八年级上册数学 全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

八年级上册数学 全等三角形单元测试卷 （word版，含解析）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PDAB，PEBC∥，PFAC∥，若ABC的周长为12cm，则PDPEPF____cm．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PDAB，PEBC∥

∴四边形HBDP是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PEBC∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

2．如图，已知等边ABC的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF，连接BF并延长至点,NM为BN上一点，且5CMCN，则MN的长

为_________．

【答案】6

【解析】

【分析】

作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CGBC，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．

【详解】

解：如图示：作CG⊥MN于G，

∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，

∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，

即∠ACE=∠BCF，

在△ACE与△BCF中

ACBCACEBCFCECF

∴△ACE≌△BCF（SAS），

又∵AD是三角形△ABC的中线

∴∠CBF=∠CAE=30°，

∴124CGBC，

在Rt△CMG中，2222543MGCMCG，

∴MN=2MG=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．

3．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．

【答案】2.

【解析】

【分析】

【详解】

过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，

∵∠B=60°，BE=BD=4，

∴△BDE是等边三角形，

∵△B′DE≌△BDE，

∴B′F=12B′E=BE=2，DF=23,

∴GD=B′F=2，

∴B′G=DF=23，

∵AB=10，

∴AG=10﹣6=4，

∴AB′=27．

考点：1轴对称；2等边三角形.

4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：

①AE=CF；

②△EPF是等腰直角三角形；

③EF=AB；

④12ABCAEPFSS四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).

【答案】①②④

【解析】

试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠APE=∠CPF，

∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP=CP，

∴∠PAE=∠PCF，

在△APE与△CPF中，

{?PAEPCFAPCPEPAFPC

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

同理可证△APF≌△BPE，

∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；

而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，

∴故③不成立．

故始终正确的是①②④．

故选D．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．

5．如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.

【答案】72°

【解析】

【分析】

根据AB的中垂线可得BAD，再根据AC的中垂线可得EAC，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD.

【详解】

根据AB的中垂线可得BAD=B

根据AC的中垂线可得EAC=C

18012654BC

又 126BADDAEEACBAC

+C+126BDAE

72DAE

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.

6．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG

∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．

【详解】

∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．

∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．

在△ABE和△DBC中，

∵BDBAABEDBCBEBC，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；

在△ABF和△DBG中，60BAFBDGABDBABFDBG，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．

∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；

∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；

∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．

∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．

故答案为①②③⑤．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．

7．如图,在ABC中, 90,ACBABD是ABC的轴对称图形,点E在AD上,点F在AC的延长线上.若点B恰好在EF的垂直平分线上,并且5AE,13AF,则DE______．

【答案】4．

【解析】

【分析】

连接BE，BF，根据轴对称的性质可得△ABD≌△ACB，进而可得DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF，然后证明Rt△DBE≌Rt△CBF可得DE=CF，然后可得ED长．

【详解】

解：连接BE，BF，

∵△ABD是△ABC的轴对称图形，

∴△ABD≌△ACB，

∴DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，

∴∠BCF=90°，

∵点B恰好在EF的垂直平分线上，

∴BE=BF，

在Rt△DBE和Rt△CBF中

BDBCEBFB

，

∴Rt△DBE≌Rt△CBF（HL），

∴DE=CF，

设DE=x，则CF=x，

∵AE=5，AF=13，

∴AC=AD=5+x，

∴AF=5+2x，

∴5+2x=13，

∴x=4，

∴DE=4，

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.

【答案】20°或40°

【解析】

【分析】

过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．

【详解】

如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，