2.1从位移、速度、力到向量----导学案

子洲县职教中心 数学 导学案2013-2014学年第 一 学期 高二 年级 3班 组 姓名 编写者 王治强 审核者 使用时间2013年 10 月 日课题 ：从位移、速度、力到向量学习目标：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别； （2）理解向量的几何表示 重点难点：向量及向量的有关概念、表示方法 自主学习 （一）、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）（二）、新课学习学习过程1、数量与向量的区别？2.向量的表示方法？ ① ② ③④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作 .3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： . 向量与有向线段的区别：（1） .（2） . 4、零向量、单位向量概念：① 叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.② 叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：① 叫平行向量；②我们规定0与 平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义： 叫相等向量。

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向．．．线段的起点无关．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 合作交流 1.判断 （1）平行向量是否一定方向相同？ABCDA(起点)B（终点）a（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？2.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，①分别写出图中与向量−→−OA 、−→−OB 、−→−OC 相等的向量；②分别写出图中与向量−→−OD 、−→−OE 、−→−OE 共线的向量.达标训练1．下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误．．的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆4.下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行 5.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.DEOAB CF。

第二章平面向量2-1从位移、速度、力到向量一、教学目标：1.知识与技能⑪理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；⑫理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示；⑬通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】⑪经验链接：以前学过的量中，有很多量只用一个实数（或加上单位）就能确切表示，如“矩形的面积”、“一个人的身高”行、“一个物体的质量”等.但现实生活中有些量，只用一个实数不能确切地表示它们，如“物体的位移”、“作用在物体上的力”等.这些量，不仅要知道它们的大小，还必须知道它们的方向，才能确切表示它们.在数学中这些量就叫做向量.⑫问题链接：在小学的时候，我们曾经学习过这样一则故事，有几个动物找到了很多食物，它们想把这些食物用车拉回家去，于是，它们各自在车上绑一根绳子，尽全力拉了起来，可是怎么也拉不动车子，车子一步也不往前直，怎么回事呢？原来，它们各自拉着绳子，往自已的方向上用力：天鹅往上飞去，小猴子往前拉，山羊往后拉，小鼹鼠往地下拉.这个故事告诉我们一个生活哲理：做任何事情我们都应同心协力，可是从数学的角度如何看待、分析这个问题呢？学习向量后，你会得到正确的解答.【知识探究】【知识点1】向量的物理背景⑪矢量的概念作用于某一物体的力，拉力与重力虽然大小相同，但方向不同，因此它们并非同一力，不仅有大小还有方向.满足这两个要素的量，在物理学上，我们称之为矢量，即既有大小，又有方向的量.⑫位移、速度、力的特征对于位移，它只与质点的起点、终点位置有关，而与质点实际运动的路线无关，只要距离相同，方向相同就是相等的位移.对于力，需要注意的是较之位移，不仅有大小、方向、还有作用点.根据速度的定义，我们知道速度是伴生于位移的.解析：判断一个量是否是矢量，关键是它是否符合矢量的要素即要具有方向又要具有大小.【知识点2】向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量.解析：⑪向量不同于数量，向量不仅有大小还有方向。

《从位移、速度、力到向量》的教案说明1 设计理念《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方式．为使教学真正做到以学生为本，我对教材的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究中发展.2 授课内容的的内涵与外延向量是近代数学中重要的、基本的数学概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.它既是代数的对象，又是几何的对象.向量作为代数对象，可以像数一样进行运算，作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象的长度、面积、体积等几何度量问题.向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数、形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现.向量是刻画现实世界的重要数学模型，有着非常丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等物理概念和实例都是向量的实际背景，几何中的有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题.因此，作为《平面向量》一章的第一节课，从平面向量的实际背景和几何背景出发引入向量概念既符合向量知识形成的实际过程，也符合人们的认知规律.此外，从学生熟悉的生活实例出发来建立平面向量的概念，学生会有一种亲切感，有助于激发他们的学习兴趣，调动其学习的积极性；有助于他们认识数学的价值，培养他们数学应用的意识，同时也为今后向量的应用奠定基础.3教学目标本节课的教学目标定位为：1、知识与技能⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念，感受研究向量的必要性．⑵理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量．⑶理解向量的几何表示，会用字母表示向量．⑷了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并能在图形中辩认相等向量，平行（或共线）向量．2、过程与方法通过师生互动，共同合作解决向量的相关问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和热情，通过课后对数学诗的欣赏以及小组合作完成数学小论文，感受数学的文化价值．4 教学诊断分析学习本课内容时容易了解的地方有：⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念.⑵理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量.⑶理解向量的几何表示，会用字母表示向量. 学习本课内容时容易容易误解的地方有：⑴对向量的位置不确定性即向量是自由向量的认识不清，认为向量就是有向线段，相等向量起点终点必须一致.⑵对平行向量与几何中的“直线平行”的区分，在图形中辩认平行（或共线）向量时常常漏解或误判.5 本节课的教法特点及预期效果分析5.1教法特点整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出（1）“动”——师生互动，共同探索.（2）“导”——教师指导，循序渐进.重视思维发展的过程，重视数学要领的形成过程，激发学生的学习兴趣，让学生感受到“身边的数学”.通过学生自主探究，合作交流解决向量的相关问题，进一步培养学生数学阅读能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生感受自主探究问题的乐趣和解决问题的成就感.同时通过对向量有关历史的回顾和对数学诗的欣赏，感受数学的文化价值.教学流程图5.2预期效果分析 1.感知概念的过程作为《平面向量》一章的第一课时，激起学生学习这一章的热情和兴趣至关重要.由于学生对向量的实际背景非常熟悉，对向量的概念及几何表示非常容易理解.可以列举有关位移、速度和力的大量实例，从中归纳出这些量的共同特征是既有大小、又有方向的量，于是抽象概括出平面向量的概念.但同时要注意创设的情境要尽可能贴近数学本质笔者设置了两个情境：情境一：观看国庆阅兵式中武警方队走正步的视频，引导学生从位移和速度两个方面分析武警方队走正步如此整齐划一的原因，得出位移和速度都是既有大小又有方向的量.情境二：桌球游戏.引导学生分析，要把桌球打入洞内，不仅要喵准方向，而且力的大小也要恰当.得出力也是既有大小又有方向的量.从中归纳出这些量的共同特征是既有大小、又有方向的量，于是抽象概括出平面向量的概念.然后介绍向量在数学中的地位，这就使得向量的引入顺理成章，水到渠成.2.形成概念的过程在这一阶段，主要是教师引导，学生合作，感知概念.从向量的两个要素（大小和方向）出发，引出向量的两种表示方法：几何表示法和字母表示法.然后分别按两条主线（大小和方向）出发，得出向量的相关概念.从向量的大小出发，得出向量的模、两种特殊向量：零向量和单位向量的概念.从向量的方向出发，得出向量的两种特殊关系：相等向量和平行向量.3．理解概念和深化概念的过程采用螺旋式上升之概念体验模式理解概念总结反思布置作业进一步认知概念 活学活用第三次体验概念设置新的问题初步认知概念的合理性模拟数学概念创设问题情境笔者设计了三道习题来强化对“相等向量、平行向量、共线向量”的理解.第一题是判断对错，在理解概念的基础上解决较为简单的问题.第二题是应用迁移，巩固提高题.借助简单的几何模型，将抽象出来的“相等向量、平行向量、共线向量”概念具体化，要求能在图形中辩认出来.第三题是创新应用，提升能力题.让学生自编题，考考自己的搭档，进一步认知概念，活学活用. 4．回顾历史，感受文化的过程通过对“平面向量”的历史及魅力的大致介绍，课后阅读数学诗《我的向量》，使学生感受数学的文化价值．提升对《平面向量》一章的学习热情.。

《从位移、速度、力到向量》教学设计本节课的内容是北师大版数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。

一、教材分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。

向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、学情分析在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三、目标定位根据以上的分析，本节课的教学目标定位：1）、知识目标⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵ 学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标⑴培养用联系的观点，类比的方法研究向量；⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3）、情感目标⑴运用实例，激发爱国热情；⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重难点：重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；四、教学过程概述：4.1 向量概念的形成4.1.1 让学生感受引入概念的必要性引子：在世博园内，有位同学在参观完了中国馆后将要去德国馆参观，由位置的变化引出位移。

陕西省榆林育才中学高中数学第2章《平面向量》1从位移、速度、力到向量导学案北师大版必修4使用说明1.根据学习目标，课前认真阅读课本第71页到第73页内容，完成预习引导的全部内容.2.在课堂上（最好在课前完成讨论）发挥高效学习小组的作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.学习目标1.了解向量的实际背景，理解向量的概念.2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念.学习重点向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.学习难点向量的概念，零向量、单位向量、平行向量的判断自主学习一、自主预习1.我们把______________________的量叫做向量；把____________ 的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作____，线段AB的长度叫做有向线段AB的长度，记作_______，2.向量可以用有向线段表示，向量AB的长度（或称____）记作_____，长度为零的向量叫做____向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做__ 向量；有向线段包括三要素____、____、____；数学中我们研究的向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量。

向量也可以用黑体小写字母如a,b,c,…来表示，书写用,c,b,a来表示.3.______________________的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作______，规定0与任一向量平行，即对任意向量a都有___ ；4._______________________的向量叫做相等向量；若a与b相等，记作___ ；5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上，平行向量也叫_______向量.【预习自测】1.（向量的概念)下列各量中不是向量的是（）A. 浮力B.风速C.位移D.密度E.温度F.体积2.下列说法中错误的是（ ）（A ）零向量是没有方向的； （B ）零向量的长度为0；(C) 零向量与任一向量平行； (D) 零向量的方向是任意的.3.给出下列命题：○1向量AB 和向量BA 的长度相等；○2方向不相同的两个向量一定不平行；○3向量就是有向线段；○4向量0=0；○5向量AB 大于向量CD 。

CB《从位移、速度、力到向量》课堂练习Ⅰ.合作交流，感知概念Ⅱ、判断对错，理解概念⑴若向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线.⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =;反之，若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点必能组成平行四边形. ⑶若,,a b b c ==则a c = ⑷若//,//,a b b a 则//a cⅢ.应用迁移，巩固提高如图，,,D E F 依次为等边三解形ABC 的边,,AB BC AC ,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中,⑴找出与DE 相等的向量。

⑵找出与DF 共线的向量。

Ⅳ.创新应用，提升能力请你当一回老师，考考你的搭档，在方格中画出一些向量（要求所画向量的起点和终点必须在方格的格点处），让其辩认出是否存在共线向量、相等相量？若存在，请一一举出。

Ⅴ.回顾历史，感受文化Ⅵ. 总结反思，布置作业数学诗《我的向量》1、小结给你一个方向，你就成为我的向量2、作业给你一个坐标系，你就在我心空飞翔⑴课本73页第4题.给你一个基底，带着我，征途启航⑵请同学们逐步积累资料，在学完繁复的几何关系，变成纯代数的情疡《平面向量》一章后，以《话说“优美的动态结构，没有人情冷暖世态炎凉向量”》为题，写一篇数学短文，不管起点在哪里，你始终在水一方谈谈你对向量知识的理解.哪怕山高路远，哪怕风雨苍茫（参考网址：）啊，我的向量，你是一股力量溶进了我的身体，在我的血管量，静静地流淌Ⅶ.数学日记姓名：日期：今天数学课的课题：；今天所学的重要数学知识：；理解得最好的地方：；不明白或还需要进一步理解的地方：；你对什么问题还有不同见解：；今天你独立或和谁一起合作解决了什么问题：；所学内容能否应用在日常生活中，请举例说明：；自我评价：；教师评价：；。

从位移、速度、力到向量一、教学目标： 1.知识与技能（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会之间的联系. （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 难点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.【探究新知】1．学生阅读教材思考如下问题[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充） 1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等 注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，A B不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？ ①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→−AB 注意：起点一定写在终点的前面。

有向线段的长度：线段AB 的长度也叫做有向线段−→−AB 的长度 有向线段的三要素：起点、方向、长度②字母表示法：也可用字母a 、b 、c （黑体字）来表示，即−→−AB 可表示为（印刷时用黑体字） 3. 向量的模的概念是如何定义的？ 向量−→−AB 的大小——长度称为向量的模。

第二章平面向量及应用第2.1.1节从位移，速度，力到向量1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示2.了解零向量、单位向量概念重点：向量的概念和向量的几何表示；难点：向量概念的理解1.向量的概念：我们把既有________又有________的量叫向量。

2.有向线段：带_________的__________叫做有向线段。

3.有向线段的三要素：_______________________4.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；5.向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的模，记作_________6.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为________，记为：_________。

长度为1的向量称为________。

1.向量的概念理解【例1】判断下列叙述正确的是：_________1.长度为0的向量都是零向量；2.零向量的方向都是相同的；3.单位向量的长度都相等；4.单位向量都是同方向；答案：1和3【变式练习】：1.给出下列物理量：①.质量；②速度；③位移；④力，⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（）A 4个 B. 5个 C. 6 个 D. 7个2．在下列说法中，正确的是（）A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B．模为0的向量与任一非零向量平行;C．向量就是有向线段;D．若|a|=|b|，则a=b2.向量的表示【例2】在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）||＝4，点A在点O正南方向；（2）||＝2，点B在点O北偏西45°方向；（3）||＝2，点C在点O南偏西30°方向．解：根据题意，在如图所示的坐标纸中，画出对应的向量如下：【变式练习】在直角坐标系中，画出下列向量：（1），的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；（2），的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；（3），的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°．1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则＝；③向量与相等，则所有正确命题的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②2．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量不一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等3．下列说法中正确的是（填序号）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若||＞||，则；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量．4．如图，在4×5的方格纸中有一个向量（每个小方格都是单位小正方形），分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有个，与相反的向量有个；与长度相等的共线向量有个（除外）；与方向相同且模为5的向量有个．5．图中，小正方形的边长为1，则||＝，||＝，||＝．6．如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B．点C为小正方形的顶点，且||＝．（1）画出所有的向量；（2）求||的最大值与最小值．总结本节所有内容：参考答案：【当堂检测】变式练习1：(1) A ; (2) 8;变式练习2：解：由题意作出向量如右图所示：（1）（2）。

2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.（1）用有向线段表示与向量相等的向量；（2）用有向线段表示与向量AB共线的向量.思路分析：寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量.解：（1）与向量AB相等的向量是、;（2）与向量AB共线的向量是、DC、CE.友情提示用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.各个击破类题演练 1如右图，四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形，（1）图中与AB共线的向量有____________；（2）图中与AB相等的向量有____________；（3）图中与AB模相等的向量有____________；（4）图中与相等的向量有____________.解:（1）DC、、、、、、（2）DC，BE（3）BA、BE、EB、DC、CD、、、、（4）变式提升 1如右图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中AB=BC=CD，BA=CB=DC；长度为2的向量有4个，其中=BD，=；长度为3的向量有2个，分别是AD和DA，所以最多可以写出6个互不相等的向量.答案：62.共线向量（平行向量）的判断【例2】给出以下五个条件：①a=b；②|a|=|b|;③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立；单位向量不一定是共线向量，⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.答案：①③④友情提示注意区分相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量.类题演练 2有下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同②若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线③若a∥b且b∥c，则a∥c④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:①正确.②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.③不正确.假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c 的条件，但结论a∥c却不能成立.④正确.综上可知应选C.答案：C变式提升 2下列命题中，正确的是（）A.|a|=|b|a=bB.|a|＞|b| a＞bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0解析：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小，又有方向，由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0.∴应排除D.答案：C3.零向量的应用【例3】下列说法正确的有几个（）①零向量是没有方向的向量②零向量与任一向量共线③零向量的方向是任意的④零向量只能与零向量共线A.0个B.1个C.2个D.3个思路分析：从零向量的概念来判断是否正确.解析：由零向量的特点可知②③对.答案：C友情提示容易把零向量当成是没有方向的向量，对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解，把它同实数中的零进行类比.类题演练 3下列四个说法：①若|a|=0;则a=0;②若|a|=|b|，则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0,其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：由向量的有关定义知①②③错误，④正确.故选A.答案：A变式提升 3下列条件中能得到a=b的是（）A.|a|=|b|B.a,b同向C.a=0,b任意D.a=0,b=0答案：D内容总结（1）2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.（1）用有向线段表示与向量相等的向量（2）⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立。

2.1 从位移、速度、力到向量问题导学1．向量的有关概念活动与探究1给出下列几种说法：(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量； (2)若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； (3)向量的模一定是正数；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (5)向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是________．迁移与应用判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)向量AB →与向量BA →的模相等；(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； (3)数轴是向量； (4)零向量没有方向；(5)若向量a 与b 同向，且|a|＞|b|，则a ＞b ．关于向量有关概念的几点说明：(1)向量不同于数量，数量可以比较大小，而向量由模和方向确定，方向不能比较大小，因此向量也不能比较大小．(2)数学上所研究的向量是自由向量，可以平移，因此向量中的共线与平行是相同的，而直线或线段中的共线与平行是不同的．(3)零向量是特殊向量，方向可以看作是任意的． 2．向量的表示方法活动与探究2一运输汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →．迁移与应用在如图所示的坐标系中(1个小方格表示1个单位长度)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|OC →|＝2，点C 在点O 南偏东60°方向．利用有向线段表示向量的基本步骤： (1)确定向量的起点；(2)确定向量的方向；(3)根据向量的模确定向量的终点．利用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，必须是起点写在终点的前面． 3．相等向量与共线向量活动与探究3如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．迁移与应用如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，四边形OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？1．对共线向量与平行向量关系的认识 (1)平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．(2)共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关．2．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中的相等、平行关系，充分利用平行四边形性质、三角形中位线定理等平面几何知识，然后转化为向量相等、平行．当堂检测1．下列关于向量的说法中，正确的是( )． A ．长度相等的两向量必相等B ．两向量相等，其长度不一定相等C ．向量的大小与有向线段的起点无关D ．向量的大小与有向线段的起点有关2．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )．A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a 和b ，那么下列命题中错误的一个是( )．A ．a 与b 为平行向量B ．a 与b 为模相等的向量C ．a 与b 为共线向量D ．a 与b 为相等的向量4．如图所示，△ABC 的内角C 的角平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为________．5．把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是______．答案：课前预习导学 【预习导引】 1．大小 方向预习交流1 D 解析：质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量． 2．(1)方向和长度 AB →(2)有向线段 向量的大小 向量的方向预习交流2 提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．3．|AB →| |a |预习交流3 提示：模是向量的长度，所以能比较大小，而向量不能，因为向量的大小即长度可以比较大小，但方向不能比较大小．4．(1)零向量 0 0→(2)同方向 单位1 a 0 (3)相等 相同 相等 (4)平行或重合 平行共线预习交流4 (1)提示：不相同，0是向量，模等于0,0是数量，无方向． (2)提示：不一定，也可能平行或在同一条直线上．(3)提示：不一定．因为单位向量的模虽然相等，但方向却不一定相同． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (4) 解析：(1)错误，只有速度、位移是向量．(2)错误．由|a|＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． (3)错误.0的模|0|＝0.(4)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．(5)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．迁移与应用 解：(1)正确．(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量． (3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，但是没有大小． (4)不正确．零向量不是没有方向，而是方向是任意的． (5)不正确．因为向量不能比较大小．活动与探究2 解：(1)向量AB →，BC →，CD →如下图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴|AD →|＝|BC →|＝200 (km)，且AD ∥BC . ∴AD →与BC →同向， 则AD →的方向也为西偏北50°，且|AD →|＝200(km)． 迁移与应用 解：活动与探究3 解：(1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点，所以EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →. 迁移与应用 解：(1)AO →＝BF →，BO →＝AE →； (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；(3)|AO →|＝|CO →|＝|D O →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|； (4)AO →与CO →不相等． 【当堂检测】1．C 2．C 3．D 4．325．两个点。

第二章平面向量2-1从位移、速度、力到向量（1课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.【探究新知】1．学生阅读教材思考如下问题[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→−ABA BA(起点)B（终点）a注意：起点一定写在终点的前面。

§1从位移、速度、力到向量学习目标核心素养1理解向量的有关概念及向量的几何表示．重点通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养2．掌握共线向量、相等向量的概念．难点3．正确区分向量平行与直线平行．易混点1．向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量如年龄、身高、体积等．思考：1两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？提示：数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．2．向量的表示方法1具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作错误!，线段AB的长度也叫作有向线段错误!的长度，记作错误!2向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度也称模．箭头所指的方向表示向量的方向．3．零向量与单位向量1长度为0的向量称为零向量，记作0；2模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．4．向量的基本关系1相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作a＝b2平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量共线．3相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫做相反向量，a的相反向量记作－a；规定零向量的相反向量是零向量．5．向量的夹角1定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，错误!＝b，则∠AOB＝θ0°≤θ≤180°叫作向量a与b的夹角；2夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°a与b同向；θ＝180°a与b反向；θ＝90°a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直．思考：2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？提示：不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．3．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？提示：不一定．因为当b＝0时，a，c可以是任意向量．1．下列说法错误的是A．若a＝0，则错误!＝0B．零向量是没有方向的C．零向量与任意向量平行D．零向量与任意向量垂直B[零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B是错误的．] 2．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，则向量错误!与错误!的关系是A．错误!＝错误!B．|错误!|＝|错误!|C．错误!>错误!D．错误!<错误!B[|错误!|与|错误!|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．]3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案]一条直线两个点4．如图所示，以1×2方格纸中的格点各线段的交点为起点和终点的向量中．1写出与错误!、错误!相等的向量；2写出与错误!模相等的向量；3求错误!与错误!夹角的度数．[解]1错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!2错误!，错误!，错误!3因为错误!＝错误!，所以错误!与错误!夹角为∠EAF＝45°向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由．1a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；2若错误!＝错误!，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；3在平行四边形ABCD中，一定有错误!＝错误!；4若向量a与任一向量b平行，则a＝0[解]1当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故1不正确．2错误!＝错误!，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故2不正确．3在平行四边形ABCD中，|错误!|＝|错误!|，错误!与错误!平行且方向相同，故错误!＝错误!，3正确．4零向量的方向是任意的，与任一向量平行，4正确．1．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．错误!1．已知O是△ABC的外心，则错误!，错误!，错误!是A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量C[错误!＝错误!＝错误!＝r]向量的表示【例2】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地．1在如图所示的坐标系中画出错误!，错误!，错误!，错误!；2求B地相对于A地的位置向量．[解]1向量错误!，错误!，错误!，错误!，如图所示．2由题意知错误!＝错误!，∴AD与BC平行且相等，∴四边形ABCD为平行四边形，∴错误!＝错误!，∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可错误!2．在如图的方格纸中，画出下列向量．每个小正方形的边长为1．1|错误!|＝4，点A在点O正北方向；2|错误!|＝2错误!，点B在点O东偏南45°方向；3画一个以C为起点的向量c，使|c|＝错误!，并说出c的终点的轨迹是什么？[解]123的图象如图所示．3c的终点轨迹是以C为圆心，半径为错误!的圆．共线向量与夹角【例3】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，1分别写出图中所示与错误!，错误!，错误!相等的向量；2分别求出错误!与错误!，错误!与错误!的夹角的大小．[解]1错误!＝错误!＝错误!；错误!＝错误!＝错误!；错误!＝错误!＝错误!＝错误!2错误!与错误!的夹角的大小为60°，错误!与错误!的夹角的大小为60°1．例3中与错误!模相等的向量有多少？[解]由图知与错误!的模相等的向量有23个．2．例3中向量错误!的相反向量有哪些？[解]与向量错误!长度相等方向相反的向量有错误!，错误!，错误!，错误!3．例3中与向量错误!共线的向量有哪些？[解]与向量错误!共线的向量有错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!4．求出例3中错误!与错误!的夹角的大小[解]错误!与错误!的夹角的大小为12021错误!判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以向量不能比较大小．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．1．思考辨析正确的画“√”，错误的画“×”1向量的两个要素是大小与方向．2长度相等的向量是相等向量．3方向相同的向量是共线向量．[答案]1√2×3√2．设O是正方形ABCD的中心，则错误!，错误!，错误!，错误!中，模相等的向量是________．[答案]错误!与错误!，错误!与错误!3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：1与错误!相等的向量；2与错误!长度相等的向量；3与错误!共线的向量．[解]如图所示，1易知BC＝AD且BC∥AD，所以与错误!相等的向量为错误!2由O是正方形ABCD对角线的交点，可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与错误!长度相等的向量有错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!3与错误!共线的向量有错误!，错误!，错误!。

2.1 从位移、速度、力到向量整体设计教学分析1.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用.可通过几个具体的例子说明它的应用.位移、速度、力等是物理中的基本量,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.2.在类比数量的抽象过程而引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念,可采用与数量概念比较的方法,引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小,没有方向的量”,同时给出“时间、路程、功是向量吗?速度、加速度是向量吗?”的思考题.通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念.实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示.教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义.有向线段使向量的“方向”得到了表示,那么向量的大小又该如何表示呢?一个自然的想法是用有向线段的长度来表示.从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫.3.数学中,引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等”,这是讨论这个量的基础.如何规定“相等向量”呢?由于向量涉及大小和方向,因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的方向和大小,就可以任意平行移动.因此,用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点,这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.教学时可结合例题、习题说明这种思想.4.共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上,这给问题的研究带来方便.教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量,当然,在同一直线上的向量也是平行向量.要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念.三维目标1.通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性.并通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯.加强数学的应用意识,切实做到学以致用.用联系、发展的观点观察世界.重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.课时安排1课时教学过程导入新课图1思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)?学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究.思路2.创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课,这也是一个不错的导入选择.推进新课新知探究提出问题①回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念,让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.②“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么?③“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里?活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征.实例（1）反映的是物理量——位移：民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移；实例（2）反映的也是物理量——位移：假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家2 000 m，从家到学校，可能有长短不同的几条路．无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30°方向移动了2 000 m；实例（3）反映的是物理量——速度：飞机向东北方向飞行了150 km，飞行时间为半小时，飞行速度的大小是300km/h，方向是东北；实例（4）反映的也是物理量——速度：某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35m/s；最后两个实例反映的是物理量——力：起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起；汽车爬倾斜角为θ的坡路时，汽车的牵引力大小为F(N)，方向倾斜向上，与水平方向成θ角.我们身边这样的实例很多，可让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质.例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的,被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的,并且在弹性限度内,弹簧拉长或压缩的长度越大,弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向.如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.教师与学生一起归纳总结以上实例：位移、速度和力等这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”．只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题，矢量与标量是完全不同的两个量.铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量.在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量.讨论结果：①—③略.提出问题①在数学中，怎样表示向量呢?②什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③怎样定义零向量？怎样定义单位向量?④满足什么条件的两个向量叫作相等向量?⑤有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦什么是向量的模？活动：教师指导学生阅读教材，并思考讨论以上问题，特别是有向线段，这是学习向量的关键.我们知道，在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小.图2这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”.一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段（如图2)，记作AB，线段AB的长度也叫作有向线段AB的长度，记作||.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑体小写字母如a,b,c表示.一定要学生规范：印刷用黑体a,手写一定要在小写字母上加箭头.要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫作有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面,即是说的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.图3如图3，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较,以明确向量的意义.数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.但向量具有方向，由于方向不能比较大小,向量也就不能比较大小，像a＞b就没有意义,而|a|＞|b|就有意义.理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可.讨论结果：①用字母a,b,c,…表示向量（印刷用粗黑体表示），手写用字母加箭头来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如,.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.图4③长度为0的向量叫零向量，记作0,规定零向量的方向是任意的.长度为单位1的向量，叫单位向量.但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.④长度相等且方向相同的向量叫相等向量.⑤关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我们规定0与任一向量平行,即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义.向量a,b,c平行，记作a∥b∥c.如图4.图5又如图5,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦|AB|〔或|a|表示向量AB(或a)的大小,即长度(也称为模)〕.应用示例例1 如图6,D,E,F依次是等边△ABC的边AB, BC, AC的中点．在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,图6(1）找出与向量DE相等的向量;(2）找出与向量共线的向量.活动：教材安排本例的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决. 解：由初中所学三角形中位线定理不难得到:(1)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量相等的向量有：和;(2)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量共线的向量有：,,,.,变式训练判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.图7(1)ABCD中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.解:(1)正确;(2)不正确.点评：本题考查基本概念,对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.教师引导学生画出平行四边形，如图7.因为AB∥CD,所以，AB∥CD.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.例2 一个人从A 点出发沿东北方向走了100m 到达B 点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100m 到达C 点,求此人从C 点走回A 点的位移.图8活动:本例是一个简单的实际问题,让学生画出有向线段表示位移.本例目的在于巩固向量概念及其几何表示.解：根据题意画出示意图,如图8所示. ||=100m,||=100m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC 为正三角形.∴|CA |=100m,即此人从C 点返回A 点所走的路程为100m. ∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC -∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.点评：位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图8,由A 点确定B 点、C 点的位置.例3 如图9,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与OC OB OA 相等的量.图9活动：本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA 与EF ,OB 与AF 是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解: ==;==;===.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到.让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同.变式训练(演示课件)1.本例变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 本例变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 本例变式三：与向量共线的向量还有哪些？（,,,,,）2.对命题“a ∥b ∥c 推出a ∥c ”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下:甲生判断是真命题.理由是：由a∥b可知a与b的方向相同或相反,由b∥c可知c与b的方向相同或相反,从而有a与c的方向相同或相反,故a∥c,即原命题为真命题；乙生判断是假命题.理由是：当两个非零向量a,c不平行,而b=0时,显然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此时结论不成立,即原命题为假命题.究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析.解:乙的判断正确.由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论,所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在.甲生没有考虑到向量b可能为零向量的情况,故甲生的判断是错误的;乙生的判断完全正确.这说明向量平行的传递性若要成立,则“过渡”向量b需不为零向量,即在b≠0时有:(1)当a≠0,b≠0时,由a∥b,b∥c可推出a∥c;(2)若a与c中有一个为0,则另一个向量无论是否为0,均可推出a∥c.4(1)下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a 与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a 与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以只有C正确.答案:C点评：对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可.要启发学生注意正反这两方面的结合.变式训练1.判断:（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）2.把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案：1.略 2.D 3.B知能训练课本本节练习1、2、3课堂小结1.先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.2.再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3.点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益.作业如图10,在梯形ABCD 中,AB∥CD,AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,O 是AC 与BD 的交点,求证:=.图10证明：如图10,∵AB∥CD,∴AO∶OC=BO∶OD=AB∶CD.又AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,∴AE∶ED=AO∶OC.∴EO∥DC.同理,OF∥DC,∴E,O,F 在同一直线上. ∴.DCOF BC BF AD AE DC EO ===.∴E O=OF, 即|EO |=|OF |. 又EO 与OF 方向相同,∴EO =OF .设计感想1.本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点.本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识,学生有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的.2.本教案设计充分利用向量的物理背景.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机.通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础.3.本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念,设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材.备课资料一、向量中有关概念的辨析1.数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题.数量只有大小,没有方向,其大小可以用实数来表示,它是一个代数量,数量之间可以比较大小;向量既有大小又有方向,向量之间不可以比较大小;有向线段是向量的直观性表示,不能说向量就是有向线段.2.平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量,故平行向量与共线向量没有区别,而相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量,即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件.二、备用习题1.若正多边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,…a n,则这n个向量( )图16A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等2.如图16所示,在△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有…( )A.一组B.二组C.三组D.四组3.若命题p为a=b,命题q为|a|=|b|,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要又不充分条件4.如图17所示,在四边形ABCD中,若=,则下列各组向量相等的是( )图17A.与B.与C.与D.与OB5.已知a,b是任意两个向量,有下列条件:①|a|=|b|;②a=b;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.其中是向量a与b共线的充分不必要条件的为__________.(把你认为正确的命题序号全都填上)6.如图18所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图18(1)写出与相等的向量;(2)若||=3,求向量的模.7.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5参考答案:1.D 2.C 3.A 4.D5.②③④6.解:(1)与相等的向量有和,因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,故AB=ED=DC;(2)向量EC的模|EC|=6.7.C因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题.。

课题第二章平面向量 2.1.1位移、速度和力 2.1.2向量的概念学习目标1.知识与技能(1）了解向量的实际背景（2）理解平面向量的概念和向量的几何意义.2.过程与方法通过分析教材中给出的有关位移、速度和力的大量实例，让学生亲身经历观察、分析、归纳、抽象概括出平面向量概念的思维过程；3.情感、态度与价值观从学生熟悉的生活实例出发建立平面向量概念，激发学生的学习兴趣学习重点：向量的概念，向量的几何表示.学习难点：对自由向量的理解.学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式.学习过程一、课前预习指导：仔细阅读课本72页内容，完成以下预习检测1．向量：既有________，又有______的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作_____.3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__的向量叫做零向量，记作__.(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向_____________的______向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作_____.②规定：零向量与_____________平行．二、新课学习问题探究一几个向量概念的理解1.已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有___________，是向量的有____________.2.下列说法中正确的是________．①长度相等的向量叫作相等向量；②一个向量的相等向量有无数多个；③方向相反的向量叫作相反向量；④相反向量一定是共线向量．问题探究二平行向量与共线向量例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.学后检测1 ．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.学后检测2 在如图的方格纸上，已向量a ，每个小正方形的边长为1. (1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？学后检测3 阅读教材73页例题完成下面检测如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与向量EF →共线的向量；(2)写出与向量EF →的模大小相等的向量；(3)写出与向量EF →相等的向量．三、当堂检测1.如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，(1)写出与向量BC →相等的向量：________.(2)写出与向量BC →共线的向量：________ 2.下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量 3.下列命题正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．向量的模一定是正数C ．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。

数学ⅳ2.1从位移、速度、力到向量教案(1)本卷须知1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

1.趣味导入：①赤壁之战？问：猫能否追到老鼠？〔画图〕结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.②物理学中的位移、速度、力2、思考、分析1.举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→−AB注意：起点一定写在终点的前面。

有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段−→−AB的长度有向线段的三要素：起点、方向、长度A BA(起点)B（终点）a②字母表示法：也可用字母A、B、C〔黑体字〕来表示，即−→−AB可表示为〔印刷时用黑体字〕3.向量的模的概念是如何定义的？向量−→−AB的大小——长度称为向量的模。

记作：｜−→−AB｜模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：①零向量——长度〔模〕为0的向量，记作0。

0的方向是任意的.注意与0的区别②单位向量——长度〔模〕为1个单位长度的向量叫做单位向量。

思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

②−→−AB与−→−BA是否同一向量？答：不是同一向量。

③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。