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模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
第1讲模糊数学简介、教学安排1.简介（1）发展历史美：65，L.A.zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆）英国：74，马丹尼，蒸汽机控制丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊系统实现了对水泥窑炉的控制。
日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。
84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。
８８年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。
85，IFSA 成立国际模糊系统协会我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。
国际杂志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。
１９９５年IEEE给Zadeh 授予了学会的荣誉勋章。
（2）趋势①研究与应用人数逐年上升②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。
*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。
*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。
*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。
*在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C3I指定自动化系统等方面。
1.模糊集：设U 是论域，所谓U 上的“模糊集Fuzzy ”A ,是指对任意U x ∈，x 常以某个程度[])1,0(∈u u 属于A ,而非A x ∈或A x ∉。
（即对U A ⊂，若A 的边界也不清楚，则称A 为U 上的模糊集合）2.模糊集的隶属函数⑴论域：将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所讨论对象的全体为论域。
记为X ，Y ，U 等。
集合（子集合） 若对U x A x ∈→∈∀，则称A 是X 的子集，记为U A ⊂。
⑵特征函数称下述映射 {}1,0→X 确定的函数()X A μ为X 上集合A 的特征函数： ()X x A μ→1 ，A x ∈()X A μ=0，A x ∉⑶隶属函数设U 是论域，μ：[]1,0→U ，称μ是U 上的隶属函数，记U 上的隶属函数全体为)(U SH ,又记U 上的模糊集的全体为)(U F ，令)(U SH 与)(U F 一一对应。
于是，对任意()U SH ∈μ，有唯一U 上的模糊集)(~U F A ∈与之对应。
记此μ为~A μ，称~A μ为~A 的隶属函数，对任意U x ∈，称)(~x A μ为x 对~A 的隶属度。
注：因为{}[]1,01,0⊂，所以经典集A 的特征函数A μ也是隶属函数，经典集是模糊集的特例。
⑶定义1.所谓给定了论域U 上的一个模糊子集~A ,是指对于任何X x ∈，都给定了一个数[]1,0)(~∈x A μ，称做x 对~A 的隶属度，[]1,0:~→U A μ称作~A 的隶属函数，记为))((~~⎰=uA x x A μ，当U 为有限集{}n x x ,1时，~A 也可记为nn A A x x x x A )()(~~11~μμ++=，如果)(~x A μ的最大值等于1，则称~A 为正则模糊数集。
（4）隶属函数的确定专家评定法（德尔菲方法）：对任何U x ∈，由专家打分，指定)(~x A μ；1） 模糊统计方法：根据所提出的模糊概念进行统计试验，从而确定隶属函数的方法。
第1讲 模糊数学简介、教学安排一、简介1.发展历史美：65，L.A.Zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆）英国：74，马丹尼，蒸汽机控制丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊逻辑实现了对水泥窑炉的控制。
日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。
84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。
８８年，日立公司对日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。
85，IFSA 成立国际模糊系统协会我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，逐步与经典数学相对应的各个领域都有人研究。
当前研究、利用模糊技术的领域已经扩展到经济、社会等各个方面。
国际杂志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。
１９９５年IEEE给Zadeh 授予了学会的荣誉勋章。
2.趋势①研究与应用人数逐年上升②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。
*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。
*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。
*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。
*在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C I指定自动化系统等方面。
3*模糊家电产品：模糊洗衣机，空调，烤箱，照相机，摄像机，……3.与其它学科结合越来越紧，如：模糊神经网络模糊遗传算法……………………二、课程内容1.基本理论*模糊集合*隶书函数确定的若干方法*模糊关系*扩张原理与模糊数2.应用*模糊模式识别*模糊聚类分析*模糊综合评判3.学习本课程的目的一是学习、了解模糊数学的基本理论，为进一步学习相关内容打下基础；二是掌握应用模糊数学解决实际问题的一些基本方法；三是培养我们应用数学知识解决实际问题，尤其是解决涉及不确定问题的意识和能力。
数学素质：悟性例子：应用数学知识解决实际问题的意识、兴趣和能力。
峨眉看佛光！？？？什么是模糊数学？（模糊数学研究什么？）三、例子保定市是否有两个人头发根数一样多？第2讲 普通集合（第一章 集合与映射）一、集合1．基本概念：只有描述性定义，是数学学科最基本的概念记号,,,,X Y A B .X x ∈φBA ⊆相等有限集合、无限集合幂集：{}()P X X =的子集2．集合表示方法①A ={ 模糊数学，计算方法，……}{}11,2,3,,,n N n {}n ∞=== ②条件表示法{})(x P x X ={}米其身高大于人7.1=X{}()|P X A A X =⊆3．运算① 并：B A ∪② 交：A B ∩③ 差：B A −④ 余(补)：cA⑤ 对称差：()()()(A B A B B A A B A Δ=−∪−=∪−∩B4．性质①幂等律：A A A =∪ ，A A A =∩ ②交换律：A B B A ∪=∪A B B A ∩=∩③结合律：()()A B C A B C ∪∪=∪∪ ()()A B C A B C ∩∩=∩∩④分配律：()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪⑤吸收律：A B A A =∪∩)(A B A A =∩∪)(⑥两极律：A X X ∪=，A X A ∩=A A φ∪=，A φφ∩=⑦复原律：()c c A A = ⑧补余律：c A A X ∪=，cA A φ∩= ⑨对偶律：c c c B A B A ∩=∪)(c c c B A B A ∪=∩)(可以推广到任意有限多个集合。
5.集合族的并与交定义1.1 给定{}t A ，T t ∈，称下面集合} .. , , {t t T t A x t s T t X x x A∈∈∃∈=∪∈为集合族{}t A 的并集。
} , , {t t T t A x T t X x x A∈∈∀∈=∩∈称为集合族{}t A 的交集。
常见指标集：{1,2,,,}T n N == ，]1 ,0[=T集合族的并与交满足分配律：()(t t t T t T)A A A ∈∈∩∪=∪∩A()(t t t T t T)A A A ∈∈∪∩=∩∪A 例1.1 设，},,2,1{n A n =},2,1,{ ++=n n n B n ，求集合族的并集和交集。
}{},{n n B A 解：？？？1{1,2,}n n A N ∞=∪== ， }1{1=∩∞=n n A 1{1,2,}n n B N ∞=∪== ， φ=∩∞=n n B 1二、映射与特征函数1.映射（1）定义1.2设是两个集合，如果有一个法则，使得对于中任意元素Y X ,f X x ，都有Y 中唯一元素与之对应，则称是到的映射。
y f X Y ＊ 以前见过映射吗？单射：满射：一对一映射：（2）映射的性质：见4-5页定理1.2，共11条。
自看，自证，会用。
举几个映射例子………。
2.特征函数定义1.3 设X 为论域，A X ⊆，称映射:{0, 1}1, |()0, A A X x A x x x Aχχ→∈⎧→=⎨∉⎩ 为集合A 的特征函数。
A χ由A 唯一确定，A 也由A χ唯一确定。
这样就在和()P X {}|:{0,1}Y f f X =→之间建立了一一对应关系。
以后经常使用特征函数代替集合，并用()A x 代替()A x χ。
（4）用特征函数及其之间关系和运算表示集合之间的关系和运算)()(x B x A B A ≤⇔⊆)()(x B x A B A =⇔=X x x A A ∈∀=⇔= ,0)(φX x x A X A ∈∀=⇔= ,1)()()()}(),(max{))((x B x A x B x A x B A ∨==∪ )()()}(),(min{))((x B x A x B x A x B A ∧==∩)(1)(x A x A c−=)()(x A x A tTt t T t ∨∪∈∈= )()(x A x A tTt t T t ∧∩∈∈= 式中，和分别为数族的上确界和下确界。
)(x A t T t ∨∈)(x A t Tt ∧∈)(x A t}{t a 的上确界就是最小上界，下确界就是最大下界，用数学式子如何描述？a }{t a 定义1.4 是的上确界，如果满足 a }{t a a ①T t a a t ∈∀≥,②,t b a t T b a ∀≥∈⇒≥定义1.5 是的下确界，如果满足 a }{t a a ①T t a a t ∈∀≤,②,t b a t T b a ∀≤∈⇒≤要求：会求上下确界（能看出来即可）例如：1(2)?t N n∈−=∨ 1(1)?t Nn ∈+=∧ 上下确界与取大取小有什么差别？例1.２ 证明cc c B A B A ∩=∪)(以前怎么证明？()()1()()1max{(),()} min{1(),1()} min{(),()} ()()ccccc A B x A B x A x B x A x B x A x B x A B x ∪=−∪=−=−−==∩即，。
cc c B A B A ∩=∪)(作业1P 6-7 1-9第3讲 模糊集合（第二章 模糊集合）一、模糊集合1.模糊概念研究模糊现象的数学就是模糊数学；涉及模糊概念的现象就是模糊现象；什么是模糊概念？概念：具有一定含义的一个词，词组等。
如：人，头发，晴天，白色，马，球，衣服，研究生，学生，……。
概念的本质属性叫内涵，符合概念的全体对象叫概念的外延。
普通概念的外延构成普通集合。
如：教室里的男同学，河北人等等，这些概念的特点：任何一个对象要么符合这个概念，要么不符合这个概念。
模糊概念：外延不分明的概念。
如：“伟人”、“聪明人”、“健康人”、“正直的人”“年轻人”，……“阴天”、“质量好”、“不稳定”，…… 和普通集合的差别是什么？我们知道：给定论域X ，子集A X ⊆ X x ∈∀，或A x ∈A x ∉二者必居其一且仅居其一。
A A χ↔1, ()0, A x Ax x A χ⎧=⎨⎩完全属于完全不属于 例 2.1 考虑“发高烧”这个（模糊）概念论域T=[30，45 ]36， 37， 38．5，39， 39.5 39.8，…… 38.5度算不算发高烧？不好回答，用一个数描述发高烧的程度，如：38.5对应0.5，即38.5属于发高烧的程度为0.5。
2.模糊集合 （1）模糊集合定义2.1设在论域X 上给定一个映射[])(~| 1,0:~x A x X A →→称A为X 上的模糊子集，)(~x A 称为隶属函数（或对于x A的隶属度） 与普通集合对比就是将特征函数取值范围由{}]1,0[1,0→记。
{}()|F X A A X =是上的模糊子集例2.2 设为人的年龄，Zadeh 给出“年老”[0, 100]X =O ~，“年轻”Y ~两个模糊子集，隶属函为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+≤≤=−−100 50 ,5501500 ,0)(~12x x x x O 97.0)80(~8.0)60(~==O O⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+≤≤=−10025 ,5251250 ,1)(~12x x x x Y 图2-1 年老、年轻模糊集合隶属函数例2.3 考虑五个人构成的论域：{}54321,,,,x x x x x X =1x ， ， ， ，2x 3x 4x 5x 体温：39.8, 39.3, 38.5, 37.5, 36.5“发高烧的人”=A ~11→x9.02→x5.03→x 1.04→x05→x（2）模糊集合的表示法① Zadeh 表示法论域{}12,,,n X x x x = 或{} ,,,21n x x x X =∑==++=n i i i n n x x A x x A x x A A 111)(~)(~)(~~或∑∞==+++=111)(~)(~)(~~i i i n n x x A x x A x x A A或写成：∫=Xxx A A )(~~② 序偶表示法{}),),(~(),),(~(~11n n x x A x x A A =③ 模糊向量表示法))(~),(~(~1n x A x A A =X 中第个元素k k x 的隶属度k k a x A =)(~作为模糊向量A 的第个分量。
