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第二章 模糊集合论基础2新

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模糊关系及其合成

模糊关系及其合成


2.2 模糊集合论基础
15
五、模糊关系及其合成 例3：假如设身高 X {140,150,160,170,180} ，体重 Y {40,50,60,70,80} ，定义体重和身高的模糊关系为 R，则R是定义在笛卡儿积上的子集。有 ：
40 50 60 70 80
140
150 160
1
0.8 0.2
2.2 模糊集合论基础
5
五、模糊关系及其合成 3、模糊矩阵的合成 0.2 例：设有模糊矩阵： Q 求其合成运算。
(0.2 0.5) (0.5 1) (1 0.9) (0.2 0.6) (0.5 0.4) (1 0.1) S Q R (0.7 0.6) (0.1 0.4) (0.8 0.1) (0.7 0.5) (0.1 1) (0.8 0.9)
2.2 模糊集合论基础 10
其中：1表示有关系R，0表示没有关系R。
五、模糊关系及其合成 定义：所谓笛卡儿积 X Y {( x, y) x X , y Y} 上的模糊 关系R，是指以 X Y 为论域的一个模糊子集。 笛卡儿积上的模糊关系，表示两个集合的元素间 所具有的某种关系的程度，是普通关系的推广。 当论域为有限集时，模糊关系可以用矩阵来表示， 称为模糊矩阵。 模糊关系的运算服从模糊子集的法则，如并、交、 补等。
1 0.7 1 0.5 0.3 0.5 R 1 0 . 9 1 0 . 2 0 . 1 0 . 8
3
2.2 模糊集合论基础
五、模糊关系及其合成 2、模糊矩阵的运算：并，交，补
注： 维数相同的矩阵才能进行并、交运算。 并交运算可以推广到多个矩阵。 模糊矩阵是向量表示法的推广。
第二章模糊控制理论基础

第二章模糊控制理论基础


u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算： (1)A与B的代数积记作A • B，运算规则由下式确定：
A • B(u)= A(u)B(u)
第2章模糊数学基础

第2章模糊数学基础


A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y） 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2－2] 用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
20
2019/2/16
3）向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， [例2－1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
2019/2/16
11
（3）关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为
模糊逻辑理论基础

模糊逻辑理论基础

（1）描述法，（2）列举法，（3）特征函数法
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度
模糊数学第二章

模糊数学第二章


(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老
智能控制模糊控制PPT课件

智能控制模糊控制PPT课件

同时期，Mamdani和Ostergaard分别将模糊控制成功地应用 于蒸汽机和水泥窑的控制，为模糊理论的发展展现了光明 的前景。
机械结构力学及控制国家2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第三阶段
上世纪80年代，模糊理论的应用在深度和广度上 都有了较大进展，产生了大量的应用成果。
识别
输入的烹饪功能命令，口感命令
都是模糊的概念，带有人类思维
执行级
的命令。
对象
智能控制系统分层递阶结构示意图
机械结构力学及控制国家重点实验室
8
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 举个小例子
如何从人群中识别出自己认识的人？
计算机怎么识别？
脸部特征（脸型，眼睛，鼻子等） 身材（高、矮，胖、瘦） 声音 年龄 走路特征
如今需求：要考虑视觉、听觉、触觉信号，包含了图形、 文字、语言、声音等信息
输入参数越来越直接，越来越智能。
机械结构力学及控制国家重点实验室
4
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 一个小问题
随着社会文明的进步，社会分工越来越明确。于是对 于大部分人来说，做饭能力。。。
排骨怎么烧？
机械结构力学及控制国家重点实验室
特别是在日本，模糊控制被成功地应用于废水处 理、机器人、汽车驾驶、家用电器和地铁系统等 许多领域，掀起了模糊技术应用的浪潮。模糊软 硬件也投入商业使用。
机械结构力学及控制国家重点实验室
13
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第四阶段
上世纪90年代以来，模糊理论的研究取得了一系列突 破性的进展，例如自适应模糊控制，模糊系统的结构 和稳定性分析，模糊优化，模糊逼近等。
模糊控制的理论基础

模糊控制的理论基础

zmf(x,[a, b])
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2
模糊控制02-模糊集合及其基本运算

模糊控制02-模糊集合及其基本运算


中心 如果一个模糊集的隶属度函数达到最大值的 有点的均值是一个有限值，则该均值就是模 有点的均值是一个有限值 集的中心； µ(x) 1 如果均值是正（负） 穷大，则将中心定义 所有最大隶属度值的 中最小（最大）点。
模糊集合的一些基本概念
交叉点 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5的点。 0.5的点。 模糊集的高度 µ(x) 指模糊集内任意点所达到的 1 大隶属度值。 a 模糊集高度为1 模糊集高度为1时，该模糊 该模糊 称为标准模糊集。
1
supp( A) = {x ∈ U | µ A ( x) > 0}
0
模糊集合的一些基本概念
空模糊集 如果一个模糊集的支撑集为空集，则该模糊 如果一个模糊集的支撑集为空集 为空模糊集。 模糊单值 µ(x) 1 如果模糊集的支撑集仅包 则该模糊集 U中的一个点，则该模糊集 模糊单值。
模糊集合的一些基本概念
x
z
模糊集合的运算
模糊集合A 模糊集合A 和B等价 对于任意 x∈U，当且仅当µA(x)=µB(x)， 当且仅当µ 当且仅当 (x)， 称A和B是等价的。 模糊集合A 模糊集合A被B包含 对于任意 x∈U，当且仅当 µA(x)≤µB(x) ， 当且仅当 称B包含A。 包含A
模糊集合的运算
糊集合A 糊集合A 的补集 模糊集合A 模糊集合A的补集记作 ，A ，隶属度函数为 µ A (x) = 1 − µ A (x) 糊集合A 糊集合A和B的并集 AU B 模糊集合A 模糊集合A和B的并集记作 ，隶属度函数为 µ A∪ B (x) = max[µ A ( x), µ B ( x)] 糊集合A 糊集合A和B的交集 AI B 模糊集合A 模糊集合A和B的交集记作 ，隶属度函数为
模糊控制的理论基础

模糊控制的理论基础

第二章：模糊控制的理论基础第一节：引言模糊控制的发展传统控制方法：数学模型。

模糊控制逻辑：使计算机具有智能和活性的一种新颖的智能控制方法。

模糊控制以模糊集合论为数学基础。

模糊控制系统的应用对于那些测量数据不准确，要处理的数据量过大以致无法判断它们的兼容性以及一些复杂可变的被控对象等场合是有益的。

模糊控制器的设计依赖于操作者的经验。

模糊控制器参数或控制输出的调整是从过程函数的逻辑模型产生的规则来进行的。

改善模糊控制器性能的有效方法是优化模糊控制规则。

模糊控制的特点：一、无需知道被控对象的数学模型二、是一种反应人类智慧思维的智能控制三、易被人们所接受四、推理过程采用“不精确推理”五、构造容易六、存在的问题：1、要揭示模糊控制器的实质和工作原理，解决稳定性和鲁棒性理论问题，从理论分析和数学推导的角度揭示和证明模糊控制系统的鲁棒性优于传统控制策略；2、信息简单的模糊处理将导致系统的控制精度降低和动态品质变差；3、模糊控制的设计尚缺乏系统性，无法定义控制目标。

“模糊控制的定义”定义：模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的。

基于三个概念：测量信息的模糊化，推理机制，输出模糊集的精确化；测量信息的模糊化：实测物理量转换为在该语言变量相应论域内的不同语言值的模糊子集；推理机制：使用数据库和规则库，根据当前的系统状态信息决定模糊控制的输出子集；模糊集的精确化：将推理过程得到的模糊控制量转化为一个清晰，确定的输出控制量的过程。

“模糊控制技术的相关技术”模糊控制器的核心处理单元：1.传统单片机；2.模糊单片机处理芯片；3.可编程门阵列芯片。

模糊信息与精确转换技术：AD，DA，转换技术。

模糊控制的软技术：系统的仿真软件。

综述：模糊控制是一种更人性化的方法，用模糊逻辑处理和分析现实世界的问题，其结果往往更符合人的要求。

第二节：模糊集合论基础“模糊集合的概念”经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。

模糊数学的集合基础

模糊数学的集合基础

随着科技的发展，模糊数学有望与其他领域进行更深入的交叉融合，如与机器学习、数据 挖掘、云计算等领域的结合，从而产生更多创新性的应用。
模糊数学在人工智能和认知科学中的应用
人工智能和认知科学是当前研究的热点领域，模糊数学有望在其中发挥更大的作用，如模 糊逻辑在情感计算、智能决策等方面的应用。
THANKS
集合的运算
1 2
并集
两个集合A和B的并集是由所有属于A或属于B的 元素所组成的集合。
交集
两个集合A和B的交集是由所有既属于A又属于B 的元素所组成的集合。
3
补集
对于任意一个集合A，由不属于A的所有元素组 成的集合称为A的补集。
集合的基数与子集
基数
集合中元素的个数称为集合的基数。
子集
如果一个集合A中的每一个元素都是另一个集合B中的元素，则称A是B的子集。
感谢观看
模糊集合的运算
并集
模糊集合的并集运算与经典集合类似，表示两个集合 中至少有一个元素属于这两个集合。
交集
模糊集合的交集运算与经典集合类似，表示两个集合 中同时属于这两个集合的元素。
补集
模糊集合的补集运算表示不属于原集合的元素组成的 集合。
模糊Hale Waihona Puke 合的隶属函数确定隶属函数的方法
确定隶属函数是模糊集合理论中的重要步骤，常用的方法有专家打分法、统计法、神经网络法等。
模糊数学的产生和发展是数学和科学技术发展的必然结果，也是对现实世 界中广泛存在的模糊现象进行数学描述和定量处理的需要。
集合论在模糊数学中的重要性
01
集合论是数学的基础理论之一，它为模糊数学提供了基本的数 学工具和语言。
02
在模糊数学中，集合的概念被扩展到了模糊集合，模糊集合是
第二章：二、模糊集合的运算

第二章：二、模糊集合的运算

对于任一 u ∈ U ,若 µ A = 0，则称为空集φ ；若μA=1则A＝U称为全集。 定义2－3 设A、B是论域U的模糊集，即A、B∈ F（U）若对任一 u ∈U 都有 B(u)≤ A(u),则称B包含于A，或称B是A的一个子集记作 B ⊆ A。若对任一 u ∈ U 都有B(u)=A(u),则称B等于A，记作B＝A。 模糊集合的运算与经典集合的运算相类似，只是利用集合
µ
模糊集的代数运算仍然满足结合律、交换律、德•摩根律、同一律和零一律。 但不满足幂等律、分配律和吸收律。当然也不满足互补律。 ⊕ 定义2－9 称 aΘ、 为有界算子，对 ∀a , b ∈ [ 0 , 1 ] ，有
A+ B
∧
( u ) = µ A ( u ) + µ B ( u ) − µ A ( u ) µ B (u )
g v 2 (v1 ) (2 − 27) max( g v 2 (v1 ) , g v1 (v 2 ) ) 这里, v1 、v 2 ∈ U 。 若以 g (vi / v j )(i , j = 1, 2) 为元素，且定义 时，则可构造出矩阵G，并称G为相及矩阵。 g (v i / v j ) = 1 , 当 i = j
重叠鲁棒性＝10 / 20 = 0.5
µ
A1
A2
重叠率＝5 / 35 = 0.143
0.25
0 20
重叠鲁棒性＝2.5 / 10 = 0.25
35
5
35
40
55
速度 /( km ⋅ h −1 )
图2－6 隶属度函数重叠的范例 隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能 否用好模糊控制的关键之一。 1）模糊统计法
计算相及矩阵G。因为 g (vi / v j ) = g v j (vi ) / max( g v j (vi ) , g v i (v j ) ) ，所以，相及矩 阵为

模糊集的基本运算


定义 偏序集 (L, )称为格, 如果a, bP, 上确界a∨ b 与下确界a∧b都存在。
任意子集都有上、下确界的格称为完备格。 上、下确界运算满足分配律的格称为分配格, 这里 分配律指有限分配律。
定理 设(L, )为格, 则上、下确界运算满足: (1) 幂等律: a∨a=a, a∧a=a; (2) 交换律: a∨b=b∨a, a∧b=b∧a; (3) 结合律: (a∨b)∨c=a∨(b∨c),
例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“近似 于5”A可表示为：
A 0 /1 0 / 2 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 0 / 9 0 /10
或 A 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 或 A (0, 0, 0.3, 0.7,1,1, 0.7, 0.3, 0, 0)
1 A(x) 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(
x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 0
1
A(
x)
1
1 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
1
xa
A(
x)
1 2
1 2
sin
b
a
[
x
a
2
b
]
0
xb
a xb
1
A(
x)
b b
x a
A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
2) 向量表示法
当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)).

智能控制技术-第二章

则 A U 称为全集。
定义2-3 设A、B是论域U的模糊集，
即 A, B F(U ) ，若对任一 u U 都
有B(u) A(u)，则称B包含A，或称B是A的
一个子集，记作 B A。若对任一 u U都
有 B(u) A(u) ，则称B等于A,记作 B A 。
定义2-4 并：并 (AU B)的隶属函数 AUB 对所
模糊集F的表示：
F {(u, F (u)) | u U}
1、若U为连续域,模糊集F的化简表示
F F / u U
注意不表示“积分”，只是表示集合的一种方法； /并不表示除号，只是表示变量取值为是的隶属度 函数。
例
x
x0 x0
F (5) 0.2
2、若U为离散域，模糊集合的三种表示方法 (1）查德表示法： n
集合={冷，舒适，热}
冷的补集仍然有{冷，舒适，热}
2）因为模糊集合中B、C可能范围相同，只 是隶属度大小不同。
兄弟两个B、C相似父亲的程度。B、C属于 U区域。
兄弟B 1.0
兄弟C
身 眼鼻 眉体 高 睛子 毛重 图 2-6 模 糊 集 合 兄 弟 两 相 似 父 亲 的 程 度 的 定 义
（3）交换律
AI B BI A
AUB BUA
（4）分配律 A I (B UC) (A I B) U(A I C) A U(B I C) (A U B) I (A UC)
（5）同一律
AI U A
AU A
（6）零一律
AI
AUU U
（7）吸收律 AI (AU B) A AU(AI B) A
a)经 典 集 合 对 温 度 的 定 义
b) 模 糊 集 合 对 温 度 的 定 义

模糊数学第二讲--模糊集合及其运算


A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
20
五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
2024/7/20
16
例2 设模糊集A和B的隶属函数为

教案_第2章_模糊集合的基本理论


F (U) = {A | A: U → [0, 1]}
则称 F (U ) 为 U 的模糊幂集。显然，F (U ) 是一个经典集合，且有：P (U ) ⊆ F (U )。 2.1.2 模糊集合的表示
(2.2)
表示论域 U 上的模糊集合 A，原则上只需指明 U 中的每个元素 x 及其对应的隶属度 A(x)，并将它们用 一定的形式构造在一起。当然，模糊集本质上是论域到 [0, 1] 上映射，用隶属函数来表示模糊集是最基本 的方法。除此以外，人们还给出了三种常用的模糊集合的表示方法：Zadeh 表示法，序偶表示法和向量表 示法。 1. Zadeh 表示法 设 U 为论域，A 为 U 上的模糊集，即 A∈F (U )。 则模糊集 A 可表示为 (1) 若论域 U 为有限集或可列集，即 U = {x1, x2, …, xn} 或 U = {x1, x2, …, xn, …}，
数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 2 章 • 模糊集合的基本理论
第2章
模糊集合的基本理论
人们在表达一个概念时，通常采用指明概念的内涵和外延的方式来描述。从集合论的角度看，内涵就 是集合的定义，而外延则是组成该集合的所有元素。在经典集合论中，论域中的任一元素与某个集合之间 的联系完全符合二值逻辑的要求：要么属于某个集合，要么不属于这个集合，非此即彼，没有模棱两可的 情况。这表明，经典集合所表达的概念其内涵和外延都是明确的。 然而，现实世界中存在着大量的模糊现象，用以描述它们的概念没有明确的外延，都是模糊概念。例 如，以人的年龄为论域，则“年老” 、 “年轻”等均无法明确地指出其外延。其根源就在于模糊现象之间的 差异不是绝对的，存在着中间过渡，存在着亦此亦彼的情况。 显然，模糊概念的亦此亦彼特征无法用经典集合表达。但是，在亦此亦彼中依然存在着差异，依然可 以相互比较。进一步来看，在上一层次中亦此亦彼的现象，在下一层次中可能又转化为非此即彼。因此， 为了仍在集合理论的框架下讨论模糊现象，Zadeh 通过量化中间过渡的方式对经典集合予以推广，提出了 模糊集合的概念。 本章将对模糊集合的基本概念进行比较系统的介绍，主要内容包括：模糊集合及其运算，模糊集合与 经典集合的联系，模糊集合的广义运算。

模糊控制数学基础2—模糊逻辑与推理(2)


F F
隐含隶属函数表达式 pq ( x, y) 1 pq ( x, y) 1 min[ p ( x), (1 q ( y))] 或
pq ( x, y) pq ( x, y) max[ p ( x), q ( y)]
max[( p ( x)), q ( y)] 1
x y
(1 2 ) c ( z )
3) 多前提多规则
前提（事实） 1 前提 2 （规则1 ） 前提 （规则2 3 ） 结果（结论） x是A, y是B if x 是A1和 y是B1 , then Z是C1 if x 是A2和 y是B2 , then Z是C2 z是C
称为工程隐含
工程隐含
• （1） A B 解释为A与B相关，常用的两种三角范 式算子得到模糊关系 Rm A B A ( x) B ( y ) /( x, y )
X Y
或
A B ( x, y ) min{ A ( x), B ( y )}
Rp A B 或
p q,
“if then”
4) 逆操作 Inversion
5) q”。
~p 等效关系 Equivalence p q ，“p即
一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师；成立
2） 前提是假，结论是假；不教书，不是教师；成立
3） 前提是假，结论是真。
1单点模糊化max乘积复合运算乘积推理高度去模糊化2单点模糊化maxmin复合运算乘积推理高度去模糊化3非单点模糊化max乘积复合运算乘积推理高度去模糊化去下标上面几式可简化为单点模糊化
模糊逻辑与模糊推理
• 对模糊现象的机理进行分析、抽象，进 而用用模糊数学表达

模糊集合

第二章：模糊集合与模糊计算模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。

“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。

因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。

经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。

如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。

§2.1 模糊性分析2.1.1 模糊性在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。

而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。

是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。

这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。

当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。

关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。

至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理解。

不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。

模糊性来源于事物的变化过程。

处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。

例如“青年人”这个模糊概念。

根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。

儿童时期少年时期青年时期中年时期老年时期年龄图2.1.1 经典数学描述下人的成长时期但是，在14~25岁之外就截然不是青年人吗?答案是否定的。

因为人的生命是一个连续的过程，一个人从少年走向青年是一日一日积累的一个渐变的过程。

从差异的一方(如少年)到差异的另一方(如青年)，这中间经历了一个由量变到质变的连续过渡过程，这种过渡性造成了划分上的不确定性。

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第4节
分解定理和扩展定理
例 设 X= 1,2,3, ,10, 小是 X 上的一个模糊集合,定义为:
小 1 1 0.8 0.6 0.4
1 2 3 4 5
设 f 是平方运算,即 y f ( x) x 2 ,于是
f (小) (小) 2 1 1 0.8 0.6 0.4 1 4 9 16 25

8)复原律
( Ac )c A
第三节水平截集与支集
模糊集合的 水平截集定义如下: 设给定模糊集合 A F ( X ) , 对任意 0,1 闭区间中的实数 ,称
ห้องสมุดไป่ตู้
( A) A x / x X , A ( x)
~
~



~

为模糊集合 A 的 水平截集，这里, A 是一个普通集合, 是由在模糊集合 A 中 的隶属度达到或超过 的元素所组成。实际上,模糊子集的 水平截集,是在模 糊集合和普通集合之间架起了一个互相联系的桥梁,它解决了模糊集合和普通集 合之间转化的问题。当给定一个模糊集合 截集, 模糊集合 A 就转化为普通集
~
一个论域上的模糊集 B 时,确定 B 的隶属函数的方法。
~ ~
扩展原理: 和 是两个论域,设映射 f : f 诱导出一个新的映射，记作 f 。

, f ( x) y Y 。 由
第4节
分解定理和扩展定理
f : F ( X ) F (Y ) A f ( A) B, A F ( X ), f（ A） F (Y )
~
~
通集合 A,由此可见, 普通集合是模糊集合的特殊情况, 模糊集合是普通 集合推广。这说明了模糊集合是建立在普通集合之上的。
第二节模糊集合其运算
当论域 X 为有限论域时, X x1 , x2 , , xn 上, 论域 X 上的 模糊集合 A 可表示为:
A A ( x1 ) / x1 A ( x 2 ) / x 2 A ( x n ) / x n
~
SuppA 。 因此, 普通子集族: A / 0 1象征着一个具有游动,弹性边
~
~
~
界的集合,一个可变的, 运动的集合。
第三节水平截集与支集
A ( x)
~
1

0
A1 A Supp A
~
x
模糊子集的水平截集,在模糊集合和普通集合之间架起了一个互相联系的桥 梁,它解决了模糊集合和普通集合之间转化的问题.把模糊集合的核, 截集与支 集结合到一起,对模糊子集的结构作了分解,从而形象化描述了模糊集合。
F(X)是论域 X 上的模糊集类,
~ ~
A, B F ( X ) ,则定义以下计算:
~ ~
(1) A 与 B 相等 :由于模糊集合特征由它的隶属函数确定,所以把隶属 函数全部相等的两个模糊子集定义为相等,即, 对 X 上 x ,如果
A ( x) = B ( x) , 则 A B
~
~
~
~
~
合 A ,相应的隶属函数转化成特征函数，这种转化示于下图。
第三节水平截集与支集
A ( x)
~
A ( x)
1

A
0 图 4 A 与 A 关系
~
A ( x)
~
x
第三节水平截集与支集

设给定模糊集合 A F ( X ) ,称: SuppA x / x X , A ( x) 0
0 ,1
任何模糊集合都可以用普通集合表示，任何模糊集合问题都可以通过分解定理转化为普 通集合问题，为解决模糊数学问题提供一种可行的途径。
第4节
A ( x)
~
分解定理和扩展定理
1
1 2 3 4 5
0
图 构造模糊集
x
第4节
分解定理和扩展定理
Zadeh 教授于 1975 年提出了扩展原理, 它是模糊集合论中最基本 法则之一。 扩展原理给出了用映射将一个论域上的模糊集 A 变为另
~
~ ~ ~
~
这种表示只有形式上的意义, 加号不代表算术和,分数线 也不代表相除,只表示元素和对应的隶属程度的对应排列。
第二节模糊集合及其运算
在有限论域时, 模糊集合 A 还可表示为:
~
A A ( xi ) / xi
~ i 1
n
~
n
或记为:
A A ( xi ) / xi
~ i 1
~ ~ ~ ~
模糊子集 A与 B的并集 A B 的隶属函数定义为:
~ ~ ~ ~
AB ( x) Max(( A ( x), B ( x))
~ ~ ~ ~

也可表示为:
A B ( x) A ( x) B ( x)
~ ~ ~ ~
按扎德记法,可表示为:
A B (Max( A ( x), B ( x)) / x)

AB (u) 0 (A (u) B (u) 1)
第二节模糊集合及其运算

模糊集和的运算性质: 1)幂等律
2)交换律
A A A, A A A,
A, A B B A,

A BB

3)结合律
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
1- 1 分解定理 设 A 是论域 X 上的模糊集合, 0,1 ,则定义
~
( A) ( x) A ( x)
~ ~

称 A 为数乘模糊集。
~
第4节
~
分解定理和扩展定理
~
分解定理 : 设 A 是论域 X 上的模糊集合, A 为 A 的 截集, A 为 A 的特征函数,则:
第三节水平截集与支集
截集有以下性质:
1) ( A B) A B 2) ( A B) A B 3)若 1 , 2 0,1 且 1 2 , 则
A1 A21
第三节水平截集与支集
1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 例题: 设 A ,求 ~ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 A1 , A0.8 , A0.4 , A0 , SuppA 。
~ ~ ~ ~
按扎德记法,可表示为:
A B (Min( A ( x), B ( x)) / x)
~ ~ X
~ ~
第二节模糊集合及其运算
c 的补集 A (6) 模糊子集 A ~ ~
对 X 上 x ,如果
A ( x) 1 A ( x)
C ~ ~
c 则称 A 为模糊子集 A的补集 ~
~ ~ X
~ ~
第二节模糊集合及其运算
(5) A与 B的交集 A B
~ ~ ~ ~
模糊集合 A与 B的交集 A B 的隶属函数定义为:
~ ~ ~ ~
AB ( x) Min(( A ( x), B ( x))
~ ~ ~ ~

也可表示为:
A B ( x) A ( x) B ( x)
~
~
第二节模糊集合其运算
(2) B 包含 A , 对 X 上 x ,如果 A ( x ) B ( x )
~ ~
~ ~
则 B A或 A B
~ ~ ~ ~
(3) 空模糊集, 对 X 上 x ,如果 A ( x ) =0
~
则 A
~
第二节模糊集合其运算
(4) A与 B的并集 A B
设 f 是平方根运算,即 y f ( x) x ,于是
f (小) (小) 1 1 0.8 0.6 0.4 1 2 2 3 5
1 2
第4节
分解定理和扩展定理
n
扩展原理可以推扩到 n 个集合构成的笛卡尔积上。 设 X X 1 X 2 X n X i ，若 A1 , A2 , An 分别为
A
~
A
0,1
~
或
A ( x) ( A ( x))
0 ,1
~
分解定理表明:求模糊集合 A 中的某元素的隶属函数,可先求 与 A 的特征函数 最小值,即： A ( x) 之后, 对于不同的 值, 取最大值, 即： ( A ( x)) 。
第二节模糊集合及其运算

模糊集的代数运算 (1)代数积
A B (u) A (u) B (u)

(2)代数和 (3)有界和 (4)有界积
A B (u ) A (u) B (u) A B (u)


AB (u) 1 (A (u) B (u))
A ( x ) 在 0,1 上取值,其值大小表示 x 对于 A 的隶属程度。
~
~
~
表征模糊集合 A 的隶属函数 A ( x ) 在 0,1 闭区间上取值, 而表征普
~
~ ~
~
通集合 A 的特征函数只取 0 或 1 两个值,当隶属函数 A ( x ) 只取 0 或 1 两个值时, A ( x ) 蜕化成普通集合 A 的特征函数, 模糊集合 A 蜕化成普
An
n
A A1
A2
Ai
i 1
A
1
A2 An
(u) Min( A1 (u), A2 (u), , An (u))
并
第二节模糊集合及其运算
以上模糊集合,交,补的运算,与普通集合的同类的运算是相通的,只要隶 属函数仅取两个值, 模糊子集交,补的运算就变成了普通集合交,补的运算。 以上模糊集合的交,补的运算,可用以下图表示出来。