从位移、速度和力到向量的概念

子洲县职教中心 数学 导学案2013-2014学年第 一 学期 高二 年级 3班 组 姓名 编写者 王治强 审核者 使用时间2013年 10 月 日课题 ：从位移、速度、力到向量学习目标：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别； （2）理解向量的几何表示 重点难点：向量及向量的有关概念、表示方法 自主学习 （一）、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）（二）、新课学习学习过程1、数量与向量的区别？2.向量的表示方法？ ① ② ③④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作 .3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： . 向量与有向线段的区别：（1） .（2） . 4、零向量、单位向量概念：① 叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.② 叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：① 叫平行向量；②我们规定0与 平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义： 叫相等向量。

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向．．．线段的起点无关．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 合作交流 1.判断 （1）平行向量是否一定方向相同？ABCDA(起点)B（终点）a（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？2.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，①分别写出图中与向量−→−OA 、−→−OB 、−→−OC 相等的向量；②分别写出图中与向量−→−OD 、−→−OE 、−→−OE 共线的向量.达标训练1．下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误．．的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆4.下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行 5.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.DEOAB CF。

§1从位移、速度、力到向量预习案学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；3. 理解向量的模、零向量与单位向量的概念.4，在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.重点：向量的有关概念。

难点：共线向量的理解。

知识学习1、向量的概念向量是的量；数量是的量；2，向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的_________表示向量的大小，箭头的指向表示_________________⑵以A为起点，B为终点的有向线段记作AB（注：起点在前，终点在后）. 已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，也称为模，记作AB.有向线段包含三个要素：起点，方向，长度.⑶有向线段也可用字母如a，b，c，表示.反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？3：两个特殊的向量零向量：_________________的向量；单位向量：_____________________的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量. 若向量a，b平行，记作：//a b.规定：①零向量与任一向量平行，即对任意向量a，都有0//a.②零向量的方向不确定，是任意的.4,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）平行向量和共线向量5. 平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果a、b、c是平行向量，则可记为////a b c. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.预习自测：1. 下列各量中不是向量的是（ ）.A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2. 下列说法正确的是（ ）.A ．向量AB 与向量BA 的长度不等B ．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C ．零向量没有方向D ．任一向量与零向量平行3. 某人南行100米，后向东行100米，则这时他位移的方向是（ ）.A ．东偏南30B ．南偏东30C ．东偏南45D ．南偏东254. 物理中的作用力与反作用力 一对平行向量.（是或不是）5、、下列说法中正确的有①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行；③向量就是有向线段；6、下列说法中正确的是①若//a b ，则a b =； ②若a b =，则a b =； ③若a b =，则//a b ； ④若a b =，则a b =.探究案例1 如下图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OD ，OE ，OF 相等的向量.变式：与AB 相等的向量有哪些？例2如下图所示，D 、E 、F 分别是正ABC ∆的各边中点，则在以A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE 平行的向量.注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性.训练案1. 在四边形ABCD 中，AB DC =，则相等的向量是( ) .A.AD 与CB C.AC 与BDB.OB 与OD D.AO 与OC2. 判断下列说法的正误：①向量的模是一个正实数；②若两个向量平行，则两个向量相等；A B CC E③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；④温度有零上和零下温度，所以温度是向量；④非零向量a 的单位向量是a a .3. 下列命题中，正确的是（ ）. A.a b =⇒a b = B.a b >⇒a b > C.a b =⇒//a b D.0a =⇒0a = 4， 若AB AD =，且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形5. B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出 个互不相同的向量.6. 下列命题中，说法正确的有 ①若a b =，b c =，则a c =；②若//a b ，//b c ，则//a c ；③若a b =，则a b =或a b =-；④若AB DC =，则A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点.7. 在腰为2，底边为3的等边ABC ∆中，则底边BC 上的中线向量AD 的模为A B C D。

空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。

在数学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。

本文将介绍空间向量的基本概念和运用，并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。

一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，具有大小和方向两个基本特征。

在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，可以分为位移向量和力向量两类。

1. 位移向量：位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向，它的大小等于位移的长度，方向与位移的方向相同。

位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。

2. 力向量：力向量是用来描述物体受力情况的向量，它的大小等于力的大小，方向与力的方向相同。

力向量通常用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。

二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作，这些运算可以对向量进行操作，得到新的向量。

1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定规则相加，得到一个新的向量。

向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到，或者通过平行四边形法则进行计算。

2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到，或者通过平行四边形法则进行计算。

3. 数乘运算：数乘运算是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

数乘后的向量与原向量的方向相同，但大小变为原来的若干倍。

三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用，可以用来求解各种几何问题，比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。

1. 线段长度：通过计算线段的起点和终点坐标，可以得到线段的位移向量，进而计算线段的长度。

2. 直线方程：通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量，可以确定直线的方程，从而对直线进行分析和计算。

3. 判断点位置：通过已知点和一些向量信息，可以判断点的位置关系，比如点是否在直线上、是否在平面上等。

从位移、速度、力到向量教学设计：龙涛1、教材的作用和地位向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。

2、教学目标（1）知识目标：理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；（2）技能目标：理解向量的几何表示，会用字母表示向量；（3）能力目标：了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；（4）德育目标：通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力。

3、教学重点：本节重点是向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示。

4、教学难点：向量概念的理解5、学法：引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量.对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系．由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义，且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份，地位和作用. 对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向．讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系．6、教具：多媒体或实物投影仪，尺规7、授课类型：新授课8、教学过程【活动阶段】通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些（物理）量问题1：（多媒体演示）老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？学生：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

向量的概念与性质向量，作为研究物理、数学等学科中的基本概念之一，具有广泛的应用价值。

在本文中，我们将讨论向量的概念以及其所具有的一些重要性质。

一、向量的概念向量可以被理解为带有方向和大小的量，常用以描述位移、速度、力等物理量。

向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

例如，位移向量可以表示一个物体从初始位置到最终位置的位移情况，速度向量可以表示运动物体在某一时刻的速度大小和方向。

二、向量的性质1. 向量的加法和乘法运算向量的加法定义为两个向量相加得到的结果，其几何意义为将一个向量平移至另一个向量的尾部，连接两个向量的首尾即可得到结果向量。

向量的乘法通常有数量积和向量积两种形式，数量积的结果为一个标量，表示两个向量之间的夹角关系；向量积的结果为一个向量，垂直于原向量所在的平面。

2. 向量的共线性若两个向量的方向相同或相反，称它们共线；若两个向量的大小和方向都相同，称它们相等；若一个向量的大小为零，称它为零向量。

共线向量有以下性质：共线向量的数量积为零，零向量与任何向量的数量积为零。

3. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，用于衡量一个向量在某个方向上的分量。

投影的大小等于向量的模长与两向量之间夹角的余弦值的乘积。

4. 向量的线性运算向量具有线性运算的性质，即向量与标量的乘法和向量的加法满足以下规则：若a是一个实数，u、v、w是任意向量，则有：(a*u) + (a*v) = a*(u+v)；a*(u+v) = (a*u) + (a*v) = a*u + a*v。

5. 向量的单位化向量的单位化是将一个向量的大小调整为1，其方向不变。

通过将向量除以其模长即可得到单位向量，单位向量用帽子 (^) 表示。

单位向量在物理中有着重要的应用，例如在力学中，单位向量常用于表示力的方向。

总结向量作为一种重要的数学概念，具有广泛的应用。

通过向量的加法和乘法运算，我们可以对向量进行各种运算操作。

北师大版高中数学必修第二册《位移、速度、力与向量的概念》评课稿一、课程概述《位移、速度、力与向量的概念》是北师大版高中数学必修第二册中的一节课。

本课程主要介绍了位移、速度、力以及向量的基本概念和相关的计算方法。

通过学习该课程，学生将能够理解和运用这些概念，为后续学习物理学打下基础。

二、教材分析《位移、速度、力与向量的概念》这节课是数学必修第二册的一部分。

教材采用了北师大版的教材，该教材在内容和难度上都与国家教育要求相符合。

本节课的内容紧密结合了实际生活中的运动问题，通过一系列的案例引导学生进行思考和分析。

三、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够达到以下教学目标：1.理解位移、速度、力和向量的含义和定义；2.掌握位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法；3.在实际问题中应用位移、速度、力和向量的概念、公式和方法；4.培养学生的逻辑思维、问题解决和数学建模能力。

通过这些教学目标的达成，学生将能够全面理解和运用位移、速度、力和向量的概念，为后续学习和应用打下坚实的基础。

四、教学重点与难点本节课的教学重点如下：1.位移、速度、力和向量的概念和定义；2.位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法。

本节课的教学难点如下：1.向量的加法和减法运算；2.掌握向量的模长和方向角的计算方法；3.几何问题的向量表示和分解。

针对这些重点和难点，教师应采取合适的教学方法和策略，引导学生加深理解和掌握。

五、教学内容与步骤5.1 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.位移的概念和计算方法；2.速度的概念和计算方法；3.力的概念和计算方法；4.向量的概念和计算方法。

5.2 教学步骤本节课的教学步骤如下：步骤一：引入通过一个日常生活中的运动场景或问题引入本节课的内容，激发学生的学习兴趣和思考。

步骤二：位移的概念和计算方法首先介绍位移的概念和定义，然后介绍位移的计算方法和公式。

通过具体的例子，引导学生理解位移的概念和计算方法，并进行相关的练习。

第二章平面向量及其应用第1节从位移、速度、力到向量第1课时位移、速度、力与向量的概念⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；1.通过实例分析，形成平面向量的概念.2.会表示向量，并理解向量的基本特征.1.向量的概念：既有_____又有______的量叫向量2.向量的两要素：_______、_________.3.向量AB(或a)的大小，即长度（也称______），记作：_______或________.4.模长为0的向量叫做________,记作：_______5.模长为1的向量叫做________,记作：_______一、情景引入，温故知新情景1：学校位于小明家北偏东60°方向，距离小明家2000m,从小明家到学校，可能有长短不同的几条路.无论走哪条路，位移都是向北偏东60°方向移动了2000m(如图2-1).θ=，出手速率为v=28.35m/s(如情景2：某著名运动员投掷标枪时，其中一次记录为：出手角度43.242图2-2).情景3：如图2-3，汽车沿倾斜角为 的坡路向上行驶，汽车的牵引力为F问题：1上面三个情境中反映的物理量有什么共同的特点?2.请再举出一些含有类似性质的物理量实例进行分析，与同学交流向量的历史大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.二、探索新知探究一向量的概念情境1. .老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去.猫能否追到老鼠？情境2. 民航从北京飞往重庆、广州、上海、哈尔滨等地的航班，这些航班的位移相同吗？情景3：起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起思考：1物理中，既有大小又有方向的量，叫作什么？.2.在数学中，既有大小又有方向的量又叫作什么呢?归纳新知：向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量向量的两要素：大小（模）、方向.（定义向量的模）问题1.现实生活中有哪些量既有大小又有方向？问题2.哪些量只有大小没有方向？例1.下列量中哪些是向量？悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.问题：数量与向量的区别是什么？练习1：给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量例2.如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.练习2.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000。

向量是一种数学工具，可以用来描述物体在空间中的位置和运动。

在物理学中，向量被广泛应用于描述物体的运动，包括力学、电磁学、光学和量子力学等领域。

在本篇文章中，我们将介绍如何使用向量表示物体的运动。

首先，我们需要了解向量的基本概念。

向量可以用起点和终点的坐标表示，也可以用长度和方向表示。

在物理学中，我们通常使用长度和方向来表示向量。

长度是指向量的模长，即向量的长度或大小。

方向是指向量的方向或指向，即向量所指的方向。

接下来，我们将介绍如何使用向量表示物体的位移。

位移是指物体在空间中的位置变化。

在物理学中，我们通常使用向量来表示位移。

位移可以用起点和终点的坐标表示，也可以用长度和方向表示。

在物理学中，我们通常使用位移来描述物体在空间中的位置变化。

例如，如果一个物体从点A移动到点B，我们可以使用向量AB来表示它的位移。

接下来，我们将介绍如何使用向量表示物体的速度。

速度是指物体在空间中的运动速度。

在物理学中，我们通常使用向量来表示速度。

速度可以用长度和方向表示。

例如，如果一个物体以速度v从点A移动到点B，我们可以使用向量v来表示它的速度。

接下来，我们将介绍如何使用向量表示物体的加速度。

加速度是指物体在空间中的运动加速度。

在物理学中，我们通常使用向量来表示加速度。

加速度可以用长度和方向表示。

例如，如果一个物体以加速度a从点A移动到点B，我们可以使用向量a来表示它的加速度。

最后，我们将介绍如何使用向量表示物体的力。

力是指物体在空间中的受力作用。

在物理学中，我们通常使用向量来表示力。

力可以用长度和方向表示。

例如，如果一个物体受到力F 的作用从点A移动到点B，我们可以使用向量F来表示它的力。

总之，向量是一种数学工具，可以用来描述物体在空间中的位置和运动。

在物理学中，我们通常使用向量来表示物体的位移、速度、加速度和力等物理量。

通过使用向量来描述物体的运动，我们可以更好地理解物体的运动规律，从而更好地解决物理问题。

向量知识点总结初中1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的量，用来表示位移、速度、力等物理量。

在几何上，向量表示空间中的一条有方向的线段。

2. 向量的表示：向量通常用有向线段、箭头等图形表示，也可以用分量表示。

在数学上，向量常用加粗的字母，如a、b、c等表示。

二、向量的运算：1. 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是一个新的向量，其起点和终点分别为两个向量的起点和终点。

2. 向量的数乘：向量的数乘是指一个向量乘以一个标量，结果是一个新的向量，其大小是原向量大小的倍数，方向与原向量相同或相反。

3. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算，即将被减向量改变方向再与减向量做加法。

4. 向量的数量积：向量的数量积又称点积，结果是一个标量，其大小等于两个向量的模的乘积与这两个向量夹角的余弦值的乘积。

5. 向量的向量积：向量的向量积又称叉积，结果是一个向量，其大小等于两个向量的模的乘积与这两个向量夹角的正弦值的乘积，方向由右手定则确定。

三、向量的坐标表示：1. 二维向量的坐标表示：二维向量可以用坐标表示为一个有序二元组(a, b)，其中a为向量在x轴上的投影，b为向量在y轴上的投影。

2. 三维向量的坐标表示：三维向量可以用坐标表示为一个有序三元组(a, b, c)，其中a为向量在x轴上的投影，b为向量在y轴上的投影，c为向量在z轴上的投影。

四、向量的模和方向角：1. 向量的模：向量的模是用来表示向量大小的量，通常用|a|表示，可以通过勾股定理计算得到。

2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与坐标轴正方向的夹角，通常用α、β、γ表示。

可以通过三角函数计算得到。

五、向量的线性相关和线性无关：1. 线性相关：若存在不全为零的实数k1、k2，使得k1a + k2b = 0，则称向量a、b线性相关。

2. 线性无关：若a、b线性相关，且k1 = 0、k2 = 0，则称向量a、b线性无关。

初中数学向量的定义与运算一、向量的定义向量是指具有大小和方向的物理量。

在数学中，向量通常用一条具有箭头标记的有向线段表示，箭头表示向量的方向，线段长度表示向量的大小。

向量可以用于描述位移、速度、力、力矩等物理量。

二、向量的表示方法1. 简化表示法：通常情况下，向量用大写的字母如AB表示，其中A和B表示向量的起点和终点。

这种表示方法简洁明了，常用于平面上的向量。

2. 分量表示法：对于在直角坐标系中的向量，可以用坐标表示。

例如，向量AB可以用(x2-x1, y2-y1)来表示，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量AB的起点和终点的坐标。

三、向量的运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。

向量相加的结果是一个新的向量，其起点与第一个向量的起点相同，终点与最后一个向量的终点相同。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量减法的运算规则是将被减向量取负后与减向量相加。

向量减法可以转化为向量加法来处理。

3. 数乘运算：数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

数乘运算改变了向量的大小但保持了方向。

当实数为负时，数乘运算还会改变向量的方向。

四、向量的运算性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意向量a、b、c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 数乘运算与加法的分配律：对于任意向量a、b和实数k，有k(a+b)=ka+kb。

3. 数乘运算与数乘运算的分配律：对于任意向量a和实数k1、k2，有(k1+k2)a=k1a+k2a。

五、向量的模、方向角和单位向量1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，通常用|a|表示，等于向量的长度。

2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与某个坐标轴或平面的夹角。

3. 单位向量：单位向量是指模等于1的向量。

单位向量可以用一个小写的字母加一个帽子表示，例如ĉ。

数学教案向量的基本运算数学教案：向量的基本运算一、引言在数学中，向量是一个重要的概念，它可以用来描述物理空间中的位移、速度和力等物理量。

向量的基本运算包括加法、减法和数乘运算，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。

本教案将从理论和实践两个方面，详细介绍向量的基本运算。

二、向量的表示与性质向量通常用有序数组表示，如(A1, A2, A3)。

向量的性质包括大小、方向和共线性。

大小由向量的模表示，方向由箭头指向确定，共线性由向量的比例关系决定。

三、向量的加法运算1. 向量的三要素及图解法：两个向量相加所得的和向量，大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相同。

2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相加。

3. 示例题：根据图示求两个向量的和向量。

四、向量的减法运算1. 向量的定义及图解法：两个向量相减所得的差向量，大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相反。

2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相减。

3. 示例题：根据图示求两个向量的差向量。

五、向量的数乘运算1. 向量的定义及图解法：一个向量乘以一个实数所得的向量，向量的大小等于实数与向量大小的乘积，方向与原向量相同(正数)或相反(负数)。

2. 分量法：将向量的分量分别乘以实数。

3. 示例题：根据图示求向量的数乘。

六、向量的基本运算的性质1. 加法和减法的性质：交换律、结合律、零向量和负向量。

2. 数乘的性质：分配律、加法的结合律、单位向量。

七、实际应用1. 位移向量：描述物体在空间中的位置变化。

2. 速度向量：描述物体在空间中的运动状态。

3. 力向量：描述物体受力及其方向。

八、小结通过本教案的学习，我们了解了向量的基本运算，包括加法、减法和数乘运算。

向量运算不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理学和工程学等领域也具有重要的意义。

在实际问题中，我们可以通过运用向量的基本运算来描述物体的位置、运动和受力等情况，提高问题解决的效率。

§1 从位移、速度、力到向量1．1 位移、速度和力 1．2 向量的概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学常称为矢量，在数学中叫作向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学常称为标量． 2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小． [预习导引]1．向量：既有大小，又有方向的量叫作向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为0的向量，叫作零向量，记作0或0→. (2)单位向量：长度为单位1的向量叫作单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量．(4)平行向量(共线向量)：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行．要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定； (2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a ≠c ； (8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 跟踪演练1 下列命题中，正确的是( ) A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等 B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D ．共线的单位向量必是相等向量 答案 B解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量，即向量a 与b 共线，与前提矛盾，所以a 与b 都是非零向量． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？→相等的向量为：OC→、BF→、ED→.解(1)与AO→共线的向量为：OA→、OC→、CO→、AC→、CA→、ED→、DE→、BF→、FB→.(2)与AO→与CO→不相等，因为AO→与CO→的方向相反，所以它们不相等．(3)向量AO规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：→＝DC→，BA→＝CD→，AD→＝BC→，DA→＝CB→，AD→＝MN→，DA→＝NM→，(1)模为2的相等向量共有8对，AB→＝MN→，CB→＝NM→.BC→同向的有MB→，DN→，NC→，这四个向量组成相等的向(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM量有6对，即AM→＝→，AM→＝DN→，AM→＝NC→，MB→＝DN→，MB→＝NC→，DN→＝NC→，同理与AM→反向的也有6对．MB→＝MC→，NA→＝CM→，MD→＝BN→，DM→＝NB→.(3)模为5的相等向量共有4对，AN1．下列说法正确的是()A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同答案C解析零向量的长度为0，方向是任意的，故A，B错误，C正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误．2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，且AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合，是一种广义的平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标 1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 A解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误． 2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等 答案 C解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A 、B 、D 选项内容都是正确的． 3．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； 其中不正确的命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析 不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．5．若a 是任一非零向量，b 是模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③ 答案 B解析 a 任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF → 答案 D解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，故EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同， ∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．以下命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；②若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；③单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①A 、B 、C 、D 四点可能共线；③单位向量的模相等，但方向不确定，所以未必共线． 9．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________． 答案 ①③④解析 因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④. 10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km.11．如图，已知矩形ABCD 中，设点集M ＝{A ，B ，C ，D }，求集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →＝0}．解 集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →≠0}中的元素为非零向量PQ →，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点ABCD .这些向量为AB →，AC →，AD →，BA →，BC →，BD →，CB →，CA →，CD →，DA →，DB →，DC →. 由于AB →＝DC →，AD →＝BC →，BA →＝CD →，DA →＝CB →，根据集合元素的互异性，得集合T ＝{AB →，AC →，AD →，BD →，CD →，CA →，DA →，DB →}． 12．如图所示，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.打印版高中数学 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)由(1)知，四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个．。

小学生数学认识数学中的向量向量是数学中的一种重要概念，它在几何学、物理学以及计算机科学等领域有着广泛的应用。

对于小学生来说，了解和认识向量是非常有益的，可以帮助他们更好地理解数学概念和解决实际问题。

本文将介绍向量的概念、性质以及一些简单的应用，以帮助小学生认识数学中的向量。

一、向量的定义和表示方法向量可以用于描述空间中的位移、速度、力等物理量，它是由大小和方向组成的。

在数学中，向量通常用有向线段来表示。

一个向量通常用字母加箭头来表示，比如A B⃗，表示从点A到点B的有向线段。

除了用有向线段表示向量外，向量还可以用坐标表示。

在平面直角坐标系中，一个二维向量可以用两个有序实数表示。

比如向量P Q⃗可以表示为(Px, Py)，其中Px为横坐标，Py为纵坐标。

类似地，在三维空间中，一个三维向量可以用三个有序实数表示。

二、向量的性质1. 向量的大小：向量的大小又称为向量的模或向量的长度，用||A B⃗||表示。

在平面上，向量A B⃗的大小可以由两点的坐标计算得出，即||A B⃗||=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

在三维空间中，向量的大小计算方式类似。

2. 向量的方向：向量的方向可以由两点确定，即向量从一个点指向另一个点。

在数学中，可以用一个角度表示向量的方向。

常见的表示方式有使用与x轴正方向的夹角，也可以使用方向角。

除此之外，向量的方向还可以用单位向量表示，即大小为1的向量。

3. 向量的运算：向量可以进行加法和乘法运算。

向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

向量的乘法有数量乘和点乘两种。

数量乘是指将向量的大小与一个实数相乘得到新的向量，而点乘则是将两个向量的对应坐标相乘并相加得到一个实数。

三、向量的应用1. 几何问题：向量在几何问题中有着广泛的应用。

可以用向量来表示线段的长度和方向，从而可以解决许多几何问题，比如求两条线段的夹角、判断线段是否平行等。

2. 运动问题：向量可以用于描述物体的位移和速度。

【导语】⾼中数学学习的知识点⽐较的多，学⽣要学会将知识点归纳掌握，下⾯⽆忧考将为⼤家带来关于向量的知识点的介绍，希望能够帮助到⼤家。

1.向量的基本概念 (1)向量 既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫做向量.物理学中⼜叫做⽮量.如⼒、速度、加速度、位移就是向量. 向量可以⽤⼀条有向线段(带有⽅向的线段)来表⽰，⽤有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，⽤箭头所指的⽅向表⽰向量的⽅向.向量也可以⽤⼀个⼩写字母a，b，c表⽰，或⽤两个⼤写字母加表⽰(其中前⾯的字母为起点，后⾯的字母为终点) (5)平⾏向量 ⽅向相同或相反的⾮零向量，叫做平⾏向量.平⾏向量也叫做共线向量. 若向量a、b平⾏，记作a∥b. 规定：0与任⼀向量平⾏. (6)相等向量 长度相等且⽅向相同的向量叫做相等向量. ①向量相等有两个要素：⼀是长度相等，⼆是⽅向相同，⼆者缺⼀不可. ②向量a，b相等记作a=b. ③零向量都相等. ④任何两个相等的⾮零向量，都可⽤同⼀有向线段表⽰，但特别要注意向量相等与有向线段的起点⽆关. 2.对于向量概念需注意 (1)向量是区别于数量的⼀种量，既有⼤⼩，⼜有⽅向，任意两个向量不能⽐较⼤⼩，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以⽐较⼤⼩. (2)向量共线与表⽰它们的有向线段共线不同.向量共线时，表⽰向量的有向线段可以是平⾏的，不⼀定在同⼀条直线上;⽽有向线段共线则是指线段必须在同⼀条直线上. (3)由向量相等的定义可知，对于⼀个向量，只要不改变它的⼤⼩和⽅向，它是可以任意平⾏移动的，因此⽤有向线段表⽰向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意⼀组平⾏向量都可以平移到同⼀条直线上. 3.向量的运算律 (1)交换律：α+β=β+α (2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ) (3)数量加法的分配律：(λ+µ)α=λα+µα (4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ ⾼中数学学习的窍门 1不乱买辅导书。