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第二章 模糊集合论基础

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模糊集合基础

模糊集合基础

A = [ µ A ( x1 ) µ A ( x2 ) L µ A ( xn )]
模糊集合基础
在由整数1， ， 组成的论域中， 在由整数 ， 2， ……10组成的论域中 ， 即 U={1， 组成的论域中 ， 2，……，10}，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集 ， ， ，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数， 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊 集A可表示为 可表示为
µ (u, w) = ∨ ( µ Q (u , v) ∧ µ R (v, w))
Qo R
v∈V
祖父母—父母相像关系
父 祖父 祖母 0.2 0.6 母 0 0
父母---子女相像关系
子 父 母 0.4 0.5 女 0.6 0.3
祖父母—子女相像关系
0.2 0 0.4 0.6 0.2 0.2 S = QoR = o 0.5 0.3 = 0.4 0.6 0.6 0
4．Sigmoid型隶 ． 型隶 属函数
5．一般的钟型 ． 隶属函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a=2 a=1
1 a=2 a=-2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
f ( x) = e
−
( x − c )2 a2
f ( x) =
模糊集合基础
模糊关系
是两个非空集合， 设X，Y是两个非空集合，则直集 ， 是两个非空集合

第二章模糊控制理论基础

第二章模糊控制理论基础

u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算： (1)A与B的代数积记作A • B，运算规则由下式确定：
A • B(u)= A(u)B(u)

第2章模糊数学基础

第2章模糊数学基础

A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y） 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2－2] 用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
20
2019/2/16
3）向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， [例2－1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
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11
（3）关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为

模糊逻辑理论基础

模糊逻辑理论基础
（1）描述法，（2）列举法，（3）特征函数法
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度

教案_第2章_模糊集合的基本理论

教案_第2章_模糊集合的基本理论

F (U) = {A | A: U → [0, 1]}
则称 F (U ) 为 U 的模糊幂集。显然，F (U ) 是一个经典集合，且有：P (U ) ⊆ F (U )。 2.1.2 模糊集合的表示
(2.2)
表示论域 U 上的模糊集合 A，原则上只需指明 U 中的每个元素 x 及其对应的隶属度 A(x)，并将它们用 一定的形式构造在一起。当然，模糊集本质上是论域到 [0, 1] 上映射，用隶属函数来表示模糊集是最基本 的方法。除此以外，人们还给出了三种常用的模糊集合的表示方法：Zadeh 表示法，序偶表示法和向量表 示法。 1. Zadeh 表示法 设 U 为论域，A 为 U 上的模糊集，即 A∈F (U )。 则模糊集 A 可表示为 (1) 若论域 U 为有限集或可列集，即 U = {x1, x2, …, xn} 或 U = {x1, x2, …, xn, …}，
-3-
数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 2 章 • 模糊集合的基本理论
相应的隶属函数示意图如图 5 所示。 上面的例子说明：① 因为模糊概念的特征(外延)是模糊的，其描述是不精确的，因而同一个模糊概 念可以用不同的模糊集(隶属函数)来刻画；② 但是，模糊集与隶属函数则是一一对应的，一个模糊集必 有一个独一无二的隶属函数与之对应，反之亦然；③ 模糊现象虽是模糊的，但表征其性质的隶属函数却 是精确的数学函数，一个模糊概念一旦用隶属函数表征出来，其固有的模糊性就被消除了；④ 隶属函数 可能是连续的，也可能是离散的，这取决于论域的情形。 由定义 1 不难看出：对于论域 U 上的某个模糊集 A，如果隶属函数 A(x) 仅取 0 和 1 两个数值，则 A 就 蜕化为经典集合，也就是说，经典集合是模糊集合的特殊形态。特别地，如果 A(x) ≡ 0，则 A 为空集 ∅； 如果 A(x) ≡ 1，则 A 为全集(论域)U。 在给定的论域 U 上可以定义多个模糊集。记 U 的模糊子集全体为 F (U )，即

第2章 数学基础-模糊集合与模糊关系

第2章 数学基础-模糊集合与模糊关系

2 模糊集合与模糊关系2.1 经典集合的特征函数定义：经典集合的特征函数记为f A （x ），定义为1()0()A x A f x x A x A ∈⎧⎨∉∉⎩当当或 2.2模糊集合与隶属函数定义：论域U 上的模糊集合A 是用一个从U 到实区间[0，1]上的函数Αμ 来刻画的，Αμ 叫做模糊集合A 的隶属函数，函数值Αμ （x ）代表元素x 对集合A 的隶属度。

定义（严格的）：论域U 到实区间[0，1]的任一映射 Αμ：U →[0，1] ∀x ∈U ，x →Αμ （x ） 都确定U 上的一个模糊集合A ，Αμ 叫做A 的隶属函数，Αμ （x ）叫做x 对A 的隶属度。

2.3模糊关系：普通关系讨论的是每对元素是否存在关系R ，模糊关系讨论的是每对元素具有关系R 的程度。

定义：所谓从集合U 到集合V 的模糊关系R ，系指直积U*V 上的一个模糊集合R ，由隶属函数R μ 来刻画，函数值R μ （x ，y ）代表有序偶（x ，y ）具有关系R 的程度。

例 设V={v 1，v 2，v 3，v 4 } U={u 1，u 2，u 3 }Vμ v 1 v 2 v 3 v 4Uu 1 0.86 0.84 0 0u 20 0 0.95 0u 3 0.78 0 0 0.66则可用模糊矩阵表示如下：0.860.8400000.9500.78000.66R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.4 模糊矩阵与布尔矩阵一般关系的关系矩阵是布尔矩阵只取1，0两个值，例如110000111001R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义：一个矩阵是模糊矩阵，当且仅当矩阵的所有元素r ij 都满足条件：0 ≤ r ij ≤ 1，i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。

特别的，当r ij 只取0和1两种数值时称为布尔矩阵。

2.5 模糊矩阵的运算2.5.1 相等：当且仅当两个模糊矩阵的一切元素两两相等时称两个模糊矩阵相等。

A =B 〈=〉 a ij =b ij i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。

模糊数学第二章


(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老

模糊数学讲义第二章

则称T是一个t 模.
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).

模糊控制的理论基础

zmf(x,[a, b])
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2

模糊控制的理论基础

第二章：模糊控制的理论基础第一节：引言模糊控制的发展传统控制方法：数学模型。

模糊控制逻辑：使计算机具有智能和活性的一种新颖的智能控制方法。

模糊控制以模糊集合论为数学基础。

模糊控制系统的应用对于那些测量数据不准确，要处理的数据量过大以致无法判断它们的兼容性以及一些复杂可变的被控对象等场合是有益的。

模糊控制器的设计依赖于操作者的经验。

模糊控制器参数或控制输出的调整是从过程函数的逻辑模型产生的规则来进行的。

改善模糊控制器性能的有效方法是优化模糊控制规则。

模糊控制的特点：一、无需知道被控对象的数学模型二、是一种反应人类智慧思维的智能控制三、易被人们所接受四、推理过程采用“不精确推理”五、构造容易六、存在的问题：1、要揭示模糊控制器的实质和工作原理，解决稳定性和鲁棒性理论问题，从理论分析和数学推导的角度揭示和证明模糊控制系统的鲁棒性优于传统控制策略；2、信息简单的模糊处理将导致系统的控制精度降低和动态品质变差；3、模糊控制的设计尚缺乏系统性，无法定义控制目标。

“模糊控制的定义”定义：模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的。

基于三个概念：测量信息的模糊化，推理机制，输出模糊集的精确化；测量信息的模糊化：实测物理量转换为在该语言变量相应论域内的不同语言值的模糊子集；推理机制：使用数据库和规则库，根据当前的系统状态信息决定模糊控制的输出子集；模糊集的精确化：将推理过程得到的模糊控制量转化为一个清晰，确定的输出控制量的过程。

“模糊控制技术的相关技术”模糊控制器的核心处理单元：1.传统单片机；2.模糊单片机处理芯片；3.可编程门阵列芯片。

模糊信息与精确转换技术：AD，DA，转换技术。

模糊控制的软技术：系统的仿真软件。

综述：模糊控制是一种更人性化的方法，用模糊逻辑处理和分析现实世界的问题，其结果往往更符合人的要求。

第二节：模糊集合论基础“模糊集合的概念”经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。

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3、模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
属于可饮液体的隶属度为0.9 属于可饮液体的隶属度为0.9
有可饮液体的概率0.9 有可饮液体的概率
概率是事件发生的可能性大小的度量，表示事件 结果的不确定性 隶属函数表示事件多大程度属于某个分类的度量
4、模糊集合的几个子集： 支集 支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
α
α
交叉点
核 α截集 支集
核
核( A) = {x | µ A ( x ) = 1}
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x ) ≥ α } =
交叉点 模糊单点
隶 函 数 0.5 年龄 45 90 属 1.0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) 2 σ e
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) =
1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
适中 高
很高
1.0
适中
0
速度 /(km ⋅ h −1 )
32
图2－4
交叉越界的隶属度函数示意图
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
定理1－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： (2 − 9) A∩ A = A , A∪ A = A （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C; (2 − 10） （2）结合律 A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; (2 − 11) （3）交换律 ∩(B∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C) , A∪(B∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C);(2 −12) A （4）分配律 A ∩ U = A , A ∪ φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩ φ = φ , A ∪ U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B (2 − 16) （8）德•摩根律 A = A (2 − 17) （9）双重否认律 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即 A ∪ A ≠ U A∩ A ≠ φ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
注意: ∑ 和 ∫ 并非求和和积分符号. : .
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B = ∫ /x / 不是除法运算 x − 50 4 R 1+ ( ) 10
模糊集合： 如果X 是对象x的集合，则X的模糊集合A ：
A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ X } µ A ( x ) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
X 称为论域
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数值在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式： 1 1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “希望居住的城市”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
第二章 模糊集合论基础
重点：1 模糊集合概念 重点： 2 隶属函数 难点： 难点： 模糊集合的运算
1. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
个子高低
2 模糊集合 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合 模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
2) 连续形式: 令X = [0, 200] 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B = {x, µ B ( x) | x ∈ X } 式中： 1 µ B ( x) = x − 50 4 1+ ( ) 10
模糊集合的公式表示
∑ x ∈X µ A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A = µ (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） ∫ A i X