数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)

数学分析（二）试卷A 第1页（共6页） 数学分析（二）试卷A 第2页（共6页）2014-2015学年第一学期期末考试高等数学（二） 试卷（A ）一、判断题(每小题 2 分，共 10 分)1.若()x f 在[]b a ,上可积,则()x f2在[]b a ,上也可积.（ ） 2．若()x f 是区间I 上的可导凹函数,则()x f '在I 上为增函数. （ ） 3．若函数项级数()x u n∑在区间I 上一致收敛,且()x u n在区间I 上连续,则其和函数在区间I 上可积. （ ） 4．若函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0，则()x u n∑在D 上一致收敛．（ ） 5.若正项级数∑n u 满足() ,2,111=<+n u u nn ,则∑n u 收敛. （ ）二、单项选择题(每小题 2 分，共 10 分)1．函数()x x f sin =在[]π,0上的平均值为 ( ) A2π B π2 C 1 D 212． 幂级数∑nx n 的收敛域为 （ ）A []1,1-B [)1,1-C (]1,1-D ()1,1- 3． 反常积分⎰+∞1xdx（ ） A 可能收敛 B 发散 C 收敛 D 不确定4． 函数()233x x x f -=的拐点为 ( ）A 1-=xB 1=xC ()0,1-D ()2,1-5．下列数项级数为条件收敛的是 ( ) A()∑-nn 1 B()∑-21n n C∑3cos n n D ∑++23n n三、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1． ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x dt t cos 12___________________.2. xe 在1=x 处的泰勒展开式为________________________________.3． 瑕积分dx xp ⎰11(0>p )当 ____________ 时收敛. 4． 由抛物线2x y =与22x y -=所围图形的面积为_____________.5． =--→xx xx x sin tan lim0 _______________.院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..数学分析（二）试卷A 第3页（共6页） 数学分析（二）试卷A 第4页（共6页）四、计算积分(每小题 5 分，共 20 分)1． dx x x⎰+442． ⎰xdx arctan3． dx x ⎰-1214． dx xex ⎰+∞-02五、判断级数的绝对收敛与条件收敛性 ( 每小题 6 分，共 12 分 )1． ()nn n3sin 11∑∞=- 2．nn n n n )2543()1(1++-∑∞=院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..数学分析（二）试卷A 第5页（共6页） 数学分析（二）试卷A 第6页（共6页）六、判别函数列或函数项级数的一致收敛性( 每小题6分，共 １2 分 )1．)1,0(,,2,1,)(∈==x n x x f n n2． ∑+--nn x x )1()1(221 , ),(+∞-∞∈x七、 完成下列各题 (每小题7分， 共 21 分 )1.求由2x y =与2y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.2.求幂级数 +++++++12531253n x x x x n 的和函数.3. 证明:设正项级数∑nu和∑nv都收敛,证明∑+2)(n nv u也收敛.院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..。

2009级《数学分析（一）》期末试题一、填空题（每小题2分，共20分）.1、数集1(1)n n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭的上确界为 ， 下确界为 ，聚点为 .2、n →∞+= . 3、1()ln f x x=的第一类间断点为 . 4、当0x ≠时，ln(12)()x f x x +=且f 在0x =连续，则(0)f = . 5、(2010)0sin x x == .6、设'0()f x 存在且0()0f x =，则00()lim h f x h h →-= . 7、x e 的带有拉格朗日型余项的马克劳林公式为x e = .8、()1f x =-(,)-∞+∞上是单调 .9、32()29121f x x x x =-++在[0,2]上的最大、最小值分别为 .10、曲线21(0)y x x x =+<的拐点是 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）.11、下列说法正确的是（ ）A 、单调数列一定收敛；B 、有界数列一定收敛；C 、若数列中有两个子列极限存在且相等，则该数列收敛；D 、有界数列必有收敛的子列.12、下列说法不正确的是（ ）A 、若()f x 在0x 可导，则()f x 在0x 连续；B 、若()f x 在0x 连续，()g x 在0x 不连续，则()()f x g x +在0x 不连续；C 、开区间上的凸函数是连续函数；D 、一切初等函数在其定义域内处处连续.13、下列说法不正确的是（ ）A 、一阶微分具有形式不变性；B 、函数()f x 在0x 的微分是x ∆的线性函数；C 、可导的初等函数，其导函数仍是初等函数；D 、凡使()f x 无定义的点都是()f x 的间断点.14、当0x →时，下列不是x 的等价无穷小是（ ）A1； B 、1x e -； C 、3210x x x ++； D 、1x x+. 15、设()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程'()0f x =有（ ）A 、一个实根；B 、两个实根；C 、三个实根；D 、无实根. 三、计算题（每小题5分，共25分）.16、设()ln(f x x x =+-'()f x .17、求sin 0lim x x x +→ . 18、设''0()f x 存在，求00020()()2()lim h f x h f x h f x h →++-- 19、设41cos ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；，求'()f x 及''(0)f . 20、设()f x 存在n 阶导数且'2()()f x f x =，求()()n f x .四、证明题（每小题8分，共40分）21、用柯西收敛准则证明数列{}n a 收敛， 其中2sin1sin 2sin 222n n n a =+++ . 22、设()f x 在有限开区间(,)a b 内连续，证明：()f x 在(,)a b 内一致连续的充分必要条件是(0)f a +与(0)f b -都存在.23、设'[,),(,),()0,()0f C a f d a f a f x k ∈+∞∈+∞<>>，k 是常数，(,)x a ∈+∞，则0(,)x a ∃∈+∞使0()0f x =. 24、证明：121211212(),(0,1,2,,)n n x x x x x x n n i x x x x x x x i n n++++++≤>= 25、用有限覆盖定理证明聚点定理。

《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。

则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。

则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。

第1学期模拟试卷1一、填空题（15分, 每小题3分） 1..... .2.用 语言叙述 的定.:3.数集 的上确界... .下确界.....4．设 , 则n 阶导数 . 5. 定积分 .二、选择题（15分, 每小题3分） 1.设.则当 . .....（A ）()f x 与()g x 为等价无穷小；（B ）()f x 与()g x 为同阶无穷小但不等价；（C ）()f x 是()g x 的高阶无穷小；（D ）()f x .是()g x 的低阶无穷小；2..当 . 不以 为极限的定义是...)（A ）;0, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∀>-≥; （B ）000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-≥; （C ）00000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-<; （D ） .3. 数集 的所有聚点的集合是 ( )（A ）A ； （B ）{} [1,0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]--；（C ） [1,0.1 ][ 0.1 ,1 ]-- ；（D ） (1,0.1) ( 0.1 ,1 )--；4.设 在 处二阶可导, . .则...). （A ）0x =是)(x f 的极小值点；（B ）0x =是)(x f 的极大值点；（C ）.为曲线 的拐点. （D ）.以上都不是。

5.设 是周期为 的连续函数，则下列函数为周期函数的是...). （A ）0()()xF x f t dt =⎰; （B ）0()()x T F x f t dt +=⎰; ( C ) 0()()x F x f t T dt =+⎰; （D ）()()x TxF x f t dt +=⎰.三、求极限（12分, 每小题6分） 1.... 2.四、求不定积分（12分, 每小题6分） 1. 2. .五、计算定积分（12分, 每小题6分）1. 2.1x ⎰六、（8 分）设 是 的一个原函数, 求七、（10分）设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。

《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。

则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。

则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。

《数学分析（一）》题库及答案一．单项选择1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。

A ．]1,2[-B ．]2,1[-C ．[0,3]D ．[1,3]2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。

A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=1,11,21,1)(x xx x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。

4、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。

A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。

A ．aB ．2aC ．21 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。

A ．单调减少，曲线上凸B ．单调增加，曲线上凸C ．单调减少，曲线下凸D ．单调增加，曲线下凸二、填空题1、函数)43cos(π+=xy 的周期为________。

2、=+∞→x x x)21(lim ________。

3、设x y 2sin =，则='''y ________。

4、设,2xe y =则y '''=_______。

5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→xbx f x )(lim 0_______。

6、曲线xy 1=的渐近线是_______、_______。

三、判断对错1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。

数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。

（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。

（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。

（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。

4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。

5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。

一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。

, , 当时, , 则。

2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。

五、1.证明:, , 当时, ；得证。

2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。

综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。

, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

《数学分析1》期末考试试卷（闭卷 120分钟）一.判断题（每小题2分,共20分）1、max SupA A SupA A ∈⇔=2、设A B ，为非空数集， A B inf A inf B ⊂≤，则.3、若()f x 无下界，则存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n f x →∞=-∞4、若0lim ()x x f x →存在的充要条件是当00()()0x x y x f x f y →→-→，时，5、若单调数列{}n x 有收敛子列，则{}n x 收敛6、若()()f x g x ，在0x x =均不连续，则()()f x g x ±在0x 也不连续7、()f x 在0x x =可导，()g x 在0x x =不可导，则()()f x g x ±在0x x =不可导 8、21lim sin0x x x →= 9、若0()0f x '=，则0x 一定是()f x 的极值点10、()f x 在[)a +∞，上一致连续，则2()f x 在[)a +∞，上也一致连续二.求极限（每题5分，共20分）1、lim xx nx→∞（1+）2、0(1)1lim(0)ln(1)x x x αα→+-≠+ 3、2lim (arctan )x x x π→+∞ 4、22011lim()sin x x x→-三．计算题（每题5分，共20分）1、用导数定义求'2、y dy =3、ln(cos dy y x dx=+，求 4、求()(ln(1))n x -四．证明题（每题5分，共20分）1、设0lim ()0x f x a →=≠.证明：011lim()x f x a→= 2、lim 0n n x →∞=，{}n y 有界，证明lim()0n n n x y →∞=.3、证明：()ln f x x =在[)1∞，+内一致收敛4、设()()x x f g ，是凸函数，求证: ()()x x f g +也是凸函数五．确定21()1x f x x +=+的单调区间.（5分）六．()f x 在[,]a b 上连续，且[][],,()0,()x a b f x f x ∀∈≠则在a,b 上不变号（5分） 七．设对,x x R '''∀∈，()()()f x x f x f x ''''''+=+且()f x 在0x =连续，证明：()f x 在R 内一致连续.（5分）八．求证:f在区间(,)a b 内可微，(0)(0)f a f b +=-，则(,)a b ξ∃∈.()0f ξ'=使得 .（5分）。

《数学分析Ⅰ》题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【 】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。

2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。

数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在 [a,b ] 上可积，那么（ ） A )(x f 在[a,b ]上有界 B )(x f 在[a,b ]上连续C )(x f 在[a,b ]上单调D )(x f 在[a,b ]上只有一个间断点 2、函数)(x f 在 [a,b ] 上连续，则在[a,b ]上有（ ）A )()(x f dx x f dx d b a =⎰B )()(x f dt t f dx d x a =⎰C )()(x f dt t f dx d b x -=⎰D )()(x f dt t f dxd b x =⎰ 3、 在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（ ） A ⎰+∞a dx x f )(收敛⎰+∞adx x g )(也收敛 B ⎰+∞adx x g )(发散⎰+∞adx x f )(也发散C⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散 D 无法判断4、级数∑∞=1n na收敛是（ ）对p =1,2…，0)(lim 21=++++++∞→p n n n n a a aA 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、若级数∑∞=+111n n α收敛，则必有（ ）A 0≤αB 0≥αC 0<αD 0>α 6、)()(1x ax f n n∑∞==在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么（ ）A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB f （x ）在[a ，b ]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n nx aC∑∞=1')(n nx a点点收敛，但不一定一致收敛D∑∞=1')(n nx a不一定点点收敛7、下列命题正确的是（ ） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛D 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛8、∑∞=--1)11()1(n n nx n 的收敛域为（ ） A (-1,1) B (-1,1] C [-1,1] D [-1,1） 9、下列命题正确的是（ ）A 重极限存在，累次极限也存在并相等B 累次极限存在，重极限也存在但不一定相等C 重极限不存在，累次极限也不存在D 重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在D 以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分）1、)0(21lim1>++++∞→p n n p pp p n 2、计算由曲线2x y =和2y x =围成的面积 3、求极限)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→4、 已知),(yx x f z =，求yzx z ∂∂∂∂, 5、 计算nn n n x n ∑∞=--112)1(的收敛半径和收敛域 三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论dx x x qp p⎰∞++--01|1|的敛散性 2、 判断∑∞=--+122)11(n n n 的敛散性3、 判断∑∞=+-121sin )1(n n n nx的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f (x )是以T 为周期的函数，且在[0，T ]上可积，证明⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(2、设级数∑∞=10n n n x α收敛，则当0αα>时，级数∑∞=1n nn x α也收敛参考答案一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D 二、1、由于px 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）=++++∞→121lim p p p p n n n 11)21(1lim 10+==++⎰∞→p dx x n n n n n pp p p p p p n （4分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：31)(12=-⎰dx x x （4分） 3、解：由于x1sin 有界，01sin lim )0,0(),(=→x y y x （2分）)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→=)11)(11()11)((lim22222222)0,0(),(+++-++++++→y x y x y x y x y x （3分）=111lim22)0,0(),(+++→y x y x =2（1分）4、解：xz∂∂=y f f 121+（3分）y z ∂∂=22y x f -（3分）5、解：212)1(lim 1=--∞→n nn n n ，r =2（3分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x =0和x =1处无界，所以将其分为dx x x q p p ⎰∞++--01|1|=dx x x p q p ⎰-+-101|1|1+dx x x q p p⎰∞++--11|1|（2分） 考虑奇点x =0应要求p-1<1；奇点x =1应要求p+q<1；（4分）当+∞→x 时，由于1211~)1(1-++--q p q p p xx x ，知2p+q -1>1时积分收敛（2分） 所以反常积分满足p <2且2(1-p)<q<1-p 收敛，其余发散（2分） 2、解：由于nn n n n 1~112112222-++=--+（6分），又∑∞=11n n 发散（2分）所以原级数发散（2分）3、解：2211sin )1(n n nx n ≤+-（6分），由weierstrass 判别法原级数一致收敛性（4分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：⎰⎰⎰⎰++++=Ta TT aTa adx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(00（1）（4分）⎰⎰⎰=+++=+aaTa Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、证明：∑∑∞=-∞==11)1)((00n n n n n nx n x αααα（4分）01αα-n 单调下降有界（3分）由Abel 定理知原级数收敛（3分）。

期末考试模拟试题（一）一、判断题（对的打“∨”，错的打“ ”，每小题2分，共10分）1、若数列无界，则一定发散.2、若，则与是当时的等价无穷小量.3、若函数在处的左右导数都存在，则在处连续.4、若与在上都可积，则在上也可积.5、若，则级数一定收敛.（参考答案：对、对、对、对、错）二、选择题（每小题4分，共32分）1、设，则)]=（）A 、B 1、C 2、D 3、答案：A2、设数列与数列都发散，则数列（）A 可能收敛也可能发散、B 发散、C 收敛、D 是无穷大答案：A3、函数在点处的导数是（）A 0、B 不存在、C 、D 1答案：B4、，则在处（）A 连续,但不可导、B 可导、C 不连续、D 无定义答案：B5、若，则（）A 、B 、C 、D 答案：C6、，则f()=（）A 、B 、C 、D 答案：C7、（）A 1、B 、C 2、D 0答案：D8、幂级数的收敛半径是（）A 1 、B 2 、C 、D 3 答案：D三、计算题（每小题5分，共20分）1、求极限：解：2、已知，求解：3、求不定积分：解：4、设，求定积分解：令，＝四、证明题(8分)设函数在上具有二阶导数，且，在内取得最大值，试证.证：设在取得最大值，则为的一个极大值点，又在可导，故,由在上具有二阶导数，则分别在连续，在可导，从而由Lagrange中值定理从而.。

数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1．A ，B ，C 是三个集合，C B A ⊂，则有（ ）成立。

A. 若A x ∈，则B x ∈B. 若A x ∈，则C x ∈C. 若A x ∈，则C B x ∈D. 若C B x ∈，则A x ∈答案：D2． 设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（ ）A. 双射B. 既非单射也非满射C.单射而非满射D. 满射而非单射答案：B3．下列数集（ ）不是可列集.A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．实数集答案：D4．已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（ ）.A ．连续B ．间断C ．有界D ．无界答案：A5．有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到.A ．内部B ．外部C ．边界S ∂D ．可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________=⨯A B . 答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 . 答案：等价关系3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A 是 .答案：无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos +5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 答案：x +1三、计算题1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .解：34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值. 解 令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(xx f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。

一、选择题：： 1.集合2{|4}sx x =<的上确界为______B_______.A.-2B.2C.-4D. 4 答：22<<-x2．xxx 2sin lim0→=______C_______.A.1B.0C.21D. 2 答：()等价无穷小替换212lim 2sin lim 00==→→x x x x x x3. 若2/53254limx x x ox -→与αx 当0→x 时为等价无穷小量，则α=_____B________.A.25 B.52C.2D. 1 答：5/23254lim xx x ox -→=1 4、点0=x 为函数||sin )(x xx f =____B_____间断点.（选填：可去，跳跃，第二类） A. 可去 B. 跳跃 C.第二类 D. 非 答：因1||sin lim ,1||sin lim 00-==-+→→x xx x x x 5．22)(cos lim x x x →=____D______.A. eB.1C.0D. 1-e 答：1/2).1(cos lim 2020222)1cos 1(lim )(cos lim --→→==-+=→e ex x x x x x x x x6．xx xx x sin tan lim0--→ _____B________.A. 1B.2C.0D. 不存在答：22/lim cos 11tan sec lim sin tan lim 22000==--=--→→→x x x x x x x x x x x x7．函数x x x f ln )(-=的稳定点为__B____.A. 0B.1C.2D. 3答：令011)('=-=xx f 可得，1=x 8．函数x x x f -=3)(的的单调递减区间为_______A__________.A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,0C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,33D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33解：根据13)('2-=x x f ，可得答案为A 。