人教版九年级数学下册28.2 ：解直角三角形及其应用 同步练习(含答案)

2021年人教版九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》同步练习一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，若BC＝m，则AB的长为（）A．B．m•cos36°C．m•sin36°D．m•tan36°2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A的值为（）A．B．C．3 D．3．如图，已知在4×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠CAB的值为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为（）A．100米B．110米C．120米D．130米6．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A．B．C．D．7．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）A．15m B．30m C．35m D．40m8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A．6m B．3m C．9m D．6m9．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（）A．（480+300）米B．（960+300）米C．780米D．1260米10．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．150m B．150m C．150m D．100m 11．如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．28km B．14km C．7km D．14km12．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为（）A．（36+100sin26°）米B．（36+100tan26°）米C．（36+100cos26°）米D．（36+）米二．填空题13．在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．14．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．15．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．16．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为m．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2（即BC：AC＝1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为米．18．再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少km．19．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC 边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．20．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为．三．解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．22．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】23．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]24．汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．（1）求气球的高度；（2）求气球飘移的平均速度．（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75，≈1.7．）25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升120米到达C处，在C处观察A地的俯角为42°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）[参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90]26．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，∠B＝36°，BC＝m，∴cos B＝，∴AB＝＝，故选：A．2．解：延长AB到D，连接CD，如右图所示，由题意可得，AC＝＝，CD＝1，∴sin∠A＝＝，故选：A．3．解：由题意可得，AC＝＝＝2，BC＝＝，AB＝＝5，∵（2）2+（）2＝52，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝＝，故选：B．4．解：过点P作PE⊥x轴于E，如图所示：∵P（a，3），∴OE＝a，PE＝3，∵tan∠α＝＝，∴a＝OE＝4，∴OP＝＝＝5，∴sinα＝＝，故选：A．5．解：∵某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，∴＝，则＝，解得：AC＝120米，故AB＝＝＝130（米）．故选：D．6．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．7．解：设AB＝xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝xm，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB＝，∴BC＝＝≈x，由BC+CD＝BD得x+10＝x，解得x＝30，∴AB的长约为30m，故选：B．8．解：∵迎水坡AB的坡比为1：，∴＝，即＝，解得，AC＝3，由勾股定理得，AB＝＝6（m），故选：A．9．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝960（米）．在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，∴CE＝BC•sin60°＝960×＝480（米）．∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，故选：A．10．解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝300m，∴AB＝OA＝150（m），故选：C．11．解：根据题意可知：∠MAB＝90°﹣55°＝35°，∠ABM＝90°+20°＝110°，∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，∴∠MAB＝∠AMB，∴BM＝AB＝28×＝14（km）．所以此时灯塔M与渔船的距离是14km．故选：B．12．解：由题意知：AE＝CD＝36米，AC＝DE＝100米，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，∴BC＝AC tan∠BAC＝100tan26°（米），则BD＝CD+BC＝（36+100tan26°）米，即乙楼的高度为（36+100tan26°）米，故选：B．二．填空题13．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：．14．解：如图，作CH⊥AB于H，设小正方形的边长为1．则AC＝＝，在Rt△ACH中，cos A＝＝＝，故答案为：．15．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．16．解；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝12m，∴BC＝m，故答案为：6．17．解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，∴＝＝，∴BC＝6（米），∴AB＝＝＝6（米）．故答案为：6．18．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．19．解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．20．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，故答案为：14°．三．解答题21．解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，∵∠ADB＝90°，∴sin∠BAD＝，又∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAD，∴sin∠BPC＝．22．解：由题意得，BE⊥CD于E，BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，在Rt△DBE中，DE＝BE•tan∠DBE＝22×0.62≈13.64（米），CD＝CE+DE＝1.5+13.64≈15.1（米），答：旗杆的高CD约为15.1米．23．解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（米），在△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD＝AD•tan63°＝80×1.96≈156.8（米），∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米），答：该建筑物的高度BC约为237米．24．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝37°，∴CE＝AE×tan37°＝0.75AE，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AB＝AE﹣BE＝CE﹣CE＝CE＝100，∴CE＝300（米），答：气球的高度为300米；（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DFEC是矩形，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝60°，∴AF＝DF＝CE＝100≈170（米），∴AE＝CE＝400（米），∴CD＝EF＝400﹣170＝230（米），∴速度为：230÷100＝2.3．答：气球飘移的平均速度每分钟为2.3米．25．解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠A＝42°，∴tan42°＝，∴AB＝≈133（米）答：A、B两地之间的距离约为133米．26．解：（1）∵∠MAC＝60°，数学∴∠BAC＝30°，又∵BP⊥AC，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝60°，又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，∴∠ABC＝119°，∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；（2）不会受到影响．理由如下：由（1）可知，∠PBC＝59°，∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，又∵tan31°＝0.60，∴，设BP为x海里，则AP＝海里，CP＝海里，∴，解得：x≈57，∵57＞50，∴沿海城市B不会受到台风影响．。

28.2 解直角三角形及其应用(一)一、双基整合:1．在下面条件中不能解直角三角形的是（）A．已知两条边 B．已知两锐角 C．已知一边一锐角 D．已知三边2．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用科学计算器求∠A约等于（）A．24°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：•①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )mA．15sin50° B．15cos50° C．15tan50° D．15cot50°5．在△ABC中，∠C=90°，，三角形面积为52，则斜边c=_____，∠A的度数是____．6．在直角三角形中，三个内角度数的比为1：2：3，若斜边为a，•则两条直角边的和为________．7．四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，•则四边形ABCD•的面积为________．8．如图，小明想测量电线杆AB•的高度，•发展电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．1.41≈1.73）9．如图所示，在Rt△ABC中，a，b分别是∠A，∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a，∠B，就可以求出其余三个未知元素b，c，∠A．（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程．第一步：已知：a,∠B,用关系式:_______________,求出:_________________;第二步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________;第三步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________.（2）请你分别给出a，∠B的一个具体数据，然后按照（1）中的思路，求出b，c，∠A的值．bcaA10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3cm，AB=7cm，高为，求底角B的度数．11．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=22，AB=23，设∠BCD=α，•求cos α的值．BAC D二、探究创新12．国家电力总公司为了改善农村用电量过高的现状，目前正在全面改造各地农村的运行电网，莲花村六组有四个村庄A ，B ，C ，D 正好位于一个正方形的四个顶点，•现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图所示的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考2=1.414，3=1.732，5=2.236）．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt △ABC 中较小锐角的余弦值。

第28章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用1. 在厶ABC中，/ A=120° AB=4 AC=2 贝卩sinB 的值是（）A. 口B .-i C .2 D14 5 7 142. 在Rt△ ABC中，/ C=90 ,若AB=4 sinA=?，则斜边上的高等于（）5A. 64 B .兰C . 16 D . 1225 25 5 53. 如图，在Rt△ ABO中，斜边AB= 1,若OC/ BA / AOC= 36°，贝S （）A. 点B到AO的距离为sin 54B. 点B到AO的距离为tan 36 °C. 点A到OC的距离为sin 36 ° sin 54D. 点A到OC的距离为cos 36 sin 544. 如图是教学用直角三角尺，边AC= 30 cm,/ C= 90° tan / BAC=则边BC的长为（）A. 30 3 cm B . 20 3 cm C . 10 3 cm D . 5 3 cm\[2 35. 如图，在△ ABC中，cos B= ,sin C= , AC= 5,则厶ABC的面积是（）2 5A.fB. 12C. 14D. 21 6•河堤横断面如图所示，堤高BC= 6 m,迎水坡AB的坡比为1 : 3,则AB的长为（）A. 12 m B . 4 3 m C . 5 3 m D . 6 3 m7. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 m,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角a为60°，又从A点测得D点的俯角B为30°,若旗杆底部G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A. 20 m B . 10 3 m C . 15 3 m D . 5 6 m8. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20 n mile，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20 min 后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A. 10：3 n mile/h B .30 n mile/h C . 20 ';3 n mile/h D . 30 : 3n mile/h9. 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（A. (6+2 .3) 米B (6+3 .3) 米C (6+6 .3 )米D . 12 米10. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）.为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30° 则B、C两地之间的距离为()3A. 100 3 m B 50 2m C. 50 3m D .咛11. 在Rt△ ABC中，CA= CB AB=込/2,点D在BC边上，连接AD 若tan1/ CAD= 3,贝y BD的长为 _____ .12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3 , 0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC= 2,设tan / BOC= m则m的取值范围是________ .13. 在等腰三角形ABC中，/ A= 30°, AB= 8,贝S AB边上的高CD的长是14. 在Rt△ ABC中，/ C=90 , tanA = 4, BC=8 则厶ABC的面积为.315. 等腰三角形的一腰长为6cm,底边长为673cm则其顶角为___________ .16. 在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于点D.已知AC=5 , BC=2 那么sin / ACD= _____17. 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, D为BC上一点，/ DAC=30 , BD=2 AB= 2怎,贝S AC的长是_______ .18. 如图，从地面上点A处测得山顶上铁塔BD的塔顶和塔底的仰角分别为B =60°和a =45°，已知塔高BD=100m那么山高CD= m .（结果保留根号）19. 如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C 点处的俯角为45°.则海底C点处距离海面DF的深度为________ 米（结果精确到个位，参考数据：2〜1.414 , . 3〜1.732 , 〜2.236 ）…字二…一/产'即~~时•、\I 、20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45° .已知山坡AB垂直于视线AD AB=20米，AE=30米,则这块宣传牌CD的高度为________________ 米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：2〜1.414 , 3〜1.732 ）.21. 如图，在△ ABC中，CDLAB 垂足为D.若AB=12 CD=6 tanA=?，求2 sinB+cosB 的值.22. 已知：如图，Rt△ AOB中，/ 0=90，以0A为半径作O Q BC切OO于点C,连接AC交QB于点P.(1) 求证：BP=BC(2) 若sin / PAQ= 1，且PC=7 求OO 的半径.323. 如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC= 30 m,由地面向上依次为第1层、第2层，…，第10层，每层高度为3 m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长h m.(1)用含a的式子表示h；(不必指出a的取值范围)⑵当a= 30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若a每小时增加15°，从此时起几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？24. 如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m,他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°;小红眼睛与地面的距离（CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、ND 在同一条直线上）.求出旗杆MN勺高度.（参考数据：2〜1.4…3〜1.7 , 结果保留整数.）26.如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角a为45° .从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角B为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度.（结果保留根号）[Um答案：1 —10 DBCCA AADCA 11.612.5 m^-2"13.^3^或4 或4 314.2415. 120°16.二3 17. 318. 50 ( 3+1)19. 260020. 5.421. 解：在 Rt △ ACD 中，T/ADC=90，二 tanA 二 CD - 3，二 AD=4 AD AD 2••• BD=AB -AD=12-4=8 在 Rt △BCD 中,BDC=90 , BD=8 CD=6 BC= BD 2 CD 2 =10, • sinB 二 CD 3 , cosB=BD - , • sinB+cosB=3+« =7 . BC 5BC5 5 5 5 22. (1)证明：连接 OC T BC 是O O 切线，•/0(B=90°,「./OCA / BCA=90 , T OA=O , •/ OCA / OAC / BOA=90，•/ OAC+APO=90,T / APO / BPC •/ OAC / BPC=90，•/ BPC / BCA 二 BC=BP(2)解：延长 AO 交O O 于点 E ,连接 CE 在 Rt △ AOP 中, T sin / PAO=,3设 OP=x AP=3x 贝y AO=22x ,T AO=OE 二 OE=22x ,「. AE=^2x , 解得：x=3,・ AO=6 2 .23. 解：（1）如图，过点E 作EF ±AB 于点F.由题意可知，四边形 ACEF 为矩形，• EF = AC= 30, AF = CE= h ,Z BEF= T AB= 3X 10= 30,・ BF = AB- AF = 30- h.T sin / PAO=,3CE = 1 AE 3 AC 2一2 . 3x 7= .・ --------- - AE 3 '3「• h = 30— 30tan a .⑵ 当 a = 30° 时，h = 30 — 30tan 30 ° = 30 — 30^3〜12.7.3T 12.7 — 3~4.2，二当a= 30°时，B 点的影子落在乙楼的第五层.当 h = 0 时，30 — 30ta n a= 0,得 a= 45 °,Ta 每小时增加15°,二从此时起1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.24. 解：过点A 作AE± MN 于 E ,过点C 作CF 丄MN 于 F ,则 EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2 (m ),在 Rt △ AEM 中, v/ AEM=90 , / MAE=45 , • AE=ME 设 AE=ME=xm 贝S MF=(x+0.2 ) m , FC= (28-x ) m在 Rt △ MFC 中, v/ MFC=90，/ MCF=30，二 MF=CF?ta / MCF• x+0.2二乜 (28-x )，解得 9.7，二 MN 二ME+EN=9.7+1.711 米.又•••在 Rt △ BEF 中，tan / BEF = ||, ••• tan a= 30—1，即 30— h = 30tan a, 30答：旗杆MN 的高度约为11米.解：由题意可知/ BAD W ADB=45，二 FD 二EF 二米，在 Rt △ PEH 中, tan B =CG ，二CG=( 5 3+6)?二=5+2 3，：. CD=( 6+2.3 ) 米. PG 326. tan B =EH PHBF ，八 BF =： 5 3，二 PG=BD=BF+FD=35+6, 在 RT A PCG K。

【九年级】九年级数学下28.2解直角三角形及其应用(二)同步练习（人教版附答28.2解直角三角形及其应用同步练习(二)一、单选题（本大题共15个子题，每个子题得3分，共计45分）一、一人乘雪撬沿坡度为的斜坡滑下距离（米）与时间（秒）之间的关系为．若滑动时间为秒，则他下降的垂直高度为（）.a、仪表b.米c、仪表d.米2.如图所示，有人站在楼顶观察对面的直旗杆。

已知观测点到旗杆的距离（长度），测量旗杆顶部的仰角，测量旗杆底部的俯角，则旗杆高度为（）a.(b(c.(d(3、如图，在处测得旗杆的顶端的仰角为，向旗杆前进米到达处，在处测得的仰角为，则旗杆的高为（）米A.b.Cd.4.在中学升国旗时，同学a站在旗杆底部以引起注意。

当国旗升到旗杆顶端时，同学视线的仰角为。

如果他的眼睛离开地面，旗杆的高度是（）a.米b、仪表c.米d、仪表5、如图，一渔船在海岛南偏东方向的处遇险，测得海岛与的距离为海里，渔船将遇险情况报告给位于处的救援船后，沿北偏西方向向海岛靠近，同时，从处出发的救援船沿南偏西方向匀速航行，分钟后，救援船在海岛处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）海里/小时.A.b.Cd.6.如图所示，为了测量一棵树垂直于地面的高度，在距树底m处测量的树顶仰角为，则树高为（）a.米b、仪表c.米d、仪表7、如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离长是（）a、大海b.海里c、大海d.海里8.如图所示，该船沿正南方向以每小时海里的匀速航行。

据观察，灯塔位于该地点的西偏南方向。

航行数小时后，它到达了北。

据观察，灯塔的方向是西偏南。

如果船继续向南航行到离灯塔最近的位置，船与灯塔之间的距离约为（通过科学计算器，，）获得）9、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，则树的高度为（）a、仪表b.米c、仪表d.米10.为了如图所示测量上坡坡道的坡度，小明测量了如图所示的数据，则坡度角的正切值为（）a.Bc.D11、如图，长的楼梯的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯的长为（）12.如图所示，在，，，中，点是边的中点。

28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC，∠B=45∘，∠C=30∘，BC边上的高为3，则△ABC的周长是（）A.9+3√2B.6+3√2+2√3C.9+3√2+3√3D.3√2+3√32. 如图，点A(1.5, 3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=()A.1B.1.5C.2D.33. 如图，太阳光线与水平线成70∘角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是()A.2tan70∘米 B.2sin70∘米 C. 2.2tan70∘米 D.2.2cos70∘米4. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘5. 某山的山顶B处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30∘，山高BC为100米，点E距山脚D处150米，在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60∘，则观光塔AB的高度是()A.50米B.100米C.125米D.150米，则AC是（）6. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cos B=45A.5B.4C.3D.45，AC=2√3，则AB=()7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，tan B=√32A.4B.5C.6D.78. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30∘，那么下列结论正确的是（）A.3AD=7BCB.AB=2ACC.AC=8CDD.16CD2=3AB29. 某落地钟钟摆的摆长为0.5米，来回摆动的最大夹角为60∘，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a米，最大高度为b米，则b−a等于（）A.1 2B.12−√32C.12+√34D.12−√3410. 如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50∘方向上；②A地在B地的北偏西30∘方向上；③cos∠BAC=√32；④∠ACB＝50∘．其中错误的是（）A.①②B.②④C.①③D.③④二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，D是BC上一点，AD=BD，tan∠ADC=43，AB=4√5，则CD=________．12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AM是BC边上的中线，cos∠CAM=45，则tan∠B的值为________．13. 从A处测得B处仰角α=18∘36′，那么从B处测得A处的俯角β=________．14. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:√3，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是________米．15. 如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为________．16. 如图，在△ABC中，∠A＝30∘，∠B＝45∘，D在AB上，E在AC上，且使AE＝EC＝DE，那么AD2:BC2等于________．17. 某处欲建一观景平台，如图所示，原设计平台的楼梯长AB=6m，∠ABC=45∘，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30∘，则调整后楼梯AD的长为________m．（结果保留根号）18. 在边长为1的正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A＝________．19. 一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东60∘，距离为60海里的A处；上午9时到达C处，看到灯塔在它的正北方向．则这艘船航行的速度为________海里/时．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）20. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡逻艇的航向为北偏西40∘．(1)求甲巡逻艇的航行方向；(2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？21 小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30∘，看这栋楼底部的俯角为60∘，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？22 如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，在点B处测得A在北偏东30∘方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为400米，请你求出该河段的宽度．（结果保留根号）23. 安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O处，⊙O的半径为0.2m，AO与屋面AB的夹角为32∘，BF⊥AB于B，AB=2m，求支架BF的长（精确到0.1m）．参考数据：sin32∘=0.32，cos32∘=0.84，tan32∘=0.62．24 随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图所示，根据图中数据计算坝底CD的宽度（结果保留根号）．25 北盘江大桥坐落于云南宣威与贵州水城交界处，横跨云贵两省，为目前世界第一高桥.左图是大桥的实物图，右图是从左图中引申出的平面图，测得桥护栏BG=1.8米，拉索AB与护栏的夹角为26∘，拉索ED与护栏的夹角是60∘，两拉索底端距离BD为300m，若两拉索顶端的距离AE为90m，请求出立柱AH的长.(tan26∘≈0.5,sin26∘≈0.4,√3≈1.7)参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】解：作AD⊥BC，∵ AD=3，∠B=45∘，∵ BD=AD=3，AB=√BD2+AD2=3√2，∵ AD=3，∠C=30∘，∵ AC=2AD=6，CD=√AC2−CD2=3√3，∵ △ABC的周长=AB+AC+BC=3√2+6+3√3+3=9+3√2+3√3．故选C．2.【答案】C【解答】解：根据题意得：tanα=31.5=2；故选C．3.【答案】C【解答】解：∵ DA=0.2米，AB=2米，∵ DB=DA+AB=2.2米，∵ 光线与地面成70∘角，∵ ∠BCD=70∘．又∵ tan∠BCD=DBDC，∵ DC=DBtan∠BCD = 2.2tan70m．故选C. 4.【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.5.【答案】A【解答】解：作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，在Rt△DEG中，EG=12DE=75米，∵ BF=BC−CF=BC−EG=100−75=25米，EF=BFtan∠BEF =BFtan30∘=25√3，∵ ∠AEF=60∘，∵ ∠A=30∘，∵ AF=EFtan A =√3√33=75（米），∵ AB=AF−BF=50（米），故选A．6.【答案】A【解答】解：∵ AD是△ABC的高，∠BAC=90∘，∵ ∠ADB=∠ADC=∠BAC=90∘，∵ ∠B+∠BAD=90∘，∠BAD+∠DAC=90∘，∵ ∠B=∠CAD，∵ cos B=45，AD=4，∵ cos B=cos∠CAD=45=ADAC，即4AC =45，∵ AC=5，故选A．7.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵ sin A=CDAC，∵ CD=AC sin A=AC sin30∘=2√3×1 =√3，∵ cos A=ADAC，∵ AD=AC cos30∘=2√3×√3 2=3．∵ tan B=CDBD =√32，∵ BD=2．∵ AB=AD+BD=2+3=5．故选B．8.【答案】D【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30∘，∵ AD=√3CD，CD=√32BC，AC=√32AB，AC=2CD，CD=√32BC，BC=12AB，∵ AD=32BC，AB=2√33AC，CD=√32×12AB=√34AB，∵ 4CD=√3AB，∵ 16CD2=3AB2．故选D．9.【答案】D【解答】解：如上图所示，OA、OB为最大摆幅，OC为摆锤离地最低即和地面垂直时，所以AD=b，CE=a，CF=b−a，∠AOB=60∘，∵ ∠AOC=30∘．作AF⊥OC与F，则在△AOC中，OF=OA cos30∘=√34，∵ CF=b−a=OC−OF=12−√34，∵ 摆长为0.5米，∵ OA=0.5米，∵ OF=√34，∵ b−a=0.5−√34，∵ b−a=(12−√34)米．故选D．10.【答案】B【解答】如图所示，由题意可知，∠1＝60∘，∠4＝50∘，∵ ∠5＝∠4＝50∘，即B在C处的北偏西50∘，故①正确；∵ ∠2＝60∘，∵ ∠3+∠7＝180∘−60∘＝120∘，即A在B处的北偏西120∘，故②错误；∵ ∠1＝∠2＝60∘，∵ ∠BAC＝30∘，∵ cos∠BAC=√32，故③正确；∵ ∠6＝90∘−∠5＝40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故④错误．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD =43，设AC=4x，CD=3x，∵ AD=√AC2+CD2=5x，∵ BD=AD=5x，∵ BC=BD+CD=8x，在Rt△ABC中，AC=4x，BC=8x，∵ AB=√AC2+BC2=4√5x，而AB=4√5，∵ 4√5x=4√5，解得x=1，∵ CD=3x=3．故答案为3．12.【答案】23【解答】解：在Rt△ACM中，cos∠CAM=ACAM =45，设AC=4x，则AM=5x，则CM=√AM2−AC2=3x，而AM是BC边上的中线，所以BC=2CM=6x，在Rt△ABC中，tan∠B=ACBC =4x6x=23．故答案为23．13.【答案】18∘36′【解答】解：设A、B两点的水平线分别为AM、BN，依题意，得AM // BN，∠BAM=α=18∘36′，由平行线的性质可知，β=∠ABN=∠BAM=18∘36′．故答案为：18∘36′．14.【答案】5√3【解答】解：∵ 河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:√3，∵ BC:AC=1:√3，∵ 堤高BC=5米，∵ 坝底AC=5√3米．故答案为：5√3．15.【答案】2【解答】解：连接格点MN，DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∵ EC // MN，∠DMA=∠NMB=45∘，DM=√2AD=2√2，MN=√2BM=√2，∵ ∠CPN=∠DNM，∵ tan∠CPN=tan∠DNM，∵ ∠DMN=180∘−∠DMA−∠NMB=180∘−45∘−45∘=90∘，∵ tan∠CPN=tan∠DNM=DMMN =√2√2=2.故答案为：2．16.【答案】3:2【解答】连接CD，∵ 在△ACD中，AE＝EC＝DE．∵ ∠CDA＝90∘，∵ ∠A＝30∘，∵ AC＝2CD，AD=√3CD，在Rt△BCD中，∠B＝45∘，∵ BD＝CD，BC=√2CD，∵ AD2:BC2＝(√3CD)2：(√2CD)2＝3:2 17.【答案】6√2【解答】解：由题意可得，AB=6m，∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，∵ AC=AB⋅sin∠ABC=6×√22=3√2m，又∵ ∠ADC=30∘，∠ACD=90∘，∵ AD=2AC=6√2m．故答案为：6√2m．18.【答案】35【解答】如图，过点C作CD⊥AB于D．∵ AC=√32+42=5，在RtACD中，cos A=ADAC =35，19.【答案】30√3【解答】解：易得∠ABC=30∘，AB=60．∵ BC=AB×cos∠ABC=30√3（海里）．∵ 这艘船航行的速度为30√3÷(9−8)=30√3（海里/时）．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）20.【答案】解：(1)由已知得，AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），∵ AC2+BC2=AB2，∵ △ABC是直角三角形.∵ ∠CBA=50∘，∵ ∠CAB=40∘∵ 甲的航向为北偏东50∘.(2)甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），3分钟后，甲、乙两艘巡逻船相距为：√62+2.52=6.5（海里）．【解答】解：(1)由已知得，AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），∵ AC2+BC2=AB2，∵ △ABC是直角三角形.∵ ∠CBA=50∘，∵ ∠CAB=40∘∵ 甲的航向为北偏东50∘.(2)甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），3分钟后，甲、乙两艘巡逻船相距为：√62+2.52=6.5（海里）．21【答案】这栋楼的高度为56√3m【解答】在Rt△ABD中，∵ ∠BDA＝90∘，∠BAD＝30∘，AD＝42m，∵ BD＝AD tan30∘＝42×√33=14√3(m)．在Rt△ACD中，∠ADC＝90∘，∠CAD＝60∘，∵ CD＝AD tan60∘＝42×√3=42√3(m)．∵ BC＝BD+CD＝14√3+42√3=56√3(m)．22【答案】解：过A作AH⊥BC于点H，设AH=x，由题意得：∠BAH=30∘，∠ACH=45∘，x，∵ HC=AH=x，BH=√33∵ BC=400米，x+x=400，∵ √33解得：x=600−200√3，即河宽为(600−200√3)米．【解答】解：过A作AH⊥BC于点H，设AH=x，由题意得：∠BAH=30∘，∠ACH=45∘，x，∵ HC=AH=x，BH=√33∵ BC=400米，x+x=400，∵ √33解得：x=600−200√3，即河宽为(600−200√3)米．23【答案】支架BF的长为1.0米．【解答】解：∵ BF⊥AB，∵ 在Rt△OAB中，∵ AB=2米，∠OAB=32∘，∵ OB=AB⋅tan∠OAB，=2⋅tan32∘≈2×0.62=1.24米，∵ BF=OB−OF=1.24−0.2=1.04≈1.0米，24【答案】坝底DC的宽为(19+3√3)m．【解答】．解：在Rt△ADF中，∠D=60∘，cot∠D=DFAF∴DF=AF⋅cot∠D=9×cot60∘=3√3．=9×√33在Rt△BEC中∵∠C=45∘．∴△BEC为等腰三角形．∴EC=BE=9．在矩形AFEB中，FE=AB=10．∴DC=DF+FE+EC=3√3+10+9 =(19+3√3)．(m)25【答案】解：设CD=x米，∵ ∠CDE=60∘ , ∠ACB=90∘，在Rt△CED中，CE=DC⋅tan60∘=√3x，∴ AC=AE+CE=90+√3x，∵ ∠ABC=26∘，∴ AC=BC⋅tan26∘=0.5(x+300)，90+√3x=0.5(x+300)，≈48，解得x=240√3+12011∴ AC=90+48√3≈171.6(m)，∴ AH=AC+CH≈171.6+1.8=173.4(m).答：立柱AH的长约为173.4m.【解答】解：设CD=x米，∵ ∠CDE=60∘ , ∠ACB=90∘，在Rt△CED中，CE=DC⋅tan60∘=√3x，∴ AC=AE+CE=90+√3x，∵ ∠ABC=26∘，∴ AC=BC⋅tan26∘=0.5(x+300)，90+√3x=0.5(x+300)，≈48，解得x=240√3+12011∴ AC=90+48√3≈171.6(m)，∴ AH=AC+CH≈171.6+1.8=173.4(m).答：立柱AH的长约为173.4m.。

人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．27．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为米．（≈1.73，结果精确到0.1米）15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）参考答案一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，解得x＝180，y＝135，∴AC＝＝＝300（m），故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选：C．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴cosα＝，解得，AB＝米，故选：B．11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为4﹣4米．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为54.6米．（≈1.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥P A于点D，∵∠PBC＝75°，∠P AB＝30°，∴∠DPB＝45°，∵AB＝80，∴BD＝40，AD＝40，∴PD＝DB＝40，∴AP＝AD+PD＝40+40，∵a∥b，∴∠EP A＝∠P AB＝30°，∴AE＝AP＝20+20≈54.6，故答案为：54.615．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）【解答】解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，则CD＝＝100≈173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，则AE＝≈＝200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈566（米）故答案是：566．三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m。

人教版初中数学九年级下册 第二十八章《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（含答案）1 / 7 《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD 是中线，则tan ∠CDA 的值为（ ）A. 3B. 2C.D.2．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A = ，AC = ，那么BC 的值为（ ）A. 2B. 4C.D. 63．3．如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡的坡度为（ ）A. 512B. 1213C. 513D. 13124．如图，王强同学在甲楼楼顶A 处测得对面乙楼楼顶D 处的仰角为30°，在甲楼楼底B 处测得乙楼楼顶D 处的仰角为45°，已知甲楼高26米，则乙楼的高度为( ≈1.7)( )A. 61.0米B. 61.1米C. 61.2米D. 62.1米5．5．根据所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )①已知一直角边及其对角 ②已知两锐角 ③已知斜边和一锐角 ④已知一直角边和一斜边A. ①②④B. ②③C. ②④D. 只有②6．已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（ ）A. 1：B. ：1C. 1：D. ：1 7．如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，cosA ＝ ，AE ＝3，则tan∠DBE 的值是( )A. B. 2 C.D.二、填空题8．在 △ 中， ， ， ，则 ______ ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC 沿BE 折叠，使直角顶点C 落在斜边上的点D 处，则sin ∠CBE 的值为_____．10．一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为_____．11．△ABC 中∠A=30°，tanB= ，AC= ，则AB=_______.12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点， 11805tan 2BAC BDC AB CD ACB ∠+∠===∠=，，，则AD = ______ ．三、解答题13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝75°，点D 在AC上，DC ＝6，∠DBC ＝60°，求AD 的长．人教版初中数学九年级下册第二十八章《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（含答案）14．海中有一灯塔C，它的周围12海里有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行在A处测得灯塔C在北偏东60°，航行20海里后到达B点，这时测得灯塔C在北偏东30°，如果渔船不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？15．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米．求四边形ABCD的周长和面积(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)．3 / 7人教版初中数学九年级下册 第二十八章《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（含答案）1 / 7参考答案1．B2．A3．A4．B5．D6．A7．B8．60°9．10．18 海里/时11．512．【解析】过B 作BM ⊥CA ，交CA 的延长线于M ，过D 作DN ⊥CA ，垂足为N ，∴∠BME=∠DN90°，∵点E 为BD 的中点，∴BE=DE ，∵∠BEM=∠DEN ，∴△BME ≌△DNE ，∴BM=DN ，∵AB=CD ，∴Rt △ABM ≌Rt △DCN ，∴∠BAM=∠DCN ，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，∴∠BDC=∠BAM ，∴∠BDC=∠DCN ，∴DE=CE ，∴BE=CE=DE ，∴∠DBC=∠ECB ，∴∠DBC+∠BDC=∠ECB+∠DCN ，∴△BCD 是直角三角形，∵tan ∠ACB=12， ∴tan ∠DBC=12， ∵DC=5，∴BC=10，在△BMC 中，设BM=x ，则CM=2x ，由勾股定理得：x 2+（2x ）2=102，，∴，由勾股定理得：==∴∴在△ADN中，==.故答案是：.13．解析：在Rt△DBC中,，，，，，∴∠ABD=∠A，14．继续向东航行，没有触礁的危险．解：如图，过C作CD⊥AD于点D．在Rt△CBD中，∠CBD=60°，在Rt△ADC 中，∠CAB=30°，则∠ACB=30°，∴BC=AB=20海里，∠CBD=60°，∴CD=BC•sin∠CBD=BC•sin60°=BC，故CD=（海里）．∵＞12，∴继续向东航行，没有触礁的危险．15．周长55千米，面积157平方千米．解析：连接AC，人教版初中数学九年级下册第二十八章《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（含答案）∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝15千米．又∵∠D＝90°，∴AD＝＝＝12(千米)．∴周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝15＋15＋3＋12≈30＋4.23＋20.76≈55(千米)，面积＝S△ABC＋S△ACD≈157(平方千米)．3 / 7。

2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）1．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．2．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）3．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．4．图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE 平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）5．一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）6．2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB 的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）7．今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）8．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）9．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）10．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．11．“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）12．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）13．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．14．资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．15．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．16．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）17．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．18．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）19．小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．20．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）21．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．参考答案1．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．2．解：在Rt△BCD中，BC＝DC•tan30°＝15×≈5×1.73＝8.65（m），在Rt△ACD中，AC＝DC•tan37°≈15×0.75＝11.25（m），∴AB＝AC﹣BC＝11.25﹣8.65＝2.6（m）．答：广告牌AB的高度为2.6m．3．解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．4．解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，∴∠CAF＝60°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF＝m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE＝1.5•sin15°m，∴FG＝FC+CG＝+1.5•sin15°≈1.3m．故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．5．解：在△ADC中，设AD＝xm，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝xm，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴AD＝BD•tan30°，即x＝（16+x）m，解得：x＝（8+8）m，∴AB＝2AD＝2×（8）＝（16）m，∴钢索AB的长度为（16）m．6．解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，在Rt△CEB中，∠CBE＝30°，BC＝48米，∴CE＝BC•sin30°＝×48＝24（米），BE＝BC•cos30°＝48×≈24×1.73＝41.52（米），∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），答：桥墩AB的高约为72.4米．7．解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），则FN＝GB＝40米，在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，∴DM＝EM＝15.8米，∵MG＝AE＝1.4米，∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），∵NG＝FB＝1.8米，∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，∵tan∠CFN＝≈0.4245，∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）故国旗的宽度CD约为1.6米．8．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK ⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．9．解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75，解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．10．解：设CD＝xm，在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，BD＝，∵AD+BD＝AB，∴，解得，x≈33.4．答：宝塔的高度约为33.4m．11．解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：则AF＝CE，由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝tan24°≈，∴AE＝x米，∵AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x≈16.4，∴AF≈16.4（米），∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（米），即这栋建筑物的高度为43.6米．12．解：（1）∵B为AD′中点，∴AB＝AD′,∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,∵AB＝BD,∴AD＝2AE,∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,∴∠BAE＝BAC＝70°,在Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),∴AD＝2AE＝13.6(cm),∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.4(cm)．∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．13．解：（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，如图：∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，在Rt△BCQ中，CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．（2）手臂端点D能碰到点M，理由：由题意得，当B，C，D共线时，手臂端点D能碰到最远距离，如图：BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，在Rt△ABD中，AB²+AD²＝BD²，∴AD＝120cm＞110cm．∴手臂端点D能碰到点M．14．解：（1）如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝，即＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D处的竖直高度为5米；（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．15．解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2米，∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，∴，设DH＝x米，CH＝3x米，∵DH2+CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2（米），CH＝6（米），答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a﹣2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝6+4，∴AB＝（6+4）（米）．答：大树AB的高度是（6+4）米．16．解：延长BC交MN于点H，AD＝BE＝3.5，设MH＝x米，∵∠MEC＝45°，∴EH＝x米，在Rt△MHB中，tan∠MBH＝＝≈0.65，解得x＝6.5，则MN＝1.6+6.5＝8.1≈8（米），∴电池板离地面的高度MN的长约为8米．17．解：如图，∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，∴sin∠EBA＝≈0.80，cos∠EBA＝≈0.60，∴AE＝8cm，BE＝6cm，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，∴sin∠BCF＝≈0.80，cos∠BCF＝≈0.60，∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm，∴EF＝6+4.8＝10.8cm，∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2），S△ABE＝＝×8×6＝24（cm2），S△BCF＝•BF•CF＝×4.8×3.6＝8.64（cm2），∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）．18．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．19．解：（1）设AD与BC交于点F，由题意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBF＝60°，∴∠BF A＝∠EBF＝60°，∵∠BF A＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，∴∠C＝∠BF A﹣∠CAD＝30°；（2）过点B作BG⊥AD于G．∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，AG＝BG＝20×sin45°＝（米），在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，∴BF＝＝＝（米），FG＝＝＝（米），∵∠C＝∠CAD＝30°，∴CF＝AF＝AG+FG＝（10+）（米），∴BC＝BF+CF＝（10+10）米，答：两棵银杏树B、C之间的距离为（10+10）米．20．解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝＝≈1.33，∴AD＝≈18.05（米）．∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，∴CD＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．21．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，∴AE＝CE＝25（海里），∵∠CBE＝30°，∴BE＝25（海里），∴BC＝2CE＝50（海里）．答：观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）如图，作CF⊥DB于点F，∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，∴四边形CEBF是矩形，∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），在Rt△DCF中，根据勾股定理，得CD＝＝＝70（海里），∴70÷42＝（小时）．答：救援船到达C点需要的最少时间是小时。

28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，AB=12√2，AC=13，cos∠B=√22，则BC边长为（）A.7B.8C.8或17D.7或172. 如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sin B=()A.5 13B.1213C.35D.453. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.30√2海里B.30√3海里C.60海里D.30√6海里4. 如图，在高为2m，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在离电视塔am的A处，测得塔顶仰角为β，若测角仪高度为bm，则电视塔高为（）A.(a tanβ+b)mB.(a cotβ+b)mC.(a sinβ+b)mD.(a cosβ+b)m6. 如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．现在AC上取一点B，使∠ABD=145∘，BD=500 m，∠D=55∘，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离为（）mA.500⋅sin55∘ mB.500⋅cos55∘ mC.500⋅tan55∘ mD.50cos55∘，AC=2√3，则AB=()7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，tan B=√32A.4B.5C.6D.78. 如图是一长为50米的游泳池的纵切面，该游泳池的最浅处为1.2米，最深处为2.2米，底面为斜坡，则底面的坡度为（）A.50B.1:50C.3:125D.11:2509. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60∘方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30∘方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30∘方向，则A，C两地的距离为()A.10√33km B.5√33km C.5√2km D.5√3km10. 如图，等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，则腰AB、AC的值为（）A.20B.15C.10D.7.5二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，那么∠B=________度．12. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．13.在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=2，若sin C=15，则BC的长度为________．14. 如图，C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，且BC为5海里，AC为12海里，则sin∠CAB=________．15. 在△ABC中，AB=AC=6cm，BD为AC边上的高，∠DAB=60∘，则线段CD的长为________．16. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为________m．17. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．18. 如图，设∠AOC=α，∠BOC=β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，等于________（用α、β的三角函数表示）则PDPE19. 如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC 的高度为________m（结果保留根号）．20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知一艘轮船从港口A出发以80km∕ℎ的速度向正东方向航行，30min后到港口B，又从港口B以同样的速度15min后航行到港口C，此时在C处测得港口A位于港口C的南偏西63.4∘方向上，求该艘轮船以80km∕ℎ的速度返回到港口A所需的时间．（精确到0.01ℎ，参考数据：cos63.4∘≈0.45，sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50，√2≈1.41，√5≈2.24）22. 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45∘，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30∘，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）23. 如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1:√3，小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60∘，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45∘，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，√3≈1.73）24. 教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53∘，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度1:√3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，tan53∘≈4，3 cos53∘≈0.60）25. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜为12∘−24∘的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1所示，AB 可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24∘，求此时支撑臂CD的长．（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12∘，求此时AD的长（结果保留根号）．[参考数据:sin24∘=0.40, cos24∘=0.91, tan24∘=0.46, sin12∘=0.20]参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ cos∠B=√22，∵ ∠B=45∘，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵ AB=12√2，∠B=45∘，∵ AD=BD=12，∵ AC=13，∵ 由勾股定理得CD=5，∵ BC=BD−CD=12−5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，故选D．2.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∵ AC=5．∵ AC2+BC2=169=AB2，∵ △CBA是直角三角形．∵ sin B=ACAB =513．故选A．3.【答案】A【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．在Rt△PAC中，∵ PA=60海里，∠PAC=30∘，AP=30海里．∵ CP=12在Rt△PBC中，∵ PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45∘，∵ PB=√2PC=30√2海里．即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30√2海里．故选：A．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∵ tan A=BC，AC∵ AC=BC÷tan30∘=2√3．∵ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△BCD中，∠CBD=β，BD=AE=am，则tanβ=CD，即CD=BD tanβ=a tanβ(m)，BD又因为DE=AB=bm，则CE=CD+DE=(a tanβ+b)m．故选A．6.【答案】B【解答】解：由题意可得，∠DBC=180∘−∠ABD=180∘−145∘=35∘，BD=500m，∵ 要使A，C，E成一直线，则∠DEB=180∘−∠DBE−∠D=90∘，∵ DE=BD⋅cos50∘=500⋅cos55∘，故选B．7.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵ sin A=CDAC，∵ CD=AC sin A=AC sin30∘=2√3×1 2=√3，∵ cos A=ADAC，∵ AD=AC cos30∘=2√3×√3 =3．∵ tan B=CDBD =√32，∵ BD=2．∵ AB=AD+BD=2+3=5．故选B．8.【答案】B【解答】解：因为水平距离为50米，则底面的坡度为2.2−1.250=1:50．故选B．9.【答案】A【解答】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30∘，∠EAB=60∘，∠3=30∘．∵ EF // PQ，∵ ∠1=∠EAB=60∘又∵ ∠2=30∘，∵ ∠ABC=180∘−∠1−∠2=180∘−60∘−30∘=90∘．∵ △ABC是直角三角形．又∵ MN // PQ，∵ ∠4=∠2=30∘．∵ ∠ACB=∠4+∠3=30∘+30∘=60∘．∵ AC=ABsin∠ACB =√32=10√33(km)．故选A．10.【答案】C【解答】解：∵ 等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，∵ AB=AC=2AD=2×5=10．故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】60【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，AB，∵ BC=12∵ ∠A=30∘，∵ ∠B=60∘（直角三角形的两个锐角互为余角）．故答案是：60∘．12.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∵ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.13.【答案】10【解答】解：∵ ∠A=90∘，∵ sin C=ABBC =15，∵ AB=2，∵ BC=10；故答案为：10．14.【答案】513【解答】解：过C点作CD // AE，∵ C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，AC // CD，CD // BC，∵ ∠EAC=∠ACD=50∘，∠FBC=∠DCB=40∘，∵ ∠ACB=90∘，∵ sin∠CAB=BCAB，∵ BC为5海里，AC为12海里，∵ AB=13海里，∵ sin∠CAB=BCAB =513．故答案为：513．15.【答案】3cm或9cm【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵ AB=AC，∠DAB=60∘，∵ △ABC是等边三角形，∵ CD=12AC=12×6=3cm，②ABC是钝角三角形时，∵ ∠DAB=60∘，∵ ∠ABD=90∘−60∘=30∘，∵ AB=6cm，∵ AD=12AB=12×6=3cm，∵ CD=AD+AC=3+6=9cm，综上所述，线段CD的长为3或9cm．故答案为：3cm或9cm．16.【答案】4√5【解答】解：∵ AB=10米，tan A=BCAC =12．∵ 设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2√5，∵ AC=4√5，BC=2√5米．故答案为4√5．17.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∵ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∵ 这样就构成了一对同旁内角，∵ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∵ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.18.【答案】sinαsinβ【解答】解：∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∵ ∠PDO=∠PEO=90∘，∵ sinα=PDPO ，sinβ=PEPO，∵ PDPE =sinαsinβ．故答案为：sinαsinβ．19.【答案】10√3【解答】∵ 在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，∵ ∠B=30∘，∵ BC=30m，∵ AC=√33BC=30×√33=10√3m，20.【答案】5.4米【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，∵ ∠AFB=90∘，∠BAF=180∘−60∘−90∘=30∘，∵ BF=12AB=10，AF=√3BF=10√3，∵ BG=AF+AE=10√3+30．在Rt△BGC中，∵ ∠BGC=90∘，∠CBG=45∘，∵ CG =BG =10√3+30．Rt △ADE 中，∵ ∠AED =90∘，∠DAE =60∘，AE =30， ∵ DE =√3AE =30√3，∵ CD =CG +GE −DE =10√3+30+10−30√3≈5.4． 答：宣传牌CD 高约5.4米．故答案为5.4米．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 21.【答案】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ． 根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．【解答】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ．根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．22.【答案】河宽为68.30米．【解答】过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45∘，AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中：∠CBE ＝30∘，BE =√3CE =√3x ， ∵ √3x ＝x +50解之得：x ＝25√3+25≈68.30． 23.【答案】解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，即m−5√3=√3，解得m=10(√3+1)，∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，=√3，解得m=10(√3+1)，即m−53∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．24【答案】宣传牌CD高约6.7米．【解答】过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，由（1）得：BH＝5，AH＝5√3，∵ BG＝AH+AE＝5√3+21，Rt△BGC中，∠CBG＝45∘，∵ CG＝BG＝5√3+21．Rt△ADE中，∠DAE＝53∘，AE＝21，AE＝28．∵ DE=43∵ CD＝CG+GE−DE＝26+5√3−28≈6.7m．答：宣传牌CD高约6.7米．25.【答案】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．。

28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AD ⊥BC 于D ，设∠ABC =α，则下列结论错误的是（ ）A.BC =AC sin αB.CD =AD ⋅tan αC.BD =AB cos αD.AC =AD cos α2. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( ) A.北纬34∘03′ B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03′，东经103∘49′3. 下列说法中，正确的是（ ）A.在Rt △ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍B.若45∘<α<90∘，则sin α>1C.cos 30∘+cos 45∘=cos (30∘+45∘)D.若α为锐角，tan α=512，则sin α=5134. 如图，在高为2m ，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=15，sin A=1，则BC=()3A.5B.10√2C.45D.156. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘7. 等腰三角形的顶角A=120∘，底边BC的长为12cm，那么它的腰长是（）A.2√3cmB.4√3cmC.√3cmD.6cm8. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西60∘的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西30∘的方向行驶30海里到达C地，则A、C两地相距（）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里9. 国际商贸城福田三期市场于2008年10月隆重开业．在开业店铺装修中，陈师傅用防火材料制作了一块如图所示的三角形隔离板，该板的面积为（）dm2 C.6dm2 D.3dm2A.3√2dm2B.3√2210. 如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是()A.B地在C地的北偏西40∘方向上B.A地在B地的南偏西30∘方向上D.∠ACB=50∘C.cos∠BAC=√32二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），那么AC＝________．11. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AB＝6，cos A=2312. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是2:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是________．13. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为________．14. 如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为30∘，向塔前进10米到达D，在D处测得A的仰角为45∘，则塔高为________米．15. 一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的M处，上午11时到达N处时发现此灯塔P在船的正北方向，则这只船的航行速度为________海里/小时．16. 如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．18. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．19. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．20. 如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上一点，测得∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，BC=60米，甲想从A点出发在最短的时间内到达BC边，若他的速度为5米/分，则他所用的最短时间为________分．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90∘，∠E=30∘，∠B=45∘，AC=12，试求BD的长．22. 有一种小凳的示意图如图所示，支柱OE与地面l垂直，小凳表面CD与地面l平行，凳腿OA与地面l的夹角为40∘，OE=35cm，OA=OB=25cm．求小凳表面CD与地面l的距离（精确到1cm）．（备用数据：sin40∘=0.6428，cos40∘=0.7660，tan40∘=0.8391．）23 如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台宽度DE为2米，DM，EN为平台的两根支柱，且DM，EN均垂直于AB，垂足分别为M，N，∠EAB=30∘，∠CDF=45∘．则求BM的长度．（精确到0.1米）24. 某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识，测量聊城摩天轮圆心D到地面AC的高度CD，如图，在空地的A处，他们利用测角仪器测得CD顶端的仰角为30∘，沿AC方向前进40米到达B处，又测得CD顶端的仰角为45∘，已知测角仪器的高度为1.2米，求摩天轮圆心到地面的高度. (√3≈1.732，精确到0.1米)25. 如图，在山坡上有一棵大树AB，小明在坡上的C点处测得树顶B的仰角为17∘，已知山坡的坡角为15∘，测角仪高CD为1.5米，测角仪离大树的坡面距离AC为50米，求大树AB的高．（精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=AC，BC，故A正确；∴ BC=ACsinαB．∴ ∠B+∠BAD=90∘，∠CAD+∠BAD=90∘，∴ ∠B=∠CAD=α，，在Rt△ADC中，tanα=CDAD∴ CD=AD⋅tanα，故B正确；C．在Rt△ABD中，cosα=BD，AB∴ BD=AB⋅cosα，故C正确；D．在Rt△ADC中，cosα=AD，AC∴ AD=AC⋅cosα，故D错误；故选D．2.【答案】D【解答】解：准确表示兰州市的地理位置的是北纬34∘03′，东经103∘49′.故选D.3.【答案】D解：A，在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cos A值不变，故本选项错误；B，应为若45∘<α<90∘，则√22<sinα<1，故本选项错误；C，三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D，根据tanα=512，设两直角边为5k，12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．故选D．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∴ tan A=BCAC，∴ AC=BC÷tan30∘=2√3．∴ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：∴ sin A=BCAB =13，AB=15，∴ BC=5，【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.7.【答案】B【解答】解：如图：∴ △ABC是等腰三角形，∠A=120∘，∴ ∠B=∠C=30∘，AD⊥BC，∴ BC=12，∴ BD=6，设AD为x，则AB=2x，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，即(2x)2=62+x2，解得：x=2√3，∴ 2x=4√3，∴ 它的腰长是4√3．故选B．8.【答案】【解答】解：连结AC，∴ ∠2=∠1=60∘，3=30∘，∴ ∠ABC=∠2+∠3=90∘，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=50海里．故A、C两地相距50海里．故选：C．9.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于D点．在直角△ACD中，∠CAD=45∘，则CD=AC⋅sin45∘=3×√22=3√22．则三角形ABC的面积是：12⋅AB⋅CD=12×2×3√22=3√22．故选B．10.【答案】C【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60∘，∠4=50∘，∴ ∠5=∠4=50∘，即B在C处的北偏西50∘，故A错误；∴ ∠2=60∘，即A在B处的南偏西60∘，故B错误；∴ ∠1=∠2=60∘，∴ ∠BAC=30∘，∴ cos∠BAC=√32，故C正确；∴ ∠6=90∘−∠5=40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故D错误．故选C.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4【解答】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝6，cos A=23，∴ cos A=ACAB =23，则AC=23AB=23×6＝4，12.【答案】9米【解答】解：∴ 迎水坡AB的坡比2:3，∴ BCAC =23，∴ 堤高BC=6米，BC=9（米）．∴ AC=32故答案为：9米．13.【答案】6√5m 【解答】解：∴ 斜面坡度为1:2，AC=12m，∴ BC=6m，则AB=√AC2+BC2=√122+62=6√5(m)．故答案为：6√5m．14.【答案】5(√3+1)【解答】解：在Rt△ABD中，∴ ∠ADB=45∘，∴ BD=AB．在Rt△ABC中，∴ ∠ACB=30∘，∴ BC=√3AB．设AB=x（米），∴ CD=10，∴ BC=x+10．∴ x+10=√3x=5(√3+1)．∴ 解得：x=√3−1即铁塔AB的高为5(√3+1)米．故答案为：5(√3+1)．15.【答案】15√2【解答】解：如图所示，在等腰直角三角形APN中，，sin∠APN=ANAP，∴ sin45∘=AN60∴ AN=30√2海里，∴ 速度为30√2÷2=15√2（海里/小时）．16.【答案】15√3【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴ tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴ AB=√3AC＝15√3，17.【答案】√3【解答】解：由CD⊥AB于D，得∠ADC=CDB=90∘，由∠A+∠ACD=90∘，∠A+∠B=90∘，得∠B=∠ACD，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，所以可得∠A=30∘，∠B=60∘，tan∠ACD=tan60∘=√3，故答案为：√318.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∴ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∴ 这样就构成了一对同旁内角，∴ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∴ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.19.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∴ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.20.【答案】(18−6√3)【解答】解：过A点作AD⊥CB交BC于点D，所走路线为A→D，∴ ∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，∴ tan∠CAD=CDAD ，tan B=ADBD，∴ tan30∘=CDAD，tan45∘=ADBD，∴ AD=√3CD，AD=BD．又∴ CD+BD=60，∴ CD+AD=60．∴ √33AD+AD=60，∴ AD=90−30√3，∴ 90−30√35=(18−6√3)分．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．【解答】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．22.【答案】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．【解答】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．23【答案】BM的长度约为4.6米．【解答】解：设BM=x米．∴ ∠CDF=45∘，∠CFD=90∘，∴ CF=DF=x米，∴ BF=BC−CF=(6−x)米．∴ EN=DM=BF=(6−x)米．∴ AB=9米，DE=2米，BM=DF=x米，∴ AN=AB−MN−BM=(7−x)米．在△AEN中，∠ANE=90∘，∠EAN=30∘，∴ EN=AN⋅tan30∘．即6−x=√33(7−x)．解这个方程得：x=√33−√3≈4.6．24【答案】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.【解答】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.25【答案】大树AB的高约为29.2米．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，得矩形DEFC∴ EF=CD=1.5，由已知得，∠FCA=15∘在Rt△ACF中，∠AFC=90∘AF=AC⋅sin∠ACF=50×sin15∘≈12.94CF=AC⋅cos∠ACF=50×cos15∘≈48.30在Rt△DBE中，∠BED=90∘BE=DE⋅tan∠BDE=48.30×tan17∘≈14.77∴ AB=BE+EF+AF=12.94+1.5+14.77≈29.2。