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大一上数学分析期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是：如果对于任意的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，都有|a_n - A| < ε，则称序列{a_n}的极限为A。
A. 正确B. 错误答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B3. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 函数f(x)=x^2在区间[0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A6. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A7. 函数f(x)=e^x在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A8. 函数f(x)=ln(x)在区间(0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A9. 函数f(x)=1/x在区间(0, +∞)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：B10. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, 0)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = ________。
答案：112. 极限lim(x→+∞) (1/x) = ________。
答案：013. 极限lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = ________。
答案：1/214. 函数f(x)=x^3在x=0处的导数为 ________。
答案：015. 函数f(x)=e^x在x=0处的导数为 ________。
答案：1三、计算题（每题10分，共40分）16. 计算极限lim(x→0) (tan(x) - sin(x))/x^3。
解：利用洛必达法则，对分子分母分别求导三次，得到极限为1/2。
一、选择题1. 下列函数中，在其定义域内连续的函数是：（）A. f(x) = |x|，x∈RB. f(x) = x^2，x∈RC. f(x) = x^3，x∈RD. f(x) = |x|，x∈[0, +∞)【答案】A【解析】选项A中的函数f(x) = |x|在其定义域内连续，因为绝对值函数在其定义域内处处连续。
选项B、C、D中的函数在其定义域内均不连续。
2. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点是：（）A. x = 0B. x = -1C. x = 1D. x = 3【答案】C【解析】对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
将x = ±1代入f(x)，得f(±1) = -2。
因此，f(x)的极值点是x = 1。
3. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是：（）A. 顶点在(2, 0)B. 顶点在(0, 4)C. 顶点在(4, 0)D. 顶点在(0, -4)【答案】A【解析】函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2，这是一个开口向上的抛物线，其顶点为(2, 0)。
4. 下列级数中，收敛的是：（）A. ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)B. ∑(n=1 to ∞) (1/n)C. ∑(n=1 to ∞) (n^2)D. ∑(n=1 to ∞) (e^n)【答案】A【解析】根据p级数的性质，当p > 1时，p级数收敛。
选项A中的级数是p级数，且p = 2 > 1，因此收敛。
5. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的逆矩阵是：（）A. [2 -3; -4 1]B. [2 3; -4 1]C. [1 2; -3 4]D. [1 -2; 3 4]【答案】A【解析】计算矩阵A的行列式|A| = 14 - 23 = 4 - 6 = -2。
数学分析1 期末考试试卷（B 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设0111,1n nx x x +==+， 则 lim n n x →∞= 。
2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0lim ()x xf x →存在的充要条件是：3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。
4、当x = 时，函数()2x f x x =取得极小值。
5、已知)(x f 的一个原函数是cos xx，则()xf x dx '=⎰。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）。
（A ）()f x x 与是等价无穷小。
（B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。
（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。
（D ）()f x x 为的低阶无穷小量。
2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ ）。
（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且 3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
《数学分析1》期末考试试卷（闭卷 120分钟）一.判断题（每小题2分,共20分）1、max SupA A SupA A ∈⇔=2、设A B ，为非空数集， A B inf A inf B ⊂≤，则.3、若()f x 无下界，则存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n f x →∞=-∞4、若0lim ()x x f x →存在的充要条件是当00()()0x x y x f x f y →→-→，时，5、若单调数列{}n x 有收敛子列，则{}n x 收敛6、若()()f x g x ，在0x x =均不连续，则()()f x g x ±在0x 也不连续7、()f x 在0x x =可导，()g x 在0x x =不可导，则()()f x g x ±在0x x =不可导 8、21lim sin0x x x →= 9、若0()0f x '=，则0x 一定是()f x 的极值点10、()f x 在[)a +∞，上一致连续，则2()f x 在[)a +∞，上也一致连续二.求极限（每题5分，共20分）1、lim xx nx→∞（1+）2、0(1)1lim(0)ln(1)x x x αα→+-≠+ 3、2lim (arctan )x x x π→+∞ 4、22011lim()sin x x x→-三．计算题（每题5分，共20分）1、用导数定义求'2、y dy =3、ln(cos dy y x dx=+，求 4、求()(ln(1))n x -四．证明题（每题5分，共20分）1、设0lim ()0x f x a →=≠.证明：011lim()x f x a→= 2、lim 0n n x →∞=，{}n y 有界，证明lim()0n n n x y →∞=.3、证明：()ln f x x =在[)1∞，+内一致收敛4、设()()x x f g ，是凸函数，求证: ()()x x f g +也是凸函数五．确定21()1x f x x +=+的单调区间.（5分）六．()f x 在[,]a b 上连续，且[][],,()0,()x a b f x f x ∀∈≠则在a,b 上不变号（5分） 七．设对,x x R '''∀∈，()()()f x x f x f x ''''''+=+且()f x 在0x =连续，证明：()f x 在R 内一致连续.（5分）八．求证:f在区间(,)a b 内可微，(0)(0)f a f b +=-，则(,)a b ξ∃∈.()0f ξ'=使得 .（5分）。
《数学分析Ⅰ》题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【 】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。
数分大一下期末考试知识点数学分析是数学专业中的一门重要课程，也是大部分理工科专业的必修课之一。
对于大一学生来说，数分下学期末考试的内容通常是其中最为关键的一部分。
为了帮助大家复习和准备考试，下面将对数分大一下期末考试的知识点进行总结和归纳。
1. 无穷级数无穷级数是数学分析中的重要概念，有着广泛的应用。
在考试中，通常会涉及到级数的收敛与发散、级数的运算性质等方面的问题。
复习时需要掌握无穷级数各种判别法，例如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
2. 函数极限与连续性函数极限与连续性是数学分析的基础内容。
考试中可能出现求函数极限、证明函数连续性等类型的题目。
在复习过程中，需要熟练掌握函数极限的定义和性质，以及连续性的定义、判别方法和运算规则。
3. 导数与微分导数与微分是数学分析的核心内容，也是大家最常接触到的部分。
在考试中，通常会出现求导数、求高阶导数、应用导数等类型的题目。
复习时需要熟悉导数的定义、运算法则，以及常见函数的导数公式和基本性质。
4. 可积性与不可积性在数学分析中，可积性是一个重要的概念。
考试中可能会涉及到函数的可积性问题，需要掌握黎曼可积的判定条件和计算方法。
此外，还需要了解黎曼积分的性质和应用，如函数的积分中值定理等。
5. 序列与级数序列与级数是数学分析中的基本概念之一，也是数学分析的重要内容。
在考试中，通常会出现求序列极限、判别序列的收敛性、级数求和等类型的题目。
复习时需要掌握序列和级数的基本定义、性质和运算法则。
6. 多元函数的极限、连续性与偏导数多元函数是数学分析中一个较为复杂的知识点。
在考试中，可能会出现多元函数的极限、连续性、偏导数等问题。
复习时需要熟悉多元函数的极限、连续性的定义和判别方法，以及多元函数的偏导数的计算和性质。
7. 多元函数的积分多元函数的积分是数学分析中的重要内容之一。
在考试中，通常会出现多元函数的积分的计算和应用题。
复习时需要掌握多元函数的积分的计算方法，并了解应用题中的一些常见方法，如变量代换等。
大一数学分析期末知识点在大一数学分析的学习过程中，学生将接触到许多基础的数学知识点。
这些知识点在期末考试中占据重要的地位，对于学生来说是必须要熟练掌握的。
本文将着重介绍大一数学分析期末考试中常涉及的几个主要知识点。
1. 函数与极限在数学分析的学习中，函数与极限是一个非常重要的基础概念。
学生需要了解函数的定义、性质和图像表示方法。
同时，对于函数的极限也是非常重要的。
学生需要学会计算函数的极限，理解极限存在与否的条件，并能够应用极限理论解决相关问题。
2. 数列与级数数列与级数是数学分析中的另一个核心内容。
学生需要了解数列的定义、分类和性质，能够计算数列的极限。
对于级数，学生需要学会判断级数的敛散性，掌握级数求和的方法，并了解级数收敛的判定方法。
3. 微分学微分学是数学分析的重要内容之一。
学生需要熟练掌握函数的导数概念与计算方法，理解导数的几何与物理意义，并能够应用导数解决相关问题。
此外，学生还需要了解高阶导数、隐函数与参数方程的微分计算方法。
4. 积分学积分学是数学分析的另一个重要内容。
学生需要熟悉不定积分和定积分的定义与计算方法，了解换元积分法和分部积分法等积分技巧，并能够应用积分解决相关问题。
此外，对于柯西定理和牛顿-莱布尼茨公式的理解也是必要的。
5. 常微分方程常微分方程是数学分析的一门重要的应用课程。
学生需要了解一阶和二阶常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些特殊类型的微分方程解法，并能够应用常微分方程解决实际问题。
以上所列举的知识点只是大一数学分析期末考试中的主要内容，还有其他相关知识点也是需要学生积极掌握的。
学生在备考期末考试时，应该注重理解概念，熟练掌握运算方法，并进行大量的练习，加强对知识点的理解与应用能力。
通过系统的学习与反复的训练，相信大家能够在大一数学分析期末考试中取得优异的成绩！。
《数学分析Ⅰ》题目讲解更多精品文档更多精品文档一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim n n x →∞=，则为【 】A、0B、1C、12D、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】更多精品文档A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处更多精品文档更多精品文档【 】A 、左可导B 、右可导C 、可微D 、不连续4、若0l i m ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是更多精品文档【 】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界更多精品文档5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】A 、(0)0f =且(0)f -'存在B 、(0)0f =且(0)f +'存在C 、(0)f c =且(0)f -'存在D 、(0)f c =且(0)f +'存在更多精品文档6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续更多精品文档7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当更多精品文档0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141xx x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦更多精品文档2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=更多精品文档 4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x = ______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1x e -等价，则a =更多精品文档7、()()5n x =参考答案： 1. 114e+； 2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2=；y x5. 4；6. 1；n x7. ()ln55三、计算题（每小题6分，共36分）更多精品文档更多精品文档1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭.更多精品文档1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n =+++++1n n n x n n ≤≤++， l i m 1n n n →∞=+，lim 11n n n →∞=+ ，（4分）更多精品文档由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。
（6分）2. 求极限2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭更多精品文档 220020011tan lim lim (1)tan tan sin coslim (2)sin sinlim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫= ⎪⎝⎭=+解：分分20 (4)cos 1lim (5)2cos sin 1(6)x x x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪+ ⎪⎝⎭=分分分更多精品文档3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x 的二阶微分2d y .更多精品文档 3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x =的2d y . 解：令ln u x =，则d 1()d y f u x x='， （2分）学习-----好资料更多精品文档[]2222222d ()d 11() (3)d d 11()()()()(ln )(ln )(5)f u y f u x x x xf u f u x x f u f u xf x f x x'-=⋅+'=''⋅-'⋅''-'=''-'=分分 所以，222(ln )(ln )d =d f x f x y x x''-' （6分）更多精品文档更多精品文档4. 求方程2ln(1)y t ⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数2d d xy .更多精品文档4.求方程2ln(1)y t ⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数2d d xy . 22222232d 1d ()1d 1 (3)d 2d ()2d 11d d d 12 (6)2d d d 41x x x t t t y t y y t t t tx x t t t y y y t t+====+-⎡⎤+===-⎢⎥⎣⎦+解：分分′′5. 设()cos=，求y'.y xsin x更多精品文档解：对等式两端取对数，()ln cos lnsiny x x=，（1分）再对上式两端分别求导，()() sincos ln sin cossin xyx x xy x ''='+（4分）更多精品文档更多精品文档()2cos sin lnsin sin xx x x=-+ （5分）所以，()()2cos cos sin sin lnsin (6)sin xx y x x x x ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦分 6. 求由方程32xye x y =+所确定的函数()y y x =的微分d y .解：在方程两端对x 求导，得学习-----好资料更多精品文档()223xye y xy y y+'=+'. （3分）解此方程，得223xyxyyeyxe y-'=-。
（4分）所以，22d d3xyxyyey xxe y-=-。
（6分）四、综合题（3小题，共29分）1. 叙述证明题（4小题，共14分）更多精品文档（1）叙述lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义；（3分）（2）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理；（3分） （3）叙述()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义；（3分）（4）证明()sin f x x =在(,)-∞+∞上一致连续。
（5分）更多精品文档解：（1）lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义：对任意给定的0ε>，存在正整数N ，当n N >时，有n x A ε-<。
（3分）（2）数列的柯西（Cauchy ）收敛原理：数列{}n x 收敛的充要条件是{}n x 是一个基本数列。
（3分）更多精品文档（3）()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义：若()f x 在区间I 内满足对任意的0ε>，存在()0δδε=>，使得对I 内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，则称()f x 在区间I 内一致连续。
（3分）更多精品文档（4）证明：对任意12,x x R ∈，由于 1212121212()()sin sin 2cos sin 22 3f x f x x x x x x x x x -=-+-=≤-（分）更多精品文档故对任意的0ε>，取δε=，则对(,)-∞+∞内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，即()f x 在(,)-∞+∞上一致连续。
（5分）2. 证明：当0x >时，2ln(1)2x x x x -<+<.（7分） 证明：（1）证明ln(1)x x +<.根据Lagrange 中值定理，更多精品文档 ()ln(1)ln(1)ln11001x x x x x ξξ++-==<<-+这里（2分）由于111ξ<+，所以l n (1)x x +<。
（3分）（2）证明2ln(1)2xx x -<+. 令2()ln(1)2xf x x x =--+，则更多精品文档21()111x f x x x x -'=--=++，（2分）当0x >时，()0f x '<，()f x 严格单调递减，由(0)0f =，知()()00f x x <>，从而2ln(1)2x x x -<+。
（4分）更多精品文档 3. 设()f x 在区间[,]a b 可导，且()0,()0f a f b +->>′′，()()f a f b A ==，证明：（1）存在(,)a b ξ∈使得()f A ξ=；（5分）（2）()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。
（3分）更多精品文档证明：（1）由()()()lim 0x a f x f a f a x a++→-=>-′，存在10δ>，使当1(,)x a a δ∈+时，有()()0f x f a x a->-，此时，()()f x f a A >=。
在1(,)a a δ+中去一点1x ，有更多精品文档1()f x A >；由()()()l i m 0x b f x f b f b x b--→-=>-′，存在20δ>，使当2(,)x b b δ∈-时，有()()0f x f b x b->-，此时，()()f x f b A <=。
在2(,)b b δ-中去一点2x ，有2()f x A <。
（3分）于是，12()()f x A f x >>。
由()f x 在[,]a b 可导，()f x 在[,]a b 连续，由中间值定理，存更多精品文档在12(,)[,]x x a b ξ∈⊂，使得()f A ξ=。
（5分）更多精品文档 （2）由罗尔（Rolle ）定理，在(,)a ξ内至少存在一点1ξ使得1()0f ξ=′，在(,)b ξ内至少存在一点2ξ使得2()0f ξ=′。
故()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。
（8分）。
