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3
解:∵ f x 1 x3 4x 4 ∴f ' x x2 4 x 2x 2
令
f
'
x
3
0,
解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论:
2
（1）当 f ' x 0 ，即x＞2,或x＜-2时; 2
（2）当 f ' x 0 ，即-2 ＜ x＜2时。
当x变化时，f ' x, f x 的变化情况如下表：
x ,2 2 2, 2 2 2,
f ' x
0
0
f x 单调递增 28 单调递减 4
3
3
∴当x=-2时, f(x)的极大值为 f (2) 28
当x=2时, f(x)的极小值为 f 2 4 3
3
单调递增
6
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
(1)确定函数的定义域 (2)求导数f'(x) (3)求方程f'(x) =0的全部解 (4)把方程的解在定义域范围内分区间列成表 格 (5)确定各区间 f'(x) 的符号
3
f (b) 0
y
极大值f(b)
y
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
y f x
极小值
ao
f(a)
f
(a)
b
(0图一)
x
y f x
e cd of g
(图二)
hx
点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
练习：
1、下列结论中正确的是（ B ）。
A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么
f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么
f(x0)是极大值。 Ｄ、极大值一定大于极小值。
y f x x3
x
0
7
练习
求下列函数的极值:
(1) f (x) 6x2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
解:
(1) f (x) 12x 1, 令 f (x) 0,
解得 x
1 12
列表:
x
(, 1 )
1
12
12
( 1 ,) 12
f ' x
–
0
+
f (x) 单调递减
49 单调递增 24
所以, 当 x 1 时, f (x)有极小值 12
f ( 1 ) 49 .ห้องสมุดไป่ตู้12 24
8
练习
求下列函数的极值:
(1) f (x) 6x2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
解: (2) 令f (x) 3x2 27 0,解得 x1 3, x2 3.列表:
x (–∞, –3)
f ' x
+
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
(3)函数 y f (x)有极大值? (4)函数 y f (x)有极小值?
10
思考：已知函数 f x ax3 bx2 2x 在 x 2, x 1处取得极值。
（1）求函数f x 的解析式 （2）求函数 f x的单调区间
解：（1） f ' x 3ax2 2bx 2
∵ f x在 x 2, x 1取得极值， ∴ f (2) 0, f (1) 0
0
–
54 单调递减
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
9
习题 A组 下图是导函数 y f (x) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处 (1)导函数 y f (x)有极大值? (2)导函数 y f (x)有极小值?
12
即
12a 4b 2 0
3a
2b
2
0
解得
a 1,b 1 32
∴ f x 1 x3 1 x2 2x
32
（2） ∵ f ' x x2 x 2， 由 f ' x 0得
x 1或x 2
∴ f x的 单调增区间为 ,2 U1,
由 f ' x 0 得 2 x 1 f x的单调减区间为 (2,1)
极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.
思考：极大值一定大于极小值吗？
4
（1）如图是函数 y f x 的图象,试找出函数 y f x的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
（2）如果把函数图象改为导函数 y f ' x的图象?
y
x3
a x1 o x2 x4 x5
yy ff' xx x6 b x
答： 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
5
例4：求函数 f x 1 x3 4x 4 的极值.
11
课堂小结:
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f'(x) (3)求方程f'(x) =0的全部解 (4)把方程的解在定义域范围内分区间列成表格
(5)确定各区间 f ' x 的符号
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极 值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
ao
f
(a)
b
(0图一)
问题：
f (x) 0
x
y f x
e cd of g
(图二)
y f x
hx
（1）函数 y f x在点 a, b的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系?
（2）函数 y f x在点 a, b 的导数值是多少?
（3）在点 a, b 附近,y f x 的导数的符号有什么规律?
函数的极值与导数
1
复习： 函数单调性与导数正负的关系
在某个区间(a, b)内, f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内是常函数.
2
f (b) 0
y
y
f (x) 0 f (x) 0
