数学八年级上册 全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

数学八年级上册

全等三角形单元测试卷 （word版，含解析）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．

【答案】10310

【解析】

解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；

②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10310；

③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

综上所述，PA的最小值为10310（cm）．

故答案为：10310．

点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．如图，在01ABA△中，20B，01ABAB，在1AB上取点C，延长01AA到2A，

使得121AAAC；在2AC上取一点D，延长12AA到3A，使得232AAAD；…，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角nA的度数为__________．

【答案】11()802n.

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质求出∠BA1 A0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角∠An的度数．

【详解】

解：∵在△A0BA1中，∠B=20°，A0B=A1B，

∴∠BA1 A0= 1801802022B =80°，

∵A1A2=A1C，∠BA1 A0是△A1A2C的外角，

∴∠CA2A1= 108022BAA =40°；

同理可得，

∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，

∴第n个等腰三角形的底角∠An= 11()802n.

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

3．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72ABCEDC，92AEB，则EBD的度数为 ________ ．

【答案】128

【解析】

【分析】

连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．

【详解】

连接CE，

∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，

∴CA=CB，CE=CD，

∵72ABCEDC=∠DEC，

∴∠ACB=∠ECD=36°，

∴∠ACE=∠BCD，

在∆ACE与∆BCD中，

∵CACBACEBCDCECD，

∴∆ACE≅∆BCD（SAS），

∴∠AEC=∠BDC，

设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，

∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，

∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．

故答案是：128．

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加

辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．

【答案】30°．

【解析】

【分析】

如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12 ∠P'O P''=30°.

【详解】

解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，

由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"

∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小

∴P'P"=5

由对称OP=OP'=OP"=5

∴△P'OP"为等边三角形

∴∠P'OP"=60

∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA

∴∠AOB=12 ∠P'O P''=30°.

故答案为30°.

【点睛】

本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.

5．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.

【答案】6； 3×22018.

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．

【详解】

解： 如图，

∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，

∴∠2=120°，

∵∠MON=30°，

∴∠1=180°-120°-30°=30°，

又∵∠3=60°，

∴∠5=180°-60°-30°=90°，

∵∠MON=∠1=30°，

∴OA1=A1B1=3，

∴A2B1=3，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，

∵∠4=∠12=60°，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，

∴a2=2a1=6，

a3=4a1，

a4=8a1，

a5=16a1，

以此类推：a2019=22018a1=3×22018

故答案是：6；3×22018．

【点睛】

此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．

6．如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.

【答案】72°

【解析】

【分析】

根据AB的中垂线可得BAD，再根据AC的中垂线可得EAC，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD.

【详解】

根据AB的中垂线可得BAD=B

根据AC的中垂线可得EAC=C

18012654BC

又 126BADDAEEACBAC

+C+126BDAE

72DAE

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.

7．如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若50C，设 ABCxCDEy,，则y关于x的函数表达式为

_____________．

【答案】80yx

【解析】

【分析】

根据题意，由等腰三角形的性质可得BD是AE的垂直平分线，进而得到AD＝ED，求出BED的度数即可得到y关于x的函数表达式．

【详解】

∵BD是ABC的角平分线，AEBD

∴1122ABDEBDABCx，90AFBEFB

∴1902BAFBEFx

∴ABBE

∴AFEF

∴ADED

∴DAFDEF

∵180BACABCC，50C

∴130BACx

∴130BEDBADx

∵CDEBEDC

∴1305080yxx

∴80yx，

故答案为：80yx．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC的长________cm．