2.1从位移、速度、力到向量----教案
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第二章平面向量2-1从位移、速度、力到向量一、教学目标：1.知识与技能⑪理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；⑫理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示；⑬通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】⑪经验链接：以前学过的量中，有很多量只用一个实数（或加上单位）就能确切表示，如“矩形的面积”、“一个人的身高”行、“一个物体的质量”等.但现实生活中有些量，只用一个实数不能确切地表示它们，如“物体的位移”、“作用在物体上的力”等.这些量，不仅要知道它们的大小，还必须知道它们的方向，才能确切表示它们.在数学中这些量就叫做向量.⑫问题链接：在小学的时候，我们曾经学习过这样一则故事，有几个动物找到了很多食物，它们想把这些食物用车拉回家去，于是，它们各自在车上绑一根绳子，尽全力拉了起来，可是怎么也拉不动车子，车子一步也不往前直，怎么回事呢？原来，它们各自拉着绳子，往自已的方向上用力：天鹅往上飞去，小猴子往前拉，山羊往后拉，小鼹鼠往地下拉.这个故事告诉我们一个生活哲理：做任何事情我们都应同心协力，可是从数学的角度如何看待、分析这个问题呢？学习向量后，你会得到正确的解答.【知识探究】【知识点1】向量的物理背景⑪矢量的概念作用于某一物体的力，拉力与重力虽然大小相同，但方向不同，因此它们并非同一力，不仅有大小还有方向.满足这两个要素的量，在物理学上，我们称之为矢量，即既有大小，又有方向的量.⑫位移、速度、力的特征对于位移，它只与质点的起点、终点位置有关，而与质点实际运动的路线无关，只要距离相同，方向相同就是相等的位移.对于力，需要注意的是较之位移，不仅有大小、方向、还有作用点.根据速度的定义，我们知道速度是伴生于位移的.解析：判断一个量是否是矢量，关键是它是否符合矢量的要素即要具有方向又要具有大小.【知识点2】向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量.解析：⑪向量不同于数量，向量不仅有大小还有方向。
大小是代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征.所以向量不能像实数那样比较大小，因为方向没有大小之分.⑫向量与矢量既有联系又有区别，如力的矢量不仅与大小、方向有关，而且还与作用点有关.数学上的向量仅与大小、方向有关，与起点位置无关，所以所以又称向量为“自由向量”。
例1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨温度；⑩距离。
其中是向量的有 ②③④⑤ 。
思考：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
【知识点3】向量的表示 ⑪几何表示法：画图时，向量一般用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向。
⑫字母表示：印刷时，用黑体字a 、b 、c …表示 书写时，常用,,a b c 表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如,AB CD 等解析：（1）向量用有向线段来表示反映了向量的几何特征，但向量不等价于有向线段，因有向线段不仅与方向、长度有关，还与起点的位置有关.但向量仅与大小、方向有关，与起点位置无关.所以向量可用有向线段来表示，但是有向线段不一定就是向量.（2）向量用字母表示有利于向量的代数运算，但要注意向手写体,a b 与印刷体a,b 的不同即用手写不出印刷体的字来.思考： −→−AB 与−→−BA 是否同一向量？答：不是同一向量。
【知识点4】与向量相关的概念 A(起点) B （终点） a⑴向量的模：向量的大小，即向量的长度，记作AB （或a ）.解析：向量虽不能比较大小，因向量的模是实数，所以向量的模可以比较大小. ⑵零向量：长度为零的向量称为零向量，记作0或0 .规定：零向量的方向是任意的。
⑶单位向量：与向量a 同方向，且长度为单位1的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作0a 。
解析：①单位向量的模等于1，其方向不确定； ②某方向上的单位向量的求法0a a a= . 思考：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量.记作：a b =若向量a 和向量b 相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.解析：①两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们为相等向量.例如a b = ，就意味着a b = ，且a 与b 的方向相同.②由向量的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.由此可知，任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.⑸平行向量、共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
规定：零向量与任一向量平行. 如a 与b 与c 是平行向量或共线向量，记作////a b c .−→−OA = −→−OB = −→−OC =解析：①共线向量也就是平行向量，其要求同个非零向量的方向相同或相反，这些向量所在的直线可以平行，也可以重合.②共线主要是指任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.ab c三、经典基础例题【例1】下列说法正确的是（ ）A.向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上B.向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C.向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D.单位向量都相等分析：利用向量的有关概念进行分析判断.解：对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别.有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上.对于B ，由于零向量与任意向量平行或共线，因此，若a ，b 中有一个为零向量时，共方向是不确定的.对于D 需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅需要长度相等而且还要求方向相同.故选C.【例2】如图2-1-1所示，设O 是正六边形ABCDEF 的中心.⑪分别写出图中与向量−→−OA 、−→−OB 、−→−OC 相等的向量； ⑫分别写出图中与向量−→−OD 、−→−OE 、−→−OE 共线的向量. ⑬与OA 的模相等的向量有多少个？ ⑭是否存在与OA 长度相等，方向相反的向量？ ⑮与共线的向量有哪些？【例3】判断下列命题：⑪两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；⑫若两个单位向量共线，则必相等；⑬若//a b 且//b c ,则//a c ；⑭四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB CD = 。
真命题的个数为 （ ）解：对⑪，假命题；对于⑫假命题，两个单位向量共线，方向可能相同，也可能相反；对于⑬假命题，假定向量b 为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合//a b 且//b c 条件，但结论//a c 不一定成立.对于⑭，是真命题，因为四边形ABCD 是平行四边形⇔AB ∥DC 且AB=DC ，即AB CD = 。
∴应选B.【例4】（2001∙全国）判断下列各命题的真假： ⑪向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；⑫向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑬两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；⑭两个有共同终点的向量，一定是共线向量； ⑮向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑯有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5解：⑪真命题.⑫假命题.若a 与b 中有一个向量为零向量时，其方向是不确定的.⑬真命题.⑭假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.⑯假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.故应选C.Ⅲ.应试必备满分版A 卷. 知识技能巩固一、选择题1、设O 为等边三角形ABC 的中心，则向量,,AO OB OC 是（ ）A 、有相同起点的向量B 、平行向量C 、模相等的向量D 、相等向量2、在菱形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）A 、,DA BCB 、,DC AB C 、,DC BCD 、,DC DA3、正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为n a a a ,,21，则这n 个向量（ ）A 、都相等B 、都共线C 、都不共线D 、模都相等4、下列命题正确的是：（ ）A 、若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量B 、若AB CD = ，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C 、 向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量.D 、 有共同起点的两个非零向量不平行. 5.已知向量a ，b 是两个非零向量，AO 、BO 分别是与a 、b 同方向的单位向C A E DB 量，则以下各式成立的是（ ） A. AO BO = B. AO BO = 或AO BO =C. 1AO =D.AO BO =二、填空题（每小题5分，共15分）6、如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，设,AE a DA b == ，则与a 相等的向量有________；与b 相等的向量有________；与a 平行的向量有_______；与b 共线的向量有________.7、已知四边形ABCD 中，12AB DC = ，且||||AD BC = ，则四边形ABCD 的形状是________.三、解答题（每小题10分，共20分）8、如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.试求： ⑪与向量ED 相等的向量； ⑫与AB 共线的向量.9、某人从点A 出发向西走了10米，达到点B ，然后改变方向按北偏西030走了15米，达到C 处，最后又向东走了10米达到D.分别计算此人在运动过程中的位移和路程。
