函数的极值ppt 下载

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.

2 49 故f(x)极大值＝f－3＝ ， 27
1 f(x)极小值＝f(1)＝－ . 2
[例3]
设函数f(x)＝x3－3x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的
取值范围．
[思路点拨] 第(1)问利用导数求单调区间和极值，第
2．(2012· 陕西高考)设函数f(x)＝xex，则 A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
(
)
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x) 的极小值点．
x f′(x) f(x)
(0，e) ＋ 增加↗
e 0 极大值
(e，＋∞) － 减少↘
1 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝ ，没有 e 极小值点．
[一点通]
求函数的极值必须严格按照求函数极值
的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右
两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否
当x＝1时，f(x)有极小值－1.
(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形
状如右图所示，
当－1<a<3时，
直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点， 即方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为 (－1,3)．
[一点通]
极值问题的综合应用主要是利用函数的
单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着
答案：D
5．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为 ________ . 解析：y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1， x2＝1，经判断知x＝1是极大值点， 故f(1)＝2＋m＝10，m＝8. 答案：8

在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述

令 ′ = 0 ，解得 = 2 或 = 2 .
①当 = 1 时, 2 = 2 ，因此 ′ = − 2
2
≥ 0 ，故 在 上单调递增，函数不
存在极值.
角度2.含参数的函数求极值
②当 < 1 时, 2 < 2 ，当 变化时， , ′ 随 的变化情况如下表：
知识点1 函数极值的概念
>
/m
<
名师点睛
1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极
（1） =
解
2
;
e
函数 的定义域为 , ′ =
2
e
′ = 2 − e−
令 ′ = 0 ,得 2 − ⋅ e− = 0 ,解得 = 0 或 = 2 .
当 变化时, ′ , 的变化情况如下表:
0
2
-
0
0
单调递减
极小值0
个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一
般地,当函数 在区间 [, ] 上连续且有有限个极值点时,函数 在区间 [, ] 上的
极大值点\,极小值点是交替出现的.
过关自诊
1.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示 不一定.如图所示,
极大值 1 小于极小值 2 .
名师点睛
导数等于0的点不一定是极值点；反之,若函数可导,则极值点一定是导数等于0的点,

在 = 1处取得极小值，故D正确.
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0

6
B.
答案：B.
C.

3

2
D.

在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值

在区间(a,a+2) 上有极大值，则实数a 的取值范围是 .(—1,1)
内 容 索 引
2
1
【解析】 因为所以f(x)=3x²+mx—2m²=(3x—2m)(x+m).令f(x)=0, 得 ,X₂=—m.因为m>0, 所以 当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：
4 5
函数g(x)=f(x) 一m恰有3个零点，则m 的取值可能是(AD)A.—In2 B.—1C.—2 D.—3
3.(多选)(2022·邢台四校联考)已知函数
⑩已知函数f(x)=x⁵+ax³+bx+1 仅在x=±1 处有极值，且极大值比极小值大4.求：⑩(1)实数a,b的值；⑩(2)f(x)的极值.
必跟踪训练
内 容 索 引
又函数 f(x)仅在x=±1 处有极值，所以函数5x²+(3a+5)≠0 对任意x成立，即△=0-20(3a+5)<0, 解得则5x²+(3a+5)>0 对任意x 恒成立.又当x∈(一一，一1)U(1,十一)时，f (x)>0;当 x∈(-1,1)时，f (x)<0,所以当x=—1 时 ，fx) 取得极大值；当x=1 时 ，f(x) 取得极小值，所以f 一1)一f(1)=4,即 a+b=-3 .②由①②解得a=—1,b=—2. 故实数a,b 的值分别为一 1, — 2.
例4 已知f(x)=ax⁴ lnx+bx⁴—c(x>0)在x=1 处取得极值-3—c,其 中a,b,c 为常数
内 容 索 引
(2)由(1),得f(x)=48x³ln x(x>0).令f(x)=0, 解得x=1.当0<x<1时 ，f(x)<0, 此时f(x)为单调减函数；当x>1时 ，f(x)>0, 此时f(x)为单调增函数，故函数f(x)的单调增区间为(1,十o), 单调减区间为(0,1).(3)根据(2)的结论，可画出函数f(x)的草图，所以f(x)min=f(1)=—3—c.因为fx)≥-2c² 恒成立，所以-3—c≥-2c², 解得 或c≤—1,故实数c的取值范围为(-0,-1)u2,+0

2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②

并不意味着它在函数的整个的定义域 内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1x2bx Nhomakorabea在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
y
y f ?( x)
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
THANKS

知识点 1 极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他 点的函数值都小，f ′(a)＝_0，而且在点 x＝a 附近的左侧__f_′(_x_)_＜__0___， 右侧__f_′_(x_)_＞__0___，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，f __(_a_) _叫 做函数 y＝f (x)的极小值．
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x BC [对于 A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3 单调递增，无极值；对于 B， y′＝2x，x＞0 时 y′＞0，x＜0 时 y′＜0，∴x＝0 为极值点；对于 C，根 据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C 符合； 对于 D，y＝2x 单调递增，无极值．故选 BC．]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习任务
核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．(难 1．通过极值点与极值概念的
点) 学习，培养数学抽象的核心
2．了解函数在某点取得极值的必 素养．
要条件和充分条件．(重点、易混 2．借助函数极值的求法，提
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值 ↘ 极小值
↗
∴当 x＝－1 时，函数 y＝f (x)有极大值，且 f (－1)＝10； 当 x＝3 时，函数 y＝f (x)有极小值，且 f (3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)． 令 y′＝0，即 5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得 x1＝0，x2＝3，x3＝5．当 x 变化时，y′与 y 的变化情况如下 表：

f(x) 0 f(x) 0
x0,b
f(x)
极大值
f(x)
极小值
左正右负
左负右正
f(x) 1x34x4 3
（2） fx3xx3
（3）fxx2131
y
f(x)=
1 3
x3-4x+4
2
-2 O
x
h
9
归纳 求函数的极值的步骤:
(1)求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)=0的根； (3)检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如
❖探索: x =0是否为函数 fxx3的极值点?
y f(x)x3
Ox
f(x0) =0
x0 是函数f(x)的极值点
h
7
3.函数极值与导数的关系
y
几何说明：曲线在极值点
y 处的切线斜率为0，极大值
点左侧切线斜率为正，右 侧为负；极小值点反之。
o a x0
b
x
oa
x0
bx
x a, x0 x 0
x0,b
x a, x0 x 0
的函数
x 0)为函
数的极大值。
（数2）y=极f(小x)值在：任在何包一含点x的0的函一数个值区都间不（小a于,b点）x内0 的，函函数 值，称x 0 点为函数的极小值点，其函数值f(x 0)为函
数的极小值。
（3）极值：极大值与极小值统称为极值。
函数值
自变
量
（4）极值点：极大值点与极小值点统称为极值点。
h
5
2.定义再理解 y
识图说出 极值点？
m
x2
x1
o
x3 x4 x5
n x
（1）极值是一个局部概念。 （2）函数的极值不是唯一的 。 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 。

处函数有什么性质呢？
情境
苏轼在《题西林壁》中这
样写道：“横看成岭侧成
峰，远近高低各不同”，
描述的就是庐山的高低起
伏，错落有致。各个山峰
的顶端，虽然不是群山的
最高处，但它却是其附近
的最高点。
那么，在数学上，这种
现象如何来刻画呢？
探 究
• 思考1：从单调性的变化来看，
图中哪些点比较特殊？
极值
• 思考2：这些点处的函数值有
-
f(x)
单调递减
极小值0
单调递增
极大值4e-2
单调递减
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并
4
且极大值为f(2)= e2
.
（2） (－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f (x)既有
极大值又有极小值，∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a
f '( x)
+
0
+
f ( x) 单调递增
y f ( x )
y
单调递增
f ( x6 )既不是极大值也不是极小值.
a x1 O
x2
x3
x4 x5
x6
b
x
问题4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
那么，极值存在的条件是什么？
若函数有极值点，则在极值点处导数为0,但导数为0的
点可能不是函数的极值点.也就是说,“f'(c)=0”是“f (x)在
=3
当
= 2,
时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),令 f'(x)>0 得 x<-3 或 x>-1;