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格林公式

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格林公式

格林公式
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y

格林公式

格林公式

L D
8
64 3
o
A x
例 3计算
2xydx x2dy 其中 L 为抛物线 yx2 L
上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧
解 这里P2xy Qx2
P Q 2x 所 以 积 分 因为 y x
L
2 xydx x 2 dy 与 路 径 无 关
M
计算抛物线 ( x y ) ax ( a 0 )
曲线 AMO 表示为
解：ONA为直线 y=0
y ax x , x [ 0 , a ]
1
N
A ( a ,0 )
A
L xdy 2
1
ydx

2 ONA
xdy ydx
1
2 AMO
xdy ydx

1
2 AMO
L
x 2
解
P y Q x

y x
(x
2
2 xy ) 2 x

4
P y

Q x
，
(x y ) 2x
2
原积分与路径无关
故原式

1 0
x dx
2

1 0
( 1 y ) dy
4
23 15
.
例2. 计算 圆周
其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0)
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 在 D 内每一点都有
P y Q x .
L Pd x Qd y
例1 计算 ( x 2 xy ) dx ( x y ) dy 其中L为由点

格林公式

格林公式

L1 : y 1 ( x : 1 2) L L1 L2 , 其中， 取积分路径： L2 : x 2 ( y : 1 3)
y
2 2 3 2
则
(2, 3) ．
(2,1)
4 1 ( x 1)d x 1 (2 y )d y 3
(1,1)
．
o
x
例6
y
L
o
D A(2,0) x l
5d xd y
D
0
2
8 5 x d x . 3 2
2
例4
计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑逆时针向闭曲线. 解 令 则
y
L
D
o
x
记 L 所围成的闭区域为 D .
(1) 当( 0, 0) D 时, 由格林公式知
(2) 当(0,0) D 时, 作位于 D 内圆周 l : x 2 y 2 r 2 ,
D
yx
o
x
1 0 d x x (1 x )d y . 3
1 1
例3
计0,0)到点A(2,0)的上半圆周 x y 2 x .
解
令 P x 2 2 y , Q 3 x ye y , 则
设 l : y 0 ( x : 2 0), 则 利用格林公式 , 得
1 故 . 0d x y d y xy d x y ( x )d y 0 0 (0,0) 2
(1,1) 2
计算
解
令
则
y
(1,1) ．
o
故原曲线积分在全平面内与路径无关．
(1,0)
x
L1 : y 0 ( x : 0 1) 取积分路径：L L1 L2 , 其中， L2 : x 1 ( y : 0 1) 2 2 4 ( x 2 xy )d x ( x y )d y 故 L

微积分 格林公式

微积分 格林公式

A.
证明 : 例2、
2 xydx
D

x dy 0 , D 分段光滑 .
2

求 例3、 e
D
y
2
dxdy , D 是以 O ( 0 , 0 ), A ( 1 ,1 ), B ( 0 ,1 ) 为顶点 .
xdy ydx

的三角形闭区域
设 例4、 D 是包含原点的有界闭区
y
Q ( x , y ) dy
y0

y0
Q ( x 0 , y ) dy
例7、 已知 du
xdy ydx x
2
y
2
( x 0 ), 求 u ( x , y ).
P 全微分方程： ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0
(
Q x

P y
)
例8、 解全微分方程 作业
(4)
Q x

P y
在 G 内处处成立 .
关键：
Q x

P y

P ( x , y ) dx
L
Q ( x , y ) dy 与路径无关
.
例5、计算

L
(x
2
2 xy ) dx ( x
2
y ) dy , 其中 L 为
4
由点 O ( 0 , 0 )到点 B ( 1 ,1 )的曲线弧 y sin
( x, y)
( x0 , y)
( x, y)
( x0 , y0 )
(1 )
u 按（1）： ( x , y ) u 按（2）： ( x , y )
( x, y0 ) ( x0 , y0 )

格林公式

格林公式
L
综上所述，格林公式成立。
(注意格林公式成立的条件)
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例 1：计算 F ( x , y ) dr ，其中 L （1） F ( x, y ) yi xj ， L 是由 x y, x 1, y 0 围
成的三角形闭路，其方向为逆时针方向； yi xj （2） F ( x , y ) 2 ， L ： x 2 y 2 a 2 , ( a 0) ，其 x y2 方向为逆时针方向。
1
2
x
则称曲线积分 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关，
否则称与路径有关。
机动
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返回
结束
定理 2：设 D 是平面上的一个单连通域，函数 P ( x , y )，
Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数，则以下
四个条件相互等价：
（1）对 D 内的任意一条分段光滑的闭曲线 L ，
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两式相加得
（2） 若区域 D 由分段光滑的闭 曲线围成。如图，将 D 分成三个 既是 X 型又是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 。则
L3 D3
D2
L2
D1
L1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D 1 D2 3
时针方向。
解： 记 L所围成的闭区域为 D ，令
y x P 2 Q 2 2, x y x y2
则当 x y 0 时, 有
2 2
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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格林公式积分方向

格林公式积分方向

格林公式积分方向
格林公式是对一个闭合曲面S（也可以是一个曲线）上的散度和旋度进行积分，公式分别为：
∬S ∇·F dS = ∫L F · dr
其中，∇·F是F的散度（divergence），F是一个向量场，dS 是曲面元素面积，L是曲线路径，F · dr是向量场F在曲线路径上的微分。

在格林公式中，曲面和曲线都有一个方向，这个方向一般是由右手法则确定的。

对于曲面S来说，曲面元素面积dS的方向垂直于曲面且向外指，根据右手法则，曲线L的方向应该是沿着曲面的边界，也就是沿着曲面S的边缘的方向。

所以，在使用格林公式时，需要注意曲面和曲线的方向。

如果方向选取不当，会导致计算结果的正负错误。

一般来说，在确定曲面和曲线的方向时，可以根据实际问题的几何特点和物理规律进行选择，以保证计算结果的正确性。

10.3 格林(Green)公式

10.3 格林(Green)公式

lim P ( , y )
x 0
lim P( , y ) P( x, y )
同理可得
u y
Q ( x , y ).
又由于P ( x , y ), Q ( x , y ) 连续，
所以 u ( x , y ) 可微，且
du P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy .
D.
由条件（1）有
Q x
,
( x, y ) E .
由格林公式有

Pdx Qdy
L
( x
E
Q

P y
) dxdy 0 .
（2）
（3）： 设

L 1 , L 2是 D
D
内任意两条由 A 到
B 的曲线， 则 L 2 L1
是
内一条正向闭曲线。由条
件（2）有
A
其中 AB 在 D 内； 与起点 A 和终点 B 有关，
即 du Pdx Qdy .
（4） Pdx Qdy 在 D 内是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，
证 （1）
（2）： 设
L
为 D 中任一条闭曲线，
它所围成的区域记为 E , 由于D 是单连通
L
D
E
区域， 所以 E
P y
偏导数， L 是 D 的正向边界曲线， 则有

P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L
( x
D
Q

P y
) dxdy
（格林公式）
例1 求 L
xdy 2 ydx , 其中 L 是圆周 x 2 y 2 1,

§11.2(2)格林公式

§11.2(2)格林公式

Q P ∫∫D( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy
4
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P ∫∫D( x y ) dxdy
y
1 D2 D
L
= ∑∫∫
k =1 n
n
Dk
(
Q P ) dxdy x y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
du = xy2 dx + x2 ydy. (0,0)( Nhomakorabea, y) .
= ∫ x 0 dx + ∫
0
x
y 2 x y dy 0
(x,0)
=∫
y 2 x y dy 0
18
xd y y d x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x +y y 数 , 并求出它. (x, y) y x , Q= 2 证: 令 P = 2 2 x +y x + y2 2 2 o (1,0) ( x,0) x P y x Q 则 = 2 = ( x > 0) 2 2 x (x + y ) y 由定理 2 可知存在原函数 定理
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P
D
x
y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1(x) ≤ y ≤ 2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
y0 x0 x0 y y0 x

第八章_31格林公式

第八章_31格林公式

y
D2 D1 Dn
L

k 1 n
n
Dk

Q P d xd y x y
o
x

k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L

x
L l

2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 r2
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A xd y y d x 2 L x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
A
D
C
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y

CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:

§2 格林公式及其应用

§2 格林公式及其应用
1 =0，从而 因为 是 基 本 解 ， 所 以 ∆ M0 r rM 0 M M0M 由叠加原理， （见引 ∆R( M 0 ) = 0 。由叠加原理， ∆V ( M 0 ) = F ( M 0 ) 。 见引 （
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
上页 下页 返回
1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
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1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有

格林公式及其应用

格林公式及其应用
-
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
2 xy Q d (x ,x y )d y 2 xy Q d (x ,x y )dy
(0 ,
解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有 Q (2xy)
x y
-
即 Q 2x. 于是 Q(x,y)x2(y)其中 ( y)
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
-
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
DQ xP ydxdyPdxQdy (1)
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
(x,y)
u(x,y)
PdxQd满y 足
x y ( , ) 00
-
duPdxQdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L2xydQ y(x,y)dy
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有
(t,1 )
(1 ,t)
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。

第三节 格林公式

第三节 格林公式

(cos 2x)e xdx
1 5
e x (cos 2x 2sin 2x)
12
例5. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时, 由格林公式知
y L
ox
13
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域xd y ydx l x2 y2
xd y ydx Ll x2 y2
0d xd y 0
D1
lL
o
x
D1
2 0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
14
2. 简化二重积分
例6. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令 P 0, Q xe y2 , 则 利用格林公式 , 有
y
B(0,1)
A(1,1)
D y x
x e y2 d y D
o
x
x ey2 dy
OA
1yey2 dy
0
1 (1 e1) 2
15
3. 计算平面图形的面积
格林公式:
D
(Q x
P y
)dxdy
解 L的方程为: x y 1 , 故所计算的第二型曲线积分为
I ydx xdy 是时, P y , Q x , 于是 有
L
y
Q P 2 , 又 D为L内的区域.
x y
L
则所求的曲线积分为

格林公式

格林公式

由格林公式得

C
Pdx

Qdy



D
(
Q x

P y
)d
0
定理2的应用
(1)求 Pdx Qdy
L
若积分与路径无关，可选取简单路径计算.


2
(
x
)
L

L3
L4
L1
L2
L3
L4
L1
L2
x
b
a


a P( x,1( x)) dx b P( x,2( x))dx b [P( x,1( x)) P( x,2( x))] dx
a
b
L1 y 1( x)
a P d P( x, y)dx
I

Q

D
(
x

P )d
y
0
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q x
(0,0) D 在D内不能用格林公式
在D内取一圆周l x2 y2 r 2 , r 0
记L及l所围成的复连通区域为D1
在D1 应用格林公式得
Ll
xdy x2
L1
（三）应用
Q

D
(
x

P )d
y


L
Pdx

Qdy
1.求 P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
例1.(1)求 y4dx 4xy3dy，L : x2 y2 4, 取正向
解
L
设L所围闭区域D : x2 y2 4

高等数学：格林公式

高等数学：格林公式

( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy
L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
说明：
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
注意：当f ( x, y)较繁，L较复杂，而Q P 较简单， x y
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 3 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x) DB
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
[∫(f(x)g(x))dx]^2≤(∫[f(x)]^2dx)*(∫[g(x)]^2dx)
写成和式极限的形式，应用柯西不等式
从向量a往单位向量b做垂直投影，投影长度小于斜边 （就是向量a）的长度。
三、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
应用格林公式,有 e y2dxdy

高数格林公式

高数格林公式

2
通过格林公式，可以将二重积分转化为曲线积分 来计算，这在某些情况下可以大大简化计算过程。
3
此外，格林公式还揭示了平面区域内向量场与标 量场之间的关系，为多元函数微积分中的场论问 题提供了有力工具。
与场论初步知识联系
01
场论是研究向量场和标量场的数学分支，而格林公式正是场论 中的一个基本定理。
02
04
培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等数学打下坚实 的基础。
02 格林公式基本概念
曲线积分与路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
若在所有以A、B为端点的光滑曲线族上，曲线积分∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的值都是相同的，则称此曲线积分与 路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
径为平面区域D的边界曲线。
格林公式的证明需要运用到微积分基本定理和斯托克 斯定理等相关知识。
学习目标与要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
掌握格林公式的基本形式和证明方法，理解其几何意义和物理应用。
02
能够熟练运用格林公式解决平面区域上的二重积分和曲线积分问题。
03
了解格林公式在电磁学、流体力学、热力学等领域的应用实例，提高 解决实际问题的能力。
高数格林公式
目 录
• 引言 • 格林公式基本概念 • 格林公式证明方法 • 格林公式应用举例 • 格林公式与相关知识点联系 • 拓展与延伸
01 引言
背景与意义
格林公式是高等数学中的一个 重要概念，它揭示了平面区域 上二元函数与其偏导数之间的
关系。
在实际应用中，格林公式被 广泛应用于电磁学、流体力 学、热力学等领域，是解决 复杂物理问题的有力工具。

格林公式及其应用

格林公式及其应用
a
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C

x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π

格林(Green)公式及其应用

格林(Green)公式及其应用
格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
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格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。

第3节格林公式

第3节格林公式

第3节格林公式
格林公式又叫做牛顿-格林公式，它是著名物理学家威廉·牛顿和美国数学家和天文学家兼历史学家乔治·格林发现的定律，它对太阳系中的行星运动以及影响行星运动的力有关。

牛顿在1687年发表《自然哲学的数学原理》一书中给出了牛顿定律，这是关于行星运动的公式；而格林在1748年发现了牛顿定律中的影响因子，也就是格林定律，是一个换算关系：
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = − \frac{GM}{r^2}x $$
其中，x表示行星位置的矢量，r表示行星距离太阳的距离，G表示万有引力常数，M表示太阳的质量。

格林公式为牛顿定律的简化形式，表达的是牛顿三大定律中动力学原理：行星运行轨道的变化（受太阳的引力影响）与行星距离太阳的距离成反比。

也就是说，行星离太阳越远，受到引力的作用就越弱，运行轨道的变化就越小。

格林公式是用来描述星体运动的数学公式，在天文学研究和航天工程中都有广泛的应用。

格林公式可以用来研究各种行星运行轨道的变化，可以为航天器如卫星的轨道分析等提供技术支持。

格林公式也可以用来研究行星的控制台轨道，以及探测其他行星的引力影响，以改善天文学的研究内容等。

格林公式的证明

格林公式的证明

格林公式的证明
格林公式是数学中最基本的定理，它决定了数学中三角函数的性质。

格林公式是由挪威数学家施耐德·格林第一次推导出来的，他在1736年的《集合论的研究》一书中总结出了以下公式：格林公式：
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y
下面我们来证明格林公式。

我们从最基本的定义出发，即三角函数的定义：
对于任意的x和y，若把这两个角度组合成一个新的角度z，即z＝x＋y，那么有：
sin z = sina cosb + cosa sinb
cos z = cos a cos b - sina sinb
这就是格林公式了。

下面我们将以上公式加以正式的证明：
我们令两个角α和β的正弦值分别为sinα和sinβ，余弦值分别为cosα和cosβ，令z = α + β，那么：
（1）sinz = sin（α+ β）= 2sina cosβ
（2）cosz = cos（α+ β）= cosα cosβ - sina sinβ
（3）将（1）和（2）代入我们前面的公式，可以得出：
sinz = sina cosβ + cosa sinβ
cosz = cosαcosβ - sina sinβ
即证明格林公式成立！。

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E
F
积分中L的方向.
oA
Bx
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
44
(2)求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
(3) 可用积分法求 d u P d x Q d y
在域D内的原函数:
思考题
1. 若区域 如图
为复连通域，试描
y
D
C
G
述格林公式中曲线
E
F
积分中L的方向.
oA
Bx
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
37
设区域D既是X-型 d
又是Y-型,
x
即平行于
1
(
y)
E y 2(x)
D
B
坐标轴的直线和 L 至多交于两点.
A c
oa
x 2( y) Cy 1(x)
bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
7
证明
Ñ L 2xydx x2dy 0.
14
证明 Ñ L 2xydx x2dy 0.
证: 因 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式
Q P
(
D
x
y
)dxdy
Ñ L Pdx
Qdy
得 Ñ L 2x y d x x2 d y 0d x d y 0 D 15
例3 计算
xdy ydx L x2 y2
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
9
Q P
Q P
Q P
( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy
D1 x y
D2 x y
D3 x y
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
du x y2 dx x2 yd y
32
du x y2 dx x2 yd y
(x, y)
x
x 0dx
y x2 y dy
0
0
。
y x2 y d y 0
。
(0,0)
( x,0)
注
是全微分方程
的通解.
33
小结
一、格林公式
ÑL P d x Qd y
Q P
D
x
y
d
xd
y
L是D的取正向的边界曲线.
Q ex cos y, P ex cos y 1
x
y
AO : y 0,
y
D
d xd
y
0 1
xdx
L
D
1
o
Ax
82
23
注:
求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算.
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线, 使其成为封闭曲线，利用格林公式后， 再减去辅助线上的曲线积分.
4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件
y
D
o
L Ax
Ñ 原式
(ex sin y x y) dx (ex cos y 1) d y
L AO
(ex sin y x y) dx (e x cos y 1) d y AO
Ñ 原式 (ex sin y x y)dx (ex cos y 1)d y L AO (ex sin y x y) dx (ex cos y 1) d y AO
定理1
的曲线积分之间的联系
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,
函数P x, y ,Q x, y在D上有一阶连续
偏导数，则有
L
D
(
Q x
P y
)dxdy
Ñ L
Pdx
Qdy
D
其中L取正向.?
格林公式
4
y
L
D
y
L1
D
L2
o
x
o
x
L正向：逆时针
L由L1与L2组成
规 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界 定 行走时,区域D总在他的左边.
y y
Q ( x2 y4 ) 2x x x
O
x
P Q 原积分与路径无关
y x
29
(x,y) P x, ydx Q x, ydy
( x0 , y0 ) x
x0 P( x, y0)dx
y
Q(x, y)dy
y0
( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy L
B(1,1)( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy
Q dxdy
D x
Ñ d
dy
2 ( y) Qdx
证
Q dxdy
Q( x, y)dy
c
1 ( y) x
D x
L
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
C¼BE Q( x, y)dy C¼AE Q( x, y)dy d
E
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
在D内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:
(1)沿D 中任意光滑闭曲线L,有 Ñ L Pdx Qd y 0.
(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分
Pdx Qd y 与路径无关, 只与起止点有关. L
(3)
在D内是某一函数
的全微分,
即 du( x, y) P d x Q d y
(4)在D 内每一点都有 P Q .
y x
27
由定理2知：当满足 Q P 时， x y
积分与路径无关，可以取路径为平行于
坐标轴的折线，即 x0, y0 x, y0 x, y
(x,y)
P x, y dx Q x, y dy
( x0 , y0 )
y
或
x
x0 P( x, y0 )dx
y
Q(x, y)dy
D
解 令 P 0, Q xe y2
y
则 Q P e y2 , x y
B
A
1
D
应用格林公式,有
e y2dxdy
xe y2 dy o
x
1
D
OA AB BO
xe y2dy 1 xex2dx 1 (1 e1 ).
OA
0
2
43
思考题
若区域 如图
为复连通域，试描
y
D
C
G
述格林公式中曲线
1 2 (abcos2 absin2 )d 20
ab
21
例4 计算 ex sin y x y dx e x cos y 1 dy L
其中L：x2 y2 x( y 0)从O0,0到A1,0
的上半圆周.
解 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO, 它与L所围区域为D , 则
格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却 包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。
一、格林公式及其应用
1.区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围
成的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否
则称为复连通区域.
有洞
D
D
单连通区域
3
复连通区域
2.格林公式 二重积分与其区域边界上
5
注：
1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广.
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
2.若边界L是反方向，则
Q P
(
D
x
y
)dxdy
Ñ L Pdx
Qdy
3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 此时边界必须是区域的整个边界.
Q P
(
D
x
y
)dxdy
Ñ L Pdx
Qdy
证明:(1)特殊情形 y
(2) 计算平面区域面积
格林公式:
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x, 得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
1
A 2 L xdy ydx
20
例3
椭圆L： xy
a cos b sin
，0
2
所围面积.
解
由求面积的公式：A
1 2
L
xdy
ydx
其中L为一条无重点,分段光滑且不经过
原点的连续闭曲线, y2
解 记L所围成的闭区域为D,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当 x2 y2 0 时, 有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P y
17
(1) 当(0, 0) D 时,由格林公式 y
y0
y
y
y0 Q( x0, y)d y
x P( x, y)dx y0
x0
O
x, y
x0, y0 x, y0
x
x0
x
28
例5 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy， L
其中L为由点O(0, 0)到点B(1,1)的曲线弧
y sin x .
2
y
B(1,1)
解 P ( x2 2xy) 2x
C
y
o
40
(x, y) (x,0) x