(完整)1.2解三角形应用举例(优秀课件)

S pp ap bp cp d ,其中p a b c d .
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c

层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔，就是： 1＋2＋3＋…＋(n-1)＋n
探究：等差数列的前n项和公式
一般地，我们称 a1 a2 a3 ...... an1 an
为数列{ an }的前n项和，用 Sn 表示，即
1.等差数列定义是什么？ 2.等差数列的通项公式是
什么？
3.当m+n=p+q， 则对应项 的和有什么关系?
创设情境,提出问题
思考1:1+2+3+…+98+99+100=？
高斯(Gauss,C.F.,1777 年～1855年）德国著名
数学家
创设情景
平行四 三边角形形
若V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一
【例1】2000年11月14日教育部下发了《关于 在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元.为了保证工 程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年 内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
S n a1 a2 a3 ... an
Sn

n（a1 2
an )
an a1 ( n 1)d
Sn

na1

n（n 2

1)
d
练习：根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 ｛an｝的前n项和Sn
（1）已知 a1 5, an 95, n 10
（2）已知 a1 100, d 2, n 50
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入

4
2
则用“三斜求 积”公式求得△ABC的面积为 _____.
课堂练习
练习1.在ABC中，AB 3, BC 13 AC 4,求ABC的面积
2. 在△ABC中，b 2, B ,C ,求ABC的面积.
64
c2 sin Asin B b2 sin Asin C a2 sin B sin C
I
正负开方术
数
书
九
II
章
三斜求积术
III
大衍总数术
I 德国数学史家康 托尔赞扬秦九韶 是“最幸运的天 才”
此前法国大数学家拉 格朗日也是这样称赞 牛顿的
有着“科学史之父”美 誉的美国科学史家萨顿 甚至认为，秦九韶是“ 他那个民族，他那个时 代，并且确实也是所有 时代最伟大的数学家之 一”
2005年，牛津大 学出版了《数学史 —从美索不达米亚 到现代》，该书重 点提及12位数学 家，提及了秦九韶 是唯一的中国人
(a
b
c)(a
b
c)(b 4c 2
a
c)(b
a
c)
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 4c 2
ha
t DB
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 2c
[求出面积S ] (a b c)(a b c)(b a c)(b aC c)
2010年，BBC 广播公司制作4 集纪录片《数学 的故事》，第2 节17分钟讲述中 国，秦九韶是唯 一提及的中国人
古代其他 数学成就
利用祖暅原理求球体积
牟合方盖
古代其他 数学成就
牟合方盖
割圆术
问题提出 能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
公式转化

3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3

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第一章 1.2 第3课时
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
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第一章 1.2 第3课时
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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第一章 1.2 第3课时
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

小组评价：
天塔总高度415.2米
课堂反馈：
1.在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再 向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°， 则此电视塔高约为( A )m.
A．237 B．227
C．247
D．257
2. 在一栋20米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为
60°,塔底的俯角为45°,则塔的高度为（
小组测量任务展示
第一小组
数学建模
A
图 第形 一 小 组
问题背景中的条件
对应的数 学量
计算方 法
结果
∠AEB
∠AMB
EM
解斜三角形△AEM 和直角三角形
B E点处的仰角α
M
E
M点处的仰角β
EM的距离a
第二小组
第二小组
数学建模
图形 问题背景中的条件 对应的数学量 计算方法 结果A NhomakorabeaB
E
M
可以测量：E点处的仰角α，M点处的仰角β，EM的距离为 a，∠EBM=θ
用木棍测量金字塔的高度
泰勒斯（约公元前624年 --- 约公元前546年）， 古希腊第一位闻名世界的大数学家.
人教A版必修5第一章解三角形
1.2 应用举例
（测量高度问题）
测量任务
天塔是天津广播电 视塔的简称,总高度 415.2米，为世界第四、 亚洲第二高塔，耸立于 碧波与云霄之间，是世 界上唯一一座“水中之 塔”，其势如剑倚天， 享有“天塔旋云”之美 称。
第三小组
数学建模
A
第三小组
图形
问题背景中的 对应的 计算方 结
条件
数学量 法 果
β
M
α
B E

B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理

• 以下是秦九韶的《数书九章》（Mathematical Treatise in Nine Sections）：三斜求积术
• 问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜 一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知 为田几何？
• 答曰：“三百一十五顷”
• 以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自 乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之， 为实；一为从隅，开平方得积。
内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形 ABCD 中，设 p= a b c d , 2
则 S = 四边形 ( p a)(p b)(p c)(p d)

现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长 DA，CB 交于点 E。
设 EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
= 1 (a 2 b2 c2 2ab)[(a2 b2 c2 2ab)] 4
= 1 4a2b2 (a2 b2 c2 )2 4
= 1 2a 2b2 2a 2c2 2b2c2 a 4 b4 c4 4
① ②
③ ④
⑤
海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形
海伦和秦九韶
• 一、三斜求积术
• 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提 出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的
三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即 方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平 方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘 而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面 得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作 为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面 积.

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思考感悟
1．“视角”是“仰角”吗？
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第一章 1.2 第2课时
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提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角 度．如图所示，视角60° 指的是观察该物体上下两端点时， 视线的张角．
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第一章 1.2 第2课时
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2．方位角的范围是(0° ，180° )吗？
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第一章 1.2 第2课时
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AB 在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ ，AB为定值，若要使仰 BE 角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝ 30° . 在Rt△BED中，∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° ， ∴BE＝BD· sin∠BDE＝20 2sin15° ＝10( 3－1) (m)． 在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10( 3 －1)tan30° ＝ 10 3 (3－ 3)(m)． 10 ∴塔的高度为 3 (3－ 3) m.
标方向线为止的水平角 叫方位角． ______________________
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第一章 1.2 第2课时
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(3)如图(1)所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距 离，AB代表坡面距离．
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第一章 1.2 第2课时
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如图(2)所示，把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫
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第一章 1.2 第2课时
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典例导悟
类型一 [例1] 底部不可到达的高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。