图论及其应用(13)

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。

则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。

图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。

解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。

六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。

解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。

图论及其应用班级：图论1班学院：软件学院学号：2014110993姓名：张娇图论从诞生至今已近300年，但很多问题一直没有很好地解决。

随着计算机科学的发展，图论又重新成为了人们研究讨论的热点，图形是一种描述和解决问题直观有效的手段，这里给出图论在现实生活中的一些应用。

虽然最早的图论问题追溯1736年(哥尼斯堡七桥间题)，而且在19世纪关于图论的许多重要结论已得出。

但是直到20世纪20年代图论才引起广大学者的注意并得以广泛接受和传播。

图论即形象地用一些点以及点与点之间的连线构成的图或网络来表示具体问题。

利用图与网络的特点来解决系统中的问题，比用线性规划等其他模型来求解往往要简单、有效得多。

图论就是研究图和网络模型特点、性质和方法的理论。

图论在许多领域,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛的应用,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中。

下面对最大流问题进行探究。

最大流问题主要探究最大流问题的Ford-Fulkerson解法。

可是说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。

该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。

在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。

首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。

开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。

在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。

增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。

反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。

举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。

当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。

图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。

左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。

真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。

不过今后对两者将经常不加以区别。

称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。

也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。

称顶点a 与e 相邻。

称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。

环（loop ，selfloop ）：如边 l 。

棱（link ）：如边ae 。

重边：如边p 及边q 。

简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。

一条边的端点：它的两个顶点。

记号：νε()(),()().G V G G E G ==。

习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。

1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。

同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。

图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。

记为 G ≅F。

注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。

de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。

完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。

V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。

图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。

下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。

1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。

解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。

连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。

2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。

解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。

如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。

3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。

解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。

如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。

4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。

解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。

我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。

5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。

解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。

6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。

解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。

这些算法会根据边的权重来计算最短路径。

图论及应用参考答案图论及应用参考答案图论是数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点（顶点）和边组成，节点代表对象，边代表对象之间的关系。

图论不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、物理学、生物学等领域中发挥着重要的作用。

本文将介绍图论的基本概念和一些应用。

一、图论的基本概念1. 图的类型图分为有向图和无向图。

有向图中的边有方向，表示节点之间的单向关系；无向图中的边没有方向，表示节点之间的双向关系。

2. 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间是否有边相连；邻接表是一个链表数组，数组中的每个元素对应一个节点，链表中存储了该节点相邻的节点。

3. 图的性质图的性质包括节点的度、连通性和路径等。

节点的度是指与该节点相连的边的数量；连通性指的是图中任意两个节点之间是否存在路径；路径是指由边连接的节点序列。

二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径算法最短路径算法是图论中的经典问题之一，它用于计算图中两个节点之间的最短路径。

著名的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

这些算法在网络路由、地图导航等领域中有广泛的应用。

2. 最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小生成树，即包含所有节点且边的权重之和最小的子图。

普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是常用的最小生成树算法。

这些算法在电力网络规划、通信网络设计等领域中有重要的应用。

3. 图的着色问题图的着色问题是指给定一个图，将每个节点着上不同的颜色，使得相邻节点之间的颜色不同。

这个问题在地图着色、任务调度等方面有实际应用。

三、图论在物理学中的应用1. 粒子物理学在粒子物理学中，图论被用来描述和分析粒子之间的相互作用。

图论模型可以帮助研究粒子的衰变、散射等过程，为理解物质的基本结构提供了重要的工具。

2. 统计物理学图论在统计物理学中也有应用。

例如，渗透模型中的图可以用来研究流体在多孔介质中的渗透性质，为石油勘探、水资源管理等提供了理论基础。

摘要寻找最短的路径到达想要去的地方在这个快节奏的时代已经变得越来越重要，它对于节约人们的时间成本具有重要意义。

当前城市的规模越来越大，交通道路状况也越来越复杂，从一个地方到另一个地方可能有很多种路径，如何从众多的路径中选择距离最短或者所需时间最短的路径便成了人们关注的热点。

能够选择出一条最符合条件的路径会给我们的日常生活带来极大地方便。

本文就通过找重庆邮电大学几个代表性地点之间寻找最短距离路径为例，介绍经典的最短路径算法Floyd算法及其算法的实现。

关键字：最优路径，Floyd算法，寻路一、图论的基本知识图论起源于举世闻名的柯尼斯堡七桥问题。

在柯尼斯堡的普莱格尔河上面有七座桥将河中的岛及岛与河岸是连接起来的,有一个问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥而且正好只能一次，再回到起点。

然而许多人经过无数次的尝试都没有成功。

在1736年欧拉神奇般的解决了这个问题，他用抽像分析法将这个问题化为第一个图论问题：即用点来代替每一块陆地，将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替，所以相当于得到一个“图”（如下图）。

柯尼斯堡七桥图桥转换成图欧拉证明了这个问题是没有解的，并且推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。

这项工作使得欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。

图论其实也是一门应用数学，它的概念和结果来源非常广泛，既有来自生产实践的问题，也有来自理论研究的问题。

它具有以下特点：蕴含了丰富的思想、漂亮的图形以及巧妙的证明；涉及的问题很多而且广泛，问题外表简单朴素，本质上却十分复杂深刻；解决问题的方法是千变万化，非常灵活，常常是一种问题就有一种解法。

图论研究的内容非常广泛，如图的连通性、遍历性、图的计数、图的着色、图的极值问题、图的可平面性等。

历史上参与研究图论问题的人既有许多天才的数学家，也有不少的业余爱好者。

那么什么是图论中的图呢？在日常生活、生产活动以及科学研究中，人们常用点表示事物，用点与点之间是否有连线表示事物之间是否是有某种关系，这样构成的图形就是图论中的图。

数学中的图论理论及其应用图论是一门研究图形和网络的数学理论，它是数学中的一个分支，也是计算机科学中的一个重要领域。

图论的不断发展使其应用越来越广泛，尤其在计算机网络、社交网络、交通路线等方面有着广泛的应用。

一、图论的定义与性质图论中的“图”指的是一个有限的节点集合和与这些节点相关的边集合。

在图中，节点被称为顶点，边被称为边缘。

在一个无向图中，每条边连接两个节点，没有方向性；在有向图中，每条边都有一个方向，从一个节点指向另一个节点。

图所具有的一些性质，如连通性、路径、环等，可以用来研究现实世界中的许多问题。

例如，人际关系可以用图来表示，而在图中找到最短路径可以用来表示最小成本行程的问题。

二、图的表示方法图可以通过矩阵和链表两种方式进行表示。

矩阵表示法是将图中的节点和边分别用矩阵的元素表示，由于矩阵的性质，这种方法适用于表示边的权重，但对于节点的增加和删除比较麻烦。

链表表示法是将图中的节点和边分别用链表的形式表示，这种方法适用于动态改变图的结构。

三、最短路径算法最短路径算法是图论中的一个重要问题，它是计算图中两个节点之间最短路径的算法。

最短路径算法可以采用Dijkstra算法或Floyd算法进行计算。

Dijkstra算法是一种贪心算法，通过构建带权重的图来计算两个节点之间最短距离。

该算法的基本思想是从起点出发，按照距离最近的顺序找到与该节点相邻的节点，然后根据这些节点的权重更新起点到别的节点的距离，直至找到终点。

由于该算法使用优先队列来存储节点，因此对于大规模的节点数或边数较多的图，具有较好的计算效率。

Floyd算法是一种动态规划算法，通过构建带权重的图来计算两个节点之间最短距离。

该算法的基本思想是先计算任意两个节点之间的距离，然后再使用动态规划的思想，从中间节点出发更新两个节点之间的距离，直至找到终点。

由于该算法需要计算所有的两点之间的距离，因此对于较小规模的图具有优势。

四、最小生成树算法最小生成树算法是图论中另一个重要的问题，它是用来找到给定的无向联通图的一棵生成树，使得生成树中的边权和最小。

习题一1. （题14）：证明图1-28中的两图是同构的证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

2. （题6）设G 是具有m 条边的n 阶简单图。

证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。

证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。

3. （题9）证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。

图1-28 (a)v 2 v 3u 4u (b)证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。

4. （题12）证明：若δ≥2，则G 包含圈。

证明 只就连通图证明即可。

设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。

若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。

5. （题17）证明：若G 不连通，则G 连通。

证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。

图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。

本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。

一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。

节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。

2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。

3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。

4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。

二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。

最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。

2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。

在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。

3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。

例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。

三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。

利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。

2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。

中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。

3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。

四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。

2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。

图论的基本定义和应用图论是一门数学分支，它以图这一数学结构为基础，研究各种图上的问题。

图是一种结构，包括顶点和边，顶点代表图中的元素，边描述元素之间的关系。

图论是研究图这一数学结构的性质和应用的学科。

图的基本定义在图论中，一个图由顶点集合V和边集合E组成，一般记为G = (V, E)。

其中，V是图中所有顶点的集合，E是图中所有边的集合。

如果边是由独立的顶点对构成的，就称这种图为无向图；如果边是由有序的顶点对构成的，就称这种图为有向图。

每条边都可以表示为(e,u,v)，其中e是边的标识，u和v是与边相连的两个顶点。

图的结构在图论中，有些图具有特定的结构，这些结构可以被用于解决各种各样的问题。

下面是一些常见的图结构。

树型结构：树是一种无环连接的图，其中有一个特殊的顶点称为根。

在树中，从根到任意一个顶点所经过的边所构成的路径都是唯一的。

树是一种重要的数据结构，被广泛应用于计算机科学和其他领域。

环型结构：环也是一种无向图，但是它具有特定的环形结构，其中每个顶点都与它相邻的两个顶点相连。

环型结构被广泛应用于通信网络和其他领域的设计中。

网状结构：网状结构是由多个环型结构和其他结构组合而成的图，其中有多个顶点是连接到其他顶点上的。

网状结构在物流和电力等领域中被广泛应用。

图的应用图论被广泛应用于计算机科学、工程和管理学等领域。

下面是一些常见的图论应用。

路由算法：在通信网络中，路由算法被用来确定包从源节点到目标节点的最佳路径。

路由算法可以利用图的结构来计算最短路径或其他优化路径。

最优化问题：许多最优化问题可以被转换为图的形式，例如最短路径问题和最小生成树问题。

通过使用图的模型来解决这些问题可以提高效率和可靠性。

社交网络分析：社交网络可以用图的形式进行建模，每个人都是一个顶点，他们之间的关系可以表示为边。

通过社交网络分析，可以了解网络中的信息流动模式和社交结构。

总结图论是一门广泛应用于各种学科的数学分支，其基本定义包括顶点和边。