北师大版必修4高中数学第二章 从位移、速度、力到向量教学设计

1 从位移、速度、力到向量[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A ，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C 点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( )A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 3 m，则此人位移的方向是( ) A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，|CD|＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。

从位移、速度、力到向量一、教学目标：1.知识与技术（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与大体概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发觉知识结论，培育学生抽象归纳能力和逻辑思维能力2.进程与方式通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮忙学生理解平面向量与向量相等的含义和向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发觉问题和提出问题，擅长独立试探，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同窗们对向量的实际背景、几何表示有了一个大体的熟悉；激发学生学习数学的兴趣和踊跃性，陶冶学生的情操，培育学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方式.难点: 向量及向量的有关概念、表示方式.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探讨式学习法：(2)反馈练习法：以练习来查验知识的应用情形，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学假想【创设情境】实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫可否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A B【探讨新知】1．学生阅读教材试探如下问题[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等 注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，能够进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方式有哪些？ ①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→−AB 注意：起点必然写在终点的前面。

有向线段的长度：线段AB 的长度也叫做有向线段−→−AB 的长度 有向线段的三要素：起点、方向、长度②字母表示法：也可用字母a 、b 、c （黑体字）来表示，即−→−AB 可表示为a （印刷时用黑体字）3. 向量的模的概念是如何概念的？ 向量−→−AB 的大小——长度称为向量的模。

第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量1．1 位移、速度和力1．2 向量的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和标量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辨证思想的教育．●重点难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．(教师用书独具)●教学建议1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a ，在手写时可用a →表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．●教学流程创设问题情境，引出问题：位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？引入向量概念．⇒通过引导学生回答相关问题，引出有向线段、向量的构成要素，向量的长度(模)、零向量、单位向量等相关概念，并加深对向量的理解，熟悉其几何表示方法．⇒引导学生探究相等向量、共线向量的含义与性质，深刻领会相等向量是一类向量的集合，共线(平行)向量所在线段不一定平行等性质，避免与平面几何中直线平行相混淆．⇒通过例1及其变式训练，强化对向量相关概念的理解，深刻把握好各概念的内涵和外延．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握向量的表示方法及其应用策略．⇒引导学生探究相等向量、共线向量等概念，并完成例3及其互动探究，掌握解此类问题的方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)向量及其表示【问题导思】1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 【提示】 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 【提示】 利用有向线段来表示． 1．定义既有大小又有方向的量叫作向量． 2．有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度．记作|AB →|.3．向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)． 4．向量的表示法(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c …来表示，书写用a →，b →，c →…来表示．向量的有关概念名称 定义 表示方法零向量 长度为零的向量 0单位向量与向量a 同方向，且长度为1a 0(向量a方向上)的向量，叫作a方向上的单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b，记作a＝b向量平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与b平行或共线，记作a∥b向量的有关概念下列说法正确的是( )A ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上 B ．若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 D ．单位向量都相等【思路探究】 利用共线(平行)向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．【自主解答】 对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．对于B ，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．对于C ，向量AB →与BA →方向相反，但长度相等．对于D ，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．【答案】 C1．对共线向量的理解是本题的关键点．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量【解析】 AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故选项A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B 错；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D 错．【答案】 C向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题．【自主解答】 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又∵|AB →|＝|CD →|.∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．1．在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想．应注意的是有向线段是向量的表示方法，并不是说向量就是有向线段．3．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向．图2－1－1在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1) (1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ 【解】 (1)(2)(3)的图像如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心半径为2的圆．相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．【思路探究】 解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解． 【自主解答】 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点， ∴EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又∵D 是BC 的中点，∴EF ＝BD ＝DC .(1)与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →的模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →.1．本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共线向量的知识于其中，求解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来，用共线向量反映几何图形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长度关系．2．判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点位置无关．对于共线向量，则只要同向或反向即可．在本例条件不变的情况下，写出与AC →共线的向量和与CE →相等的向量． 【解】与AC →共线的向量有：CA →，FD →，DF →，CE →，EC →，AE →，EA →； 与CE →相等的向量有：EA →，DF →.忽视零向量方向致误给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中不正确的命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【错解】 选B.【错因分析】 ⑥中若b ＝0则结论不成立，因为0的方向不确定．【防范措施】 对于向量的概念要认真理解，尤其是零向量一定要记住其特殊性．【正解】 两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b ＝0，则a 与c 就不一定平行了．因此⑥也不正确．【答案】 C1．学习了向量的概念及其表示，明确了有向线段与向量之间的关系． 2．掌握了特殊向量及向量之间的关系，以及它们的性质特点． 3．能在具体图形中找出相等向量与共线向量．1．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝|b |⇒a ＝b B ．|a |＞|b |⇒a ＞b C ．a ＝b ⇒a ∥bD ．|a |＝0⇒a ＝0【解析】 如果两个向量相等，则这两个向量必定平行． 【答案】 C2．如图2－1－3，AB →＝DC →，AC 与BD 相交于点O ，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →图2－1－3【解析】 |DO →|＝|OB →|，且DO →与OB →方向相同，则DO →＝OB →，故选D. 【答案】 D 3．给出下列命题：①若|a |>|b |，则a >b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若|a |＝0，则a ＝0；④0＝0；⑤向量AB →大于向量CD →；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【解析】 ①不正确．|a |>|b |知模的大小，而不能确定方向，向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．【答案】 ②③图2－1－44．如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O 且平行于AB 的线段．(1)写出图中的各组共线向量； (2)写出图中的各对同向向量； (3)写出图中的各对反向向量．【解】 (1)向量DC →，BA →，EO →，OF →为一组共线向量； 向量AO →与OC →为一组共线向量； 向量OD →与OB →为一组共线向量； 向量AE →与ED →为一组共线向量； 向量BF →与FC →为一组共线向量．(2)向量DC →与EO →，OF →为同向向量，向量AO →与OC →，AE →与ED →，BF →与FC →分别为同向向量． (3)DC →与BA →，BA →与EO →，BA →与OF →，OD →与OB →为反向向量.一、选择题1．如图2－1－5，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－5A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示． 【答案】 B图2－1－62．如图2－1－6所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC → D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 【答案】 B图2－1－73．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，则与E F →的模相等的向量共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B图2－1－84．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA →外，与向量OA →共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【解析】 由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →，共有9个．故选D.【答案】 D5．下列说法中，不正确的是( ) A ．0与任意一个向量都平行B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【解析】 易知A 、B 、C 均正确，D 不正确，它们的终点可能相同，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．已知边长为3的等边△ABC ，则BC 边上的中线向量AD →的模等于________． 【解析】 由于AD ＝32AB ＝332.∴|AD →|＝3 32.【答案】3 32图2－1－97．如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则：①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，AO →与BO →的方向不相同，故④不正确．【答案】 ①②③图2－1－108．如图2－1－10所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为2 2的向量个数是________．【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】 8 三、解答题9．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量．【解】 如图可知，(1)易知BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点可知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB →长度相等的向量有BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.(3)与DA →共线的向量有AD →，BC →，CB →.图2－1－1110．如图2－1－11所示，四边形ABCD 中AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.【证明】 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|， 又∵DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.图2－1－1211．如图2－1－12，A 、B 、C 三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x ，y )，其中x 、y ∈R .当x 、y 满足什么条件时，向量OC →与AB →共线(其中O 为坐标原点)?【解】 由已知，A 、B 的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO ＝45°. 当点C (x ，y )的坐标满足x ＝y ＝0时，OC →＝0， 这时OC →与AB →共线(零向量与任意向量都共线)； 当xy ≠0，且x ＝y ，即点C 在一、三象限角平分线上时， 有AB ∥OC ，这时OC →与AB →共线．综上，当x ＝y 时，OC →与AB →共线．(教师用书独具)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．【解】如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．如图，在4×5的方格图中，有一个向量AB →，分别以图中的格点为起点和终点作向量．(1)与向量AB →相等的向量有多少个？ (2)与向量AB →长度相等的向量有多少个？【解】 (1)结合向量相等的定义及方格的特征可知与向量AB →相等的向量有3个． (2)与向量AB →长度相等的向量有39个，因为对角线长度与AB →长度相等的每个矩形中有4个与向量AB →长度相等的向量．而这样的矩形共有10个，所以共有4×10－1＝39个．§2从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法 2．2 向量的减法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：向量的加法、减法运算．难点：向量加法、减法的几何意义．(教师用书独具)●教学建议几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．●教学流程创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？⇒引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．⇒引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．⇒通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．⇒通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．课标解读1.掌握向量的加法、减法运算．(重点)2．理解向量加法与减法的几何意义及加、减法的关系．(难点)向量求和法则及运算律【问题导思】一架飞机要从A地经B地运物资到C地，问从A地到B地，与从B地到C地这两次位移之和是什么？【提示】 如图所示，这两次位移之和为AB →＋BC →，而实际位移为AC →. 由此可以看出AB →＋BC →＝AC →. 类别图示几何意义向量求和 的法则平行 四边 形法则已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加 法的运 算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )相反向量【问题导思】向量AB →与向量BA →是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？ 【提示】 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即AB →＝－BA →. 定义把与a 长度相等、方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a性质(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－a )＝a ；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a向量的减法【问题导思】1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？ 【提示】 是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a －b?【提示】 先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )．定义向量a 加上b 的相反向量叫作a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法几何 意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量向量的加法、减法运算(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →＝( )A.BC →B.AC →C.DA →D.BD →(2)化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________. 【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O ，转化成以O 为起点的向量进行化简．【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一 原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二 在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则 原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 【解】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.利用向量加法、减法的几何意义作图图2－2－1如图2－2－1所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作b ＋c －a .【思路探究】 解答本题可用平行四边形法则作b ＋c ，再作b ＋c －a .【自主解答】 法一 以OB →、OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD →、AD →，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .法二 作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →＝c －a ，AD →＝AC →＋CD →＝c －a ＋b ＝b ＋c －a .1．运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连，指被减．2．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则，多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.图2－2－2图(1)【解】 法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，AB →＝b ， 则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ， 则CB →＝a ＋b －c .图(2)法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，则BC →＝－c 连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .向量加减法的综合应用图2－2－3如图2－2－3所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.【思路探究】 要证明b ＋c －a ＝OA →，可转化为证明b ＋c ＝OA →＋a ，从而利用向量加法证明；也可以从c －a 入手，利用向量减法证明．【自主解答】 在▱ABCD 中，DA →＝CB →＝b ，OC →＝c 法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， 又∵OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →.∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →. 法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.1．法一是利用三角形加法法则证明两个向量的和相等；法二是利用向量减法法则证明两个向量的差相等，证明时可灵活选择方法．2．灵活选择方法，优化思维过程，通过恒等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法．P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 【证明】 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋BP →＋AC →＋CQ →， 又∵BP →＝QC →，∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →.错用向量减法法则致误如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为r 1、r 2、r 3，求OD →.图2－2－4【错解】 因为OD →＝OC →＋CD →， CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1.【错因分析】 错误使用了向量的减法法则导致解错．【防范措施】 减法口决：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量．应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图像，结合图像观察将使问题更为直观．【正解】 OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋OA →－OB →＝r 3＋r 1－r 2.1．学习了向量加法的三角形法则和平行四边形法则．2．学习了相反向量的概念，知道向量的减法是向量加法的逆运算． 3．学习了向量减法运算并且掌握了它的几何意义．4．掌握了利用向量的加、减法进行化简、作图、表示其他向量，体会了数形结合的应用．1．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2【解析】 ∵AB →＋AD →＝AC →，∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2，故选B. 【答案】 B2．下列说法正确的是( ) A ．0＋0＝0B ．对任意向量a ，b ，都有a ＋b ＝b ＋aC ．对任意向量a ，b ，有|a ＋b |>0D ．等式|a ＋b |＝|a |＋|b |不可能成立【解析】 ∵0＋0＝0，∴A 不正确；|a ＋b |≥0，∴C 不正确；当a ，b 同向共线时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立，∴D 不正确；B 正确，故选B. 【答案】 B3．化简AB →－DC →－AD →＝________. 【解析】 原式＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →. 【答案】 CB →图2－2－54．如图2－2－5，已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，试用a ，b ，c 表示向量OD →.【解】 OD →＝OA →＋AD →。

从位移、速度、力到向量（导学案）使用说明：1．自学71~73页内容，提高自学能力；2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究，学有余力的学生可提前完成其他部分。

【学习目标】（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过学习发现知识结论，培养自己抽象概括能力和逻辑思维能力【重点难点】 重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.1.在物理学中，位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”。

它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的。

2.前面我们提到过三角函数线（正弦线和余弦线）。

你是如何理解的？教材助读：1.向量的定义既有________又有________的量统称为向量．2.有向线段具有________和________的线段叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段记作，线段AB 的长度也叫作有向线段________的长度，记作________．3.向量的表示向量可以用________来表示，有向线段的长度表示________，箭头所指的方向表示________．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 来表示，书写用来表示．4.向量的模、零向量、单位向量______________表示向量(或a )的大小，即长度(也称模)．________的向量称为零向量，记作________．与向量a 同方向，________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a0.5.相等向量长度________且方向________的向量，叫作相等向量，向量a和向量b相等．记作________．6.共线向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线________，则称这两个向量平行或共线，a与b平行或共线，记作________．规定零向量与任一向量________．预习自测1．下列说法中错误的是()A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的2．下面有四个说法：①向量的长度与向量的长度相等；②任何一个非零向量都可以平行移动；③所有的单位向量都相等；④两个有共同起点的相等向量，其终点必相同．其中正确说法的个数是()A．4B．3C．2 D．13．下列说法正确的是()A．方向相同的向量叫相等向量B．零向量的长度为0C．共线向量是在一条直线上的向量D．零向量是没有方向的向量基础知识探究综合应用探究如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量−→−OA、−→−OB、−→−OC相等的向量；②分别写出图中与向量−→−OD、−→−OE、−→−OE当堂检测1．|a|＝1，则向量a是________向量；若|a|＝0，则向量a是________向量．2．如图，D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点．(1)与相等的向量为________；(2)与共线的向量为________．我的收获：。

CB《从位移、速度、力到向量》课堂练习Ⅰ.合作交流，感知概念Ⅱ、判断对错，理解概念⑴若向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线.⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =;反之，若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点必能组成平行四边形. ⑶若,,a b b c ==则a c = ⑷若//,//,a b b a 则//a cⅢ.应用迁移，巩固提高如图，,,D E F 依次为等边三解形ABC 的边,,AB BC AC ,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中,⑴找出与DE 相等的向量。

⑵找出与DF 共线的向量。

Ⅳ.创新应用，提升能力请你当一回老师，考考你的搭档，在方格中画出一些向量（要求所画向量的起点和终点必须在方格的格点处），让其辩认出是否存在共线向量、相等相量？若存在，请一一举出。

Ⅴ.回顾历史，感受文化Ⅵ. 总结反思，布置作业数学诗《我的向量》1、小结给你一个方向，你就成为我的向量2、作业给你一个坐标系，你就在我心空飞翔⑴课本73页第4题.给你一个基底，带着我，征途启航⑵请同学们逐步积累资料，在学完繁复的几何关系，变成纯代数的情疡《平面向量》一章后，以《话说“优美的动态结构，没有人情冷暖世态炎凉向量”》为题，写一篇数学短文，不管起点在哪里，你始终在水一方谈谈你对向量知识的理解.哪怕山高路远，哪怕风雨苍茫（参考网址：）啊，我的向量，你是一股力量溶进了我的身体，在我的血管量，静静地流淌Ⅶ.数学日记姓名：日期：今天数学课的课题：；今天所学的重要数学知识：；理解得最好的地方：；不明白或还需要进一步理解的地方：；你对什么问题还有不同见解：；今天你独立或和谁一起合作解决了什么问题：；所学内容能否应用在日常生活中，请举例说明：；自我评价：；教师评价：；。

2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.（1）用有向线段表示与向量相等的向量；（2）用有向线段表示与向量AB共线的向量.思路分析：寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量.解：（1）与向量相等的向量是、;（2）与向量AB共线的向量是DE、DC、CE.友情提示用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.各个击破类题演练 1如右图，四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形，（1）图中与AB共线的向量有____________；（2）图中与相等的向量有____________；（3）图中与模相等的向量有____________；（4）图中与相等的向量有____________.解:（1）DC、BE、BA、CD、EB、AE、EA（2）DC，BE（3）、、、、、、、、（4）BD变式提升 1如右图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中==，==；长度为2的向量有4个，其中=，=；长度为3的向量有2个，分别是和，所以最多可以写出6个互不相等的向量.答案：62.共线向量（平行向量）的判断【例2】给出以下五个条件：①a=b；②|a|=|b|;③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立；单位向量不一定是共线向量，⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.答案：①③④友情提示注意区分相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量.类题演练 2有下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线③若a∥b且b∥c，则a∥c④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:①正确.②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.③不正确.假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.④正确.综上可知应选C.答案：C变式提升 2下列命题中，正确的是（）A.|a|=|b|⇒a=bB.|a|＞|b|⇒a＞bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0解析：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小，又有方向，由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0.∴应排除D.答案：C3.零向量的应用【例3】下列说法正确的有几个（）①零向量是没有方向的向量②零向量与任一向量共线③零向量的方向是任意的④零向量只能与零向量共线A.0个B.1个C.2个D.3个思路分析：从零向量的概念来判断是否正确.解析：由零向量的特点可知②③对.答案：C友情提示容易把零向量当成是没有方向的向量，对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解，把它同实数中的零进行类比.类题演练 3下列四个说法：①若|a|=0;则a=0;②若|a|=|b|，则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0,其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：由向量的有关定义知①②③错误，④正确.故选A.答案：A变式提升 3下列条件中能得到a=b的是（）A.|a|=|b|B.a,b同向C.a=0,b任意D.a=0,b=0答案：D。

1 从位移、速度、力到向量[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A ，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C 点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( )A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 3 m，则此人位移的方向是( ) A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，|CD|＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。

2从位移的合成到向量的加法一等奖创新教学设计-高一下学期数学北师大版必修4《从位移的合成到向量的加法》教学设计一．教材分析：本节内容是普通高中课程（北师大版）数学必修4第二章第二节：从位移的合成到向量的加法”.向量是集数与形一体的一个量，向量是近代数学中极其重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在运算方面，本节课正是学生对于向量的运算体系所进行的第一次探索和尝试．学生在学习本节以前，已经学习了向量的有关概念，特别在物理学习过程中，早就知道位移、速度和力的合成，而且都知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。

实际上位移的合成、速度的合成和力的合成，都是向量加法的实际背景，而这些矢量的合成遵循平行四边形法则就是本节中向量加法的几何意义，学生已经具备了学习本节的基础，只要从实例出发，引导学生经过观察、分析、归纳、概括就可得到向量加法的概念，也很自然地得出向量的两个加法法则。

正是基于以上对教材地位和作用的分析，以及学生的实情，确定了本节的教学目标和教学重难点。

二．教学目标：知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用速度的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法.最后通过观察、类比、归纳、等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.情感目标：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点与难点重点：向量加法的概念和向量加法的法则及运算律难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导”这是叶圣陶先生告诉我们的教书之道．在学法上，我引导学生采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．四．教学程序流程图：环节内容设计说明引入一条湍急的河流中，小孩乘船过河，小船沿着垂直对岸方向行驶，小孩自言自语：小船怎么到达对岸的下游？他百思不得其解！同学们你能否给他解释是为什么吗？学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。

北师大版高中高二数学必修4《从位移、速度、力到向量》教案及教学反思1. 教学目标本章教学主要目的是引导学生理解和运用向量的概念和方法，能够用向量的加、减、乘等运算法则，解决静力学问题。

同时，注重拓展学生思维的多样性和可塑性，培养学生创新意识和解决问题的能力。

2. 教学重点及难点重点：1.掌握向量的基本概念和表示方法2.掌握向量的加、减、标量乘法运算，运用于解决静力学问题3.学会构建向量方程，解决静力学问题难点：1.学生根据题目内容理解问题，构建向量方程的能力2.学生对向量乘法的掌握和应用3. 教学环节及具体时间安排教学环节具体时间概念讲解30分钟实例分析40分钟练习演练50分钟解题思路分享30分钟4. 教学内容4.1 向量概念向量是一个既有大小又有方向的量。

在静力学中，一般用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

4.2 向量运算4.2.1 向量加法向量加法满足“交换律”和“结合律”，即：$$ \\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b} =\\overrightarrow{b} + \\overrightarrow{a} $$$$ \\overrightarrow{a} + (\\overrightarrow{b} +\\overrightarrow{c}) = (\\overrightarrow{a}+\\overrightarrow{b})+ \\overrightarrow{c} $$4.2.2 向量减法向量减法可以看做向量加法的一种特殊情况，即：$$ \\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b} =\\overrightarrow{a} + (-\\overrightarrow{b}) $$4.2.3 向量的标量乘法向量的标量乘法是指将向量乘以一个实数，即：$$ k\\overrightarrow{a} = \\overrightarrow{a_1} $$其中，k表示实数，$\\overrightarrow{a}$ 表示向量，$\\overrightarrow{a_1}$ 表示向量的新的大小和方向。