以使用计算器，精确到1∘）．27. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，sin A=5，点D在AB边上，且∠BDC=45∘，BC=5．13（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】解：如图，CD为斜边AB上的高，在Rt△ABC中，sin A=BCAB =35，设BC=3k，则AB=5k，根据勾股定理，得AC=√AB2−BC2=4k；在Rt△ACD中，sin A=CDAC =ℎAC=35，AC=53ℎ，∵ 4k=53ℎ，∵ k=512ℎ，∵ AB=5×512ℎ=2512ℎ．故选C．2.【答案】A【解答】解：如图，在Rt△ACB中，∵ sin A=BCAB，∵ 8AB =45，∵ AB=10，∵ AC=√AB2−BC2=6．故选A．3.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∵ AC=5．∵ AC2+BC2=169=AB2，∵ △CBA是直角三角形．∵ sin B=ACAB =513．故选A．4.【答案】B【解答】解：∵ cos B=BCAB，∵ BC=AB cos B=10cos50∘．故选B．5.【答案】B【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥BA于点D，∵ ∠A=150∘，∵ ∠CAD=30∘，∵ AC=4，∠CDA=90∘，∵ CD=2，AD=√42−22=2√3，∵ tan B=CDBD =2√3+2=√3−12．故选：B．6.【答案】C【解答】解：∵ ∠A=90∘，AD为BC上的高，∵ ∠BDA=90∘，∵ ∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90∘，∵ ∠B=∠CAD，∵ cos B=45，∵ cos∠CAD=45，∵ ADAC =45，∵ AD=4，∵ AC=5，故选C．7.【答案】A【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝2√5，tan A=12，∵ 设BC=a，则AC=2a，∵ a2+(2a)2=(2√5)2，解得，a=2或a=−2（舍去），∵ BC=2，故选A．8.【答案】C【解答】解：如图，分别延长CD，BA交于点E．∵ ∠DAB=135∘，∵ ∠EAD=∠C=∠E=45∘，∵ BE=BC=2√3，AD=ED=2，∵ 四边形ABCD的面积=S△EBC−S△ADE=12BC⋅BE−12AD⋅DE，=12×2√3×2√3−12×2×2，=6−2，=4．故选C．9.【答案】D【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，∵ ∠B+∠A=90∘，∠B+∠BCD=90∘，∵ ∠A=∠BCD=α，∵ cosα=ACAB =√22√3=√63．故选D．10.【答案】B【解答】解：设网格边长为1则AC=√10，BC=√5，AB=5由余弦定理得cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=−√22∵ ∠ACB=135∘故选B．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD =43，设AC=4x，CD=3x，∵ AD=√AC2+CD2=5x，∵ BD=AD=5x，∵ BC=BD+CD=8x，在Rt△ABC中，AC=4x，BC=8x，∵ AB=√AC2+BC2=4√5x，而AB=4√5，∵ 4√5x=4√5，解得x=1，∵ CD=3x=3．故答案为3．12.【答案】√2【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，∵ ∠A=30∘，∵ ∠ADB=60∘，DH=12AD=2，∵ ∠ADB=105∘，∵ ∠BDH=45∘，∵ △BDH为等腰直角三角形，∵ BD=√2DH=2√2，在Rt△BCD中，∵ sin∠BDC=BCBD =√32，∵ BC=2√2×√32=√6，∵ CD=√BD2−BC2=√2．故答案为√2．13.【答案】45∘【解答】解：作AH⊥BC，如图，在Rt△ABH中，∵ cos∠B=BHAB，∵ BH=2cos60∘=1，∵ AH=√AB2−BH2=√3，∵ BC=1+√3，∵ CH=BC−BH=1+√3−1=√3，在Rt△ACH中，∵ tan C=AHCH =√3√3=1，∵ ∠C=45∘．故答案为45∘．14.【答案】6√2【解答】解：已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，∵ BD=12AD=12×12=6，∵ AC=BD=6，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=√AD2−BD2=√122−62=6√3，在直角三角形ACB中，根据勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√(6√3)2−62=6√2．故答案为：6√2．15.【答案】83【解答】∵ 在Rt△ABC中，BC＝4，sin A=23，∵ AB＝6，∵ AC＝2√5，∵ CD是斜边AB上的高线，∵ CD=4√53，∵ BD=√BC2−CD2=83．16.【答案】√6【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，∠A=30∘，AC=2√3，∵ CD=12AC=√3.在Rt△BCD中，∠B=45∘，CD=√3，∵ CB=√2CD=√6.故答案为：√6.17.【答案】9【解答】解：∵ ∠ACB=90∘，tan A=BCAC =43，∵ 设BC=4x，则AC=3x，∵ AB=√BC2+AC2=15，∵ 15=√(4x)2+(3x)2，解得：x2=9，∵ x1=3或x2=−3（不合题意，舍去），∵ AC=3x=9；故答案为：9．18.【答案】2√2+1【解答】解：∵ 在△ABC中，AD是BC边上的高，∵ AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90∘，在Rt△ACD中，∠C=45∘，∵ ∠DAC=45∘，∵ DC=AD=1，在Rt△ABD中，sin B=13，AD=1，∵ sin B=ADAB =13，即AB=3，根据勾股定理得：BD=√32−12=2√2，则BC=BD+DC=2√2+1，故答案为：2√2+119.【答案】√22【解答】解：如图，连接AB．∵ OA=AB=√10，OB=2√5，∵ OB2=OA2+AB2，∵ ∠OAB=90∘，∵ △AOB是等腰直角三角形，∵ ∠AOB=45∘，∵ sin∠AOB=√22.故答案为：√22.20.【答案】2√5【解答】解法一：如图1，延长DC至Q，使CQ=BC=5，连接AQ，过A作AH⊥DQ于H，则DQ=DC+CQ=CD+BC=3+5=8，∵ ∠BCA+∠ACQ+∠BCQ=180∘，∵ ∠BCA=90∘−12∠BCD，设∠BCD=x∘，则∠BCA=90−12x∘，∵ ∠ACQ=180∘−x∘−(90∘−12x)=90−12x∘=∠BCA，∵ AC=AC，∵ △BCA≅△QCA，∵ ∠B=∠Q=∠D，∵ AD=AQ，∵ AH⊥DQ，∵ DH=QH=12QD=4，tan∠B=tan∠Q=AHQH =AH4=12，∵ AH=2，∵ AQ=AD=2√5；解法二：如图2，在BC上取一点F，使BF=CD=3，连接AF，∵ CF=BC−BF=5−3=2，过F作FG⊥AB于G，∵ tan B=12=FGBG，设FG=x，BG=2x，则BF=√5x，∵ √5x=3，x=√5，即FG=√5，延长AC至E，连接BD，∵ ∠BCA=90∘−12∠BCD，∵ 2∠BCA+∠BCD=180∘，∵ ∠BCA+∠BCD+∠DCE=180∘，∵ ∠BCA=∠DCE，∵ ∠ABC=∠ADC，∵ A、B、D、C四点共圆，∵ ∠DCE=∠ABD，∠BCA=∠ADB，∵ ∠ABD=∠ADB，∵ AB=AD，在△ABF和△ADC中，∵ {AB=AD∠ABC=∠ADCBF=CD，∵ △ABF≅△ADC(SAS)，∵ AF=AC，过A作AH⊥BC于H，∵ FH=HC=12FC=1，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2=42+AH2①，S△ABF=12AB⋅GF=12BF⋅AH，∵ AB√5=3AH，∵ AH=√5，∵ AH2=AB25②，把②代入①得：AB2=16+AB25，解得：AB=±2√5，∵ AB>0，∵ AD=AB=2√5，三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）21.【答案】解：延长AC交ON于点E，如图，∵ AC⊥ON，∵ ∠OEC=90∘，在Rt△OEC中，∵ ∠O=25∘，∵ ∠OCE=65∘，∵ ∠ACB=∠OCE=65∘，∵ 四边形ABCD是矩形，∵ ∠ABC=90∘，AD=BC，在Rt△ABC中，∵ cos∠ACB=BC，AC∵ BC=AC⋅cos65∘=5×0.42=2.1，∵ AD=BC=2.1．【解答】解：延长AC交ON于点E，如图，∵ AC⊥ON，∵ ∠OEC=90∘，在Rt△OEC中，∵ ∠O=25∘，∵ ∠OCE=65∘，∵ ∠ACB=∠OCE=65∘，∵ 四边形ABCD是矩形，∵ ∠ABC=90∘，AD=BC，在Rt△ABC中，∵ cos∠ACB=BC，AC∵ BC=AC⋅cos65∘=5×0.42=2.1，∵ AD=BC=2.1．22.【答案】解：∵ AB=AC，∵ ∠ABC=∠ACB，∵ ∠CAE=80∘，∵ ∠ABC=∠ACB=40∘，∵ CD平分∠ACB，∵ ∠BCD=20∘，∠CDE=∠BCD+∠ABC=20∘+40∘=60∘，∵ CE=sin∠EDC⋅CD=sin60∘⋅20√33=√32⋅20√33=10．【解答】解：∵ AB=AC，∵ ∠ABC=∠ACB，∵ ∠CAE=80∘，∵ ∠ABC=∠ACB=40∘，∵ CD平分∠ACB，∵ ∠BCD=20∘，∠CDE=∠BCD+∠ABC=20∘+40∘=60∘，∵ CE=sin∠EDC⋅CD=sin60∘⋅20√33=√32⋅20√33=10．23.【答案】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，∵ AB=6，AC=3√3，∵ ∠BDC=45∘，∵ ∠DBC=45∘，∵ CD=BC=3，∵ AD=AC−CD=3√3−3．【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，∵ AB=6，AC=3√3，∵ ∠BDC=45∘，∵ ∠DBC=45∘，∵ CD=BC=3，∵ AD=AC−CD=3√3−3．24.【答案】解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵ ∠ABC+∠CAD=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘，∵ ∠ABC=∠ACD，∵ cos∠ABC=cos∠ACD=45，在Rt△ABC中，BCAB =45，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k，由BE:AB=3:5，知BE=3k，则CE=k，且CE=√2，则k=√2，AC=3√2．∵ Rt△ACE中，tan∠AEC=ACCE=3，∵ Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC =45，∵ CD=12√25．【解答】解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵ ∠ABC+∠CAD=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘，∵ ∠ABC=∠ACD，∵ cos∠ABC=cos∠ACD=45，在Rt△ABC中，BCAB =45，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k，由BE:AB=3:5，知BE=3k，则CE=k，且CE=√2，则k=√2，AC=3√2．∵ Rt△ACE中，tan∠AEC=ACCE=3，∵ Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC =45，∵ CD=12√25．25.【答案】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=10，sin A=35，∵ BCAB =35，∵ BC=6，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵ tan B=ACBC =86=43．【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=10，sin A=35，∵ BCAB =35，∵ BC=6，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵ tan B=ACBC =86=43．26.【答案】∵ AD⊥BC，∵ ∠ADC＝∠ADB＝90∘，在Rt△ACD中，AD＝CD⋅tan C＝16×0.70≈12.20，在Rt△ABD中，tan B=ADBD =12.2012≈1，∵ ∠B＝45∘．【解答】∵ AD⊥BC，∵ ∠ADC＝∠ADB＝90∘，在Rt△ACD中，AD＝CD⋅tan C＝16×0.70≈12.20，在Rt△ABD中，tan B=ADBD =12.2012≈1，∵ ∠B＝45∘．27.【答案】∵ ∠B=90∘，∠BDC=45∘，∵ BC=BD=5，∵ sin A=513，∵ AB=12，∵ AD=AB−BD=12−5=7；过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵ △ADE是等腰直角三角形，∵ AE=DE=7√22，则sin∠ACD=7√226．【解答】∵ ∠B=90∘，∠BDC=45∘，∵ BC=BD=5，∵ sin A=5，13∵ AB=12，∵ AD=AB−BD=12−5=7；过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵ △ADE是等腰直角三角形，，∵ AE=DE=7√22．则sin∠ACD=7√226。