下载文档原格式
静电源像法求解格林函数摘要利用静电源象法求出不同区域的格林函数,是求解这些区域上的拉普拉斯方程与泊松方程边界间题的关键。
同时,静电源象法也是物理专业学生在电动力学等专业课的学习中应熟练掌握的一个有用工具。
针对这个间题文章归纳出利用静电源像法求格林函数的一般基本思路。
关键词格林函数；静电源像法；狄利克雷边值静电源像法理论依据静电源像法求区域的格林函数归结为求函数g（,),也就是求感应电荷产生的点位。
当区域的边界具有特殊的对称性时，就可以用类似于反射波的方法求的格林函数。
在区域外也有一个点电荷，他对自由空间的电场产生一个电位，这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，这个点电荷在内的电位就等于感应电荷产生的电位。
现在利用静电源法求秋的格林函数，K是以O为圆心，R为半径的球面。
在点放置一单位电荷，在半射线上截线段使=，（1.1）其中,,称点为关于球面K的反演点。
设P是球面K 上的任意给定一点，考察三角形,他们在点O有公共角，而夹此角的二相应边按（1.1）式是成比例的，因此这两三角形是相似的。
有相似性得到，对球面K上任意点P必有。
在点处有一个点电荷，根据上式，它所产生的电位恰好与处单位电荷所产生的电位抵消，必须是在处的点电的电量为-,因此,这样一来，以K为球面的球上的格林函数就是：, (1.2) 现在用（1.2）求方程满足边界条件（1.3）的狄利克雷问题的解。
应用，其中=,是和OM的夹角，利用（1.1）式，根据（1.2）式就得到格林函数：, 易知在球面K上，-=因此，得到在球上的狄利克雷问题的接的表达式为，（1.4）球坐标形式如下其中（）是点的坐标，是球面K上P的坐标，。
静电源像法求解半空间的狄利克雷问题要求一个半空间z>0上的调和函数，它在平面z=0上取函数f(x,y):.点的对称点是。
由此，有如下的格林函数：对于半空间z>0来讲，平面z=0的法线方向是与z轴相反的方向，即。
此外，对于半空间的情形，只要对调和函数()加上在无穷远处的条件：（），再由公式，可得到半空间上的调和方程的狄利克雷问题的解的表达式为：=静电源像法应用举例无限大导体平面前的点电荷用镜像法解题，设在无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷Q与平面距离为z=h导体平面是等位面。
一、电象法的概念和适用条件1.求解泊松方程的难度一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。
但是，在许多情况下非常困难。
例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。
求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。
2. 以唯一性定理为依据在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。
3.电象法概念、适用情况电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布适用情况：a)所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。
b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。
c) 给定边界条件注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。
所以假想电荷必须放在所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。
c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。
d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
4.格林等效层定理（1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。
（2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。
四、应用举例1.接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
φ=解：根据唯一性定理左半空间右半空间，Q 在（0，0，a ）点， 电势满足泊松方程。
边界上00z φ==Q '设电量为 a '，位置为（0，0，）14Q Q φπε'=+zφ='==由边界条件确定Q'a'φ和、唯一解是因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解,Q Q a a''=-=±4Qφπε=讨论：（a）导体面上感应电荷分布02223/22()zQaz x y aφσεπ=∂=-=-∂++223/222()Qa rdrQ dS Q Qr aπσπ∞'''==-=-=+⎰⎰（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。
镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。
由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。
