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五、极值应用
1、利用极值判断或讨论方程根的个数
x •(…,b) •b •(b,
f ’(x) • + •0 •…) -
f (x)
•f(
b)
（4）结论
x •(…,a) •a •(a,
f ’(x) • - •0 •…) +
f (x)
•f(
a)
表格法 注意：表格要体现定义域
例1：书P28例题4
练习：书P29 2
求函 f(x)数 1x34x4的极 . 值
b
x
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
练习：书P29练习1，P32 习题4 类似：《智力报》P6 1.3.2及时练 3
《智力报》P37
(1) 求导函数f `(x)及定义域；
(2) 求解方程f `(x)=0；
(3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值.
由x0,x1,x2,将定义域分成四个 , 区间
f '(x),f (x)的变化情况如 : 表
x (-∞, 0)
0 (0,1) 1 (1,2)
2 (2,+∞)
f’(x)
-
f(x)
↘
不存在 +
0
- 不存在
+
极小值0 ↗ 极大值1 ↘ 极小值0
↗
当 x 0 或 x 2 时 ,f( x ) 极 小 0 ;当 x 值 1 时 f( x ) 极 大 1 值
4、某区间上的单调的函数没有极值. 有极值就不单调
5、极大值与极小值没有必然的大小关系, 即极大值不一定比极小值大,极小值不 一定比极大值小.
6、函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、
最小值.
7、函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上可导且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的.
作业：（1）书 P 32 5（4）
（2） 求函 f(x)数 x2ex的极 . 值
（3）
求函数
a2 f(x)x
(a0)
的极值.
x
（4）: 已知函数 f(x)满足条件：①当x>2时, f(x)0
②当 x<2时, f(x ) 0③ f(2 ) 0
求证:函数 y f (x2) 在 x 2 处有极小值.
y’
+ 不存在 — 0
+
y
↗
↘
↗
而,当x=
2 5
时有极小值,并且,y极小值=
.
四、0导数点与极值点的关系?
例题3： 求函y数 3x55x3的极值
解： y 1x4 5 1x2 5 1x2 5 (x 1 )x ( 1 )
令 y 0 ,解得 x1=-1, x2=0，x3=1. xR 当x变化时, y ,y的变化情况如下表:
导数的应用—函数的极值
一、函数极值的定义：
一般函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
y=f(x) y y=f(x)
a b
cd e f o g h i j x
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)
(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
说明
1、极大值与极小值统称为极值. 2、极值点是自变量，极值是函数值
3、极值点是区间内部的点而不会是端点.
例题2：求函 y数 (x1)3x2的极 . 值
解：y
2
x332(x1)31x
5(x2)
5 33x
令 y 0 ,解得 x 2
开区间极值 唯一，则该 极值则为最
xR
当x变化时,
y
5 ,y的变化情况如下表:
值
x
,0
0
0 , 2 5
2 5
2 , 5
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
y
f(x0)0
f(x)0 f(x)0
oa
X00
b
x
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
y
f(x)0
f(x)0
f(x0)0
左右导 数异号
oa
X0
3
解: yx24(x2 )x (2 ).
f (x)
令 y 0,解得x1=-2,x2=2.
-2
2
xR 当x变化时, y ,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) y’ + y↗
-2 0 极大值
(-2,2) — ↘
2 0 极小值
(2,+∞) + ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
y’ + 0 — 0 — 0 +
y↗
↘
↘
↗
因此,当x= -1时有极大值,并且,y极大值= 2 ; 而,当x= 1 时有极小值,并且,y极小值= -2 .
结论
1、可导函数的极值点 导数为0
2**、不可导点也可能是极值点，主要按定义判断 （即左右导数异号）
拓展 例 .求 函 数 f(x ) 3(2 x x 2 )2 的 极 值 （答案见下页）
知识拓展
例 .求 函 数 f(x ) 3(2 x x 2 )2 的 极 值
解 :f(x )的 定 义 域 为 ( , ) f
'(x) 4(1x) 33 x(2x)
令f'(x)0,解x得 1当 x0及 x2时 ,f'(x)不存 . 在
二、极值点左右的导数符号变化情况
h oa
h’(t)=0
单调递增 h’(t)>0
单调递减 h’(t)<0
t
函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点左 右附近的导数符号有什么规律?
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
结论：
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧f /(x0)>0
