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第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．(3)其中 称为正数a ，b 的算术平均数， 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 ．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+ D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥C D ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b 不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．➢考点4 基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件336a ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++≥33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2 故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++， 当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥∴1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；(22224m ⎡⎤+≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [答案] A [解析] 由x >0，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，令t ＝x ＋1x，则t ≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2. x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立， 故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5． 故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40 B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694. 故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确； 对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()2112212331212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21212++=++x x y x x y，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥ CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确； 对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥记u =0u >，所以21111336u ab b =+++++≤+=，所以0u <≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误. 故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________． 【答案】 6-3【解析】a ,b 为正实数, 且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=++++2111a b a b =++-++2111a b =+++ ()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331ba ab ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭ (1133≥++=当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-38．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________. 【答案】9 【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy yx y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥， 当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n+≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________. 【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭. 因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23. 故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++ 222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(3)24≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274.➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++. 【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥， 当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝ ()19322222=+++=， 当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++. [举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>， 又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++ 当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号. 即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值. 【解】(1)111abc abc abcbc ac ab a b c a b c++=++=++ 222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立. (2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=b c =时等号成立. 所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号． 又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a xx >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x ==++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥⎪--⎝⎭， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a b a b b c --=++≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4.故选：C. [举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥． 故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++， 当a b =时，不等式恒成立；当ab时，222aba b a b ab a bλ+≥=+-+12=，a b =时等号成立，a b12=，故12λ≥. 故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x m m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AB【解析】因为0x >，0y >，所以222y x x y +≥=，当且仅当2x y =时，等号成立． 因为()222111m m k m k k -++=--++≤+．若2222y xm m k x y+>-++恒成立，则12k +<，解得1k <． 故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________． 【答案】1 【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以 2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥， 解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2【解析】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>， 则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2. 故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____． 【答案】2【解析】()()22222=22x x y a x y x x y x x y x y +≤+∴+≤+++，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >>0x y ∴+>()22x x y a x y +≤+max2x ya y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭ 22222x x y x yx y x y ++≤=++max2=2x y a y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭，a ∴的最小值为2 故答案为：2➢考点4 基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[ 【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+， 当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈， 当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而42214sin (2sin )233sin 3sin 3x x x x +=+≥， 当且仅当12sin sin x x=，即2sin 2x 时取“=”，则有423a ≤， 当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而42214sin [(2sin )]233sin 3sin 3x x x x +=--+≤--， 当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-， 综上得，424233a -≤≤所以实数a 的取值范围是4242[,]33-. 故答案为：4242,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．[答案] 1 [解析] 由题意知x >0，∴(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)≥ 2x 2 018·1×12(21·x 2 016＋2x 2·x 2 014＋…＋2x 2 016·1)＝2 018x 2 017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米.故选：C. [举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+23060≥=⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立. 所以f （Q ）的最小值是60. 故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=， 两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误． 故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】 4 48 【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+， 则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫=++=++⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当483x x=，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48． 即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________． 【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒， 所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35； （2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． 【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >， 则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>， 当2t x =时，a c b >>， 当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数； 又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =； 又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增， 故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或 解得12x x ><-或 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ， 有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误， 对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误， 故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 【解】解：（1）因为函数的定义域为R ， 则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去； 当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增； 则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<， 即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =， 若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确； 对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确； 对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， 对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞． 故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值； 【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-， 因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <， 因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立， 因为()f x 在区间[]1,2上单调递减， 所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2， 所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++， 所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2， 因为1a >，则()9g x =时最大值为2， 即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。

高中数学一轮专题讲义
一、集合与函数
1. 集合的基本概念和性质
2. 集合的运算
3. 函数的定义和性质
4. 函数的图像和变换
5. 函数的导数和极值
二、三角函数与解三角形
1. 三角函数的定义和性质
2. 三角函数的图像和变换
3. 三角函数的解法和应用
4. 三角形的解法和平行四边形的性质
三、数列与不等式
1. 数列的定义和性质
2. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式
3. 数列的极限和数学归纳法
4. 不等式的性质和证明方法
5. 不等式的求解和应用
四、平面几何与立体几何
1. 点、直线、平面的性质和关系
2. 平面图形的性质和证明方法
3. 立体几何的基本概念和性质
4. 空间几何体的表面积和体积计算
5. 空间几何体的位置关系和证明方法
五、解析几何与向量
1. 直线的方程和性质
2. 圆的方程和性质
3. 圆锥曲线的方程和性质
4. 向量的基本概念和运算规则
5. 向量的应用和证明方法。

高三数学第一轮复习讲义高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式；2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比.例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 .例4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的观点，娴熟掌握斜率公式； 2 ．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能娴熟写出直线方程．二．知识重点： 1．过两点、的直线斜率公式：．2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1 ．设，则直线的倾斜角为（）2．已知，则过不一样三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的极点 ,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.4．若直线的方向向量是, 则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段订交，则直线的斜率k的取值范围为.四．例题剖析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程 . 例 2．⑴已知，试求被直线所分红的比λ；⑵已知，，若直线与直线订交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例 3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程 . 例 4．的一个极点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名。

高三数学第一轮复习讲义高三数学第一轮复习讲义相互独立事件的概率一．复习目标：1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率．二．知识要点：1．相互独立事件的概念：．2．是相互独立事件，则次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是．三．课前预习：1．下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”，（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”，（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有（1），（3）．相互独立事件的有（2）．2．某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是；②他恰好击中目标次的概率是；③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ ． 3．件产品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是．4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（）甲多乙多一样多不确定四．例题分析：例1．某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响．（1）求个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．解：设个工厂均选择星期日停电的事件为．则．（2）设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为．则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为．小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件．例2．某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒产品中有件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为．(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为．答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．例3．假定在张票中有张奖票（个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，（1）分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，（2）求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率．解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则（1）小结：因为，故A与B是不独立的．例4．将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现（即点的面向上）多少次的概率最大？解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∵由，得，即当时，单调递增，当时，单调递减，从而最大．五．课后作业：班级学号姓名1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具）先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2．已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的概率为：（）3．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是；4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2， 结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+， 即选项C 正确； 对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4， 所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式． 【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<， 解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =， 所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

高中数学总复习讲义（培优版）供理科生使用数列四讲第一讲 数列的概念及简单表示教学目标了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 教学重难点1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大. 教材知识再现一．基础知识1．数列的概念：按一定 排列的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做数列的 。

从函数的角度看：数列可以看作是一个定义域为 或它的有限子集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列 。

2．数列的表示方法：（1）列表法；（2）图示法：数列的图像是离散的点，而不是曲线； （3）通项公式法：用含)(n f a a n n n =，即的式子表示（4）递推公式法： 3．数列的分类：（1）按项数的多少可分为 和 ；（2）按数列中相邻两项的大小关系可分为 、 、 和 。

4．（1）数列{}n a 的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321（2）的关系与n n S a ： ⎩⎨⎧≥-==-.2111n S S n S a n nn ，，，基本方法 用函数的思想方法处理数列问题（数列的本质是函数） （1）如何理解数列是函数？ （2）如何求数列的通项公式？（3）如何判断数列的单调性及求数列中的最大(小)项？ （4）如何求数列的前n 项和公式？经典习题奠基1.数列⋅⋅⋅,95,74,53,32,1的一个通项公式是2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 3．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋an ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 4，已知数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧-⋅=-52321n a n n122+==k n kn )(N k ∈，则=⋅34a a 5. 已知数列{}n a 的通项公式为n q pn a n +=，且23,2342==a a ，则=8a 关键要点点拨1．求通项公式的技巧根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系，并用n 表示出来．不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一 2.数列中最大项与最小项的求法考点一 由数列的前几项求数列的通项公式[例1] 下列可作为数列{}⋅⋅⋅,2,1,2,1,2,1:n a 的通项公式的是（ ）A.1=n aB.21)1(+-=n n aC. 2sin 2πn - D. 23)1(1+-=-n n a1.已知数列⋅⋅⋅,13,10,7,2则72是该数列的（ ） A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项2.写出下列各数列的一个通项公式 （1）3,5,7,9，…（2）⋅⋅⋅,3231,1615,87,43,21 （3）⋅⋅⋅---,63,51,43,31,23,11.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n 之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决.考点二 由n a 和n S 的关系求通项[例2]数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(3,111≥==+n S a a n n ，则=6a 3. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1+=n n S n ，则=51a 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，求{}n a 的通项公式 （1）Sn ＝2n 2－3n ； （2）Sn ＝4n ＋b .n a 和n S 的关系通常用)2(1≥-=-n S S a n n n ，注意验证1=n考点三 由数列的递推关系求通项公式[例3] 数列{}n a 满足2,3311=-=+n a a a n n ，求nan 的最小值为（ ） A.9.5 B.10.6 C.10.5 D.9.6变式：若本例条件变为：数列{a n }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意的正整数n (n ≥2，n ∈N*)，有2a n ＝2n a n －1，则a 100的值为________．5. 已知数列{}n a 中，)2()1(1,111≥--==-n n n a a a n n ，则=16a6.分别求满足下列条件的数列的通项公式（1）)12(,011-+==+n a a a n n （2）)2(1,111≥-==-n a n na a n n 由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．1．对于形如“a n ＋1＝a n ＋f (n )”型的递推关系式求通项公式，只要f (n )可求和，便可利用累加的方法． 2.对于形如)"("1n g a a nn =+型的递推关系式来求通项公式，只要)(n g 可求积，便可以利用累积或迭代的方法。