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函数极值 PPT

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函数的单调性极值与最值课件

函数的单调性极值与最值课件

2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.

函数的极值-课件

函数的极值-课件
函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。

3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点

函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解：因为 = − − + , 所以′ = − −
令��′() = ，解得 = − ，或 = .
当变化时，′() ， 的变化情况如下表所示 .
x
(−∞, −)
′
+
y
单调递增
-1
(-1,3)
3
(, +∞)
0
-
0
+
单调递减
极小值
y
且 0 = 0 ，可知 d=0 .
∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负.
O
x
又 ′ = 3 2 + 2 +
∴ a<0
且 = 0 是在增区间内，即f ′ 0 > 0,
则c>0,对称轴 −
b
2a
> 0,可知b>0
综上， a<0，b>0，c>0，d=0 .
总结
函数的极值
函数f(x)，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做
（2）如果在 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > ，那么( )是极小值.
课堂检测
判断正误
(1) 函数的极大值一定比极小值大．(
×)
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(
×
)
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧′ < ，右侧′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
y
a
O

同济第五版高数3-5极值最值.ppt

同济第五版高数3-5极值最值.ppt

• 对于应用问题 有时可根据实际意义判别 对于应用问题,有时可根据实际意义判别 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数 上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极 大 值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件 第二充分条件) 定理 (第二充分条件 处具有二阶导数,且 设 f (x)在 x0 处具有二阶导数 且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？ 下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但 函 数 f ( x )在 该 点 连 续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .

人教选修1-1A 函数的极值与导数 ppt21

人教选修1-1A 函数的极值与导数 ppt21

3.思考： 观察下图，当t=t0时高度h最大,
那么函数 h（t）在此点的导数是多少呢？ 此点附近的图象有什么特点？相应地，导数 的符号有什么变化规律？
关注用导数本质及其几何意义解决问题
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
从图象我们可以看出下面的结论: 函数在X=0的函数值比它附 近所有各点的函数值都大，我 们说f(0)是函数的一个极大值； 函数在X=2的函数值比它附近 所有各点的函数值都小，我们 说f(2)是函数的一个极小值。
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
a4 a 3 . 由①、②解得 或 b 11 b 3 2 当a=-3,b=3时, f ( x) 3( x 1) 0 ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意. f ( x) 3 x 2 8 x 11 (3 x 11)( x 1). 当a=4,b=-11时, -3/11<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
b 11 b 3 2 当a=-3,b=3时, f ( x) 3( x 1) 0 ,此时f(x)在x=1处无
-3/11<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必 要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: 解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:

《函数的极值问题》课件

《函数的极值问题》课件

在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述

函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
在 = 1处取得极小值，故D正确.
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0

6
B.
答案：B.
C.

3

2
D.

在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值

5.3.2函数的极值课件2024-2025学年人教A版必修第一册

5.3.2函数的极值课件2024-2025学年人教A版必修第一册

x0 f′(x) =0 极大值
x0 f′(x) =0 极小值
x0右侧 f′(x) <0 减
x0右侧 f′(x) >0 增
练习：(多选)定义在 R 上的可导函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正
确的是
()
A．－3 是 f(x)的一个极小值点
B．－2 和－1 都是 f(x)的极大值点
C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
x3
a x1 O x2
x4 x5
x6
bx
x4为极小值点，f (x4 )为极小值.
练1.下图是导函数y f '(x) 的图象，试找出函数y f (x) 的极值点. 并且指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
y
x
(x4 , x6 )
x6
(x6 , b)
y f ( x)
f '(x) +
0
+
x3
f (x) 单调递增
O
b
x
(2)
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定 是极值点.
单调递增
a x1 O x2
x4 x5
x6
bx
f (x6 )既不是极大值也不是极小值.
问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
f ′(x0)=0 ⇏ x0是函数 f(x) 的极值点

ppt-0302--函数单调性与极值、最值

ppt-0302--函数单调性与极值、最值

y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.

3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)

3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)

(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图 像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析] 令f′(x)＝0，
(1)∵f′(x)＝3x2－3，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 当x＝－1时，f(x)有极大值3；
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数
为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝
x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0， 且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端 点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立 即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
[例1]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分
类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌 握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合 问题的关键．
7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是

第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT

第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT

2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②

函数的极值ppt课件

函数的极值ppt课件

●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b

函数的极值及其求法归纳课件

函数的极值及其求法归纳课件
提示: 将 f (x) 代入方程 , 令 x x0 , 得 f (x0 ) 4 f (x0 ) 0
.精品课件.
25
4. 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 5. 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .
证 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 的符号相同, 则 f ( x)
在点 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
.精品课件.
x (是极值点情形)
3
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x),并求出f ( x)的全部驻点与
不可导点; (2) 根据 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左右
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o(( x x0 )n )
f ( x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((
x
x0
)n
)
.精品课件.
13
故
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
)
f (n)( x0 ) n!
1) 当 n为偶数时,
若
f
(n)
(
x0
)
0
,
则 lim
f ( x)
0
0
f (x)
极小值 极大值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.

高考数学总复习函数的极值与导数PPT课件

高考数学总复习函数的极值与导数PPT课件
互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
(3)已知函数 y＝|x2－2|x|－3|的图像如图所示，由图像指出该 函数的极值．
【解析】 由图像可知：当 x＝±3 时，函数取极小值 0；当 x ＝0 时，函数取极小值 3；当 x＝±1 时，函数取极大值 4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不 存在．
题型二 利用导数求极值
令 f′(x)＝0，得 cosx＝12或 cosx＝－1.
π
5π
当 0<x<2π时，x1＝ 3 ，x2＝π，x3＝ 3 .
当 x 在区间(0，2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
π (0， 3 )
＋
π 3
0 极大值
33 4
π ( 3 ，π)
－
π
5π (π， 3 )
要点 2 极大值：(对可导函数) 如图，若 b 为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)≥f(x0)(f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值)； ②f′(b)＝0； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x)<0，函数单调递减．
题型一 根据图像求极值
例 1 如图观察，函数 y＝f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处 的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规 律？

函数的极值 课件(第1课时)

函数的极值 课件(第1课时)

知识点 1 极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他 点的函数值都小，f ′(a)＝_0，而且在点 x＝a 附近的左侧__f_′(_x_)_＜__0___， 右侧__f_′_(x_)_＞__0___，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，f __(_a_) _叫 做函数 y＝f (x)的极小值．
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x BC [对于 A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3 单调递增，无极值；对于 B， y′＝2x，x＞0 时 y′＞0，x＜0 时 y′＜0，∴x＝0 为极值点；对于 C，根 据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C 符合； 对于 D，y＝2x 单调递增，无极值．故选 BC．]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习任务
核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．(难 1．通过极值点与极值概念的
点) 学习，培养数学抽象的核心
2．了解函数在某点取得极值的必 素养．
要条件和充分条件．(重点、易混 2．借助函数极值的求法，提
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值 ↘ 极小值
↗
∴当 x＝－1 时，函数 y＝f (x)有极大值，且 f (－1)＝10； 当 x＝3 时，函数 y＝f (x)有极小值，且 f (3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)． 令 y′＝0，即 5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得 x1＝0，x2＝3，x3＝5．当 x 变化时，y′与 y 的变化情况如下 表：

《极值与最值》课件

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性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间
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f (x5)0
函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0 (1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负，
(1) 则函数 f (ห้องสมุดไป่ตู้)在点 x0 处取得极大值 f
(2)´若( x在0 )点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负； 在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正，
则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
并不意味着它在函数的整个的定义域 内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
能在区间的内部，也可能在区间的端
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) > f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；
取得极值的必要条件：
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
函数的极值
• 函数极值的概念 • 函数极值的求法
函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。
y f(x)x3
O
x
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 观察与思考：极值与导数有何关系？
y yf(x)
O a x1
x2
x3
x4
x5 b x
f (x1)0 f (x2)0 f (x3)0
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
点
y
f(x5)
f(x3)
f(x1) f(x4)
a
x1
x2 O
x3 x4 x5
bx
f(b)
f(x2)
f(a)
例1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有 （ ）极小值A 点有（ ） B
y
y f ?( x)
以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。
例: 求 yx33x218x24的单调区间和极值.
2
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´(x) =－3x²+ 3x + 18
(3) 令 f ´(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3
(4) 列表讨论，如下：