西南科技大学模糊数学第二章 模糊模式识别修第二、三节

22
2 最大隶属原则 —— 点对集
★ 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 U上有若干模糊集：
A1，A2，…，AnF ( U)，将这些模糊集视为 n 个 标准模式，u0 U 是待识别的对象，问 u0 应属于 哪个标准模式 Ai ( i =1，2，…， n ) ?
23
(2) 第二类模型：设 AF ( U )为标准模式，u1, u2, …, un U 为 n 个待选择的对象，问最优录 选对象是哪一个 ui (i =1，2，…， n ) ?
x3
x4
x5
x6
y1
71
63
82
90
85
70
y2
85
82
63
84
91
82
y3
63
68
95
94
62
70
y4
92
89
61
63
87
81
29
则可以计算出
Ay1
405 600
0.675
,
Ay2
427.4 600
0.712
,
Ay3
399.8 600
0.666
,
Ay4
418.7 600
0.698 .
于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：
ac =1－a 为 a 的余（或补）。
4
数补有下列性质:
a ac 1, a [0,1].
(ac )c a, (0c 1, 1c 0).
a,b [0,1], a b ac bc.
a ac 1 , a ac 1 .
2
2
1 a b (1 a) (1 b),
1 a b (1 a) (1 b).
xR
故,内积 A 是B A(x)与B(x)相等时的值,这时 x x*,
所以,可令A(x)=B(x),求 x*
12
设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶
属函数如图 所示
μ
A C
B D
E
0
a x* b
x
(图) 正态型模糊集 A、B
13
exp{( x a1 )2} exp{( x a2 )2},
24
★ ★ 最大隶属(度)原则Ⅰ（第一类模型）
设 A1， A2，…，AnF ( U )， u0 U是待识对
象，若 Ai 满足条件 Ai (u0) = max { A1(u0)，A2(u0)，…，An(u0)} (3.5.1)
则认为 u0 相对隶属于 Ai。 25
★ ★ ★ 最大隶属(度)原则Ⅱ（针对第二类模型）
1
2
( x a1 )2 ( x a2 )2 ,
1
2
x1
1a2 1
2a1 2
, x2
2a1 1a2 1 2
.
其中 x2不是最大值点,因此选 x* x1.
A
B
A( x1 )
exp{( a2
1
a1
2
)2}.
Ac Bc ((1 A(x)) (1 B(x))) 1. xR
lim Ax lim Bx 0 ,
u
,
这与下确界的定义矛盾，因此 上 式只有等式成立，即有
A BC 1 Au B u uU 1 Au 1 B u uU AC u BC u uU
= Ac Bc .
9
例1 : 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
D1
A2
0.88 0.86 0.85 0.96 0.92 0.90
D2
A3
0.89 0.86 0.86 0.94 0.86 0.88
D3
A4
0.35 0.34 0.32 0.40 0.48 0.40
D4
B
0.91 0.85 0.88 0.90 0.85 0.90
？
21
假设用某一贴近度公式计算得：
n
以下证明 上式中只有等号成立。因为，如果有
A BC 1 Au B u
即有
uU
1 (Au Bu) 1 Au Bu
uU
uU
1 1 Au Bu (Au B u),
uU
uU
按上确界的定义，∃ u0 U，使得
8
来自百度文库
1
uU
1
A
u
B
u
(
A
u0
B
u0
),
即
1
(
Au0
B
u0
)
uU
1
A
u
B
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
15
4. 贴近度的其它表示方法
定义: 可以用下列各公式定义贴近度：
n
A ui B ui
1
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
2
n
考生为 y1，y2，…，yn，组成问题的论域 Y = { y1, y2, …, yn}。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A (yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A (yi) 的 计算方法如下：
27
A yi
1 600
6
j x ji
j 1
,
式中 i =1, 2, …, n 是考生的编号，j =1, 2, …,6 是
现有 4 个公司的 “声誉” 模型 A1，A2， A3，A4，与其相应的管理模式为 D1，D2，D3， D4，以及待识别的某公司的 “声誉” B。试用 择近原则Ⅰ识别 B 的管理模式。
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指标
类型
u1 u2 u3 u4 u5 u6 管理模式
A1
0.92 0.83 0.88 0.90 0.83 0.90
10
定义 : 设 A，BF (U)，称
σL( A，B) = ( A∘B) ( A ⊙ B)C 或
σL( A，B) =1/2 [( A∘B) + ( A ⊙ B)C ] 为用内积、外积表示的贴近度 ( 简称格贴近度)。
11
例2 (P35)设论域R为实数域,F集的隶属函数为
A( x) exp{( x a1 )2},
5
命题 : 内积与外积运算有以下性质：
(1) ( A∘B)C=AC ⊙BC，( A ⊙ B )C= AC ∘ BC； (2) A∘B Ah Bh， A ⊙ B Ab Bb； (3) A∘A =Ah， A ⊙ A = Ab，
A∘AC ½， A ⊙ AC ½； (4) λ[0, 1]，则 (λA)∘B= λ ( A∘B)= A∘ (λB)； (5) A B 则 A∘C B∘C， A ⊙ C B ⊙ C 。
1
B( x) exp{( x a2 )2}.
2
试求格贴近度N(A,B).
解 对上述函数,有
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
i 1
n
Aui B ui
6
A, B
n
i 1
Aui
2
n
B ui
2 1/ 2
;
i1
i1
7
A,
B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
1/
2
du
;
8
A, B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
2
dx
b
a
B
u
2
du
1/ 2
.
17
2.3 F模式识别的原则----集对集 1. 择近原则----集对集
2.2 格贴近度
定义 : 设 A，B F (U)，称
A B (A(u) B(u)) uU
为 A 与 B 的内积，又称
A⊙B= ( A(u) B(u)) uU
为 A 与 B 的外积。
按上述定义可知，模糊集的内积与外积是 两个实数。
1
若 X ={x1, x2, …xn}，记 A (xi) = ai，B (xi) = bi，则
2
,
x R;
31
中度通货膨胀
A3
(
x)
exp
x
20 7
2
xR
重度通货膨胀
A4
(
x)
exp
x
30 7
2
xR
恶性通货膨胀
A5
(x)
exp
x
50 15
2
,
1,
0 x 50, x 50.
32
当 x0 = 8 时，即物价上涨率为 8 %，我们有： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
A ⊙ B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.6 ,
考试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。
按照最大隶属度原则Ⅱ，就可根据计算出的各考生 隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。
例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6=
0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如
下表
28
表 考生成绩表
yi
x1
x2
18
例3： 一个公司在社会上的声誉是一个模糊概 念，它是由多个因素决定的。如公司的 u1：管理水平； u2：员工才能； u3：长期投资价值； u4：财务健全； u5：善用公司资产； u6：产品/服务质量。
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这样公司在社会上的声誉就可以看作是论域 U ={u1，u2，u3，u4，u5，u6} 上的一个模糊集。
设 AF ( U ) 为标准模式，u1，u2，…，un
U 为待选对象，若 ui 满足条件 A (ui ) = max {A (u1)，A (u2)，…，A (un)}
则 ui 为最优录选对象。
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例4: 选择优秀考生。设考试的科目有六门
x1：政治
x2：语文
x3：数学
x4：理、化
x5：史、地
x6：外语
A4(8) 0， A5 (8) 0。 此时，通货状态属于轻度通货膨胀。
当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003
n
A
B
i 1
ai
bi
.
与经典数学中的向量 a = {a1, a2, …an} 与向量 b = {b1,
b2, …bn} 的内积
n
a b aibi i 1
比较，可以看出 A∘B 与 a·b 十分相似，只要把经典数
学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ • ” 换成逻辑加
“” 与逻辑乘 “” 运算，就得到 A∘B。
已知 n 个标准模型 ( 模糊集 ) ( 模型库 ) : A1，
A2，…，An F (U)。待识别对象（不是 U中的元素 u，而）是 U上的模糊集 BF (U)，σ 为F(U) 上的
贴近度，若对 Ai 有
Ai , B max Ak , B k 1,2,, n,
则认为 B 与 Ai 最贴近，判定 B 属于 Ai 一类。
2 A ui B ui
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
3
A, B
b
a
A
u
b
a
A
u
B u du B u du
;
4
A, B
b
2a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
du
;
16
n
Aui B ui
5
A, B
i1
n
A ui B ui
;
1/ 2
2
若 AF (U)，记 A 的 “高” 为 Ah ，A 的 “低”
为Ab 即
Ah= { A (u) | u U} , A b= { A (u) | u U} , 则
A∘B = ( A∩B )h， A ⊙ B= ( A∪B )b。
3
为方便起见，我们在闭区间 [0，1] 中定义 “余” 运算：对于任意实数 a∈[0，1]，称
y2, y4, y1, y3.
30
例5：考虑通货膨胀问题。设论域为 R+ = { x∈
R| x≥0}，它表示价格指数的集合，将通货状态
分成 5 个类型（x 表示物价上涨 x %)：
通货稳定
1,
0 x 5,
A1
(
x
)
exp
x
3
5
2
,
x 5;
轻度通货膨胀
A2
(
x)
exp
x
10 5
6
证明 仅证 (1) 的第一式，第二式类似。
(2) ~ (5)可以根据内积与外积的定义直接验证。因为
A BC 1 A B 1 (Au B u) uU 1 Au Bu u U ,
故 ( A∘B)C 是数集 {1－ ( A(u) B(u)) | uU } 的
一个下界，从而
A BC 1 Au Bu. uU 7
(A(ui ) B(ui ))
(A,B)
i=1 n
.
(A(ui ) B(ui ))
i=1
σ ( A1, B) = 0.9868； σ ( A2, B) = 0.9632； σ ( A3, B) = 0.9778； σ ( A4, B) = 0.4329。 根据择近原则Ⅰ，B 与 A1 最贴近，即 B 与 A1 采取的管理模 式最靠近。
x
x
故 N ( A, B) exp{( a2 a1 )2}.
1 2
14
命题 : 格贴近度有以下性质：A,B∈F(U),
(1) 0 σL( A，B) 1， σL(，U) = 0 ; (2) σL( A，B) = σL( B，A ); (3) σL( A，A) = Ah (Ab)C，特别 Ah=1，Ab= 0 时,