格林定理+惟一性定理

格林公式及其应用一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件１ 格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下： １.１ 单连通区域设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域,否则称是多连通区域． １.２ 格林公式Ⅰ设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,则其中表示边界是正向,若是的一条封闭曲线,则定向如下：当人沿进行时,使区域在它的左边,或在上一点作一右手系标架使指向的外法线方向,则的指向即为的方向． １.３ 格林公式Ⅱ设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线则为边界曲线的外法线方向．例1:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin =[]ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121例2:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x xQ += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价.(1)xQy P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线 (3)积分⎰Γ+A BQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P x u =∂∂ Q yu =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P x u =∂∂ ),(y x Q yu=∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 x y uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQy P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒ 曲线积分⎰Γ+A BQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P x u =∂∂ Q yu =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limx dxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(limlim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim 0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x A B),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=xy C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx A By x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ ------曲线积分的N-2公式 例3:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQx y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例4:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQy P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例5:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5.解一:xQy P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y Pcos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y x Q设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r 由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =2 21Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关. dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=20cos )cos 1(2πtdtt xdx24π-=例6:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x例7 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，求证220Lxydx x dy +=⎰证明 令22,P xy Q x ==则P Qx y x∂∂==∂∂在全xOy ，这个单连通区域G 内成立．故由格林公式可得2200LDxydx x dy dxdy +=±=⎰⎰⎰ ．(2)当考虑积分L Pdx Qdy +⎰ 时，若L 为平面区域G 内一条简单闭曲线，而区域G 为含有“点洞”M 的复连通区域，函数P 、Q 除点M 外，处处有连续偏导数存在，且满足P Qy x∂∂=∂∂．当闭路L 不包围点M 时，此曲线积分的值为零．当闭路L 包围点M 时，一般说来，此线积分不再为零，积分值为一常数，具体求法如下：只要选择一个适当小的包围点M 的正向闭曲线C 来将点M 扣掉，则曲线积分在以L 和C 围成的复连通区域G 内仍可用格林公式计算，并有结论：LCPdx Qdy Pdx Qdy +=+⎰⎰其中C 为闭路正向．#综上可知,格林公式可使曲线积分的计算大大简化,因此在场论、流体力学、热力学、电学及微分方程等学科中得到广泛的应用.。

唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。

唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。

微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。

然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。

因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。

在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。

连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。

局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。

微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。

首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。

其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。

最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。

除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。

例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。

这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。

唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。

通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。

唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。

总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。

微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。

唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。

唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。

唯一性定理的内容及其意义
唯一性定理是数学中的一个重要概念，它表明一个函数的极限存在着唯一的可能性，也就是说，在一定的条件下，任何一个可以组成极限函数的一系列函数都只能有一个极限。

即使函数的系数都不同，其形式也不同，但是它们的极限仍然是一样的。

这就是唯一性定理提出的。

唯一性定理的定义也非常简单，就是指在特定的条件下，任何一个收敛的函数序列都只能存在一个极限值。

在实际应用中，唯一性定理要求极限函数必须存在，而且必须满足一定的数学模型和性质。

唯一性定理的具体内容包括：
一、极限函数的存在：极限函数是指在定义域内，当给定变量x 的值逐渐增加或减少时，函数f(x)可以达到一个确定的最终值，这个确定的最终值就是函数的极限值。

二、唯一性定理的证明：当极限函数的存在可以被证明时，唯一性定理的证明也就容易了。

就是说，在一定条件下，任意一个收敛的函数序列只有一个极限值，其他的所有的函数序列的极限值都是一样的。

三、唯一性定理的应用：唯一性定理在数学应用当中具有很重要的意义，它能帮助我们验证各种数学性质，如函数解析和微积分等。

另外，唯一性定理还可以用于描述从函数变换中产生的相应的形态变化情况。

综上所述，唯一性定理是数学中一个重要的概念，它表明，在一
定条件下，任何一个可以组成极限函数的一系列函数都只能有一个极限，即使函数的系数和形式都不同，它们的极限仍然是一样的。

唯一性定理的具体内容是极限函数的存在，以及证明唯一性定理的方法，它在数学应用当中发挥着重要作用，上述内容对于更好地理解唯一性定理是很有帮助的。