函数y=f′(x)的变号零点,才是函数的极值点.
新知学习
例1
新教材《选择性必修二》
函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数 y=f(x)在区间(3,5)内单调递增;
②函数
1
y=f(x)在区间-2,3内单调递减;
③函数 y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增;
1
3
2 3
3
2 3
f(x)在 x=- 3 处取得极大值 9 ,在 x= 3 处取得极小值- 9 .
跟踪训练
(2)f(x)=x2e-x.
解 函数f(x)的定义域为R,
新教材《选择性必修二》
f′(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)′=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x.
令f′(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,解得x=0或x=2.
④当 x=-2时,函数 y=f(x)有极大值;
⑤当 x=2 时,函数 y=f(x)有极大值.
③⑤
则上述判断中正确的序号是________.
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解析
新教材《选择性必修二》
对于①,当x∈(3,4)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(4,5)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以①错误;
例2 求下列函数的极值:
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)=3x2-6x-9,
新教材《选择性必修二》
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)