2019届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业：第5章第2讲等差数列及其前n项和

第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。

(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。

2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。

(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。

3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。

(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。

(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。

(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

第2节 等差数列及其前n 项和基础打磨1.(2020届山西晋城第三次模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6=16,S 5=35,则{a n }的公差为().A .3B .2C .-2D .-32.(2020届内蒙古呼伦贝尔高三模拟统考)在等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }前6项和S 6为( ).A .18B .24C .36D .723.(2020届江西南昌三模)已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,2+a 5=a 6+a 3,则S 7=().A .2B .7C .14D .284.(2020届黑龙江哈尔滨四模)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2n 2-n ,则数列{a 2n }的前10项和等于( ). A .380B .390C .400D .4105.(2020届莆田九校联考)在等差数列{a n }中,若a 1,a 2021为方程x 2-10x+16=0的两根,则a 2+a 1011+a2020=().A .10B .15C .20D .406.(2020届湖南长沙高三模拟)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为( ). A .1.5尺 B .2.5尺 C .3.5尺 D .4.5尺7.(2020届广州适应性测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3=5,且S 1,S 5,S 7成等差数列,则数列{a n }的通项公式为a n = .8.(2020届南昌模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是 .能力拔高9.(2020届山西适应性训练)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1=-23,S n +1S n+2=a n (n ≥2),则下面选项为等差数列的是( ). A .{S n +1} B .{S n -1} C .{1S n +1} D .{1S n -1} 10.(2020届江苏南通适应性考试)已知等差数列{a n }满足a 4=4,且a 1,a 2,a 4成等比数列,则a 3的所有值为 .11.(2020届福建三明高三毕业班质检)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n+12=2S n +n+1(n ∈N *),设数列{1a n a n+1}的前n 项和为T n ,则T n = .12.(2020届辽宁葫芦岛高三第二次模拟)已知数列{a n}是公比为q的正项等比数列,{b n}是公差d为负数的等差数列,且1a2-1a3=da1,b1+b2+b3=21,b1b2b3=315.(1)求数列{a n}的公比q与数列{b n}的通项公式;(2)求数列{|b n|}的前10项和S10.13.(2020届安徽江淮十校模拟卷)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=na n+n(n-1),且a5是a2和a6的等比中项.(1)证明:数列{a n}是等差数列并求其通项公式.(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.思维拓展14.(2020届湖北高三月考)已知数列{a n}满足a2-a1=1,其前n项和为S n,当n≥2时,S n-1-1,S n,S n+1成等差数列.(1)求证:{a n}为等差数列.(2)若S n=0,S n+1=4,求n.。

5．2 等差数列及其前n 项和[知识梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n＝a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝a m ＋(n －m )d .(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 3．等差数列的相关性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． (3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，它是关于n 的二次函数，数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．[诊断自测] 1．概念思辨(1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A5P 38例1(1))已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．答案 487解析 由条件易知该等差数列的首项为a 1＝－8，公差d ＝5，得a n ＝－8＋(n －1)×5＝5n －13，故a 100＝487.(2)(必修A5P 68A 组T 8)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.答案 180解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.3．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得⎩⎨⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝27，a 10＝a 1＋9d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故选C.(2)(2017·福建宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( )A ．54B ．50C ．27D ．25 答案 C解析 数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0.∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，那么S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9×a 5＝27.故选C.题型1 等差数列基本量的运算典例1(2017·广东惠州调研)设{a n }是首项为－12，公差为d (d ≠0)的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则d ＝( )A ．－1B ．－12 C.18 D.12方程思想方法．答案 A解析 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 1·S 4＝S 22，即a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2，因为a 1＝－12，所以－12(－2＋6d )＝(－1＋d )2， 即d 2＋d ＝0，解得d ＝0或d ＝－1. 又因为d ≠0，所以d ＝－1.故选A.典例2(2017·碑林区期末)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a 1＝________.方程思想，注意设中间项．答案 2解析 由题可知3a 2＝12，① (a 2－d )a 2(a 2＋d )＝48，② 将①代入②得(4－d )(4＋d )＝12， 解得d ＝2或d ＝－2(舍)， ∴a 1＝a 2－d ＝4－2＝2. 方法技巧1．等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．见典例1.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．见典例2.冲关针对训练1．(2018·福建质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天．”在这个问题中，前5天应发大米( )A ．894升B ．1170升C ．1275升D ．1467升 答案 B解析 每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则前5天的总人数为5×64＋5×42×7＝390，所以前5天应发大米390×3＝1170升．故选B.2．(2015·北京高考)设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0答案 C解析 因为{a n }为等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3.当a 2＞a 1＞0时，得公差d ＞0，∴a 3＞0， ∴a 1＋a 3＞2a 1a 3，∴2a 2＞2a 1a 3， 即a 2＞a 1a 3.故选C.题型2 等差数列的判断与证明典例(2018·长春质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n ∈N *)．证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 为等差数列．利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 整理变形．证明 由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1， 即S n ＋1－2S n ＝2n ＋1，整理得S n ＋12n ＋1－S n2n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列．[条件探究] 将典例条件“a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n ∈N *)”变为“2a n －1－a n a n －1＝1(n ≥2)”其他不变，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求a n通项公式．解 当n ≥2时，a n ＝2－1a n －1，∴1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝11－1a n －1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1－1a n －1－1＝1(常数)．又1a 1－1＝1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以首项为1，公差为1的等差数列．∴1a n －1＝1＋(n －1)×1， ∴a n ＝n ＋1n . 方法技巧判定数列{a n }是等差数列的常用方法1．定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．见典例． 2．等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. 3．通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．4．前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．见冲关针对训练．冲关针对训练(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设a n a n ＋1＝λS n －1， 知a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得，a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)存在．由a 1＝1，a 1a 2＝λa 1－1，可得a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得，{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝1＋(n －1)·4＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列， a 2n ＝3＋(n －1)·4＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2. 因此存在λ＝4，使得{a n }为等差数列. 题型3 等差数列前n 项和及性质的应用角度1 等差数列的前n 项和典例(2018·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .利用S 偶－S 奇＝nd (项数为2n )求解．解 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 角度2 等差数列前n 项和的最值问题典例(2017·北京海淀模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？二次函数法求最大值．解 由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1.又a1>0，所以－a113<0.故当n＝7时，S n最大．角度3等差数列的性质的应用典例1等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A．20 B．22 C．24 D．－8若p＋q＝2m，则a p＋a q＝2a n，p，q，m∈N*.答案 C解析因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.典例2等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和．等差数列中，S m，S2m－S m，S3m －S2m成等差数列．解记数列{a n}的前n项和为S n，由等差数列前n项和的性质知S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－S m)＝S m＋(S3m－S2m)，又S m＝30，S2m＝100，所以S2m－S m＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－S m)－S m＝110，所以S3m＝110＋100＝210.方法技巧1．等差数列前n项和的性质在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)．(2)S2n－1＝(2n－1)a n.(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S 奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．见角度1典例．2．求等差数列前n项和S n最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋b 2a 2－b 24a ，求“二次函数”最值． (2)邻项变号法①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .冲关针对训练1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则S 11＝( )A ．66B ．55C ．44D ．33 答案 D解析 在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 5＝2a 3，a 8＋a 10＝2a 9，所以2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝6a 3＋6a 9＝36，a 3＋a 9＝6＝a 1＋a 11，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×62＝33.故选D. 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n的最小值为________．答案 －49解析 由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋45d ＝0，S 15＝15a 1＋105d ＝25， 解得a 1＝－3，d ＝23，则S n ＝－3n ＋n (n －1)2×23＝13(n 2－10n )，所以nS n ＝13(n 3－10n 2)，令f (x )＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x )＝x 2－203x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －203， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，203时，f (x )递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f (x )递增，又6＜203＜7， f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以nS n 的最小值为－49.1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎨⎧ (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{}a n 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}a n 前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8答案 A解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.3．(2017·山西孝义二轮模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18答案 B解析 因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，所以a 3＝35，a 4＝33，所以d ＝－2，a 1＝39.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n－1)＝41－2n ≥0，解得n ≤412，所以当n ＝20时S n 达到最大值．故选B.4．(2018·广东测试)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________.答案 n解析 ∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21.又a 1＞0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，又a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n (n ∈N *)．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( )A ．18B ．20C ．16D ．22解析 由题意得S 3＝3a 2＝12，解得a 2＝4，所以公差d ＝a 3－a 2＝2，a 10＝a 3＋7d ＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3答案 B解析 {a n }为等差数列，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等差数列，所以2(4－S 2)＝S 2＋(12－4)⇒S 2＝0.故选B.3．(2018·郑州质检)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案 C解析 织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，a 1＝5，前30项和为390，于是30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布．故选C.4．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( )A ．100B ．958C ．948D ．18答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C. 5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A.a 2a 3＝2B.a 2a 3＝32C.a 2a 3＝23D.a 2a 3＝13 答案 C解析 由已知可得S n ＝n ＋12a n ，则S n －1＝n 2a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12a n －n 2a n －1(n ≥2)，化简得a n －1a n＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝23.故选C. 6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50答案 B解析 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B. 7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033答案 C解析 因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝4032(a 1＋a 4032)2＝4032(a 2016＋a 2017)2＞0，S 4033＝4033(a 1＋a 4033)2＝4033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸答案 C解析 设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0，a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]答案 A解析 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n＋a －1，因为b n ＝1＋a n a n ，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0， 解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 －32解析 若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32. 13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝ (2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.因为λa n≤n ＋8n ，所以λ≤(n ＋8)(2n －1)n ， 即λ≤2n －8n ＋15.易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－81＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A＝332，得sin A ＝12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2. ∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2，得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m 20成立，求正整数m 的最大值．解 (1)因为a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1＝112－a n－1＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝n n ＋1. (2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ， 所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13(n ＋1)－1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋1＝13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－23n ＋3＝0， ∴C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2，∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13＋14＋15＋16＝1920，m 20<1920，m <19.又m ∈N *，所以m 的最大值为18.。

第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第82页)[基础知识填充]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)． (2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． [知识拓展] {a n }为等差数列，S n 是{a n }前n 项和(1)若a n ＝m ，a m ＝n ，则a m ＋n ＝0， (2)若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )， (3)若S m ＝S k (m ≠k )，则S m ＋k ＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D ．] 3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6B [由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B ．]4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.180 [由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.](对应学生用书第82页)(1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：79140171】(1)C (2)－72 [(1)设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]方程思想：等差数列的基本量为首项n 项和公式列方程组求解，等差数列中包含整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用联系，整体代换即可求解.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程[跟踪训练n n 11a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．15(2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为( ) A ．16129B ．16131C ．8115D ．8015(1)B(2)A[(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{a n }，且a 1＝5，S 30＝390，设公差为d ，则30×5＋30×292×d ＝390，解得d ＝1629，则a 2＝a 1＋d ＝16129，故选A ．]n n 23(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列． 定义法：d 是常数⇔{等差中项法：＝a n ＋a 2n ∈N ＋⇔通项公式：qp ，为常数⇔{前An 2＋BnA ，为常数⇔{[跟踪训练] (1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n(2)已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N＋)．①求证：数列{b n }是等差数列． ②求数列{a n }中的通项公式a n . (1)A [由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.](2)①证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，b n ＝1a n －1. 所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52， 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．②由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.(1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝39，a 5＋a 7＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项的和S 9等于( ) A ．66 B ．99 C ．144D ．297(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝________，S n 的最大值为________.【导学号：79140172】(1)B (2)10或11 55 [(1)根据等差数列的性质知a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝39，可得a 3＝13.由a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝27，可得a 7＝9，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 3＋a 7)2＝99，故选B ．(2)法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12， 所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ，所以d ＝－1. 所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n ＞0， 当n ≥12时，a n ＜0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.法二：同法一求得d ＝－1. 所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4418.因为n ∈N ＋，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 法三：同法一求得d ＝－1. 又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0. 所以3a 11＝0，即a 11＝0.所以当n ＝10或11时，S n 有最大值． 且最大值为S 10＝S 11＝55.] 项的性质：在等差数列＝m －d ⇔m ≠，其几何意义是点n ，，m ，m 所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列{为其前n 项和，则①S 2n ＝n a 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋②S 2n －1＝n －a n .求等差数列前n 项和最值的两种方法函数法：利用等差数列前次函数最值的方法求解邻项变号法①当a 1>0[跟踪训练] (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若6a 5＝11，则11S 9＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．12(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. (1)A (2)200 [S 11S 9＝11(a 1＋a 11)29(a 1＋a 9)2＝11a 69a 5＝119×911＝1.(2)依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.]。