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§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
一些冷门定律
以下是一些相对冷门的定律：
1. 二八定律（Pareto's Law）：它认为，80%的结果常常由20%的因素决定。
这个观察结果被广泛应用在各种领域，比如企业中的销售额大部分来自于少数的客户，学习中80%的知识可
以通过20%的时间学得等等。
2. 罗森法则（Rosen Law）：它是关于情感关系中的一种观察
定律，该定律指出，情侣关系中一方倾向于迅速提出关系正式发展或解除的要求。
也就是说，一方会更早地决定是否进一步发展或结束关系。
3. 洛伦兹定律（Lorenz Law）：它是指在某个系统中，随着系
统的变化和时间的推移，初始条件的微小变化可能会导致系统的巨大变化。
这个定律常用于描述混沌理论和非线性动力学中的现象。
4. 哥顿法则（Gordon's Law）：它是对于汽车工程的一个定律，它指出，一个车辆的最高速度是其发动机马力的平方根乘以
0.1。
这个定律可以用来估计一个车辆的最高速度，尽管它的
实际使用范围有限。
5. 德鲁克定律（Drucker's Law）：由管理学家彼得·德鲁克提
出的这个定律指出，企业的最大资产不是物质资源，而是人才。
他认为，企业的成功与否取决于有效地利用和发展人才。
这些定律虽然不太为人所熟知，但它们在特定的领域和学科中有一定的应用和解释力。
英语词汇历代史：西古语言辅音变-格林定律威尔纳定律（系列连载Day2）[德国钱币上的格林兄弟像]格林定律和威尔纳定律，是英语词汇音变规律中非常重要常见的两个规律。
这两个规律乍看起来比较抽象难懂，但其实仔细用例子想一想，明白了收获和获益也非常大。
了解了这两个音变规律，以后的英语学习都会变得简单而有趣了。
印欧语到日耳曼语(古英语)的转变印欧语(IE)辅音在日耳曼语(Gmc)里所发生的变化称为第一次音变(the First Sound Shift)，又称格林定律(Grimm’s Law)，其内容如下：IE p, t, k>Gmc f, þ (=th), x(在词头—h)IE b, d, g>Gmc p, t, kIE bh, dh, gh>Gmc b, d, g下面分别举例：IE p>Gmc f:拉丁文pater ‘father’>古英语fæder ‘father’希腊文pyr ‘father’>古英语fyr ‘fire’IE t>Gmc þ:拉丁文tres ‘three’>古英语þreo ‘three’拉丁文tenuis ‘thin’>古英语þynne ‘thin’IE k>Gmc x(或h)拉丁文quod ‘what’>古英语hwæt ‘what’希腊文kardia ‘heart’>古英语heorte ‘heart’IE b>Gmc p:拉丁文bucca ‘cheek, mouth cavity’> 古英语pohha ‘sack’IE d>Gmc t:拉丁语duo ‘two’>古英语twa ‘two’希腊文drys ‘oak’>古英语treow ‘tree’IE g>Gmc k:拉丁文genu ‘knee’>古英语cneow ‘knee’希腊文gyne ‘woman’>古英语cwen ‘queen’IE bh(梵文bh，希腊文ph，拉丁文f) >Gmc b:梵文bhratar,(拉丁文frater)>古英文broþor “brother”希腊文phogein ‘roast’>古英语bacan ‘bake’IEdh(梵文dh，希腊文th，拉丁文f)>Gmcd:梵文duhitar(<dhughəter：希腊文thygater>) > 古英语dohtor ‘daughter’梵文madhu ‘honey’(希腊文methy ‘wine’)>古英语meodu ‘mead’IE gh(重建原始印欧语*gh, 希腊文kh, 拉丁文h)>Gmcg:重建原始印欧语*ghostis ‘stranger, guest’(拉丁文hostis)>古英语gæst‘guest’(WS giest)希腊文khole ‘bile’(拉丁文fel ‘gall’)>古英语galla ‘gall’ (WS gealla)印欧语p,t,k变为日耳曼语f þ (=th) x(词头h) 先于印欧语b,d,g 变为日耳曼语p,t,k，否则p,t,k进一步变为f þ (=th) x(词头h)，英语本族词就没有p,t,k的词了。
连续变形原理格林公式（实用版）目录1.引言2.连续变形原理的概述3.格林公式的定义和性质4.连续变形原理和格林公式在实际问题中的应用5.总结正文【引言】在数学和物理学中，连续变形原理和格林公式是一种重要的工具，可以帮助我们解决许多实际问题。
本文将从连续变形原理的概述开始，介绍格林公式的定义和性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
【连续变形原理的概述】连续变形原理，又称为微分几何中的变形理论，主要研究物体在连续变形过程中的性质和规律。
在这个过程中，物体的每一个点都沿着某个方向发生微小的位移，最终形成一个新的形状。
连续变形原理关注的是在这个过程中，物体的各个属性如何随着变形而改变。
【格林公式的定义和性质】格林公式，又称为格林恒等式，是微分几何中描述连续变形的一个重要公式。
它描述了物体在连续变形过程中，任意两点之间的距离和角度的变化关系。
具体来说，格林公式表示为：其中，表示在连续变形后，点 P 和点 Q 之间的距离变化；表示在连续变形后，点 P 和点 Q 之间的角度变化。
【连续变形原理和格林公式在实际问题中的应用】连续变形原理和格林公式在许多实际问题中都有广泛的应用，例如在计算机图形学、机器人学、地球物理学等领域。
以下是一些具体的应用实例：1.在计算机图形学中，连续变形原理和格林公式可以用于实现物体的平滑变形，从而生成更加自然和逼真的动画效果。
2.在机器人学中，连续变形原理和格林公式可以用于描述机器人关节在连续运动过程中的姿态变化，从而实现精确的位姿控制。
3.在地球物理学中，连续变形原理和格林公式可以用于研究地球内部的构造和运动，从而揭示地震、火山等自然现象的成因和演变规律。
【总结】连续变形原理和格林公式是微分几何中非常重要的概念和工具，可以帮助我们解决许多实际问题。
格林定律：从1806年开始，格林兄弟就致力于民间童话和传说的搜集、整理和研究工作，出版了《儿童和家庭童话集》（两卷集）和《德国传说集》（两卷）。
雅科布还出版了《德国神话》，威廉出版了《论德国古代民歌》和《德国英雄传说》。
1806～1826年间雅科布同时还研究语言学，编写了4卷巨著《德语语法》，是一部历史语法，后人称为日耳曼格语言的基本教程。
在《德语语法》1822年的修订版中，他提出了印欧诸语言语音演变的规则，后人称之为格林定律。
他指出，在印欧语系中日耳曼语族历史上，辅音分组演变，在英语和低地德语中变了一次，后来在高地德语中又再变一次。
事实上，格林定律只是大体上正确，后来由K.A.维尔纳加以补充。
1838年底格林兄弟开始编写《德语词典》，1854～1862 年共出版第一至三卷。
这项浩大的工程兄弟俩生前未能完成，后来德国语言学家继续这项工作，至1961年才全部完成。
印欧语系含大部分欧洲语言和印度次大陆语言在内的约150种语言。
英国语言学家Sir William Jones1786年指出梵语与希腊语和拉丁语可能来自同一个原始语，它们具有亲缘关系。
1822年，Jacob Grimm发现了日耳曼语言中所发生的一系列的有规则的辅音变化。
这些辅音的有规则变化后被称为格林定律：a. 浊爆破音变为清爆破音: bàpb. 清爆破音变为摩擦音: pàfc. 浊送气音变为浊不送气音:bhàb通过比较法重建了被称为原始印欧语系的具有同一来源的语法，包括欧洲语言和印度次大陆的语言的许多亚语系都是以该原始语演化发展来的。
Grimm's law (also known as the First Germanic Sound Shift or the Rask's-Grimm's rule), named for Jacob Grimm, is a set of statements describing the inherited Proto-Indo-European (PIE) stops as they developed in Proto-Germanic (PGmc, the common ancestor of the Germanic branch of the Indo-European family) in the 1st millennium BC. It establishes a set of regular correspondences between early Germanic stops and fricatives and the stop consonants of certain other centum Indo-European languages (Grimm used mostly Latin and Greek for illustration). As it is presently formulated, Grimm's Law consists of three parts, which must be thought of as three consecutive phases in the sense of a chain shift:[1]Proto-Indo-European voiceless stops change into voiceless fricatives.Proto-Indo-European voiced stops become voiceless stops.Proto-Indo-European voiced aspirated stops become voiced fricatives; ultimately, in most Germanic languages these voiced fricatives become voiced stops.The chain shift can be abstractly represented as:bʰ→ b → p → fdʰ→ d → t → θgʰ→ g → k → xgʷʰ→ gʷ→ kʷ→ xʷHere each sound moves one position to the right to take on its new sound value.The voiced aspirated stops may have first become voiced fricatives before hardening to the voiced unaspirated stops "b", "d", and "g" under certain conditions; however, some linguists dispute this. See Proto-Germanic phonology.Grimm's law was the first non-trivial systematic sound change to be discovered in linguistics; its formulation was a turning point in the development of linguistics, enabling the introduction of a rigorous methodology to historical linguistic research. The "law" was discovered by Friedrich von Schlegel in 1806 and Rasmus Christian Rask in 1818. It was elaborated (i.e. extended to include standard German) in 1822 by Jacob Grimm, the elder of the Brothers Grimm, in his book Deutsche Grammatik.Further changes following Grimm's Law, as well as sound changes in other Indo-European languages, can sometimes obscureNote: Some linguists dispute the origin of the word "wife". Calvert Watkins has assumed the root word is Proto-Indo-European *gʷʰíbʰ-. [1]Note: Proto-Germanic *gw from Proto-Indo-Eropean *gʷʰhas undergone further changes of various sorts. After *n it was preserved as *gw, but later changed to *g except in Gothic. Elsewhere, it became either *w or *g during late Proto-Germanic. This is strikingly regular. Each phase involves one single change which applies equally to the labials (p, b, bʰ, f) and their equivalent dentals (t, d, dʰ, þ), velars (k, g, gʰ, h) and rounded velars (kʷ, gʷ, gʷʰ, hw). The first phase left the phoneme repertoire of the language without voiceless stops, the second phase filled this gap but created a new one, and so on until the chain had run its course.Note: Icelandic hv has actually reverted Grimm's Law in the last few generations, and is now pronounced [kʰv] or [kʰf]. Cf. also nynorsk kv-/k-.Some linguists dispute the origin of the word "scold", but Julius Pokorny among others proposed *skwetlo as the assumed root. Dutch has *k → *h (ch) even after *s, though this is a separate development.Furthermore, the voiceless stop *t also did not become a fricative if preceded by *p, *k, or *kʷ (themselves voiceless stops). The voiceless stop it was preceded by did fricativize, however. This is sometimes treated separately under the heading[t:] before pre-aspirating. Thus, the [h] of the modern Icelandic form is not a direct descendant of ancient /h/.[2]The same ancestry holds for the /tt/ of Icelandic átta as well.[3]The most recalcitrant set of apparent exceptions to Grimm's Law, which defied linguists for a few decades, eventually received explanation from the Danish linguist Karl Verner (see the article on Verner's law for details).Correspondences to PIEThe Germanic "sound laws", combined with regular changes reconstructed for other Indo-European languages, allow one to define the expected sound correspondences between different branches of the family. For example, Germanic (word-initial) *b- corresponds regularly to Latin *f-, Greek pʰ-, Sanskrit bʰ-, Slavic, Baltic or Celtic b-, etc., while Germanic *f- corresponds to Latin, Greek, Sanskrit, Slavic and Baltic p- and to zero (no initial consonant) in Celtic. The former set goes back to PIE *bʰ- (faithfully reflected in Sanskrit and modified in various ways elsewhere), and the latter set to PIE *p- (shifted in Germanic, lost in Celtic, but preserved in the other groups mentioned here).GRIMM'S LAW & VERNER'S LAWMajor Changes from I-E to GermanicLarge number of words without known IE cognates. Some NE forms include broad, drink, drive, fowl, hold, meat, rain, and wife.Only two tenses: present and preterit (past)Preterit tense formed with dental suffix (d or t)"Strong" verbs change their tense by internal changese.g., rise-rose, sing-sang"Weak" verbs change tense by adding the dental suffix (-ed)Weak & strong declensions of adjectiveslost in Modern EnglishRegular stress of the first syllablecompare Latin Viri' - viro'rum or ha'beo - habe'musI-E vowels underwent Germanic modificationI-E stops underwent the "First Sound Shift" explained by Grimm's LawGrimm's LawJacob Grimm, 1827German linguist attempted to explain why many Germanic words differed so systematically from their I-E cognates. His formulation (later refined) is called Grimm's Law or the First Sound Shift. High German underwent a Second Sound Shift, but that won't concern our study of English language history.I-E stops gradually assumed new soundsbh --> b dhh --> d ghh --> g ph --> f th --> (theta) kh --> h bh --> p dh --> t gh --> kVerner's LawKarl Verner, 1875Danish linguist wondered why not every I-E stop changed in the same way. His formulation established that Grimm's Law was consistent and could account for all known cognate evolutionIntermediate step in Stage 1 shift:All voiceless stops changed once:ph --> f th --> theta kh --> h sh --> s zIf the sound was in an initial position or immediately after a stressed verb, it changed no further.Those in other positions changed to voiced spirants (b, d, g)格拉斯曼定律格拉斯曼定律是一项用来描述印欧语语音递变的定律，由德国的格拉斯曼(Hermann Grassmann)提出，以补充格里姆定律的不足。
格林倒易定理电动力学和数理方程里的一个定理。
用到的原理有场论、Maxwell方程组、数学物理方程（Green函数法解场位方程部分）。
Green函数的应用在于给定了解域边界形状，可以求出第一类或者第二类Green函数，如果再给出边界上的电势或者电势的法向导数，给出解域内的电荷分布，可以直接由Green函数积分得出解域内电势分布，不需要再求解泊松方程了。
倒易性可以用来检查你求的Green函数是否正确。
术语释义
设空间由若干曲面S划分为若干区域V。
若φ(r)是电荷系以体电荷密度ρ(r)分布和以面电荷密度σ(r)分布激发的静电势，而φ′(r)是以体电荷密度ρ′(r)分布和面电荷密度σ′(r)分布激发的静电势，则以下的关系成立：
称为格林倒易定理。
热力学三大基本定律是什么？一文带你搞懂虽然从远古时期人类早就学会了取火和用火，人们就注意探究热、冷现象本身。
但是热力学成为一门系统的学科却要到19世纪，在19世纪40年代前后，人们已经形成了这样的观念:自然界的各种现象间都是相互联系和转化的。
人们对热的研究也不再是孤立地进行，而是在热与其他现象发生转化的过程中认识热，特别是在热与机械功的转比中认识热。
热力学在发展过程中形成了三大基本定律，它们构成了热力学的核心。
热力学第一定律：能量守恒定律德国物理学家迈尔从1840年起就开始研究自然界各种现象间的转化和联系。
在他的论文《与有机运动相联的新陈代谢)中，把热看作“力”(能量)的一一种形式，他指出'热是能够转比为运动的力“。
他还根据当时的气体定压和定容比热的资料,计算出热的机械功当量值为367kgm/千k。
在论文中，迈尔详细考察了当时已知的几种自然现象的相互转化，提出了“力“不灭思想，迈尔是最早表述了能量守恒定律也就是热力学第一定律的科学家。
1847年，德国科学家亥姆霍兹发表了著作《论力的守恒》。
他提出一切自然现象都应该用中心力相互作用的质点的运动来解释，这个时候热力学第一定律也就是能量守恒定律已经有了一个模糊的雏形。
1850年，克劳修斯发表了《论热的动力和能由此推出的关于热学本身的定律》的论文。
他认为单一的原理即“在一切由热产生功的情况，有一个和产生功成正比的热量被消耗掉，反之，通过消耗同样数量的功也能产生这样数量的热。
” 加上一个原理即“没有任何力的消耗或其它变化的情况下，就把任意多的热量从一个冷体移到热体，这与热素的行为相矛盾”来论证。
把热看成是一种状态量。
由此克劳修斯最后得出热力学第一定律的解析式：dQ=dU-dW从1854年起，克劳修斯作了大量工作，努力寻找一种为人们容易接受的证明方法来解释这条原理。
经过重重努力，1860年，能量守恒原理也就是热力学第一定律开始被人们普遍承认。
能量守恒原理表述为一个系统的总能量的改变只能等于传入或者传出该系统的能量的多少。
格林公式与高斯定理格林公式与高斯定理是数学中两个重要的定理，广泛应用于微积分和向量分析中。
本文将对这两个定理进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。
一、格林公式格林公式是由英国数学家格林在19世纪初提出的，它是一个与向量场和曲线积分相关的定理。
具体来说，设D是平面上的一个有界闭区域，曲线C是D的边界，而F是一个定义在D上的二维向量场。
若F在D上具有一阶连续偏导数，那么格林公式可以表示为：∮F⋅FF = ∬(∂F/∂F−∂F/∂F)FFFF其中，∮表示曲线C的环绕一周的积分，∂/∂F和∂/∂F分别表示对F的分量在x和y方向上的偏导数，F和F分别表示向量场F的两个分量函数。
格林公式可以被理解为曲线积分与面积积分之间的关系，它将曲线C的积分转化为D区域上二维向量场的散度的积分，从而使得计算曲线积分变得更加简便。
格林公式在物理、工程等领域的应用非常广泛，可以用于解决流体力学、电磁学等问题。
二、高斯定理高斯定理，也被称为高斯散度定理，是由德国数学家高斯在19世纪提出的，它是一个与向量场和体积积分相关的定理。
具体来说，设V是空间中的一个封闭区域，S是V的边界，而F是一个定义在V上的三维向量场。
若F在V上具有一阶连续偏导数，那么高斯定理可以表示为：∬F⋅FF = ∭∇⋅FFF其中，∬表示曲面S的面积积分，∭表示体积V的积分，∇⋅表示向量场F的散度。
高斯定理表明，体积积分可以通过曲面积分来计算。
它将体积V内部的向量场的散度与曲面S的法向量的点积相联系，从而简化了求解体积积分的过程。
高斯定理在电磁学、流体力学等领域有着广泛的应用，常用于求解电场、磁场以及流体等的分布情况。
三、格林公式与高斯定理的应用格林公式和高斯定理在实际问题中具有广泛的应用。
以格林公式为例，它可以用于计算闭合路径上的环流，例如在电磁学中，可用于计算磁场的环流，从而得到磁场的强度分布。
另外，在流体力学中，格林公式可以用于计算流体在封闭曲面上的流量，从而研究流体的运动规律。
