高中数学必修4第二章平面向量《从位移、速度、力到向量》教学设计

1 从位移、速度、力到向量[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A ，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C 点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( )A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 3 m，则此人位移的方向是( ) A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，|CD|＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。

数学ⅳ北师大版2.2.1从位移、速度、力到向量教案教学目标：〔1〕掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法那么和平行四边形法那么做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.通过实例，掌握向量加、并理解其几何意义.初步体会数形结合在向量解题中的应用. 教学重点:向量加法的概念和向量加法的法那么及运算律.教学难点:向量的加法的几何验证.学法指导：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.【创设情境】一、 情景导入：〔3分钟〕2003年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好从台北通过香港，再抵达上海，这两次位移之和是什么？【二】学导结合向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 那么两次的位移和：AC BC AB =+2． 假设上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 那么两次的位移和：=+3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 那么两次的位移和：=+4． 船速为，水速为， 那么两速度和：AC BC AB =+向量的加法1． 定义：2、三角形法那么〔作图演示〕：作图关键：平移向量使得两向量首尾相连 3、向量、，求作向量+及+作法：4、加法的交换律和平行四边形法那么 上题中+的结果与+是否相同？从而得到：1︒向量加法的平行四边形法那么2︒向量加法的交换律：a +b =b +a问题1：两种求和法那么有什么关系？ A BCA B C A B Ca b向量加法的三角形法那么与平行四边形法那么是一致的，但两个向量共线时，三角形法那么更有优势。

加法的结合律：(+)+=+(+) 证：如图：从而，多个向量的加法运算能够按照任意的次序、任意的组合来进行。

6.向量加法的多边形法那么问题2：如何求平面内n 〔n ＞3〕个向量的和向量？112231n n OA A A A A A A -++++n OA =问题3：假设点O 与点An 重合，你将得出什么结论？例1：如图，一艘船从A 点动身以km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量1．1 位移、速度和力1．2 向量的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和标量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辨证思想的教育．●重点难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．(教师用书独具)●教学建议1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a ，在手写时可用a →表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．●教学流程创设问题情境，引出问题：位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？引入向量概念．⇒通过引导学生回答相关问题，引出有向线段、向量的构成要素，向量的长度(模)、零向量、单位向量等相关概念，并加深对向量的理解，熟悉其几何表示方法．⇒引导学生探究相等向量、共线向量的含义与性质，深刻领会相等向量是一类向量的集合，共线(平行)向量所在线段不一定平行等性质，避免与平面几何中直线平行相混淆．⇒通过例1及其变式训练，强化对向量相关概念的理解，深刻把握好各概念的内涵和外延．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握向量的表示方法及其应用策略．⇒引导学生探究相等向量、共线向量等概念，并完成例3及其互动探究，掌握解此类问题的方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)向量及其表示【问题导思】1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 【提示】 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 【提示】 利用有向线段来表示． 1．定义既有大小又有方向的量叫作向量． 2．有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度．记作|AB →|.3．向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)． 4．向量的表示法(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c …来表示，书写用a →，b →，c →…来表示．向量的有关概念名称 定义 表示方法零向量 长度为零的向量 0单位向量与向量a 同方向，且长度为1a 0(向量a方向上)的向量，叫作a方向上的单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b，记作a＝b向量平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与b平行或共线，记作a∥b向量的有关概念下列说法正确的是( )A ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上 B ．若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 D ．单位向量都相等【思路探究】 利用共线(平行)向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．【自主解答】 对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．对于B ，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．对于C ，向量AB →与BA →方向相反，但长度相等．对于D ，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．【答案】 C1．对共线向量的理解是本题的关键点．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量【解析】 AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故选项A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B 错；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D 错．【答案】 C向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题．【自主解答】 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又∵|AB →|＝|CD →|.∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．1．在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想．应注意的是有向线段是向量的表示方法，并不是说向量就是有向线段．3．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向．图2－1－1在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1) (1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ 【解】 (1)(2)(3)的图像如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心半径为2的圆．相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．【思路探究】 解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解． 【自主解答】 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点， ∴EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又∵D 是BC 的中点，∴EF ＝BD ＝DC .(1)与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →的模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →.1．本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共线向量的知识于其中，求解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来，用共线向量反映几何图形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长度关系．2．判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点位置无关．对于共线向量，则只要同向或反向即可．在本例条件不变的情况下，写出与AC →共线的向量和与CE →相等的向量． 【解】与AC →共线的向量有：CA →，FD →，DF →，CE →，EC →，AE →，EA →； 与CE →相等的向量有：EA →，DF →.忽视零向量方向致误给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中不正确的命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【错解】 选B.【错因分析】 ⑥中若b ＝0则结论不成立，因为0的方向不确定．【防范措施】 对于向量的概念要认真理解，尤其是零向量一定要记住其特殊性．【正解】 两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b ＝0，则a 与c 就不一定平行了．因此⑥也不正确．【答案】 C1．学习了向量的概念及其表示，明确了有向线段与向量之间的关系． 2．掌握了特殊向量及向量之间的关系，以及它们的性质特点． 3．能在具体图形中找出相等向量与共线向量．1．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝|b |⇒a ＝b B ．|a |＞|b |⇒a ＞b C ．a ＝b ⇒a ∥bD ．|a |＝0⇒a ＝0【解析】 如果两个向量相等，则这两个向量必定平行． 【答案】 C2．如图2－1－3，AB →＝DC →，AC 与BD 相交于点O ，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →图2－1－3【解析】 |DO →|＝|OB →|，且DO →与OB →方向相同，则DO →＝OB →，故选D. 【答案】 D 3．给出下列命题：①若|a |>|b |，则a >b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若|a |＝0，则a ＝0；④0＝0；⑤向量AB →大于向量CD →；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【解析】 ①不正确．|a |>|b |知模的大小，而不能确定方向，向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．【答案】 ②③图2－1－44．如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O 且平行于AB 的线段．(1)写出图中的各组共线向量； (2)写出图中的各对同向向量； (3)写出图中的各对反向向量．【解】 (1)向量DC →，BA →，EO →，OF →为一组共线向量； 向量AO →与OC →为一组共线向量； 向量OD →与OB →为一组共线向量； 向量AE →与ED →为一组共线向量； 向量BF →与FC →为一组共线向量．(2)向量DC →与EO →，OF →为同向向量，向量AO →与OC →，AE →与ED →，BF →与FC →分别为同向向量． (3)DC →与BA →，BA →与EO →，BA →与OF →，OD →与OB →为反向向量.一、选择题1．如图2－1－5，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－5A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示． 【答案】 B图2－1－62．如图2－1－6所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC → D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 【答案】 B图2－1－73．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，则与E F →的模相等的向量共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B图2－1－84．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA →外，与向量OA →共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【解析】 由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →，共有9个．故选D.【答案】 D5．下列说法中，不正确的是( ) A ．0与任意一个向量都平行B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【解析】 易知A 、B 、C 均正确，D 不正确，它们的终点可能相同，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．已知边长为3的等边△ABC ，则BC 边上的中线向量AD →的模等于________． 【解析】 由于AD ＝32AB ＝332.∴|AD →|＝3 32.【答案】3 32图2－1－97．如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则：①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，AO →与BO →的方向不相同，故④不正确．【答案】 ①②③图2－1－108．如图2－1－10所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为2 2的向量个数是________．【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】 8 三、解答题9．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量．【解】 如图可知，(1)易知BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点可知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB →长度相等的向量有BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.(3)与DA →共线的向量有AD →，BC →，CB →.图2－1－1110．如图2－1－11所示，四边形ABCD 中AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.【证明】 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|， 又∵DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.图2－1－1211．如图2－1－12，A 、B 、C 三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x ，y )，其中x 、y ∈R .当x 、y 满足什么条件时，向量OC →与AB →共线(其中O 为坐标原点)?【解】 由已知，A 、B 的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO ＝45°. 当点C (x ，y )的坐标满足x ＝y ＝0时，OC →＝0， 这时OC →与AB →共线(零向量与任意向量都共线)； 当xy ≠0，且x ＝y ，即点C 在一、三象限角平分线上时， 有AB ∥OC ，这时OC →与AB →共线．综上，当x ＝y 时，OC →与AB →共线．(教师用书独具)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．【解】如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．如图，在4×5的方格图中，有一个向量AB →，分别以图中的格点为起点和终点作向量．(1)与向量AB →相等的向量有多少个？ (2)与向量AB →长度相等的向量有多少个？【解】 (1)结合向量相等的定义及方格的特征可知与向量AB →相等的向量有3个． (2)与向量AB →长度相等的向量有39个，因为对角线长度与AB →长度相等的每个矩形中有4个与向量AB →长度相等的向量．而这样的矩形共有10个，所以共有4×10－1＝39个．§2从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法 2．2 向量的减法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：向量的加法、减法运算．难点：向量加法、减法的几何意义．(教师用书独具)●教学建议几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．●教学流程创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？⇒引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．⇒引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．⇒通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．⇒通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．课标解读1.掌握向量的加法、减法运算．(重点)2．理解向量加法与减法的几何意义及加、减法的关系．(难点)向量求和法则及运算律【问题导思】一架飞机要从A地经B地运物资到C地，问从A地到B地，与从B地到C地这两次位移之和是什么？【提示】 如图所示，这两次位移之和为AB →＋BC →，而实际位移为AC →. 由此可以看出AB →＋BC →＝AC →. 类别图示几何意义向量求和 的法则平行 四边 形法则已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加 法的运 算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )相反向量【问题导思】向量AB →与向量BA →是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？ 【提示】 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即AB →＝－BA →. 定义把与a 长度相等、方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a性质(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－a )＝a ；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a向量的减法【问题导思】1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？ 【提示】 是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a －b?【提示】 先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )．定义向量a 加上b 的相反向量叫作a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法几何 意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量向量的加法、减法运算(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →＝( )A.BC →B.AC →C.DA →D.BD →(2)化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________. 【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O ，转化成以O 为起点的向量进行化简．【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一 原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二 在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则 原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 【解】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.利用向量加法、减法的几何意义作图图2－2－1如图2－2－1所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作b ＋c －a .【思路探究】 解答本题可用平行四边形法则作b ＋c ，再作b ＋c －a .【自主解答】 法一 以OB →、OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD →、AD →，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .法二 作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →＝c －a ，AD →＝AC →＋CD →＝c －a ＋b ＝b ＋c －a .1．运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连，指被减．2．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则，多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.图2－2－2图(1)【解】 法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，AB →＝b ， 则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ， 则CB →＝a ＋b －c .图(2)法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，则BC →＝－c 连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .向量加减法的综合应用图2－2－3如图2－2－3所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.【思路探究】 要证明b ＋c －a ＝OA →，可转化为证明b ＋c ＝OA →＋a ，从而利用向量加法证明；也可以从c －a 入手，利用向量减法证明．【自主解答】 在▱ABCD 中，DA →＝CB →＝b ，OC →＝c 法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， 又∵OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →.∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →. 法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.1．法一是利用三角形加法法则证明两个向量的和相等；法二是利用向量减法法则证明两个向量的差相等，证明时可灵活选择方法．2．灵活选择方法，优化思维过程，通过恒等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法．P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 【证明】 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋BP →＋AC →＋CQ →， 又∵BP →＝QC →，∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →.错用向量减法法则致误如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为r 1、r 2、r 3，求OD →.图2－2－4【错解】 因为OD →＝OC →＋CD →， CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1.【错因分析】 错误使用了向量的减法法则导致解错．【防范措施】 减法口决：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量．应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图像，结合图像观察将使问题更为直观．【正解】 OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋OA →－OB →＝r 3＋r 1－r 2.1．学习了向量加法的三角形法则和平行四边形法则．2．学习了相反向量的概念，知道向量的减法是向量加法的逆运算． 3．学习了向量减法运算并且掌握了它的几何意义．4．掌握了利用向量的加、减法进行化简、作图、表示其他向量，体会了数形结合的应用．1．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2【解析】 ∵AB →＋AD →＝AC →，∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2，故选B. 【答案】 B2．下列说法正确的是( ) A ．0＋0＝0B ．对任意向量a ，b ，都有a ＋b ＝b ＋aC ．对任意向量a ，b ，有|a ＋b |>0D ．等式|a ＋b |＝|a |＋|b |不可能成立【解析】 ∵0＋0＝0，∴A 不正确；|a ＋b |≥0，∴C 不正确；当a ，b 同向共线时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立，∴D 不正确；B 正确，故选B. 【答案】 B3．化简AB →－DC →－AD →＝________. 【解析】 原式＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →. 【答案】 CB →图2－2－54．如图2－2－5，已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，试用a ，b ，c 表示向量OD →.【解】 OD →＝OA →＋AD →。

《从位移、速度、力到向量》教学设计本节课的内容是北师大版数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。

一、教材分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。

向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、学情分析在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三、目标定位根据以上的分析，本节课的教学目标定位：1）、知识目标⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵ 学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标⑴培养用联系的观点，类比的方法研究向量；⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3）、情感目标⑴运用实例，激发爱国热情；⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重难点：重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；四、教学过程概述：4.1 向量概念的形成4.1.1 让学生感受引入概念的必要性引子：在世博园内，有位同学在参观完了中国馆后将要去德国馆参观，由位置的变化引出位移。

2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.（1）用有向线段表示与向量相等的向量；（2）用有向线段表示与向量AB共线的向量.思路分析：寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量.解：（1）与向量相等的向量是、;（2）与向量AB共线的向量是DE、DC、CE.友情提示用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.各个击破类题演练 1如右图，四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形，（1）图中与AB共线的向量有____________；（2）图中与相等的向量有____________；（3）图中与模相等的向量有____________；（4）图中与相等的向量有____________.解:（1）DC、BE、BA、CD、EB、AE、EA（2）DC，BE（3）、、、、、、、、（4）BD变式提升 1如右图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中==，==；长度为2的向量有4个，其中=，=；长度为3的向量有2个，分别是和，所以最多可以写出6个互不相等的向量.答案：62.共线向量（平行向量）的判断【例2】给出以下五个条件：①a=b；②|a|=|b|;③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立；单位向量不一定是共线向量，⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.答案：①③④友情提示注意区分相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量.类题演练 2有下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线③若a∥b且b∥c，则a∥c④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:①正确.②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.③不正确.假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.④正确.综上可知应选C.答案：C变式提升 2下列命题中，正确的是（）A.|a|=|b|⇒a=bB.|a|＞|b|⇒a＞bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0解析：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小，又有方向，由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0.∴应排除D.答案：C3.零向量的应用【例3】下列说法正确的有几个（）①零向量是没有方向的向量②零向量与任一向量共线③零向量的方向是任意的④零向量只能与零向量共线A.0个B.1个C.2个D.3个思路分析：从零向量的概念来判断是否正确.解析：由零向量的特点可知②③对.答案：C友情提示容易把零向量当成是没有方向的向量，对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解，把它同实数中的零进行类比.类题演练 3下列四个说法：①若|a|=0;则a=0;②若|a|=|b|，则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0,其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：由向量的有关定义知①②③错误，④正确.故选A.答案：A变式提升 3下列条件中能得到a=b的是（）A.|a|=|b|B.a,b同向C.a=0,b任意D.a=0,b=0答案：D。

1 从位移、速度、力到向量[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A ，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C 点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( )A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 3 m，则此人位移的方向是( ) A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，|CD|＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。

2019-2020年高中数学《2.1从位移速度力到向量》教学案新人教版必修4【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解向量的概念.2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念.【重点、难点】向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.【教材助读】阅读教材P71~73，并填空.1.我们把____既有大小又有方向_的量叫做向量；把_____具有方向_____ 的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段记作____，线段AB 的长度叫做有向线段的长度，记作_||_，2.向量可以用有向线段表示，向量的长度记作__模___，长度为零的向量叫做___零_向量，记作，长度等于1个单位的向量，叫做__ 单位 向量；有向线段包括三要素__起点__、___方向_、__长度__；数学中我们研究的向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量。

向量也可以用黑体小写字母如a,b,c ,…来表示，书写用来表示.3._ 方向相同或相反___的非零向量叫做平行向量，向量与平行，记作∥___，规定与任一向量平行，即对任意向量都有__∥ _ ；4._长度相等且方向相同___的向量叫做相等向量；若与相等，记作_=__ ；5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上，平行向量也叫___共线向量____向量.【预习自测】1.（向量的概念)下列各量中不是向量的是（ DEF ）A. 浮力B.风速C.位移D.密度E.温度F.体积2.下列说法中错误的是（ A ）（A ）零向量是没有方向的； （B ）零向量的长度为0；(C) 零向量与任一向量平行； (D) 零向量的方向是任意的.3.给出下列命题：○1向量和向量的长度相等；○2方向不相同的两个向量一定不平行；○3向量就是有向线段；○4向量=0；○5向量大于向量。

其中正确的个数是（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】下列说法正确的是( )A ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上B ．若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等D ．单位向量都相等【思路探究】 利用共线(平行)向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．【自主解答】 对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．对于B ，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．对于C ，向量AB →与BA →方向相反，但长度相等．对于D ，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．【答案】 C【规律方法】1．对共线向量的理解是本题的关键点．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．【变式训练】下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量【解析】 AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故选 项A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B 错；共线向量 可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D 错．【答案】 C【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北 偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.【思路探究】先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题．【自主解答】 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．又∵|AB →|＝|CD →|.∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．【例3】如图2－1－2所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．【思路探究】 解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解．【自主解答】 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点，∴EF ∥BC ，且EF ＝12BC . 又∵D 是BC 的中点，∴EF ＝BD ＝DC .(1)与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →的模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →.【规律方法】1．本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共线向量的知识于其 中，求解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来， 用共线向量反映几何图形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长 度关系．2．判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点 位置无关．对于共线向量，则只要同向或反向即可．【互动探究】在本例条件不变的情况下，写出与AC →共线的向量和与CE →相等的向量．【解】与AC →共线的向量有：CA →，FD →，DF →，CE →，EC →，AE →，EA →；与CE →相等的向量有：EA →，DF →.【小结与归纳】1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较 大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2．向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用，我们书写时不用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；3．向量的模：向量的大小即有向线段的长度称为向量的模，记作||.4．有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.5．向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，就是相等 向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，只大小和方向相同，也是 不同的有向线段.6.零向量、单位向量概念①长度为0的向量叫零向量。

《从位移、速度、力到向量》的教案说明江西省南康中学1 设计理念《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方式．为使教学真正做到以学生为本，我对教材的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究中发展.2 授课内容的的内涵与外延向量是近代数学中重要的、基本的数学概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.它既是代数的对象，又是几何的对象.向量作为代数对象，可以像数一样进行运算，作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象的长度、面积、体积等几何度量问题.向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数、形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现.向量是刻画现实世界的重要数学模型，有着非常丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等物理概念和实例都是向量的实际背景，几何中的有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题.因此，作为《平面向量》一章的第一节课，从平面向量的实际背景和几何背景出发引入向量概念既符合向量知识形成的实际过程，也符合人们的认知规律.此外，从学生熟悉的生活实例出发来建立平面向量的概念，学生会有一种亲切感，有助于激发他们的学习兴趣，调动其学习的积极性；有助于他们认识数学的价值，培养他们数学应用的意识，同时也为今后向量的应用奠定基础.3教学目标本节课的教学目标定位为：1、知识与技能⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念，感受研究向量的必要性．⑵理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量．⑶理解向量的几何表示，会用字母表示向量．⑷了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并能在图形中辩认相等向量，平行（或共线）向量．2、过程与方法通过师生互动，共同合作解决向量的相关问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和热情，通过课后对数学诗的欣赏以及小组合作完成数学小论文，感受数学的文化价值．4 教学诊断分析学习本课内容时容易了解的地方有：⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念.⑵理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量.⑶理解向量的几何表示，会用字母表示向量. 学习本课内容时容易容易误解的地方有：⑴对向量的位置不确定性即向量是自由向量的认识不清，认为向量就是有向线段，相等向量起点终点必须一致.⑵对平行向量与几何中的“直线平行”的区分，在图形中辩认平行（或共线）向量时常常漏解或误判.5 本节课的教法特点及预期效果分析5.1教法特点整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出（1）“动”——师生互动，共同探索.（2）“导”——教师指导，循序渐进.重视思维发展的过程，重视数学要领的形成过程，激发学生的学习兴趣，让学生感受到“身边的数学”.通过学生自主探究，合作交流解决向量的相关问题，进一步培养学生数学阅读能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生感受自主探究问题的乐趣和解决问题的成就感.同时通过对向量有关历史的回顾和对数学诗的欣赏，感受数学的文化价值.教学流程图5.2预期效果分析 1.感知概念的过程作为《平面向量》一章的第一课时，激起学生学习这一章的热情和兴趣至关重要.由于学生对向量的实际背景非常熟悉，对向量的概念及几何表示非常容易理解.可以列举有关位移、速度和力的大量实例，从中归纳出这些量的共同特征是既有大小、又有方向的量，于是抽象概括出平面向量的概念.但同时要注意创设的情境要尽可能贴近数学本质笔者设置了两个情境：情境一：观看国庆阅兵式中武警方队走正步的视频，引导学生从位移和速度两个方面分析武警方队走正步如此整齐划一的原因，得出位移和速度都是既有大小又有方向的量.情境二：桌球游戏.引导学生分析，要把桌球打入洞内，不仅要喵准方向，而且力的大小也要恰当.得出力也是既有大小又有方向的量.从中归纳出这些量的共同特征是既有大小、又有方向的量，于是抽象概括出平面向量的概念.然后介绍向量在数学中的地位，这就使得向量的引入顺理成章，水到渠成.2.形成概念的过程在这一阶段，主要是教师引导，学生合作，感知概念.从向量的两个要素（大小和方向）出发，引出向量的两种表示方法：几何表示法和字母表示法.然后分别按两条主线（大小和方向）出发，得出向量的相关概念.从向量的大小出发，得出向量的模、两种特殊向量：零向量和单位向量的概念.从向量的方向出发，得出向量的两种特殊关系：相等向量和平行向量.3．理解概念和深化概念的过程采用螺旋式上升之概念体验模式理解概念第四次体验概念总结反思布置作业进一步认知概念 活学活用第三次体验概念设置新的问题初步认知概念的合理性模拟数学概念创设问题情境笔者设计了三道习题来强化对“相等向量、平行向量、共线向量”的理解.第一题是判断对错，在理解概念的基础上解决较为简单的问题.第二题是应用迁移，巩固提高题.借助简单的几何模型，将抽象出来的“相等向量、平行向量、共线向量”概念具体化，要求能在图形中辩认出来.第三题是创新应用，提升能力题.让学生自编题，考考自己的搭档，进一步认知概念，活学活用. 4．回顾历史，感受文化的过程通过对“平面向量”的历史及魅力的大致介绍，课后阅读数学诗《我的向量》，使学生感受数学的文化价值．提升对《平面向量》一章的学习热情.。

2.1 从位移、速度、力到向量整体设计教学分析1.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用.可通过几个具体的例子说明它的应用.位移、速度、力等是物理中的基本量,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.2.在类比数量的抽象过程而引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念,可采用与数量概念比较的方法,引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小,没有方向的量”,同时给出“时间、路程、功是向量吗?速度、加速度是向量吗?”的思考题.通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念.实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示.教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义.有向线段使向量的“方向”得到了表示,那么向量的大小又该如何表示呢?一个自然的想法是用有向线段的长度来表示.从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫.3.数学中,引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等”,这是讨论这个量的基础.如何规定“相等向量”呢?由于向量涉及大小和方向,因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的方向和大小,就可以任意平行移动.因此,用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点,这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.教学时可结合例题、习题说明这种思想.4.共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上,这给问题的研究带来方便.教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量,当然,在同一直线上的向量也是平行向量.要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念.三维目标1.通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性.并通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯.加强数学的应用意识,切实做到学以致用.用联系、发展的观点观察世界.重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.课时安排1课时教学过程导入新课图1思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)?学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究.思路2.创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课,这也是一个不错的导入选择.推进新课新知探究提出问题①回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念,让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.②“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么?③“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里?活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征.实例（1）反映的是物理量——位移：民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移；实例（2）反映的也是物理量——位移：假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家2 000 m，从家到学校，可能有长短不同的几条路．无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30°方向移动了2 000 m；实例（3）反映的是物理量——速度：飞机向东北方向飞行了150 km，飞行时间为半小时，飞行速度的大小是300km/h，方向是东北；实例（4）反映的也是物理量——速度：某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35m/s；最后两个实例反映的是物理量——力：起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起；汽车爬倾斜角为θ的坡路时，汽车的牵引力大小为F(N)，方向倾斜向上，与水平方向成θ角.我们身边这样的实例很多，可让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质.例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的,被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的,并且在弹性限度内,弹簧拉长或压缩的长度越大,弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向.如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.教师与学生一起归纳总结以上实例：位移、速度和力等这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”．只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题，矢量与标量是完全不同的两个量.铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量.在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量.讨论结果：①—③略.提出问题①在数学中，怎样表示向量呢?②什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③怎样定义零向量？怎样定义单位向量?④满足什么条件的两个向量叫作相等向量?⑤有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦什么是向量的模？活动：教师指导学生阅读教材，并思考讨论以上问题，特别是有向线段，这是学习向量的关键.我们知道，在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小.图2这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”.一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段（如图2)，记作AB，线段AB的长度也叫作有向线段AB的长度，记作||.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑体小写字母如a,b,c表示.一定要学生规范：印刷用黑体a,手写一定要在小写字母上加箭头.要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫作有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面,即是说的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.图3如图3，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较,以明确向量的意义.数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.但向量具有方向，由于方向不能比较大小,向量也就不能比较大小，像a＞b就没有意义,而|a|＞|b|就有意义.理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可.讨论结果：①用字母a,b,c,…表示向量（印刷用粗黑体表示），手写用字母加箭头来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如,.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.图4③长度为0的向量叫零向量，记作0,规定零向量的方向是任意的.长度为单位1的向量，叫单位向量.但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.④长度相等且方向相同的向量叫相等向量.⑤关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我们规定0与任一向量平行,即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义.向量a,b,c平行，记作a∥b∥c.如图4.图5又如图5,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦|AB|〔或|a|表示向量AB(或a)的大小,即长度(也称为模)〕.应用示例例1 如图6,D,E,F依次是等边△ABC的边AB, BC, AC的中点．在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,图6(1）找出与向量DE相等的向量;(2）找出与向量共线的向量.活动：教材安排本例的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决. 解：由初中所学三角形中位线定理不难得到:(1)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量相等的向量有：和;(2)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量共线的向量有：,,,.,变式训练判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.图7(1)ABCD中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.解:(1)正确;(2)不正确.点评：本题考查基本概念,对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.教师引导学生画出平行四边形，如图7.因为AB∥CD,所以，AB∥CD.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.例2 一个人从A 点出发沿东北方向走了100m 到达B 点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100m 到达C 点,求此人从C 点走回A 点的位移.图8活动:本例是一个简单的实际问题,让学生画出有向线段表示位移.本例目的在于巩固向量概念及其几何表示.解：根据题意画出示意图,如图8所示. ||=100m,||=100m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC 为正三角形.∴|CA |=100m,即此人从C 点返回A 点所走的路程为100m. ∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC -∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.点评：位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图8,由A 点确定B 点、C 点的位置.例3 如图9,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与OC OB OA 相等的量.图9活动：本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA 与EF ,OB 与AF 是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解: ==;==;===.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到.让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同.变式训练(演示课件)1.本例变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 本例变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 本例变式三：与向量共线的向量还有哪些？（,,,,,）2.对命题“a ∥b ∥c 推出a ∥c ”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下:甲生判断是真命题.理由是：由a∥b可知a与b的方向相同或相反,由b∥c可知c与b的方向相同或相反,从而有a与c的方向相同或相反,故a∥c,即原命题为真命题；乙生判断是假命题.理由是：当两个非零向量a,c不平行,而b=0时,显然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此时结论不成立,即原命题为假命题.究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析.解:乙的判断正确.由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论,所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在.甲生没有考虑到向量b可能为零向量的情况,故甲生的判断是错误的;乙生的判断完全正确.这说明向量平行的传递性若要成立,则“过渡”向量b需不为零向量,即在b≠0时有:(1)当a≠0,b≠0时,由a∥b,b∥c可推出a∥c;(2)若a与c中有一个为0,则另一个向量无论是否为0,均可推出a∥c.4(1)下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a 与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a 与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以只有C正确.答案:C点评：对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可.要启发学生注意正反这两方面的结合.变式训练1.判断:（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）2.把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案：1.略 2.D 3.B知能训练课本本节练习1、2、3课堂小结1.先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.2.再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3.点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益.作业如图10,在梯形ABCD 中,AB∥CD,AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,O 是AC 与BD 的交点,求证:=.图10证明：如图10,∵AB∥CD,∴AO∶OC=BO∶OD=AB∶CD.又AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,∴AE∶ED=AO∶OC.∴EO∥DC.同理,OF∥DC,∴E,O,F 在同一直线上. ∴.DCOF BC BF AD AE DC EO ===.∴E O=OF, 即|EO |=|OF |. 又EO 与OF 方向相同,∴EO =OF .设计感想1.本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点.本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识,学生有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的.2.本教案设计充分利用向量的物理背景.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机.通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础.3.本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念,设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材.备课资料一、向量中有关概念的辨析1.数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题.数量只有大小,没有方向,其大小可以用实数来表示,它是一个代数量,数量之间可以比较大小;向量既有大小又有方向,向量之间不可以比较大小;有向线段是向量的直观性表示,不能说向量就是有向线段.2.平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量,故平行向量与共线向量没有区别,而相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量,即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件.二、备用习题1.若正多边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,…a n,则这n个向量( )图16A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等2.如图16所示,在△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有…( )A.一组B.二组C.三组D.四组3.若命题p为a=b,命题q为|a|=|b|,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要又不充分条件4.如图17所示,在四边形ABCD中,若=,则下列各组向量相等的是( )图17A.与B.与C.与D.与OB5.已知a,b是任意两个向量,有下列条件:①|a|=|b|;②a=b;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.其中是向量a与b共线的充分不必要条件的为__________.(把你认为正确的命题序号全都填上)6.如图18所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图18(1)写出与相等的向量;(2)若||=3,求向量的模.7.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5参考答案:1.D 2.C 3.A 4.D5.②③④6.解:(1)与相等的向量有和,因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,故AB=ED=DC;(2)向量EC的模|EC|=6.7.C因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题.。