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10
定义 : 设 A，BF (U)，称
σL( A，B) = ( A∘B) ( A ⊙ B)C 或
σL( A，B) =1/2 [( A∘B) + ( A ⊙ B)C ] 为用内积、外积表示的贴近度 ( 简称格贴近度)。
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例2 (P35)设论域R为实数域,F集的隶属函数为
A( x) exp{( x a1 )2},
A4(8) 0， A5 (8) 0。 此时，通货状态属于轻度通货膨胀。
当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003
5
命题 : 内积与外积运算有以下性质：
(1) ( A∘B)C=AC ⊙BC，( A ⊙ B )C= AC ∘ BC； (2) A∘B Ah Bh， A ⊙ B Ab Bb； (3) A∘A =Ah， A ⊙ A = Ab，
A∘AC ½， A ⊙ AC ½； (4) λ[0, 1]，则 (λA)∘B= λ ( A∘B)= A∘ (λB)； (5) A B 则 A∘C B∘C， A ⊙ C B ⊙ C 。
1
B( x) exp{( x a2 )2}.
2
试求格贴近度N(A,B).
解 对上述函数,有
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 A(x) B(x), 则 A B (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
6
证明 仅证 (1) 的第一式，第二式类似。
(2) ~ (5)可以根据内积与外积的定义直接验证。因为
A BC 1 A B 1 (Au B u) uU 1 Au Bu u U ,
故 ( A∘B)C 是数集 {1－ ( A(u) B(u)) | uU } 的
一个下界，从而
A BC 1 Au Bu. uU 7
2
若 AF (U)，记 A 的 “高” 为 Ah ，A 的 “低”
为Ab 即
Ah= { A (u) | u U} , A b= { A (u) | u U} , 则
A∘B = ( A∩B )h， A ⊙ B= ( A∪B )b。
3
为方便起见，我们在闭区间 [0，1] 中定义 “余” 运算：对于任意实数 a∈[0，1]，称
以下证明 上式中只有等号成立。因为，如果有
A BC 1 Au B u
即有
uU
1 (Au Bu) 1 Au Bu
uU
uU
1 1 Au Bu (Au B u),
uU
uU
按上确界的定义，∃ u0 U，使得
8
1
uU
1
A
u
B
u
(
A
u0
B
u0
),
即
1
(
Au0
B
u0
)
uU
1
A
u
B
考生为 y1，y2，…，yn，组成问题的论域 Y = { y1, y2, …, yn}。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A (yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A (yi) 的 计算方法如下：
27
A yi
1 600
6
j x ji
j 1
,
式中 i =1, 2, …, n 是考生的编号，j =1, 2, …,6 是
2 A ui B ui
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
3
A, B
b
a
Aห้องสมุดไป่ตู้
u
b
a
A
u
B u du B u du
;
4
A, B
b
2a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
du
;
16
n
Aui B ui
5
A, B
i1
n
A ui B ui
;
1/ 2
设 AF ( U ) 为标准模式，u1，u2，…，un
U 为待选对象，若 ui 满足条件 A (ui ) = max {A (u1)，A (u2)，…，A (un)}
则 ui 为最优录选对象。
26
例4: 选择优秀考生。设考试的科目有六门
x1：政治
x2：语文
x3：数学
x4：理、化
x5：史、地
x6：外语
18
例3： 一个公司在社会上的声誉是一个模糊概 念，它是由多个因素决定的。如公司的 u1：管理水平； u2：员工才能； u3：长期投资价值； u4：财务健全； u5：善用公司资产； u6：产品/服务质量。
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这样公司在社会上的声誉就可以看作是论域 U ={u1，u2，u3，u4，u5，u6} 上的一个模糊集。
22
2 最大隶属原则 —— 点对集
★ 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 U上有若干模糊集：
A1，A2，…，AnF ( U)，将这些模糊集视为 n 个 标准模式，u0 U 是待识别的对象，问 u0 应属于 哪个标准模式 Ai ( i =1，2，…， n ) ?
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(2) 第二类模型：设 AF ( U )为标准模式，u1, u2, …, un U 为 n 个待选择的对象，问最优录 选对象是哪一个 ui (i =1，2，…， n ) ?
(A(ui ) B(ui ))
(A,B)
i=1 n
.
(A(ui ) B(ui ))
i=1
σ ( A1, B) = 0.9868； σ ( A2, B) = 0.9632； σ ( A3, B) = 0.9778； σ ( A4, B) = 0.4329。 根据择近原则Ⅰ，B 与 A1 最贴近，即 B 与 A1 采取的管理模 式最靠近。
x3
x4
x5
x6
y1
71
63
82
90
85
70
y2
85
82
63
84
91
82
y3
63
68
95
94
62
70
y4
92
89
61
63
87
81
29
则可以计算出
Ay1
405 600
0.675
,
Ay2
427.4 600
0.712
,
Ay3
399.8 600
0.666
,
Ay4
418.7 600
0.698 .
于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：
xR
故,内积 A 是B A(x)与B(x)相等时的值,这时 x x*,
所以,可令A(x)=B(x),求 x*
12
设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶
属函数如图 所示
μ
A C
B D
E
0
a x* b
x
(图) 正态型模糊集 A、B
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exp{( x a1 )2} exp{( x a2 )2},
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
15
4. 贴近度的其它表示方法
定义: 可以用下列各公式定义贴近度：
n
A ui B ui
1
A, B
i 1 n
;
A ui B ui
i 1
2
n
i 1
n
Aui B ui
6
A, B
n
i 1
Aui
2
n
B ui
2 1/ 2
;
i1
i1
7
A,
B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
B
u
1/
2
du
;
8
A, B
b
a
A
u
B
u
du
b
a
A
u
2
dx
b
a
B
u
2
du
1/ 2
.
17
2.3 F模式识别的原则----集对集 1. 择近原则----集对集
ac =1－a 为 a 的余（或补）。
4
数补有下列性质:
a ac 1, a [0,1].
(ac )c a, (0c 1, 1c 0).
a,b [0,1], a b ac bc.
a ac 1 , a ac 1 .
2
2
1 a b (1 a) (1 b),
1 a b (1 a) (1 b).
u
,
这与下确界的定义矛盾，因此 上 式只有等式成立，即有
A BC 1 Au B u uU 1 Au 1 B u uU AC u BC u uU
= Ac Bc .
9
例1 : 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
2
,
x R;
31
中度通货膨胀
A3
(
x)
exp
x
20 7
2
xR
重度通货膨胀
A4
(
x)
exp
x
30 7
2
xR
恶性通货膨胀
A5
(x)
exp
